[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de voir tout le cours sur les fonctions exponentielles l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on verra comment est défini la fonction exponentielle ces propriétés on introduira le nombreux eux qui est liée à une autre notation de la fonction exponentielle on verra les croissance comparée et enfin la fonction e de lui pour préparer un contrôle ou même un examen il te faudra également entraîné sur des exercices et là je te conseille de cliquer sur le lien qui te met qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur les exponentielle c'est parti on peut commencer alors pour définir la fonction exponentielle on va s'appuyer sur un théorème qui nous dit qu'il existe une unique fonction f dérive à bhl sur rtl que d'abord f prime égale à f donc ça c'est particulier quand même la fonction est égal à sa dérivée mais c'est pas tout deuxième condition f20 égal à 1 et bien si on a une fonction qui vérifie ces deux conditions là elle est unique alors on va pas le démontrer ici si tu veux prendre connaissance de la démonstration je t'invite à aller sur mon site matt éthique et tu trouveras donc le court avec la démonstration là dans la vidéo on n'a pas le temps de le faire elle est assez longue la démonstration est bien partir de là on peut définir la fonction exponentielle parce que justement cette unique fonction eh bien c'est la fonction exponentielle on la définit comme la fonction exponentielle et à partir de là on dit on appelle fonctions exponentielles l'unique fonction f dérive à bhl sur rtl que f prime égale à f&f 2-0 égal à 1 mais à cette fonction on va là noté on va la notte exposé dans un premier temps le xp on va très rapidement changé notation va voir et bien qu'est ce qu'on a comme conséquence immédiate puisque elle est définie comme f20 égal à 1 si cette fonction sous notre expo on a exposé deux héros exponentielle 2 0 qui est égal à 1 et on peut déjà avant de regarder le plus en détail l'étude de la fonction on peut déjà affiché la lure de la courbe on retrouve donc notre image 2 0 qui fait un envoi bien que la courbe elle traverse lax désordonné en un et on peut déjà dire que cette fonction est croissante et strictement croissante c'est ça qui définit la notion d' exponentielle quand on parle de croissance exponentielle on parle bien de croissance mais c'est pas tout l'idée d'exposants ciel ça veut dire que s'accroît très rapidement et si tu demandes à ta calculatrice de ta fiche et l'image de 21 rien que de 21 exponentielle de 21 eh bien tu verras que tu auras une valeur qui dépasse déjà le milliard la croissance des coûts potentiels et extrêmement rapide on peut passer à l'étude voilà j'ai à nouveau représenté la fonction exponentielle on va en parler tout de suite on commence par la notion de dérive habilité alors là on l'a dit tout à l'heure la fonction exponentielle est définie comme une fonction des rives à bhl sur r autrement dit elle va être continu et dérives à bhl sur l'air et on indique qu'elle est définie comme une fonction dont sa dérive et lui est égal du coup la dérive aidé exponentielle x c'est exponentiel x voilà une dérive est plutôt simple à retenir attention on verra en fin de séquence ceci n'est pas vrai si à la place de x je mets une fonction fonction hull par exemple variations la fonction exponentielle est une fonction qui est strictement croissante sur r on l'a vu tout à l'heure au niveau de ses limites en moins l'infini la limite et 0 ce qui veut dire que ici j'ai une asymptote d'équations y égal à zéro la coupe se rapproche de plus en plus de lax des abscisses pourvu qu'on prenne des valeurs de x qui tendent vers moins l'infini en plus l'infini la limite est plus la fille on peut lire attention il n'y a pas d' à 70 verticale ici qu on a envie de croire ici qu'il ya eu neuf symptômes verticale car la fonction exponentielle croit tellement vite qu'on pourrait penser que elle se trouve ici bloqué par une droite ceci n'est pas vrai on peut trouver des valeurs de x aussi éloignées on veut ici vers dx qui deviennent de plus en plus grands donc non ici je n'ai pas d'à symptômes et voilà donc le tableau de variation fonction croissante en moins l'infini 0 en plus l'infini plus l'infini alors au niveau des propriétés on va commencer par ce qui s'appelle la relation fonctionnelle c'est une propriété qui permet de transformer une somme en un produit on verra un peu plus tard lorsqu on traitera la fonction logarithme qui elle permet de faire le contraire permet de transformer un produit en somme hélas ce passage-là de produits en somme trouve de vraies applications dans le calcul c'est un autre sujet je développe pas plus en tous les cas donc celle ci permet de transformer une somme en un produit si on regarde bien sûr la lecture gruge gauche droite ce qui fait que les clés exponentielle 2x plus y est égal à exponentielle de x x exponentielle de y on va voir que tout ça c'est tout à fait lié aux formules qu'on connaît déjà sur les puissances on y revient dans la suite de cette séquence d'autres propriétés bien je te laisse les regarder exponentielle de moins x est égal à 1 sur exponentielle de x etc toutes ces propriétés je développe pas plus puisque là également on va les voir dans la nouvelle notation qu'on aura avec les puissances on peut passer à notre nombreux alors le nom breux voilà un nombre qui a passionné les mathématiciens et un en particulier c'est le mathématicien suisse leonhard euler alors qu'est ce que c'est que ce nombreux bien au départ on peut le définir tout simplement comme l'image de 1 par la fonction exponentielle et kz2 un égale à e pourquoi pas donc finalement le nombreux c'est quoi ces l'exponentielle 2 1 et 6 ont saisi sur la calculatrice exponentielle 2 1 eh bien on va trouver un nombre qui s'affiche qui est en réalité une valeur approché en général on garde 2 718 est la valeur approcher la plus connue mais on voit que ça se poursuit avec 28 18 28 etc et oui car le nombreux eux comme le nombre pi est un nombre irrationnel c'est à dire que toutes ces décimales se suivent sans suite logique qui a pas de répétition comme c'est le cas par exemple pour les nombreux rationnelle et bien à partir de ceux nombreux on va pouvoir donner une nouvelle notation pour notre fonction exponentielle et pour cela eh bien on va on va à la démontrer on va là là là comprendre cette notation va partir donc de exponentielle de x exponentielle de x que je pourrais écrire comme exponentielle de x x 1 alors exponentielle de x x 1 je reviens donc sur les propriétés que j'ai affiché tout à l'heure je passais un peu vite dessus mais je le répète on va y revenir il y en a une qui nous intéresse particulièrement exponentielle n x est égal à exponentielle de x puissance n alors appliquons donc cette formule attention le hic ce n'est pas dans la même position que dans la formule donc du coup ici il va passer en exposant ça va nous donner quoi ça va nous donner exponentielle de un puissant 6 je prends donc ici le nombre qui est placé en première position et je le sors il arrive en exposant c'est bien ce que nous dit la formule mais exponentielle 2 1 on a vu que exponentielle deux ans maintenant on peut le noter eux du coup à la place d'exposants ciel 2 1 je vais m e puissance x et bien voilà je viens là ici d'introduire une nouvelle dotation finalement exponentielle de x la fonction exponentielle peut se doter eux 2x méheut 2x là qu'est ce qui se passera quand j'écris eu 2 x j'ai en réalité une fonction puissance une fonction puissance de basse et bien en réalité la fonction exponentielle est une fonction puissance fonction puissance de base hum hum étant le nombre convient de définir à l'instant environ égal à 2 718 mai dans la suite du court en réalité on va n'utiliser que très rarement cette notation et on va la plupart du temps utiliser celle-ci qui nous permet d'utiliser plus intuitivement toutes les propriétés qu'on va rappeler maintenant sur les fonctions puissance alors voilà donc toutes nos propriétés pour la fonction exponentielle il ya des nouveautés qui sont importantes on va le voir et on retrouve dans la ligne petit c'est donc les propriétés que j'avais passé rapidement tout à l'heure avec exquis là sont donnés donc avec la nouvelle notation alors je commence par la première ligne rapidement parce que c'est assez simple e20 égal à 1 bien oui puisque expo 2 0 est égal à 1 forcément u20 égal 1 et là ça tombe bien parce que eux deux héros égal à 1 ça nous fait penser à quelque chose de plus anciens à puissance 0 égal à 1 pour une puissance n'importe quoi la puissance 0 nous donne toujours un bien ici on parle donc d'une fonction puissance de base eux à la place de hoarau mais eux bien la formule reste évidemment la mêm e 2-1 égale à e ça c'est ce qui définit la fonction exponentielle et kz2 un égal à eux donc e21 égalable ensuite deuxième ligne alors voilà quelque chose de terriblement important exponentielle 2x est strictement positif ça c'est quelque chose dont on n'a pas encore parlé on peut rappeler la courbe qui nous montre que la fonction exponentielle est strictement positive la courbe se trouve toujours au dessus de l'axé des abscisses on a une asymptote en moins l'infini l'asymptote est en dessous et après la fonction étant croissante on se trouve toujours au dessus de l'axé des abscisses donc exponentielle de x est une fonction strictement positive au niveau de la dérive et je passe rapidement la dérive est exponentielle c'est exponentiel on l'a déjà dit plusieurs fois puis on arrive donc sur la ligne c'est donc avec toutes ses propriétés qu'on a vu rapidement tout à l'heure et qui là nous font terriblement penser aux propriétés qu'on connaît déjà sur les fonctions puissance je rentre pas dans les détails mais si je regarde déjà la première e 2 x plus y égale à e 2 x x e de y c'est ce que j'ai appelé tout à l'heure la relation fonctionnelle elle est là présente et donc avec la notation sous forme de puissance on connaissait déjà par le passé à puissance x plus y égale appuis sont six à puissance y c'est exactement la même propriété et pour les autres c'est pareil avec eux puissance x - y c e de ligue sur u2 y etc je te laisse regarder ça de plus près et surtout je le répète faire des exercices qui utilisent ces formules c'est évidemment très important sur la dernière ligne je passe rapidement aussi puisque c'étaient les limites en moins l'infini on a dit que c'était zéro en plus l'infini c'est plus infinie puis arrivent les deux dernières propriétés qui sont fondamentales dans la résolution d'équations eddine équation où on trouve des exponentielle alors la première elle nous dit que eux deux à égal eu deux baies est équivalent à à égal à b donc si on à l'égalité sur l'ex potentiel alors on à l'égalité sur les exposants mais attention par exemple ceci est équivalent à x égal 2 y à la place de jamie xx à la place de ben et j'ai mis 2 y mais cet équivalent cela est vrai que si on a exponentielle à gauche et à droite si jamais là par exemple je mets un petit 2 alors là c'est fini je peux rien faire je suis coincé si la jemaye un +3 c'est pareil je suis coincé il faut vraiment avoir exponentielle de quelques choses égales exponentielle d'autres choses là on peut avoir l'équivalence et donc l'égalité sur les exposants mais faut que ça soit tout simplement écrit comme c'est écrit ici dans la formule est d'ailleurs c'était exactement la même chose au niveau des inéquation eux deux à inférieurs à eux deux baies c'est pareil que cet équivalent à à inférieur à b ça ça se justifie très simplement par la croissance de la fonction exponentielle ce qui fait que l'inégalité ne se retourne pas