Cours sur les fonctions exponentielles

Objectifs de la séquence

• Rappel et explication des éléments importants des fonctions exponentielles.
• Définition de la fonction exponentielle.
• Propriétés de la fonction exponentielle.
• Introduction du nombre e.
• Croissance comparée et fonction e de x.
• Conseils pour préparer un contrôle ou un examen avec des exercices pratiques.

Définition de la fonction exponentielle

• Basée sur un théorème avec une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que:
  • $f'(x) = f(x)$
  • $f(0) = 1$
• Cette fonction est la fonction exponentielle.
• Notation initiale: $exp(x)$, qui change rapidement.

Propriétés de la fonction exponentielle

• $exp(0) = 1$
• La courbe traverse l'axe des ordonnées en 1.
• Fonction strictement croissante.
• Croissance exponentielle (ex: $exp(21)$ dépasse le milliard).

Etude de la fonction exponentielle

• Dérivabilité:
  • Fonction dérivable et continue sur $R$.
  • $f'(x) = exp(x)$
• Variations:
  • Strictement croissante sur $R$.
  • Limites: $\lim_{x \to -\infty} exp(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} exp(x) = +\infty$
  • Asymptote horizontale en $y=0$ quand $x \to -\infty$.
  • Pas d'asymptote verticale.

Propriétés fonctionnelles

• Transforme une somme en produit:
  • $exp(x+y) = exp(x) \times exp(y)$
• Autres propriétés:
  • $exp(-x) = \frac{1}{exp(x)}$

Le nombre e

• Définition: $e = exp(1)$
• Nombre irrationnel ($e \approx 2.718$)
• Nouvelle notation: $exp(x)$ peut s'écrire $e^x$

Propriétés avec la notation $e^x$

• $e^0 = 1$
• $e^1 = e$
• Fonction $e^x$ est strictement positive.
• Dérivée: $(e^x)' = e^x$
• Relations similaires aux puissances:
  • $e^{x+y} = e^x \times e^y$
  • $e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$

Limites et propriétés fondamentales

• Limites en $\pm \infty$:
  • $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• Propriétés pour les équations et inéquations:
  • $e^a = e^b \Rightarrow a = b$
  • $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$
• Importance pour les exercices pratiques.