Entendendo a Equação do Plano

Vamos falar hoje de equação do plano. Equação de um plano dois-dimensional no espaço de dimensão 3 ou qualquer outra dimensão. Então, a pergunta básica, o que é um plano? Como é que você consegue ver uma coisa e não consegue fazer qualquer descrição sobre ela? É... uma reta. O que é uma reta? Uma reta é uma coisinha assim, né? Bom... Um plano, então, é como se... Esse livro aqui, mais ou menos, esse livro não é um plano, é um paralelopípedo, né? Mas, se você olha a capa dele, a capa dele é fina o suficiente. Vamos supor que esse livro é fino, então, se eu fizer assim com o livro, vocês não enxergam nada. Então, isso aqui é um plano. Quer dizer, é um pedaço de um plano. Bom, então um plano é uma espécie de generalização de uma reta, né? O que é um ponto? Um ponto. Um pontinho lá é uma coisa, um ponto. Se você pega esse ponto e arrasta em uma direção fixa, pegou um ponto, aí você arrastou ele para todo lado, para cá, para cá. O traço desse movimento que você faz dá uma reta. Então você pega um ponto e arrasta, você tem uma reta. E aí como é que você faz com o plano agora? Você pega a reta, uma direção fixa, não vai ficar sambando com a reta, pega a reta, uma direção fixa e arrasta. E o que você vê... Bom, e aí eu posso pegar essa reta e arrastar para cá, e aí vai ficar um plano aqui, um pedaço de plano aqui, e lá para o fundo. Assim como no caso da reta, a gente vai chamar como plano... A reta é uma coisa infinita, né? Um pedaço de reta chama segmento de reta. Então, se você pega uma coisa infinita aqui e arrasta, então você vai ter um plano. Isso aqui vai até o Japão, seguindo aqui. Bom, a gente precisa de uma descrição um pouco melhor que isso. Então, vamos começar pensando o seguinte. Uma propriedade que um plano satisfaz... É o seguinte, se eu tenho esse ponto aqui, qualquer ponto no plano, existe um vetor aqui, que... qual que é a propriedade dos pontos do plano? Todos os pontos que estão no plano, ou seja, qualquer outro vetor que você pegar aqui, ou mesmo aqui, saindo, ele é ortogonal a esse cara aqui. Bom, o vetor a gente já ensinou, ele pode estar em um lugar ou pode estar em qualquer outro lugar. Se eu coloco uma cópia desse vetor aqui, esse ponto aqui no plano, pego um vetor aqui ou um vetor saindo do plano, é sempre ortogonal esse cara daqui. É bom, você pode pensar na mesa, né? Se você tem um vetor para cima, um vetor 1, 0, 0 talvez, se essa mesa estiver alinhada, um vetor, desculpa, 0, 0, 1, ele é ortogonal a qualquer outra coisa que tenha nesse plano. Então se você desenha um vetor aqui na mesa, que pega o vetor 0, 0, 1, Esses caras são ortogonais, o ângulo entre eles é 90. Todo mundo concorda? Bom, isso é uma propriedade geral de pontos no plano ou de vetores no plano, ou seja, sempre existe um outro vetor que é ortogonal a todo mundo. Então, uma forma de descrever a equação do plano é o seguinte. A equação do plano. que passa em um ponto P igual a A0, B0, C0. Então, ou seja, a equação do plano passa por algum ponto. Porque é igual ao vetor. O vetor é o mesmo cara, depende do ponto onde você põe. Então a equação do plano tem que passar por um ponto e a gente vai dizer que ele é normal a um outro vetor aqui, que passa por um ponto P e tem como vetor. Normal n igual a abc. Quer dizer, vamos tirar essa palavra equação daqui. Vamos falar o plano. O plano que passa em um ponto P0 e tem como vetor normal n igual a 0, é o conjunto de pontos x, y, z. que satisfazem. Bom, eu quero que esse cara satisfaça A vezes X mais B vezes Y mais c vezes d igual a d igual a d então esse d eu substituí aqui igual a igual a d onde d é igual a a vez a zero mais B vezes B0, mais C vezes C0. Ou seja, um plano é simplesmente o conjunto de pontos que satisfaz aquela equação. Daí vamos tentar entender de onde vem essa equação. Então vamos lá, vamos desenhar um plano. bom então falei pra vocês que um plano é conjunto dos pontos que eles são todos os só ortogonais esse cara aqui que eu chamo de abc e passa por algum ponto a 0 b 0 c 0 bom Agora, vamos ver por que a equação tem que ser daquele jeito. Como que eu descrevo o conjunto dos pontos que são ortogonais ao vetor ABC? Bom, se um cara é ortogonal ao ABC... Bom, ser ortogonal ABC... Vamos lá. Se tem um ponto aqui, e eu quero que o vetor... Esse cara aqui... Bom, então é o seguinte, eu tenho um ponto no plano... Então eu falei que o plano é o conjunto de todos os pontos que satisfaz isso aqui, né? Ou seja, existe um vetor, um ponto base para onde o plano passa. Então um ponto vai estar no plano se só se você pegar esses dois vetores aqui. Esse ponto aqui pode ser qualquer um onde o plano está. Então esse vetor e esse tem que fazer o ângulo de 90 graus. Sempre que você tem isso, então x, y, z está no plano. Então vamos lá. Está no plano? Então o que acontece? Como que eu represento o fato de dois vetores serem ortogonais? Bom, lembra que a gente definiu uma coisa chamada produto interno, né? Esse produto interno, quando tinha alguma equação que a norma desse produto interno, que o módulo desse produto interno tinha um cosseno lá. Então, ou seja, o ângulo de dois vetores, ele vai ser π sobre 2, quando aquele cosseno era... 1g sobre 2, cos 0. Então, o produto interno é dar 0. Então, o vetor ortogonal significa produto interno igual a 0. Então, como x, y, z está no plano, esses dois vetores são ortogonais. Então eu sei que ABC e o outro vetor. Que vetor que é esse aqui? Quais são as coordenadas dele? Então, o vetor amarelo tem um ponto inicial, ele é um vetor que está ligando dois pontos. Então, para você achar a coordenada dele, você tem que subtrair o ponto final menos o ponto inicial. Ou seja, esse cara vai ficar A0 menos X, B0 menos Y, C0 menos Y. Bom, eu sei que o vetor amarelo e o vetor ABC são ortogonais, então, ou seja, isso aqui dá zero. Bom, se isso aqui dá zero, mas como que eu faço essa conta aqui, desse produto interno? Lembrando, produto interno eu vou pegar produto interno, não é vetorial, produto interno... Pego esse cara, multiplico com esse, somo com esse cara, multiplicado com esse, somo com esse cara, multiplicado com esse. Ou seja, A vezes A0 menos X, mais B vezes B0 menos Y, mais C vezes C0 menos E, é igual a zero. Ou seja, dessa equação aqui, A gente tira aqui a vezes a₀ mais b vezes b₀ mais c vezes c₀ igual a ax mais cz, que é aquela mesma equação que está ali em cima. Ou seja, a equação do plano tem bastante sentido geométrico. Ou seja, o plano é simplesmente... O plano que passa por um ponto, como você vai achar ele? Você vai pegar qualquer outro ponto no plano, vai achar um vetor normal aqui e tem que satisfazer isso. Tem que existir um vetor normal a todo outro vetor que está no plano, que liga qualquer outro dos dois pontos. Porque, bom, é... Claro, se você pega agora um outro ponto aqui, né? X'e Y'e Z'. Então, de novo, pega esse vetor, transada para cá. Faz essa condição aqui e você vai ter a mesma coisa. Esse cara aqui continua 90 graus. Então, se eu estou movendo o vetor em cima do plano, em qualquer ponto do plano satisfaz aquilo ali. Você pega um outro representante daquele vetor e coloca lá. Bom, então, em particular, a gente pode simplificar um pouco a equação do plano dizendo o seguinte, outra forma. Vou escrever o plano que passa por P e tem como vetor normal N. É, ou seja, plano... Eu não sei por que, mas em geral usam a letra π para plano. Tem que tomar algum cuidado. Ou seja, vai ser o conjunto dos vetores v, ou dos pontos, tais que xn... é igual a np. Ou seja, quando é que um cara vai estar no plano que passa por p e tem vetor normal n? Quando o produto interno dele com n foi igual ao produto interno de n com p. Veja, o produto interno do vetor xy com n, que é essa conta aqui, x, y, z é exatamente igual a isso aqui bom, essa equação aqui talvez seja mais fácil para lembrar ou mais difícil, porque tem dois produtos internos bom, exemplo vamos voltar para o nosso Espaço tridimensional aqui. vamos pegar eu vou pegar o vetor 111 seja é o cara de quadrada 111 E vamos ver quais os pontos, vamos ver qual é a equação do plano, do plano que passa por P e tem como vetor normal... N nos casos, P igual a 00 ou então P igual a 001. Bom, eu vou fazer a letra A, vocês vão fazer a letra B. Como fazer a letra A? Eu acabei de definir como que é a equação do plano que passa por P e tem como vetor normal N. Então, a equação é sempre daquele jeito ali. Vamos fazer no nosso caso agora. No nosso caso, N é 1, e P é 0, 0, 0. Então, como que fica a equação? Tem que ficar aqui e substituir lá. Vamos lembrar, a equação do plano sempre tem umas coisas assim, tem um X, tem um Y, tem um Z, esses caras estão sendo somados, tem alguém que multiplica aqui. E aí tem igual a um outro cara, toda a equação do plano é desse jeito. quem são esses caras que você coloca aqui bom você vai colocar aqui exatamente as coordenadas o vetor normal do plano os quadrados vetor normal nesse caso eu disse que são 111 né é um vestígios um exemplo só um bezerro tá então a equação tem dois lados esquerdo direito já fez lado esquerdo já fazer metade da equação do plano Então já tem meio plano. Mas a equação tem uma coisa do lado direito. E o que é essa coisa do lado direito? É o produto interno do ponto onde o plano passa, das coordenadas desse ponto, com o vetor normal. Ou seja, nesse caso, vai ser o produto interno de 1, 1, 1 com 0, 0, 0. Que dá? Que dá 0. Nesse caso... Fica isso aqui. Ou seja, a equação do plano é x mais y mais e igual a zero. Isso aí é um plano que passa na origem. Bom, a pergunta. Em geral, a gente desenha o R3, desenha o primeiro octante, ou seja, só desenha os caras com a área positiva. Esse plano, ele passa no primeiro octante? Se você olhar para o R3 lá daquele jeito, suponha que agora os planos Y, Z, tem uma parede, você só está vendo o primeiro octante, você enxerga esse plano? Tem alguns motivos para os caras que você não enxerga esse plano. O primeiro deles é o seguinte, o primeiro octante só tem cara de coordenada positiva, todos os pontos ali tem as três coordenadas positivas. Se você pegar os três números positivos e somar, não dá zero. Dá um cara maior que zero. é outra possibilidade é você tentar enxergar aquele plano ali como ele é e talvez fique mais fácil escolhendo outro ponto para onde ele passa então tudo bem talvez não conseguir chegar esse cara aqui a gente não consegue nem desenhar algum traço dele bom vamos então fazer a letra b Letra B a gente quer uma equação do plano. Então é uma coisa x, mais uma coisa y, mais uma coisa z, igual a alguma outra coisa. O que eu coloco? Aqui, perto de x, y, z, coloco a coordenada do normal, que nesse caso são 1, 1. Então tá bom. O normal não mudou, mas o ponto mudou. Agora o ponto é 0, 0, 1. Aqui eu tenho que fazer o produto interno, do ponto por onde o plano passa com o vetor normal. Então eu vou fazer o produto interno de 0, 0, 1 com aquele cara lá de cima, 1, 1, 1. O que dá? Todo mundo concorda que dá 0 ou 1? Então, vamos aguentar só entre a cor entre o 0 e o 1. Eu acho que dá 1. Porque se você multiplica, faz o produto interno desse cara por n, vai ficar 0 vezes 1, mais 0 vezes 1, mais 1 vezes 1. Ou seja, só a terceira coordenada que contribui para o produto interno. Então, aqui, esse cara dá 1. Ou seja, a equação do plano é isso aqui. Bom, agora... Vamos tentar fazer um esboço desse plano. Vou fazer até uma coisa aqui. O que a gente sabe desse plano? Eu sei desenhar um ponto que está nesse plano, que é o ponto que eu coloquei lá, que é o ponto 001. Esse cara está no plano. Agora, seria bom se eu achasse mais alguns pontos, para poder fazer um esboço melhor. Então, uma forma boa de fazer isso aqui é você começar a dar valores para x, y, z, para achar outros pontos. Por exemplo, se y e z são zero, então a equação fica x mais zero mais zero igual a 1. Ou seja, x tem que ser igual a 1. Então, é porque o ponto 1... 0, 0, como ele satisfaz essa equação, ele está no plano. Então o ponto 1, 0, 0, que é um cara aqui, só tem coordenada x, satisfaz a equação. Bom, se você faz agora 0, 0 e 1, você acha esse mesmo ponto aqui, que é o ponto para onde o plano passa. Então 0 mais 0 mais 1 dá 1, então o ponto 0, 0, 1 está no plano. Mas já tinha desenhado ele. Se você faz agora x igual a 0 e y igual a 0... Sobra o Y para você, né? Então, ou seja, o ponto 0, 1, 0 satisfaz a equação, então está no plano. 0, 1, 0. É um cara que... É... Claro, os valores que você vai colocar aí não precisam ser 0. Em alguns casos, talvez fique mais fácil achar o ponto quando o cara não é 0. Agora, a dica é o seguinte. Tenta colocar pontos em cima dos eixos, porque vai ficar mais fácil você desenhar o plano depois. Tá, então, o seu plano passa por esses três pontos. Então, se você olha no primeiro quadrante, o que você vê aqui é um triângulo. Então, aquele plano ali é o seguinte, você tem o plano do chão aqui, o eixo Z aqui, ele corta meio espécie de... é oblíquo, né? Coisa como se fosse uma diagonal. Ou seja, é uma rampinha. Aqui no primeiro octante. Deixa claro o seguinte, isso aqui não é o plano. O plano é essa figura aqui para todo lado. Só que no primeiro octante, o que você vai ver é isso. Certo? O plano não é o triangulinho. O plano é como se você pegasse uma chapa gigante e colocasse no eixo. Então, no primeiro octante, o que você vai ver é aquilo ali. Bom, daí... Então, ok. Outra coisa que a gente tem que saber é o seguinte. Então, aparentemente a gente sabe, dado um ponto e um vetor normal, achar um plano. Beleza? E aí, aquilo ali é uma equação do plano. Outra questão que vai ter na prova. Agora eu não vou falar para você quem é o vetor normal nem quem é o ponto. Eu vou te dar a equação do plano. Vou pedir para você achar para mim qual é o vetor normal e qual é o ponto. Que é algo, por exemplo, ache o vetor. Bom, ache é uma palavra em contra. Encontre o vetor. O plano. É... Vê que um plano é uma coisa... Você pega uma reta e arredona. A equação do plano... Vai aparecer x, y, z, pode ser que não apareça os três, mas a potência é sempre 1, coisa que tem x² não é plano. Bom, então eu disse para vocês o seguinte. Bom, a gente escreveu a equação do plano como uma coisa assim. Outra coisa. E aí, quando a gente tinha o vetor normal e ia construir a equação do plano, a gente colocava a coordenada do vetor normal aqui, né? Então, qual que é a coordenada do vetor normal daquele plano? 1, 1, 1, 0. Essa questão está zerada. Por quê? Porque a equação do plano, o z está aqui. Aqui tem um número, né? E aí se você olhar essa equação aqui, tem um z aqui também, né? Ou seja, para reconhecer a equação do plano, passa x, y, z tudo para um lado da equação, deixa do lado direito só o número. É, eu fiz de sacanagem, eu sabia que esse z ia falar 1. Ou seja, quando você passa esse z para cá, ele vem com sinal negativo, cancela. Então, Então, Na forma padrão, ou seja, na forma que a gente viu, a equação do plano se escreve daquele jeito ali. Agora, qual é o vetor normal? 1, 0. Agora está certo. Então, se você agrupa x, y, z daquele jeito ali, essa coisa dos coeficientes funciona. As coordenadas do vetor normal são exatamente quem está multiplicando, os números que estão multiplicando esse cara aqui. Bom, então se a gente sabe isso aqui... É... A gente já sabe o vetor normal. 1, 1, 0. Tá, agora acha pra mim o ponto onde passa aquele plano. Bom, como é que eu acho um ponto de passo a esse plano? Você vai achar para mim uma solução para aquela coisa ali, x mais y igual a zero. Eu só quero uma solução, porque eu não quero x igual a menos y, eu só quero uma solução. Bom, vamos lá, isso aqui vai ser um ponto no plano. Bom, se eu colocar qualquer cara aqui, quer dizer, vamos lá, x mais y tem que ser zero, né? A soma das duas mesmas quadradas tem que ser zero, então vamos colocar logo zero. Como diria o Ari, vamos apelar e colocar zero, zero ali. E agora o z? Bom, o z você escolhe qualquer coisa, né? Escolhe raiz de 2 aqui, por exemplo. Esse cara está naquele plano. Por que esse cara está no plano? Porque x mais y é zero. Ah, mas e o z? Ah, o z... Não estou nem aí para o z. Ou seja, dada uma equação em x, y, z, uma equação linear, qualquer coisa x, mas qualquer coisa z igual ao número, é razoavelmente fácil achar o vetor normal e achar um ponto para onde passa esse cara aí. Só tem que tomar algum cuidado com coisas desse tipo aqui. Ou seja, esse Z tem que vir para o lado de cá.

É... uma reta. O que é uma reta?

Uma reta é uma coisinha assim, né? Bom... Um plano, então, é como se... Esse livro aqui, mais ou menos, esse livro não é um plano, é um paralelopípedo, né? Mas, se você olha a capa dele, a capa dele é fina o suficiente.

Vamos supor que esse livro é fino, então, se eu fizer assim com o livro, vocês não enxergam nada. Então, isso aqui é um plano. Quer dizer, é um pedaço de um plano. Bom, então um plano é uma espécie de generalização de uma reta, né? O que é um ponto?

Um ponto. Um pontinho lá é uma coisa, um ponto. Se você pega esse ponto e arrasta em uma direção fixa, pegou um ponto, aí você arrastou ele para todo lado, para cá, para cá. O traço desse movimento que você faz dá uma reta.

Então você pega um ponto e arrasta, você tem uma reta. E aí como é que você faz com o plano agora? Você pega a reta, uma direção fixa, não vai ficar sambando com a reta, pega a reta, uma direção fixa e arrasta.

E o que você vê... Bom, e aí eu posso pegar essa reta e arrastar para cá, e aí vai ficar um plano aqui, um pedaço de plano aqui, e lá para o fundo. Assim como no caso da reta, a gente vai chamar como plano...

A reta é uma coisa infinita, né? Um pedaço de reta chama segmento de reta. Então, se você pega uma coisa infinita aqui e arrasta, então você vai ter um plano. Isso aqui vai até o Japão, seguindo aqui.

Bom, a gente precisa de uma descrição um pouco melhor que isso. Então, vamos começar pensando o seguinte. Uma propriedade que um plano satisfaz...

É o seguinte, se eu tenho esse ponto aqui, qualquer ponto no plano, existe um vetor aqui, que... qual que é a propriedade dos pontos do plano? Todos os pontos que estão no plano, ou seja, qualquer outro vetor que você pegar aqui, ou mesmo aqui, saindo, ele é ortogonal a esse cara aqui. Bom, o vetor a gente já ensinou, ele pode estar em um lugar ou pode estar em qualquer outro lugar.

Se eu coloco uma cópia desse vetor aqui, esse ponto aqui no plano, pego um vetor aqui ou um vetor saindo do plano, é sempre ortogonal esse cara daqui. É bom, você pode pensar na mesa, né? Se você tem um vetor para cima, um vetor 1, 0, 0 talvez, se essa mesa estiver alinhada, um vetor, desculpa, 0, 0, 1, ele é ortogonal a qualquer outra coisa que tenha nesse plano. Então se você desenha um vetor aqui na mesa, que pega o vetor 0, 0, 1, Esses caras são ortogonais, o ângulo entre eles é 90. Todo mundo concorda? Bom, isso é uma propriedade geral de pontos no plano ou de vetores no plano, ou seja, sempre existe um outro vetor que é ortogonal a todo mundo.

Então, uma forma de descrever a equação do plano é o seguinte. A equação do plano. que passa em um ponto P igual a A0, B0, C0. Então, ou seja, a equação do plano passa por algum ponto.

Porque é igual ao vetor. O vetor é o mesmo cara, depende do ponto onde você põe. Então a equação do plano tem que passar por um ponto e a gente vai dizer que ele é normal a um outro vetor aqui, que passa por um ponto P e tem como vetor.

Normal n igual a abc. Quer dizer, vamos tirar essa palavra equação daqui. Vamos falar o plano.

O plano que passa em um ponto P0 e tem como vetor normal n igual a 0, é o conjunto de pontos x, y, z. que satisfazem. Bom, eu quero que esse cara satisfaça A vezes X mais B vezes Y mais c vezes d igual a d igual a d então esse d eu substituí aqui igual a igual a d onde d é igual a a vez a zero mais B vezes B0, mais C vezes C0. Ou seja, um plano é simplesmente o conjunto de pontos que satisfaz aquela equação.

Daí vamos tentar entender de onde vem essa equação. Então vamos lá, vamos desenhar um plano. bom então falei pra vocês que um plano é conjunto dos pontos que eles são todos os só ortogonais esse cara aqui que eu chamo de abc e passa por algum ponto a 0 b 0 c 0 bom Agora, vamos ver por que a equação tem que ser daquele jeito. Como que eu descrevo o conjunto dos pontos que são ortogonais ao vetor ABC? Bom, se um cara é ortogonal ao ABC...

Bom, ser ortogonal ABC... Vamos lá. Se tem um ponto aqui, e eu quero que o vetor... Esse cara aqui... Bom, então é o seguinte, eu tenho um ponto no plano...

Então eu falei que o plano é o conjunto de todos os pontos que satisfaz isso aqui, né? Ou seja, existe um vetor, um ponto base para onde o plano passa. Então um ponto vai estar no plano se só se você pegar esses dois vetores aqui.

Esse ponto aqui pode ser qualquer um onde o plano está. Então esse vetor e esse tem que fazer o ângulo de 90 graus. Sempre que você tem isso, então x, y, z está no plano. Então vamos lá.

Está no plano? Então o que acontece? Como que eu represento o fato de dois vetores serem ortogonais?

Bom, lembra que a gente definiu uma coisa chamada produto interno, né? Esse produto interno, quando tinha alguma equação que a norma desse produto interno, que o módulo desse produto interno tinha um cosseno lá. Então, ou seja, o ângulo de dois vetores, ele vai ser π sobre 2, quando aquele cosseno era...

1g sobre 2, cos 0. Então, o produto interno é dar 0. Então, o vetor ortogonal significa produto interno igual a 0. Então, como x, y, z está no plano, esses dois vetores são ortogonais. Então eu sei que ABC e o outro vetor. Que vetor que é esse aqui?

Quais são as coordenadas dele? Então, o vetor amarelo tem um ponto inicial, ele é um vetor que está ligando dois pontos. Então, para você achar a coordenada dele, você tem que subtrair o ponto final menos o ponto inicial.

Ou seja, esse cara vai ficar A0 menos X, B0 menos Y, C0 menos Y. Bom, eu sei que o vetor amarelo e o vetor ABC são ortogonais, então, ou seja, isso aqui dá zero. Bom, se isso aqui dá zero, mas como que eu faço essa conta aqui, desse produto interno?

Lembrando, produto interno eu vou pegar produto interno, não é vetorial, produto interno... Pego esse cara, multiplico com esse, somo com esse cara, multiplicado com esse, somo com esse cara, multiplicado com esse. Ou seja, A vezes A0 menos X, mais B vezes B0 menos Y, mais C vezes C0 menos E, é igual a zero.

Ou seja, dessa equação aqui, A gente tira aqui a vezes a₀ mais b vezes b₀ mais c vezes c₀ igual a ax mais cz, que é aquela mesma equação que está ali em cima. Ou seja, a equação do plano tem bastante sentido geométrico. Ou seja, o plano é simplesmente... O plano que passa por um ponto, como você vai achar ele?

Você vai pegar qualquer outro ponto no plano, vai achar um vetor normal aqui e tem que satisfazer isso. Tem que existir um vetor normal a todo outro vetor que está no plano, que liga qualquer outro dos dois pontos. Porque, bom, é... Claro, se você pega agora um outro ponto aqui, né? X'e Y'e Z'.

Então, de novo, pega esse vetor, transada para cá. Faz essa condição aqui e você vai ter a mesma coisa. Esse cara aqui continua 90 graus. Então, se eu estou movendo o vetor em cima do plano, em qualquer ponto do plano satisfaz aquilo ali.

Você pega um outro representante daquele vetor e coloca lá. Bom, então, em particular, a gente pode simplificar um pouco a equação do plano dizendo o seguinte, outra forma. Vou escrever o plano que passa por P e tem como vetor normal N.

É, ou seja, plano... Eu não sei por que, mas em geral usam a letra π para plano. Tem que tomar algum cuidado.

Ou seja, vai ser o conjunto dos vetores v, ou dos pontos, tais que xn... é igual a np. Ou seja, quando é que um cara vai estar no plano que passa por p e tem vetor normal n? Quando o produto interno dele com n foi igual ao produto interno de n com p.

Veja, o produto interno do vetor xy com n, que é essa conta aqui, x, y, z é exatamente igual a isso aqui bom, essa equação aqui talvez seja mais fácil para lembrar ou mais difícil, porque tem dois produtos internos bom, exemplo vamos voltar para o nosso Espaço tridimensional aqui. vamos pegar eu vou pegar o vetor 111 seja é o cara de quadrada 111 E vamos ver quais os pontos, vamos ver qual é a equação do plano, do plano que passa por P e tem como vetor normal... N nos casos, P igual a 00 ou então P igual a 001. Bom, eu vou fazer a letra A, vocês vão fazer a letra B. Como fazer a letra A?

Eu acabei de definir como que é a equação do plano que passa por P e tem como vetor normal N. Então, a equação é sempre daquele jeito ali. Vamos fazer no nosso caso agora.

No nosso caso, N é 1, e P é 0, 0, 0. Então, como que fica a equação? Tem que ficar aqui e substituir lá. Vamos lembrar, a equação do plano sempre tem umas coisas assim, tem um X, tem um Y, tem um Z, esses caras estão sendo somados, tem alguém que multiplica aqui.

E aí tem igual a um outro cara, toda a equação do plano é desse jeito. quem são esses caras que você coloca aqui bom você vai colocar aqui exatamente as coordenadas o vetor normal do plano os quadrados vetor normal nesse caso eu disse que são 111 né é um vestígios um exemplo só um bezerro tá então a equação tem dois lados esquerdo direito já fez lado esquerdo já fazer metade da equação do plano Então já tem meio plano. Mas a equação tem uma coisa do lado direito. E o que é essa coisa do lado direito? É o produto interno do ponto onde o plano passa, das coordenadas desse ponto, com o vetor normal.

Ou seja, nesse caso, vai ser o produto interno de 1, 1, 1 com 0, 0, 0. Que dá? Que dá 0. Nesse caso... Fica isso aqui. Ou seja, a equação do plano é x mais y mais e igual a zero.

Isso aí é um plano que passa na origem. Bom, a pergunta. Em geral, a gente desenha o R3, desenha o primeiro octante, ou seja, só desenha os caras com a área positiva. Esse plano, ele passa no primeiro octante?

Se você olhar para o R3 lá daquele jeito, suponha que agora os planos Y, Z, tem uma parede, você só está vendo o primeiro octante, você enxerga esse plano? Tem alguns motivos para os caras que você não enxerga esse plano. O primeiro deles é o seguinte, o primeiro octante só tem cara de coordenada positiva, todos os pontos ali tem as três coordenadas positivas.

Se você pegar os três números positivos e somar, não dá zero. Dá um cara maior que zero. é outra possibilidade é você tentar enxergar aquele plano ali como ele é e talvez fique mais fácil escolhendo outro ponto para onde ele passa então tudo bem talvez não conseguir chegar esse cara aqui a gente não consegue nem desenhar algum traço dele bom vamos então fazer a letra b Letra B a gente quer uma equação do plano. Então é uma coisa x, mais uma coisa y, mais uma coisa z, igual a alguma outra coisa.

O que eu coloco? Aqui, perto de x, y, z, coloco a coordenada do normal, que nesse caso são 1, 1. Então tá bom. O normal não mudou, mas o ponto mudou.

Agora o ponto é 0, 0, 1. Aqui eu tenho que fazer o produto interno, do ponto por onde o plano passa com o vetor normal. Então eu vou fazer o produto interno de 0, 0, 1 com aquele cara lá de cima, 1, 1, 1. O que dá? Todo mundo concorda que dá 0 ou 1? Então, vamos aguentar só entre a cor entre o 0 e o 1. Eu acho que dá 1. Porque se você multiplica, faz o produto interno desse cara por n, vai ficar 0 vezes 1, mais 0 vezes 1, mais 1 vezes 1. Ou seja, só a terceira coordenada que contribui para o produto interno. Então, aqui, esse cara dá 1. Ou seja, a equação do plano é isso aqui.

Bom, agora... Vamos tentar fazer um esboço desse plano. Vou fazer até uma coisa aqui.

O que a gente sabe desse plano? Eu sei desenhar um ponto que está nesse plano, que é o ponto que eu coloquei lá, que é o ponto 001. Esse cara está no plano. Agora, seria bom se eu achasse mais alguns pontos, para poder fazer um esboço melhor. Então, uma forma boa de fazer isso aqui é você começar a dar valores para x, y, z, para achar outros pontos.

Por exemplo, se y e z são zero, então a equação fica x mais zero mais zero igual a 1. Ou seja, x tem que ser igual a 1. Então, é porque o ponto 1... 0, 0, como ele satisfaz essa equação, ele está no plano. Então o ponto 1, 0, 0, que é um cara aqui, só tem coordenada x, satisfaz a equação. Bom, se você faz agora 0, 0 e 1, você acha esse mesmo ponto aqui, que é o ponto para onde o plano passa. Então 0 mais 0 mais 1 dá 1, então o ponto 0, 0, 1 está no plano.

Mas já tinha desenhado ele. Se você faz agora x igual a 0 e y igual a 0... Sobra o Y para você, né? Então, ou seja, o ponto 0, 1, 0 satisfaz a equação, então está no plano.

0, 1, 0. É um cara que... É... Claro, os valores que você vai colocar aí não precisam ser 0. Em alguns casos, talvez fique mais fácil achar o ponto quando o cara não é 0. Agora, a dica é o seguinte.

Tenta colocar pontos em cima dos eixos, porque vai ficar mais fácil você desenhar o plano depois. Tá, então, o seu plano passa por esses três pontos. Então, se você olha no primeiro quadrante, o que você vê aqui é um triângulo. Então, aquele plano ali é o seguinte, você tem o plano do chão aqui, o eixo Z aqui, ele corta meio espécie de... é oblíquo, né?

Coisa como se fosse uma diagonal. Ou seja, é uma rampinha. Aqui no primeiro octante.

Deixa claro o seguinte, isso aqui não é o plano. O plano é essa figura aqui para todo lado. Só que no primeiro octante, o que você vai ver é isso. Certo? O plano não é o triangulinho.

O plano é como se você pegasse uma chapa gigante e colocasse no eixo. Então, no primeiro octante, o que você vai ver é aquilo ali. Bom, daí...

Então, ok. Outra coisa que a gente tem que saber é o seguinte. Então, aparentemente a gente sabe, dado um ponto e um vetor normal, achar um plano.

Beleza? E aí, aquilo ali é uma equação do plano. Outra questão que vai ter na prova.

Agora eu não vou falar para você quem é o vetor normal nem quem é o ponto. Eu vou te dar a equação do plano. Vou pedir para você achar para mim qual é o vetor normal e qual é o ponto.

Que é algo, por exemplo, ache o vetor. Bom, ache é uma palavra em contra. Encontre o vetor.

O plano. É... Vê que um plano é uma coisa...

Você pega uma reta e arredona. A equação do plano... Vai aparecer x, y, z, pode ser que não apareça os três, mas a potência é sempre 1, coisa que tem x² não é plano.

Bom, então eu disse para vocês o seguinte. Bom, a gente escreveu a equação do plano como uma coisa assim. Outra coisa.

E aí, quando a gente tinha o vetor normal e ia construir a equação do plano, a gente colocava a coordenada do vetor normal aqui, né? Então, qual que é a coordenada do vetor normal daquele plano? 1, 1, 1, 0. Essa questão está zerada. Por quê?

Porque a equação do plano, o z está aqui. Aqui tem um número, né? E aí se você olhar essa equação aqui, tem um z aqui também, né? Ou seja, para reconhecer a equação do plano, passa x, y, z tudo para um lado da equação, deixa do lado direito só o número. É, eu fiz de sacanagem, eu sabia que esse z ia falar 1. Ou seja, quando você passa esse z para cá, ele vem com sinal negativo, cancela.

Então, Então, Na forma padrão, ou seja, na forma que a gente viu, a equação do plano se escreve daquele jeito ali. Agora, qual é o vetor normal? 1, 0. Agora está certo. Então, se você agrupa x, y, z daquele jeito ali, essa coisa dos coeficientes funciona.

As coordenadas do vetor normal são exatamente quem está multiplicando, os números que estão multiplicando esse cara aqui. Bom, então se a gente sabe isso aqui... É...

A gente já sabe o vetor normal. 1, 1, 0. Tá, agora acha pra mim o ponto onde passa aquele plano. Bom, como é que eu acho um ponto de passo a esse plano?

Você vai achar para mim uma solução para aquela coisa ali, x mais y igual a zero. Eu só quero uma solução, porque eu não quero x igual a menos y, eu só quero uma solução. Bom, vamos lá, isso aqui vai ser um ponto no plano.

Bom, se eu colocar qualquer cara aqui, quer dizer, vamos lá, x mais y tem que ser zero, né? A soma das duas mesmas quadradas tem que ser zero, então vamos colocar logo zero. Como diria o Ari, vamos apelar e colocar zero, zero ali.

E agora o z? Bom, o z você escolhe qualquer coisa, né? Escolhe raiz de 2 aqui, por exemplo. Esse cara está naquele plano.

Por que esse cara está no plano? Porque x mais y é zero. Ah, mas e o z?

Ah, o z... Não estou nem aí para o z. Ou seja, dada uma equação em x, y, z, uma equação linear, qualquer coisa x, mas qualquer coisa z igual ao número, é razoavelmente fácil achar o vetor normal e achar um ponto para onde passa esse cara aí. Só tem que tomar algum cuidado com coisas desse tipo aqui. Ou seja, esse Z tem que vir para o lado de cá.

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