Fonksiyonlar ve Özelliklerinin İncelenmesi

Selamlar güzel arkadaşım. 9. sınıf tayfam. Bu videoda sizinle birlikte fonksiyonları baştan sona full tekrar edeceğiz. Bu alışagelmiş full tekrarların dışında bir şey olacak. Adeta bir özel ders kıvamında olmasını istiyorum. Bomboş bir kağıttan başlayacağız. Bunu şöyle hayal edebilirsin. Hocam ertesi gün sınavım var. Fonksiyonlarla ilgili bana önemli noktaları bir hatırlatsan. Şöyle püf noktaları bir değinsek. Soru çıkabilecek noktaları bana şöyle bir tekrar ettirsen. Dedin. yanıma oturdum. Ben de dedim ki güzel kardeşim gel sen RM tayfasın değil mi? Beğendim videoyu. Yorumunu attın. O zaman RM tayfasın zaten. Otur yanıcıma. Sınavdan bir gece önce gel senle birlikte fonksiyonları şöyle bir full tekrar edelim. Tabii ki ben fonksiyonlara yaklaşık 15-20 video çektim. Kesinlikle onları izlemeden bu videoya geçmemeni öneririm. Onları izlemeni öneririm. Ama yine de hocam son gece yaptık bir hata. Onları izlemedik. Bunu izleyeceğim. Kabulümdür. En azından sana fonksiyonlarda her şeyi anlatacağım. Hocam ben onların hepsini izledim. Süpersin. Gel o zaman beraber şöyle hızlıca bir tekrar edelim. Cömber gelsin. Ne dedim? Dedim ki fonksiyonları hızlıca tekrar edeceğim. Sadece Mab'in kitabında bizden istediği noktaları vurgu yapacağım. Bak Mab'in kitabından hatırlarsın kontrol noktaları var. Kontrol noktalarından önce şöyle bir nereye anlatacağımı sana bir göstereyim. F real sayılardan real sayılara doğru. Fx eşittir. X şeklinde verilen fonksiyonla ilgili doğrusal. Referans fonksiyonu diyoruz biz buna. Bununla ilgili bir öğrencinin bilmesi gereken her şeyi anlat diyor. Bunu ilk nereden anlatacağım biliyor musun? Hemen şöyle bir soruymuş gibi anlatacağım. Soru dedim eşittir başlıyoruz. Fonksiyonlarda f real sayılardan real sayılara tanımlanış hangi fonksiyon var elimde? fx eşittir x fonksiyonu var. Hatta burada bir parantez açalım. Normal şartlarda enteresandır ki map burada fonksiyonun tanımına girmeden anlatmaya çalışıyor. sana birinci, sekizinci sınıfta birinci dereceden bir bilimmenli denklemlerden yola çıkarak artık o denklemlerde eşitliğin karşı tarafında y olduğunu düşünerek diyor ki biz bunu fonksiyon olarak anlatıyoruz. Aslında öyle değil. Bunun gerçek tanımı şöyledir. Bir tane tanım kümesi, bir tane görüntü kümesi. A ve B kümeleri. A'dan aldığım A ve B boştan farklı olacak tabii ki. A'dan aldığım her eleman B'de yalnız bir elemanla eşleşiyorsa bunu sağlayan bağıntıya ki bağıntıyı da bilmiyoruz. Tanı şeyde yok çünkü müfredatta yok. Etrafında dolaşıyoruz artık tanımın. A'dan B'ye bir fonksiyon denir. Şimdi gel. A'dan B'ye fonksiyon kısmıyla ilgili. Sen hiç oraları takılma. Mabin bizden müfredatta istediği kısım neresi? Real sayılardan real sayılara. Fx eşittir x'i tanımladık ya. Buradaki R benim tanım kümem olacak. Yani x'leri seçeceğim yer alacak. Buradaki R görüntü kümem olacak. Görüntülerini bulacağız böylelikle. O x'lerin görüntülerini bulacağız. Peki ne dedin hocam sen özünde? X'leri aldık, Y'lere götürdük. Görüntü kümesinde eşleştirdik. Hadi birkaç tane deneyelim bakalım. Bunun mantığı neymiş? Birlikte görmeye çalışalım. İlk olarak X eşittir 0 ile başladım. X'e 0 verirsem, F fonksiyonda her X gördüğüm yere 0 yazarsam, F0'ın cevabı 0. Aslında ne buldum biliyor musun? Y'nin cevabını buldum. Bu ifade aynı zamanda şöyle de gösterilir. Y eşittir Fx. Ardından buraya da... Ki biz şu kısmı fonksiyonun kuralı adını vereceğiz. Şeklinde yazılır. Aslında y'ler x'lere eşit. Ya da x artı 1'lere eşit. Ya da 2x artı 3'lere eşit. İlla kuralını yazacak olsam. Tamam mı? Şimdi x'in değerini arttıralım. x'e 1 versem ne olur hocam? x yerine 1 verince f'ye 1'in cevabı 1. y'nin cevabı 1 çıktı özünde. Aslında bak benim fonksiyonum hep sıralı ikilerden oluşuyor. x ve y sıralı ikillerinden. x'i 0'u seçtim. y'e 0 geldi. x'i 1 seçtim. y'e 1 geldi. Süper. x'e 2 seçersem fonksiyonumun değeri ne gelecektir? 2 gelecektir. Yani benim fonksiyonum 2'ye 2 noktasından geçecektir. E peki hep x'e pozitif değerler verdik. Bir de negatif verelim. f'de x gördüğüm yere eksi 1 yazarsam fonksiyonun değeri. y dediğim şey aynı zamanda fonksiyonun değeridir. Eksi 1 gelir dikkat et. Eksi 1'e eksi 1'den geçiyor. x yerine 2 yazarsam f eksi 2'nin değeri eksi 2. Yani y değerimiz eksi 2 oldu. Bu demek ki eksi 2. Eksi 2 noktasından geçiyor. Ardından da web şunu istiyor bizden. Arkadaş diyor. Gel biz bunu bir tabloya dökelim diyor. Bak çok basit bir şey. Burada gözünü korkutma kendi kendine. Bunu bir sayı doğrusu olarak düşün. Gerçekten de bir sayı doğrusu özünde. X'lerle ilgili değerleri buraya yazacağım. Fx'in sonuçlarını buraya yazacağım. Şimdi ben x'e 0 verdiğimde, 1 verdiğimde, 2 verdiğimde ya da eksi 1 verdiğimde, eksi 2 verdiğimde değerleri buldum. Onun haricinde... ki ben biliyorum bu sayı doğrusu bu tarafa doğru artı sonsuz. Bu tarafa doğru eksi sonsuzdur. Öyle değil mi? Şimdi x'e eksi 2 verdiğimde cevap ne çıktı? f fonksiyonunda eksi 2. x'e eksi 1 verdiğimde eksi 1. x'e 0 verdiğimde 0. x'e 1 verdiğimde 1. x'e 2 verdiğimde cevap ne geldi? 2 geldi. Aynı tabloyu aslında map çaktırmadan sana burada bir işaret tablosu oluşturmanı istiyor. Fonksiyonun diyor bana diyor sıfır gelen yerini bir gösterir misin? Bak x değerinin sıfır olduğu yer. Daha doğrusu fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer. Aa bu nasıl bir keçelidir hiç açmadı. Bir saniye sarıyla yapalım istersen. Üstünden öyle geçersek belki daha güzel gösterir. Hah şurası. Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer burası. Hangi x de geldi? X. eşittir sıfır dediğimde. O halde diyor gel buradan bir çizgi daha çekelim. Biz x'e sıfır verdiğimizde fonksiyonun değerine çıktı sıfır. O çizginin üstüne sıfırı yazalım diyor. Gerçekten böyle ilerliyor. Peki buradaki değerlere dikkat et diyor. Bu değerler nedir diyor. Hep pozitif. Demek ki sıfırdan büyük değerler verirsem pozitif. Sıfırdan küçük değerler verirsem ne gelir? Negatif değerler gelir diyor. Al sana fonksiyonun işaret tablosu. Bak çaktırmadan sana aslında Şuradaki bilgide neyi vermiş oldum? Fonksiyonun işaret tablosunu vermiş oldum. Aynı zamanda yukarıda da neyi vermiş oldum? Değer tablosunu vermiş oldum. Değer tablosundan veya işaret tablosundan yola çıkarak biz fonksiyonların grafiğini çizebiliriz. Şimdi artık fonksiyonun grafiği vakti ki özellikle ve özellikle map benden bunun grafiğini çok çok çok çok iyi bilmemi istiyor. Nedir peki bunun grafiği? Bak x eksenini çizdim. Y eksenini çizdim. Nerelerden geçmem gerekiyor hocam? Bak şurada yazıyor sıfıra sıfır noktasından. İşaretledim. 1'e 1 noktasından geçmem gerekiyor. İşaretledim. 2'ye 2 noktasından geçmem gerekiyor. Onu da işaretledim güzelce. Aynı şekilde eksi 1'e eksi 1 noktasından geçmemiz gerekiyor. Onu işaretledik. Eksi 2'ye eksi 2 noktasından geçmemiz gerekiyor. Onu işaretledik. Şimdi bu işaretlediğim noktalardan geçen doğruyu çizdiğimde. E hocam biz buraya bu doğruyu çizersek. Örneğin şurada 1 ile 2 arasında 1.5 değerinden de geçen değer var mıdır? Kesinlikle vardır. Bunu nereden anlıyorsun hocam? Bak x yerine bütün real sayılara yaz. Abi bizim ömrümüz yetmez onu yazmaya. Biz diyoruz ki gel birkaç tanesini yazalım. Bunları birleştirip doğruyu çekelim. Ne yaptık? Doğruyu çektik. Bitti. Elde ettiğim fonksiyon artık ki üstüne yazacaksın sınavda da. Bak şöyle fx eşittir. X'in grafiğidir abi. Bitti bu kadar. Hatta bazen şöyle de yazılır. Y eşittir ve X diye yazılır. Anlaştık mı burada? Var mı bir problem? Süper. Şimdi aynı fonksiyon için ya da öncesinde şöyle bir bilgi verelim. Bir fonksiyon için X eksenini şuraya koydum. X ekseninden öte şöyle de fonksiyonumun grafiğini çizin. Bak herhangi bir fonksiyon bu. Hangi fonksiyon olduğunu bilmiyorsun. Sadece Fx fonksiyonu olduğunu biliyorum. Bu Fx fonksiyonunun şurada X eksenini kestiği bir nokta vardır. Tamam mı? Bu... Bu x eksenini kestikten sonra eğer benim fonksiyonum x ekseninin üstünde bir bölgede yer alıyorsa fonksiyonum buradaki değerleri pozitiftir. Biz fonksiyonun değerlerini fx ile gösteririz. Dikkat et fx'in değerleri burada ne oldu? Sıfırdan büyük oldu. Eğer ki benim fonksiyonumun grafiği tıpkı şurada olduğu gibi x ekseninin altında devam ediyorsa benim fonksiyonumun değerleri hep negatif değerler alır. Ki biz bunu nasıl gösteriyoruz? Fx fonksiyonu yazamadım bir saniye. Yazacak inşallah. Fx fonksiyonunun değerleri burada sıfırdan küçüktür. Hocam tam şunun hizasında işte Fx'in değeri x eksenini kestiği yerde sıfırdır. Bunu nereden biliyorum? Bak burada da gösterdim. Gördün mü? Burada da fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer x eşittir sıfırdı. Bu hangi fonksiyon bilmiyorum. O yüzden nerede kestiğini de bilemeyeceğim. Bak biz ne yaptık? Fonksiyonu kestiği yere sıfır dedik. Fonksiyonu kestiği yere sıfır dedik. Şimdi kendi fonksiyonumuza geri dönelim. Bu fonksiyonun değerleri nerede x80'nin üstünde? x0'dan büyük olduğunda. Bizim fonksiyonumuz bu aralıkta nasıl değerler alır? Sıfırdan büyük değerler. Bizim fonksiyonumuz burada nasıl değerler alır? Sıfırdan küçük değerler alır. Tam şu noktada benim fonksiyonumun değeri nedir? Sıfırdır. Bak bir daha söylüyorum. Ağzımdan değer kelimesi çıkıyorsa aslında hep y'den bahsediyorumdur. Fx fonksiyonu yani özellikle bize vurguladığı f doğrusal referans fonksiyonu budur. Peki bunun haricinde benim neyi bilmem lazım? Fonksiyonun nitel özelliklerini bilmem lazım. Şunu şuradan bir kopyalayalım. Gel bakalım. Bu fonksiyonun nitel özelliklerini beraber yazmaya çalışacağız şimdi seninle birlikte. Yapıştır. Fonksiyonun tanım kümesi ama hangi tanım kümesi hocam? En geniş tanım kümesi. En geniş tanım kümesinden kastı nedir? Bu fonksiyonun grafiği en dipte x'te nereden başlıyor bana onu bul diyor. Tanım kümesi demek x'lere bak demek. Bak gel yanına parantezimizle yazalım. Bak burada x'leri benden istiyor demektir. Anlaştık mı? Tanım kümesi benden x'leri istiyor. Hocam benim grafiğimin bak karşısında x değeri x değeri x değeri var. Görüyor musun burada x değerleri var. Peki kaç burası? Bilmiyoruz. Aslında bu grafik nereye kadar gidiyor? Sonsuza kadar. O zaman x değerlerinde nereden başlıyorum? Eksi sonsuzdan başlıyorum. Peki nereye kadar gidiyorum? Bak grafikten x eksenine dikimeler atıyorum. Grafikten x eksenine dikimeler atıyorum. Grafik burada sonsuza kadar gitti. X değerlerinde de artık nereye kadar gittim? Dikkat et. Artı sonsuza kadar gittim. Dilersen şöyle yazabilir. Hocam ya bizim bu tanım kümesi yazalım. Tanım kümesi dediğimiz yer. Eksi sonsuzla artı sonsuz olabilir. Ama biz bunu böyle yazmıyoruz. Eksi sonsuzla artı sonsuz dediğimiz yer. Zaten bütün real sayılar değil midir? Aynen öyle. Benim fonksiyonumun en geniş tanım kümesi bütün real sayılar. Peki benim fonksiyonumun görüntü kümesini yazar mısın hocam? Yine görüntü kümesi dendiği an aklına tek bir şey gelecek. Sadece y'ler aklına gelecek. O zaman grafikte y eksenine bakıyorum. Bak grafikten y'ye dikimeler atıyorum. Nereden başladım? Eksi sonsuz en dipten. Ama hocam burası eksi sonsuz değil. Abicim bu sonsuza kadar gidiyor. Tamam mı? Grafinin ucu bucağı yok. Gidiyor. Hatta Bazı hocalar özellikle der ki bunun ucuna böyle ok yapmazsan onu ben kabul etmem. Aman diyeyim oku da yap tamam mı? İlla isteyen hocalarımız vardır. Şimdi şuradan dikmeler atıyorum, dikmeler atıyorum. Burası nereye kadar gidiyor? Artı sonsuza kadar gidiyor. O zaman görüntü kümesi bunun içinde yine ne yazılabilir? Hocam eksi sonsuza artı sonsuz aralığında yani kısaca bütün real sayılardır denebilir. Var mı buraya kadar itiraz? Yok. Peki. Fonksiyonun sıfırı demek. Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yerdir. Senden şunu istiyor. Fx'in ne zaman sıfıra eşit olduğunu soruyor. Bizim fonksiyonumuzda, fonksiyonumuza biz sıfırı nerede elde ettik bak. Şurada x'e sıfır verince elde ettik. O halde fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun sıfırı dediğim yer neresidir? Şöyle yazılır. x eşittir sıfırdır. Tamam mı? Fonksiyonumuzun sıfırı x eşittir sıfır. Ya da kısaca f sıfır eşittir sıfır yazabilirsin. Yukarıdaki birinci, pardon birinci diyorum. Referans fonksiyonuma özel. Fonksiyonun işareti. Aslında fonksiyonun işareti demek şuradaki işaret tablosudur. Yani fonksiyonun pozitif değer aldığı, fonksiyonun negatif değer aldığı. Ki, aa gerçekten sıfırın sağ tarafında benim fonksiyonum nasıl değerler aldı? Dikkat et pozitif. E biz de burada gerçekten pozitif değerler aldığını gösterdik. X eşittir sıfırda, fonksiyonun değeri sıfır. X eksenin altında kalan kısım neresi? Hocam, X'in negatif değerler aldığı yerlerde bak, şurası X'i sembolize ediyor. X'in negatif olduğu yerde şurası Y'yi sembolize ediyor. Y değerlerinin olduğu negatif. Gerçekten bak X80'nin altında kaldıysam oralar hep negatif değerler alır. Peki geldik. Fonksiyonun maksimum noktasına. Burada şöyle bir şey yapacağım. Bir tane ek bir sayfaya ihtiyacım var. Sayfa ekle diye bir şey olması lazım burada. Bir saniye şuradan mı ekliyorduk? Kafamız karıştı ya. Şuraya araya bir tane sayfa ekleyelim. Sonrasına bir tane sayfa ekle desek. Güzel. Yetmiyor abi. Bol bol anlatacağım sana. Sen hiç merak etme. Tamamını tekrar etmiş olacağız. Şöyle alttan devam ediyorum. Bu fonksiyonun nesini arıyorum? Şurada neredeydi o? Fonksiyonun maksimum noktasını arıyorum. Arkadaş bir fonksiyonun maksimum noktasını bulmak istiyorsan grafiğine bakman yeterlidir. Ki biz zaten hep grafikler üzerinden ilerleyeceğiz. Ezbere çizebilmeliyiz bu arada. Az önce çizdiğim fonksiyon grafiğini ezbere çizebilmelisin. Bak. Bu neymiş? Y eşittir. F X eşittir. X'in grafiği. Hatta bak burada ne yapıyor? Açı ortay yapıyor. 45 dereceye 45 derece bölüyor. Bu fonksiyonun maksimum değeri noktası demek X'te aldığı en büyük değer nerede? Bana onu sormaya çalışıyor. Yok ki hocam bu sonsuza kadar gidiyor. O halde bu fonksiyonun maksimum noktası yoktur yazacaksın. Anlaştık mı? Peki hocam bu fonksiyonun minimum noktası var mıdır? Bu fonksiyonun en dipte gittiği Gittiği yeri soruyor. Var mı öyle bir yer? Yok. O halde bu fonksiyonun minimum noktası da yine nedir? Yoktur. Ama olduğu durumlar var mı hocam? Vereceğim. Çok tatlı bir örnek vereceğim. Hiç acele etme. Şimdi geldim fonksiyonun bire birliğine. Bak fonksiyonun bire birlik. Bire birlik. Normal şartlarda fonksiyonun bire birliği dediğinde matematiksel olarak tanımı şöyle yapılıyor. F A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon ya. Her X1 ve X2... elemanıdır A için A kümesinin elemanının içerisinden iki tane X seçeceğim. Bu X1 ve X2'nin değeri birbirinden farklı ise Fx1'de Fx2'den ne olması gerekiyor? Farklı olması gerekiyor. Bunun kısaca anlamı şu. Fonksiyonda her farklı X için farklı bir Y değeri bulmalısın. Gerçekten. Senin burada aynı Y değerini bulduğun bir X değeri var mı? Mesela x'i eksi 1 ve eksi 2 verince x'i de eksi 1 çıkıyor mu? Ayrı öyle bir şey yok. Peki ben bunu nereden anlayacağım hocam? Grafik üzerinden anlayacağız. Ona da yatay doğru testi adını vereceğim. Birebirliği neyle kontrol edeceğiz? Yatay doğru testi. Yatay doğru testi. Şimdi bunu en güzel anlamanın yolu budur. Benim elimde fonksiyonun nesi var? Grafiği var. Bak yine grafiği çiziyorum buraya. Hiç erinmiyoruz bunları çizmekten. Y eşittir x'in grafiğiydi doğru mu bu aynı zamanda? Y eşittir fx eşittir x. Yatay doğrudan kastım. Bak grafiği y eksene dik olacak şekilde doğrularla kesiyorum. İstediğin yerden kesebilirsin. İstediğin kadar çizebilirsin. Hep... Kaç noktada kesiyorsun? Her seferinde bir noktada kesiyor. Noktada kesiyor. O halde birden fazla noktada kesmiyorsa bu fonksiyona ne diyeceğiz? Bire bir fonksiyondur diyeceğiz. Fonksiyondur diyeceğiz. Anlaştık mı? Gerçekten benim bu fonksiyonum bire bir bir fonksiyondur. Ne yaptım? Yatay doğrularımı gönderdim. Her seferinde ne yaptık? Tek bir noktada kestik. Tek bir noktada kestiysem benim fonksiyonum bire bir fonksiyondur. Bu bilgiyi de burada Birebirlik adı altında ben vermiş olayım sana. Başka ne istiyorsun? Artan veya azalan olduğu aralıkları bulun diyor. Grafiğe bakarak karar vereceğiz ona. Bak yine fonksiyonu yine hiç erinmiyorum. Her seferinde çiziyorum. Bunlar çünkü bizim için önemli. Fonksiyonumu getirdim buraya. Y eşittir fx. Çizdik. Hemen hemen hemen. Sen de benimle birlikte not alırsan süper olur. Fx eşittir x. Fonksiyonun grafiğini inceleyeceğiz. Bak fonksiyonun grafiği sürekli nereye gidiyor? Yukarıya doğru gidiyor. gidiyor gidiyor gidiyor. Hiç sapıyor mu? Ya da sapıtıyor mu? Sapıtmıyor değil mi? O zaman bu fonksiyona biz ne diyoruz biliyor musun? Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. Bu fonksiyon azalan bir fonksiyon değildir. Artan bir fonksiyondur. Niye? Çünkü benim grafiğim hep yukarı doğru gitti. Yukarı doğru gidiyorsa benim fonksiyonum artan bir fonksiyondur. Burayda da anlaştık mı güzel arkadaşım? Süpersin. Peki hocam bizim fonksiyonumuz ne zaman azalan olur? Onun örneğini birazdan vereceğim. Ama fonksiyonun artan ya da azalan olmasıyla ilgili artan azalan fonksiyonla ilgili bir de matematiksel bir veri vereyim ben sana. X1, X2 her X1 ve X2 yine A kümesinden alalım. Yani tanım kümesinden ya da belli bir aralıktan alalım. Aldığımız X1, X2 değerine karşılık yani X değerleri büyürken fonksiyonun değeri de büyüyorsa bu fonksiyona Artan fonksiyon denir. Bazı okullarda bu tanımlar da veriliyor arkadaşlar. Çok kıymetli tanımlar zaten. Matematikte olmazsa olmazlarımız. Misal bak ben x1 değerini buradan aldım. x2 değerini buradan aldım. Dikkat et. fx1 burada. fx2 burası oldu. Doğru mudur? Aslında bunlar y değerleri ama aynı şey. x1 x2'den gerçekten büyük mü büyük? Misal değer ver. Şuraya x2 şuraya x1 dersem. Burası x2 burası x1 çıkmaz mı? Evet gerçekten eksi 1 eksi 2'den küçük hocam. Ve fx1 fx2'den de gerçekten küçük çıktı. Niye? fx1'in cevabı ne? Eksi 2. fx2'nin cevabı ne? Gerçekten eksi 1 ve gerçekten daha küçük benim bu değerlerimden. Bitti. Bu fonksiyon kesinlikle nasıl bir fonksiyonmuş? Artan bir fonksiyonmuş. Şimdi hemen arkasından bence kesinlikle ve kesinlikle benim doğrusal referans fonksiyonumdan yola çıkarak Şu fonksiyonu vermeliyim ben sana. Hocam yine f fonksiyonu real sayılardan real sayıları tanımlı. Ve fx eşittir eksi x fonksiyonunun grafiğini çizer misin? Artık nasıl çizeceğimiz hakkında fikrimiz var. Diyoruz ki önce bir değer tablosu yapalım. Değer tablosu yaparsan çizemeyeceğin doğrusal fonksiyon grafiği yok arkadaş. Eksi sonsuz artı sonsuzu gösteriyor. X'e 0 verirsem fonksiyonun değeri 0 verdi. X'e 1 verirsem fonksiyonun değeri x'i 1 geldi. 2 verirsem fonksiyonun değeri eksi 2 geldi. X'e eksi 1 verirsem gerçekten X yerine eksi 1 koy bak. F eksi 1'in cevabı eksi eksi 1'den eksiler birbirine götürdü. Artı 1 geldi. F yerine eksi 2 ver cevap artı 2 geldi. E hocam o zaman ben bu fonksiyonun işaret tablosunu az önceki yukarıda yaptığım değer tablosuna bakarak yapamaz mıyım? Yaparım. Kimi arıyorduk hatırla. Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu hizayı arıyorduk. Fonksiyonun değeri değerinden kastım. Fx'dendir. Tamam mı? Y'lerdir. Y eşittir Fx. Y'lere bakıyorsun. Sıfıra sıfırda. Şimdi sıfıra sıfırda sıfır ya. X eşittir sıfır yaz buraya. Altına çubuk koy. Bak fonksiyonumun değeri burada sıfır. Peki fonksiyonum bu tarafta nasıl değerler aldı? Sıfırın sağında eksi. Sıfırın solunda nasıl değerler aldı? Artı. Ha bu fonksiyon bu tarafta artı. Bu tarafta negatif değerler alıyor. Bunun anlamı şu. Fx'in değerleri sıfırdan küçük. Bu aralıkta fx'in değerleri sıfırdan büyüktür demektir. Şimdi en kritik kritik noktaya geldik. İkinci açı ortay doğrusudur bu bizim çizeceğimiz. Ezbere bilmen de fayda vardır. Referans fonksiyonundan faydalanarak çiziyoruz aslında. Dikkat et. Noktaları birleştireceğim sadece. Hangi noktalardan geçtik hocam? Artı bire eksi bir noktasından geçtik. Bak bir nokta burada var. Artı ikiye eksi iki noktasından geçtik. Bir nokta burada var. Eksi bire artı bir noktasından geçtik. Buradan geçtik. Diğerini çizmeme gerek yok artık. Bence fonksiyon çok net bir şekilde. Zaten iki noktasını biliyorsan çizebilirsin. Artık benim çizdiğim fonksiyon y eşittir f x eşittir eksi x. Peki. Hemen fonksiyonun tanım kümesini yazalım bak buraya. Tanım kümesi. Nerede başlıyor? Eksi R sayılardan başlıyor. X'de. Tanım kümesi deyince X'lere bakıyorduk. Nereye kadar gidiyor? Artı sonsuza kadar. O zaman tanım kümesi bütün R sayılar. Görüntü kümesini bana söyler misin? Hocam görüntü kümesinde Y'lere bakıyorduk. Bak Y'lerin hizasında başlıyor. En aşağıda en yukarıya gidiyor. Kısaca bütün R sayılar. Fonksiyonun işaret tablosunu yapar mısın? Yaptım. Başka neyi soruyordu? Şuradan kontrol edeklerim. Fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı neresi? Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer. Yani x'e sıfır verdiğimde fonksiyonumun değerine geldi. Sıfır geldi. Süper. Başka ne istiyordu hocam? İşte fonksiyonun işareti yaptık. Fonksiyonun maksimum noktası. Bakalım. Hocam maksimum noktası neresi? Yok. En tepede bir yer görebiliyor musun? Yok. Minimum noktası var mıdır hocam bu fonksiyonun? O da yoktur. Olanlar gelecek birazdan. Tamam mı? Birazdan o tarz fonksiyonu da açacağım. Hiç merak etme. O da kıymetli bizim için çünkü. Geldik. Bire bir midir hocam bu fonksiyon? Nereden anlıyorduk bire birliğini? Yatay doğru testi. Bir noktada kestim. Bir noktada kestim. Bir noktada kestim. Bir noktada kestim. O zaman bu fonksiyon nedir? Bire bir fonksiyondur. Bire bir fonksiyondur. Anlaştık mı? Süperiz ya. Süperiz. Hocam bu fonksiyon artan mı azalan mı? Grafiğe bak abi. Grafik yalan söylemez. Grafik nereye doğru iniyor? Aşağı doğru. Aşağı iniyorsa zaten bir grafik. O zaman nedir bu fonksiyon? Azalan fonksiyon grafiğidir. Fonksiyonumun grafiği azalan olursa. Hani az önce tanımını yazdık ya. Her x1, x2 elemanıdır. Tanım kümesinin elemanı olmak üzere. Ve x1 değerleri. x1 değerleri ve x2 değerleri arasında. X'ler artarken. Fonksiyonun değeri tam tersine azalıyorsa. Biz o fonksiyona azalan fonksiyon diyoruz. Tanımını merak eden arkadaşlar için özellikle yazıyorum bunu. Hani bunu da görmen de fayda var diye buraya yazdım. Bitti mi işim? Bitmedi. O zaman ek sayfa. Bak şimdi biz önüne eksi geldiğinde fonksiyonun neye benzeyeceğini de çizmiş olduk. Doğru mudur? Bak benim fonksiyonumun önünde eksi varsa ne yaptım? Bir anda yön değiştirdi. Aslında yaptığım şey nedir biliyor musun? Önüne eksi koyduğunda dikkat et. Y değerlerinin hepsi işaret değiştirdi. Yani kısaca ben fonksiyonumda ne yapmış oldum? Y eksenine göre simetri aldım değil mi? Benim fonksiyonum az önce şöyle miydi? Y eşittir x'ti. Y eksenine göre simetri almak demek şuradaki parçayı buraya geçir. Buradaki parçayı buraya geçir demektir. Şimdilik dur bakalım. Geliyor yavaş yavaş anlatacağım ben size. 3 merak etmeyin. X eksenine göre simetri alırım. Oğlum yanlış söyledim. Y eşittir x'i çizdim. Y eşittir x'i x demek x eksenine göre simetri al demektir. Merhaba. x eksenine göre simetri aldım. Bu bu tarafa geçti. Bu arkadaş da yukarı çıktı. Neyse orayı kafana takma. Birazdan şey kısımlarını da söyleyeceğim. İlk söyledim yanlıştı ama düzelttik sonrasında. Hocam neyi bilmeliyiz? Bak şunların çizimlerini çok iyi bilmelisin. Soru benim fonksiyonum yine real sayılardan real sayılara tanımlı olsun. f x eşittir. 2 x'in çizimini bilmelisin. g x eşittir. 1 bölü 3 x'in çizimini bilmelisin. h x eşittir. eksi 3 x'in çizimini bilmelisin. Niye özellikle bunları vurguluyorum? Bunlarla ilgili özel bir not yazmak istiyorum sana. Şimdi benim fonksiyonlarım doğrusal referans fonksiyonum neydi? Burasıydı. Y eşittir x'den türetiliyor. Y eşittir m x dediğim yerde şuradaki m değeri bizim fonksiyonumuzun eğimidir. Anlaştık mı? Eğer benim fonksiyonum ne olabiliyordu? artan fonksiyon olabiliyordu. Ya da benim fonksiyonum nasıl fonksiyon olabiliyordu? Azalan fonksiyon oluyordu. Eğer benim fonksiyonum artan bir fonksiyonsa fonksiyonumuzun eğimi sıfırdan büyük çıkar. Eğer benim fonksiyonum azalan bir fonksiyonsa eğimi sıfırdan küçük çıkar. Ve her zaman doğrusal fonksiyonlar da şuna benzer. Eğer m değeri sıfırdan büyükse bak şöyle çizerim. Yani şurası dar açı olacak şekilde çizersin. Bu fonksiyonların hepsi dikkat et dar açı varsa. Aa hepsi artan hocam aynı zamanda. Eğer ben fonksiyonumu x80 ile geniş açı olacak şekilde çizersem. Bak burası gerçekten bir geniş açıdır. E geniş açı olacak şekilde çizersem bu fonksiyonum ne oldu? Dikkat et azalan bir fonksiyon oldu. Ve biz bunu nereden anlıyoruz? Önündeki kat sayıya bakarak. Buraya kadar problem yok herhalde. Çok hızlı bir şekilde. Artık bunun çizimini neyden faydalanıp çizebilirim? Doğrusal referans fonksiyonundan faydalanıp çizebilirim. Önce doğrusal referans fonksiyonumu çiziyorum. Doğrusal referans fonksiyonu neydi? Y eşittir. F, X o da eşittir. Aslında biz görmesek de burada X'in önünde hangi kat sayı var? 1 var. Eğer önündeki kat sayı artarsa benim fonksiyonum daha dik bir pozisyona geçer. Bu hale döner örneğin. Y eşittir. F, X eşittir. 2x. Neden? Eğimim arttı. Artık fonksiyonum daha hızlı büyüyecek. Daha hızlı büyüyebilmesi için daha dik pozisyona geçiyor. Anlaştık mı? Eğer ki eğer ki benim fonksiyonumun grafiği 1 bölü 3'e sahipsin önünde. Y eşittir fx'i çizdik ya. Evet hocam benim grafiğim bundan daha yatay pozisyonda olacak. Hee hiç uzun uzun çizmemize gerek yok. Y eşittir. Şuna F, buna ne dedik? G fonksiyonu dedik. Gx eşittir. 1 bölü 3x. Süperiz. Hani az önce bir fonksiyondan daha bahsetmiştim ben sana. Demiştim ki bir tane daha ikinci açı ortay fonksiyonu olarak da adı geçiyor. Y eşittir. Mx diyelim ona da eşittir. Eksi x bu değil mi? Eksi x de eğer önündeki kaç sayı daha da küçük bir sayısa hem negatif hem daha küçükse nereden geçmek zorunda abi? Bak yine o da diçeliyor. Daha çabuk negatif değerler alıyor. Daha küçük değerler alıyor. Haliyle o da daha dik bir pozisyona geçiyor. Onun da değeri eşittir. H eşittir. X eşittir. Eksi 3. X şeklinde yazılır. Çizilir. Anlaştık mı? E hocam ben bir tane daha fonksiyon istiyorum. Seni mi kıracağım ya? Kx fonksiyonu eşittir. Eksi 1 bölü 2x fonksiyonu. O halde o fonksiyon da ne yapacaktır? Biraz daha yatay ama negatif tarafta olacaktır. Bunların çizimlerini bilmekte çok fayda var. Ama kaba taslak çiziyorum ben. Çizsem de kesinlikle ama kesinlikle buna benzeyecek zaten. Bundan yana kurtuluşu da yok. Valla baya renkli bir pozisyon yaptık buraya ama. En azından bütün yanında hiç artı eksi olmadan herhangi bir doğrusal fonksiyonunda doğrusal referans fonksiyonundan faydalanıp nasıl bulunabildiğini anlattım. Hızlıca bak bu fonksiyonu artandır, bu fonksiyonu artandır, bu fonksiyonu artandır. Fakat bu fonksiyonu azalandır, Hepsinin de maksimum minimum noktaları yoktur. Hiçbirinin yok. Hocam hiç olan olmuyor mu ya? Hiç olan olmaz mı hocam? Olur. Ben sana hemen onun da bir örneğini vereyim. Bak hepsini tekrar ediyorum. Yine f eşittir bu sefer eksi 2'den 3'e doğru. Real sayılara doğru fx eşittir. X fonksiyonunun grafiğini çizelim beraber. Hocam ne var bununla çizeriz ya. Az önce öğrendik. Hemen neye bakıyorduk? Değer tablosuna bakıyorduk değil mi? Değer tablosundan faydalanıp çizmek çok kolaydı çünkü. Yine eksi mi yazdım, yine f eksi mi yazdım. Dikkat et. Bu sefer artı sonsuz, eksi sonsuz yok. Eksi 2 ile eksi 3 arası. Kapalı aralık. Eksi 2, eksi 1, 0, 1, 2, 3. Aralık çok büyükse, mesela burada çok sayı varsa araya nokta nokta. Ama bir de son sayıyı yazman da fayda var. Anlaştık mı? Son sayıyı kesinlikle görmelisin. Eksi 2 verdim de cevap eksi 2. Eksi 1 verdim de eksi 1. 0 verdim de 0. 1 verdim de 1. 2 verdim de 2. 3 verdim de 3. Şimdi geldim grafiğini çizmeye. İşte öttüreceğimiz yer geldi arkadaş. Benim fonksiyonumun önce uç noktalarını çizmemde fayda var. Neymiş uç noktalarımız hocam? Eksi 2'ye ki eksi 2 burası olsun. Cevabımız da yine ne geldi? Eksi 2 geldi. Eksi 2'ye eksi 2 noktası burası. Diğer uç noktamız neresi hocam? 3'e 3 noktası. 3'e 3 noktasında çizdiğimde elde ettiğim nokta burası mıdır? Artık fonksiyonumun grafiğini çizebilir miyim? Tamamını çizmeyeceksin. Bitiş noktanla başlangıç noktanı belirle. Aradaki noktalar zaten tutacaktır. Kurtuluş yok. Örneğin eksi bire cevap nereye geldi? Eksi bir geldi. Artı bire cevap nereye geldi? Artı bire geldi. Sıfıra sıfır tam göbek zaten. İkiye iki cevabına geldi. Buraya geldi. Benim fonksiyonum normal şartlarda doğrusal referans fonksiyonunu çizseydim. Bak bu fonksiyonun grafiği şuradan devam etmesi gerekiyor. Hadi onu farklı renkle çizelim ve karışmasın. Doğrusal referans fonksiyonun buradan sonsuza kadar devam etmesi lazım. Ama yetmiyor. O halde benim fonksiyonumun artık tanım kümesi değişti. Tanım kümesi nerede başladı hocam? Kimlere bakıyorduk? Grafikte x'in hizası. Eksi 2'de başladık. Nerede bittik? 3'ün hizasında grafik bitti hocam. Haa. Eksi 2'den 3'e kadar. Peki gel. Görüntü kümesini yazalım beraber. Görüntü kümesi ne oldu? Y'lerin hizasına bakıyoruz. En dipte eksi 2, en tepede artı 3. Aha da bu fonksiyonun da görüntü kümesi de aynı şekilde eksi 2'ye 3 oldu mu oldu. Devam. Başka ne soruyorduk biz? Görüntü kümesi. Fonksiyonun sıfırı. Hocam fonksiyonun sıfırında bir değişiklik olmadı. Bu fonksiyonun sıfırı kesinlikle fx eşittir. Sıfır olduğu yer x'in sıfır olduğu yerdir dedin. Noktayı koydum burada. Fonksiyonun işaret tablosunda da bir değişiklik olmadı. Bak x yazdım fx yazdım. x'in eşittir sıfır olduğu yer neresidir? Fonksiyon bu tarafta pozitif. Bak gerçekten bu tarafta fx'in değerleri pozitif. Nereden anladım? Grafik x ekseninin üstünde. Bu çok kıymetli. Grafiğin x ekseninin altında olduğu yer neresi? Burası bak. Fx burada sıfırdan küçük. Grafiğim orada sıfırdan küçüktür dedim. Fonksiyon artan mı yoksa azalan bir fonksiyon mu? Sınırlamam fonksiyonu mu? Artanlığını azalanlığını etkilemedi. Bu fonksiyon hala ne yapıyor? Cayır cayır yukarı çıkıyor. Yani artan bir fonksiyondur. Peki başka maksimum noktasını bulmadık. Bu fonksiyonun hocam maksimum noktası. noktası neresidir fonksiyonun maksimum noktası demek fonksiyonun en büyük değerini aldığı yerdir buranın koordinatı kaç 3e 3 noktası o halde geldim bu fonksiyonun maksimum noktası 3e 3 noktası şöyle yazsaydı maksimum değeri deseydi bak değer kelimesi hep bana kimi anlatacak y y değer neymiş maksimum değeri sadece 3 yazacaktı Peki hocam benim fonksiyonumun minimum noktası neresidir dediğinde en dipteki yer, en dipteki koordinat dikkat et. Bu koordinat kaç? Eksi 2 eksi 2 noktası. O halde eksi 2 eksi 2 noktası. Bu fonksiyonumun minimum değeri deseydi kime bakacaktım? Y değerine. O da nedir? Eksi 2'dir güzel arkadaşım. İşte bizim en azından ilk olarak bilmemiz gereken fonksiyon türleri bunlar. Bunları canavar gibi öğrendiğimizi varsayıyorum. Şimdi yolumuza devam ediyorum. Hangi tip fonksiyonlarla? a çarpı f x eksi artı r artı k şeklindeki yine doğrusal referans fonksiyonundan türeterek ilerlediğimiz fonksiyon türlerine bakacağız. Diyeceksin ki hocam bunun bizim fonksiyonla ne alakası var? Ne alakası var göstereyim ben sana. Şimdi sorumuz şu. Aslında biz o fonksiyona nereden ulaşıyoruz biliyor musun? Yine ben fonksiyonumu real sayılardan real sayılara tanımlayayım. fx fonksiyonumu eşittir. x'i biliyorsun. Arkadaş ben burada x gördüğüm yere bundan sonra canım sıkıldı dedim ki ben x artı 3 yazacağım. Anlaştık mı? Peki x artı 3 yazınca yeni bir fonksiyon elde edelim. gx fonksiyonu olsun adı. x gördüğümüz yere ne yazalım dedik? x artı 3 yazalım dedik. Aslında benim yaptığım işlem fx eşittir x kısmı neydi? Benim fx fonksiyonuma aslında kaç eklemiş olduk hocam? 3 eklemiş olduk. Beklemiş olduk. Güzel. Önce bunun grafiğini çizelim. Sonra mantığını anlatacağım. Ötelemelerden bahsedeceğim. Hiç panik yapma. Önce bana verilen x artı 3 şeklindeki bir fonksunun grafiği nasıl çizilir? Arkadaş hemen işaret tablosu yapacaksın. Tabii ki değer tablosu özür dilerim. Bu değer tablosunun üzerinde x'e f'i gösterdim. Sınırlarımızı eksi sonsuz artı sonsuzu gösterdim. İlk olarak neyi bulmaya çalışıyorum? Bunun cevabını sıfıra götüren değeri. İşimi inanılmaz kolaylaştırıyor. Bak x artı 3'ün cevabı 0 olabilmesi için x'e kaç vermeliyim? x'e 3. O zaman diyorum ki x'e x'e 3 verirsem fonksiyonumun değerine çıktı 0. Hadi biraz arttırayım. x'e x'e 2 verirsem g fonksiyonunda x'e x'e 2 verirsem x'e 2 artı 3'ten cevap ne oldu? A 1 oldu hocam. x'e x'e 1 verirsem g fonksiyonunda x'e 1 verince x'e 1 artı 3'ten cevap ne geldi? 2 geldi. A 2 oldu. Peki 1 x'e 4. bir de eksi 5 verelim. Ben yine g fonksiyonunda eksi 4 verirsem eksi 4 artı 3'ten cevap ne geldi? Eksi 1 geldi. Yine g fonksiyonunda x yerine eksi 5 verirsem eksi 5 artı 3'ten cevap ne geldi? Eksi 2 geldi. Buraya kadar bir problem var mı? Yok. Bizim için en kıymetli yerlerden biri neresiydi? Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yerlerden biriydi. Burayı unutmuyorduk. Artık fonksiyonumun grafiğini çizebilirim dedim. Gel bakalım fonksiyonumuzun grafiğini çizelim beraber. Hiç bir panik yok. Emin ol bu sınavdan güzel işler yapacaksın. Ya da fonksiyonlar aslında bu kadar. Baya baya çözüyoruz artık bak seninle. Nereden başlıyorum? Eksi 3'e 0 noktası. Eksi 3 burası. Eksi 3'e 0 burası hocam. Eksi 2'ye 1 noktası. Eğer ben... Şurayı eksi 2 alırsam. Şurası da eksi 1 olursa. Şu noktadan geçeceğiz. Doğru mu? Eksi 1'e 2 noktası. Eğer ben burayı eksi 1 alırsam. Şurası ne olacak? 2'ye tekabül edecek. Şöyle gösterdim. Burası da 2 noktası. Diğer noktaları da çizebilirim ama. Hadi neyse çizeyim bir tane de. Eksi 4'e nereden geçeceğiz hocam? Eksi 1'den geçeceğiz. Eksi 1 dediğimiz yerde bak burası. Şuradan geçtik. Ardından artık bu noktaları birleştirebilirim ki. İki tanesini bile çizmem yeterliydi. Benim bu elde ettiğim fonksiyon nedir? Her seferinde y eşittir diye başlayabilirsin. g, x o da eşittir neymiş? x artı 3'ün grafiğiymiş. Şimdi hızlıca yorum yaptırayım sana. x'in önündeki kaç sayı kaç? 1, pozitif. O zaman bu fonksiyon kesinlikle artan fonksiyondur der miyiz? Deriz, artan fonksiyon. Peki gel, hemen fonksiyonun işaret tablosunu yapacak olsam. x'e fx. Fonksiyonun değeri nerede sıfır oldu? Eksi 3'te. O zaman x eşittir. eksi 3'ün hizasında fonksiyonumun değeri 0. Fonksiyonum bak tam burada. Tam şunun hizasında bir dakika başka kalem alalım. Tam şunun hizasında 0 çıktı. X ekseninin nerede? Üstündeyim artık. Nerede? Eksi 3'ün sağ tarafında. Yani fonksiyonum burada 0'dan büyük değerler alıyor. Gerçekten Allah aşkına grafiğe bir bakar mısın ya? Grafik bak. X ekseninin üstünde. E burada nerede hocam? X ekseninin altında gördün mü? E x ekseninin altındaysa şu bölgede oraya ne diyeceğiz? Ve x 0'dan küçük. Hocam bak burada sıfırdan büyük artı. Burada sıfırdan küçük. Bu fonksiyonun değeri kesinlikle eksilir. Bitti bu kadar. Ya artanlığı, azalanlığı daha grafiği çizmeden karar verebiliyorsun. X'in önündeki kat sayıya bakıp sen daha ne diyorsun? Hocam tanım kümesini yazdırsan. E çok kolay deminden beri yazıyoruz. Bak görüntü kümesi, tanım kümesi, en geniş tanım. Hocam real sayılar. Görüntü kümesini yazdırır mısın? Sınır yok abi real sayılar. Fonksiyonun sıfırını yazdırır mısın? Aha bak referans fonksiyonundan farklı buradaki. Nerede kestik? Eksi 3'te. Bak f eksi 3'ün cevabı 0 olduğundan x eşittir. Eksi 3 benim fonksiyonumun 0'ıdır. Fonksiyonumun 0'ını bir de nerede kullanıyorum dikkat et. İşaret tablosunda 0'ı gösterirken kullanıyoruz. Burası da önemli. Dilimde tüy bitti valla var ya. Yoruldum biraz ama devam. Maksimum noktayı sorduğunda. Hocam maksimum noktası yok ki bir tepe değeri yok. Minimum noktasını sorduğunda. En dip noktası yok. İndikçe iniyor. İndikçe iniyor. Hocam bu fonksiyon bire bir bir fonksiyon mudur? Evet yatay doğru testi uyguladığımda her seferinde sadece tek noktada kestiğim için bu fonksiyon bire birdir diyeceksin. Fonksiyonun artan azalan olduğu aralığı söyledik daha doğrusu her zaman nedir bu fonksiyon? Artan bir fonksiyon bu arada her zaman artan olmayan fonksiyonlar da var onu da sana söylemiş olayım. Şimdi bir tane daha fonksiyon çizeceğiz arkadaş ondan sonra mevzuyu başka bir yere bağlamaya çalışacağım. Ötelemelere bağlamaya çalışacağım. ötelemelerden de bahsetmeden bu dersleri bitirmek istemiyorum. Ki daha mutlak değerli fonksiyonlar var. Onları da anlatacağım. Hepsini bu derste bitireceğiz. Bakayım kaç dakika oldu. Ay maşallah. Anlat hoca anlat. Anlat hoca anlat. Valla çok seviyorum ben anlatmayı. İnşallah sen de anlayabiliyorsundur. Ne mutlu bana o zaman. Şimdi yine biz bir f fonksiyonu alalım. Real sayılardan real sayılara doğru. Bu sefer f fonksiyonunun kuralı şu olsun. f x eşittir eksi 2 x artı 6 olsun. Bunun grafiğini çizmek istiyorum abi. Ne dedim? Dedim ki önce bunu sıfır yapan değeri bulursan işin çok kolay olur. Hemen bunu yap. Sınav anında Mehmet Hoca dedi dersin tamam mı? Eksi 2x eşittir eksi 6'dan. X'se ne vermeliyim? 3. Ondan sonra ne yapacağız dedik? İşare pardon değer tablosu. Değer tablosunu yaparsan grafiği çizmen kolaylaşır. X dedim. Fx dedim. Şurası eksi sonsuz. Burası artı sonsuz. Sıfırlayan değer neymiş? Eksi 3 bak. Eksi 3'ü nereye yazıyorum? Şuraya yazdım. Birazcık sıhh. Az önce de eksi 3 gelmişti be. Farklı bir şey gelsin mi? Kafadan yazıyoruz şimdi soruları şey olmasın. 4 verelim. 4 verelim. Bak şuraya 4 verelim. Artı 4 dedim. Eksi 4 olarak geçti. X eşittir 2 çıktı. Hani farklı gelsin diye uğraşıyorum deminkinden. X eşittir. Artı 2 geldi ama değil mi? Artı 2 geldi. E zemininki eksi 3'tü bu artı 3'tü aslında. Neyse be böyle gelsin. Artı 2 geldi. Hocam bir tane. Artı 2 verince fonksiyonun değeri ne oldu? Sıfır oldu. İstersen dene bak. X yerine 2 yazınca eksi 2 çarpı 2 artı 4'ten cevap sıfır. Şimdi bir tane arttırdım. 3 verdim. Eksi 2 çarpı 3 artı 4'ten. Eksi 6 artı 4 tane oldu. Cevap eksi 2 geldi. Bir tane de soluna verelim. Hiç fark etmez. Az verdin hocam. Azmaz değil o bize. Yeter. Azmaz demeyeceksin. İdare edeceksin arkadaş. Tamam mı? X yerine ne verdim? 1 verdim. Cevabım ne geldi? 2 geldi. Şimdi gel bakalım. Fonksiyonun grafiği için iki tane bile noktam olsa yetiyordu. Ben de fazladan noktalar var. Fazla mal göz çıkarmaz dedim. Oturdum çizmeye başladım. Şöyle grafiklerimin yerlerini belirledim. Yalnız şunları biraz şöyle sola doğru kaydıracağım. Daha çünkü işlemler yapacağız. Şimdi 2'ye 0 noktasından geçiyor. 1 noktası burası olsun. 2 noktası burası. Tam yani bu yuvarlaktan geçecek. 3'e eksi 2 noktasından geçecek. 3 burası. Eksi 1. Eksi 2 burası olsun arkadaş. Eksi 2 noktasından geçecek. Doğru mu? Tamamdır. 1'e 2 noktasından geçecek. 1 noktası burası. Direkt 2'ye mi gitti o ya? Bakayım. Eksi 1 2'ye gitti. Tamam yanlışlık yokmuş. Şurada nereden geçiyormuşum? 2 noktasından geçiyormuşum fonksiyonumla. Peki artık grafiği çizebilirim. İşte çizdiğim bu fonksiyonun grafiği nedir? Y eşittir. F X eşittir. Eksi 2 X artı 4 fonksiyonun grafiğidir. Ve bu fonksiyon hemen söyle. Artan mı azalan mı? Tabii ki azalan. Yani buna başka bir şey dersen vallahi ayıp edersin. Grafiğe baksana abi. Bağıra bağıra aşağı iniyor. Oraya bakmama gerek yok hocam. Burası eksi ise azalandır. Bitti. Bitti abi. Hemen gel bir de işaret tablosu yapalım meselenin. İşaret tablosunu yaparken nereye bakıyorduk aslında? Fonksiyonun x80'ini kestiği yer. Ya da bak sıfıra 2 noktası değil mi? x eşittir 2 de fonksiyonun değeri sıfır. Peki bunun sağında her zaman farklı şeyler gelebiliyor bak mesela. Bunun sağında x80'nin altında kalmışım. Demek ki benim fonksiyonum negatif değerler aldı. Gerçekten bak sağında negatif, solunda pozitif değer alıyor. Gerçekten öyle mi hocam? Göster bize bilelim. Gerçekten bak fonksiyonumun grafiği x80'nin üstünde. Sol tarafta x eşittir. 2'nin solunda x eşittir. 2'nin solunda ki solu bu taraf. x80'nin üstündeysem fonksiyonumun değerleri pozitiftir. Geldim o pozitif değerleri de burada da gösterdim. İşaret tablosu da yine bizim için önemli. Başka ne istiyoruz hocam? Bir fonksiyonda. İşte fonksiyonun tanım kümesi. Real sayılar. Fonksiyonun görüntü kümesi. Real sayılar. Herhangi bir sınır koymadım. İçimde sıkıntı yok. Özellikle bu tanım görüntü kümelerini biz şeyde isteyeceğiz. Mutlak değerli fonksiyonlarda. Onu da hemen burada anlatacağım birazdan. Bunu da bitirdik. Hocam başka ne verebilirsin bana? Ne vereyim abime? Ne vereyim abime? İşte tanım kümesi dedik. Maksimum noktası. Maksimum noktası yoktur. Çünkü en tepeye çıkıyor. Minimum noktası. Efendime söyleyeyim. o da yoktur. Başka? Hocam fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı neresidir? F2 eşittir sıfır yani x eşittir 2 bizim fonksiyonumuzun sıfırıdır. Fonksiyonun azalan olduğunu söyledik. Fonksiyonun işaret tablosunu yaptık. Bu fonksiyon da yine diğerleri gibi nedir? Birebir fonksiyondur diyebiliriz. Nereden diyebiliriz? Hocam bak yatay doğru test yapıyorum. Her seferinde kaç noktada kesiyorum? 1. Ne zamanki 2 noktada kestin ya da 3 ya da daha fazla küt. Eliyorsun abiler. Nereye geliyorsun bu diyorsun birebir fonksiyon değiller diyorsun. Anlaştık mı? Artık bunun da çizimini öğrendik mi? O zaman genel bir yorum yapmaya yavaştan başlayayım ben sana. Eğer sana fx fonksiyonunu verir, fx fonksiyonum yani herhangi bir fonksiyon olsun hiç fark etmez. Bu fx fonksiyonumda fonksiyonumun dışına bir sayı eklersem, örneğin a sayısını eklersem, bunun anlamı şudur. Y ekseninde, y ekseninde... evet fonksiyonun dışına bir değer eklenirse y ekseninde a birim yukarı çıkar demektir. Tabi ki a sıfırdan büyükse. Tamam mı? a sıfırdan büyükken. Peki hocam ben aynı şekilde fx fonksiyonunda fx eksi a yazarsam yine y ekseninde a birim aşağı indir demektir grafiği. İlk grafiğine göre a birim aşağı indireceksin. Peki e Ben fonksiyonumun içine bir şey ekler ya da çıkarırsam. Bak fx-1 yaparsam ne olur? Pardon. Eksi 1 demeyelim. x-a yaparsam ne olur? Bu arada a'yı burada sıfırdan küçük kabul etmedim. a'yı burada da sıfırdan büyük kabul ettim. Çünkü çıkarıyorum. Tamam mı? Ya burada sayı vereyim. Ben senin kafanı karıştırmayayım. Ki böylelikle daha iyi anlarsın. Mesela x-3 yazdım. Bu sefer artık x ekseninde işlem yapacağız. İçine bir şey yapıyorsan x ekseninde dışına bir şey ekleyip çıkarıyorsan y ekseninde. Burada da ters yapıyorsun. Eksi 3 dediğinde 3 birim sağ. Normal şartlarda sağ gittiğinde değerler artar. Burada eksi 3'te artıyormuş gibi davranıyorsun. Aynı şekilde fx fx artı 2'nin grafiğini sorarsam ben sana. X ekseninde ilk duruma göre 2 birim sola kaydırıyorsun. Bütün olay mevzu bu. Misal benim elimde y eşittir fx fonksiyonu o da eşittir x fonksiyonu var. Ben bu fonksiyonun ki adına fx dedim ya bana kardeşim fx artı 3'ü çiz desem artık çok hızlı bir şekilde çizebiliyorsun. Dersin ki hocam 3 birim nereye kaydıracağım? Yukarı doğru kaydıracağım. Bu fonksiyonu buradaydı x eksenini kestiği yer burasıydı. 3 birim yukarı kaydırdım. Fonksiyonumun yeri ne oldu bak. Diğerine paralel çizmek zorundayım doğrusal olduğu için buradan geçti. Eee artık eksi 3'e 3'ten geçecektir benim fonksiyonum. Fonksiyonu uzun uzun çizmekle uğraşmıyoruz. Anında çizimi yapabiliyoruz bu ötelemeler sayesinde. Tabi ötelemeler üzerinde çok fazla durmuyorum hep burada. Ben gerekli olan tüm bilgileri bunlarla ilgili verdim. Artık mutlak değer fonksiyonunun grafiğine geçebiliriz. Mutlak değer fonksiyonunun grafiği. İşte burası gerçekten önemli. Garanti sorulardan beklediğimiz yerlerden biri burası. Çünkü burada özellikle tanım görüntü kümelerini sormak çok daha güzel oluyor. Ben şunu istiyorum. x eşittir mutlak. X'in grafiğini bana çizer misin? Tanım kümesini alayını bulacağız beraber. Nasıl çizeceğiz? Önce mutlak yokmuş gibi yapıyorsun. Bak birinci adım. Adım adım beraber ilerleyelim. Mutlak değer yokmuş gibi çiz. Mutlak değer yokmuş gibi çiz. Yokmuş gibi. Çiz. Peki bu ne demek hocam? Biz mutlak değer yoksa eğer bu fonksiyona y eşittir f x eşittir x deriz. Öyle değil mi? Peki bunu çizmeye biliyor muyuz? Diyelim ki bilmesek ne yaparsın dersin ki Hocam ben hemen bunun Değer tablosunu yaparım. X yerine 0 verince cevap 0. X yerine cevap verince cevap 1. X yerine 2 verince cevap 2. X yerine x'i 1 verince cevap x'i 1. Noktaların sayısını arttırabilirsin. Ardından fonksiyonun grafiğini çizeriz. Bak inanılmaz güzel bir taktik. X'e y'yi elde ettik mi? Eldettik. Çizeceğim fonksiyonun grafiği nedir? Budur. Y eşittir. X'in grafiği biraz bozuk ha. Y eşittir. F, X eşittir. X ama ben mutlaklısını istiyorum dediğin an. Şu X80'nin altında kalan kısmı yukarıya doğru simetri alıyorsun. Aynı şekilde almak zorundasın ama. Bak yukarıya doğru simetri aldım. Hocam üstteki yeri ne yapıyoruz? Üstteki yere hiç dokunmuyorsun. Orası aynen kalacak. Alttaki yeri de sonra sil karışmasın. Artık neyin grafiğini çizmiş oldum ben? Y eşittir. F, X. eşittir mutlak. X'in grafiğini çizdim. Mutlak dediği an X80'nin altında kalan kısmı yukarıya taşıyacağız. Eğer parça bu taraftaysa bu tarafa taşıyacağım. Parça bu taraftaysa bu tarafa doğru taşıyacağım mantıkken zaten. Şimdi geldim. Bunun için önemli noktalara. İlk olarak neyine bakacağız? En geniş tanım kümesine bakacağız beraber. Yazalım bakalım. Beyaz kalemimi aldım yine. Tanım kümesi eşittir abi. Tanım kümesi X80'in de taradığım bölgedir. Bak X'e nereden başlıyorum? Eksi sonsuzdan değerler vererek X eksenine grafikle birlikte ilerletimde Nereye kadar gittim? Artı sonsuza. Biz onu neyle gösterdik hep? Real sayılarla gösterdik. Geldim görüntü kümesine. Görüntü kümesi Y ekseninde nereden başladı? Bak sıfır burası abim sıfır. Sıfırın hizasından başladım. Nereye doğru gittim? Bak Y ekseninde grafiğin üstünde kalan bölgeye bak bak bak. Nereye gittim? Artı sonsuza kadar gittim. O halde bunun tanım kümesi Sıfır kapalı aralığından Artı sonsuz açık aralığıdır. Bak diğer sorulardan farklı o yüzden önemli. Peki bu fonksiyonun sıfırı neresidir? Sıfırı demek x eksenini geçtiği yer demektir. F sıfırı eşittir. Sıfır çıktığı için x eşittir. Sıfır benim fonksiyonumun sıfırıdır. Fonksiyonun işaret tablosunu yapar mısın? Yaparız. Canına bile okuruz. Gel. X'i yazdım. F x eşittir. Bak buraya da mutlaka x yazacağız. X'e sıfır verdiğimde fonksiyonun cevabının sıfır olduğu yer burası mı? Evet. Fonksiyon sıfırın sağ tarafında pozitif mi? Pozitif. Sol tarafında a orada da pozitif hocam. Yani fonksiyon dikkat et hep x ekseninin üstünde mi kalıyor? Hep üstünde kalıyor. Süper. Bak neleri çözüyoruz neleri. Peki fonksiyonun artan azalan olduğu aralıkları inceleyeceğiz. Dikkat et fonksiyon buradaki aralıkta nedir? A azalan davranıyor hocam fonksiyonum burada. Peki buradaki aralıkta fonksiyonumun grafiği nereye doğru gidiyor? Artan gidiyor hocam. Ya inanılmaz bir bilgi bu. Neden? Eksi sonsuzdan geliyorum x'in hizasında. Sıfıra kadar ne yaptım? Azalan davrandım. Peki sıfırın hizasından başladım. Nereye kadar? Artı sonsuzun hizasına kadar da artan davrandım. Lütfen şunları kapalı yapmayı unutma. Ezbere de yapma yalnız. Maksimum minimum noktalarını yazalım şimdi. Çok güzel çözüyoruz yahu. Çok güzel çözüyoruz yahu. Ben inanılmaz lezzet aldım şu an bu dersen ya. İnşallah senin için de öyledir. Maksimum nokta. Ya abi sen fonksiyonun maksimum noktasını görebiliyor musun? Ben göremiyorum açıkçası. Yoktur. Ama gel gelelim ezbere yapan adam buna da yoktur derse patlar işte. Minimum nokta. Belli. Daha aşağıya iniyor musun y ekseninde? İnmiyorsun. Hangi nokta orası? Sıfıra sıfır noktası. Sıfıra sıfır noktası. Şöyle sorsaydı minimum değeri deseydi sıfırdaki yani. Bu sıfıra sıfır noktası yani minimum noktasında yazdığın y değerini yazıyorsun. O y değeri kaç? Sıfır. Hocam minimum değeri de sıfır. Bire bir mi? Bire. Bir mi? İşte bir kritik soru daha. Ne demiştik? Yatay doğru testi. Bak yatay doğru yaptım. A iki noktada kestik hocam. A iki nokta. Hocam tam buradan kestim. En aşağıdan bir noktada kestim. Fark etmez. Bir kere bile iki noktadan kestim mi? Bu fonksiyon bire bir değildir. Bire bir değildir. Peki gerçekten bunu bana örnekle göster desem. Örneğin F1'in cevabı mutlak içerisinde birden dolayı nedir? 1'dir. F eksi 1'in cevabı nedir? Mutlak içerisinde eksi 1'den dolayı cevap nedir? O da artı 1'dir. F normal şartlarda x eşittir 1 ile x eşittir eksi 1 birbirine eşit midir? Değil. Ama bunların değerleri birbirine ne çıktı? Eşit çıktı hocam. İkisinin de değeri 1 çıktı. O yüzden bu fonksiyon bire bir fonksiyon değil. Her farklı x için farklı bir x değeri bulmak zorundasın. Mutlaktaki en büyük espride bu abi. Ben yine sana mutlak değerde hani bir tane daha soru yazayım. Hatta onu bir tane de böyle azıcık kallavi bir soru yapmaya çalışacağız. Tamam mı? Şurada kallavi bir soru olmaya çalışsın. Yoksa bunlarla ilgili zilyon tane örnek çözdüm. Lütfen, lütfen, lütfen. Daha fazla soru avcısı için gelip o yazılım provası videolarını falan izlemen lazım. Orada çok fazla çözdük. Tabii ki bir de fonksiyonlar derslerini izlemen lazım. Hocam, bizim hoca sınavda şunu sordu ya. X eksi 2 artı 3'ün grafiğini sordu ya. Çok hızlı bir çiziliş yöntemi var. Önce uzun yöntemden başlayacağız. Hah yukarıda şunu söylemeden de geçmeyelim. Şunu da söylemeden geçmeyelim. Fx eşittir. Mutlak içerisinde x fonksiyonu her mutlaklı fonksiyon parçalı fonksiyon olarak yazılır. İçeriği sıfır yapan değerine x eşittir sıfır. Eğer x sıfırdan büyük olsaydı yani mutlak değerin işareti sıfır ya da sıfırdan büyük olsaydı dışarı aynen çıkardı ya da mutlak Mutlak işareti ya da x'leri sıfırdan küçük olsaydı dışarıya işaret değiştirip çıkardı. O yüzden bu mutlaklı fonksiyonu biz iki türlü dışarı çıkarız. Ya x aynen dışarı çıkar x sıfırdan büyük eşit olduğunda ya da önüne eksi alarak çıkar x sıfırdan küçük olduğunda. Şimdi örneğimiz bu. O örneğe tekrar geri geleceğim ama şu önemliydi. Orayı da atlamak istemiyorum. Hocam bizim hoca sınavda şöyle bir şey sordu. 2x eksi ya da... Ne diyelim? Artı 8 fonksiyonunu verdi. Bu fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazar mısınız? Mutlak değerli ya. Önce fonksiyonun hemen içerisini mutlak değerini içerisini sıfıra eşitle. Ya da fonksiyonun tamamını hiç fark etmez. 2x eşittir. Eksi 8 geldi. X'in cevabı eksi 4 geldi. Demek ki bu fonksiyon eksi 4'ten büyük değerler alırsa benim fonksiyonum bak eksi 4'ten büyük eşit alırsa dışarı aynen çıkar. Aynen çıkması demek 2x artı 8. Mutlak değerin tanımı bu. Mutlak değerde anlattım bunları. Hani burayı anlayamayan arkadaşlar için. x eksi 4'ten küçükse işaret değiştirip çıkar. İçeride ne var? 2x artı 8. İşaret değiştir. Eksi 2x eksi 8. O halde fx fonksiyonunun kuralı eşittir. Ya 2x artı 8 diye çıkar. x büyük eşit eksi 4 olduğunda ya da eksi 2x eksi 8 x küçük eşit, pardon küçük eşiti artık koyamam. Eksilisi çıkar, eksi 4'den küçük olduğundan. Şimdi soruma geri döneyim artık. Elimde böyle bir fonksiyon var. Hemen ne yapacağız? Bu fonksiyonun cevabını önce hiç mutlak değer yokmuş gibi çizmeye çalışacağız. Öyle değil mi? Normal şartlarda bu fonksiyonu şöyle hayal edeceksin tabii ki. Bak, sadece bu kadarı varmış gibi düşüneceğiz. Sonra devamını yapmaya çalışacağız. Anlaştık mı? Öteleme yöntemiyle öyle çözülüyor. Öteleme olmazsa diyeceksin ki hocam benim fonksiyonumda şuranın içerisini sıfır yapan değer ne? Bunu bir parçalı fonksiyon gibi çizeceğiz. Birinci yol. Bak birinci yoldan uzun uzun çizelim. Önce onu parçalı fonksiyona çevireceğiz. Yazalım bakalım. X eksi 2 sıfır yapan değer ne? X eşittir 2. Eğer benim X değerim 2'den büyük olursa ya da eşit olursa dışarı nasıl çıkardı bu ifade? Aynen dışarı çıkar. Yani X... eksi 2 diye dışarı çıktı. Yanında da artı 3'ü var. Fonksiyonumun kuralı ne oldu? x artı 1. Eğer x 2'den küçük olursa bu fonksiyon dışarı işaret değiştirip çıktı. Bak eksi x artı 2 oldu. Yanında ne var? Artı 3 var. Fonksiyon eksi 2 x pardon eksi x artı 5. Kısaca fonksiyonumun yeni kuralı x büyük eşit 2 iken fonksiyonum x artı 1 x 2'den küçük iken Eksi x artı 5 kuralıyla çizilmek zorunda. Alttan devam edeceğim. İkinci yolu yanına çizeceğim. Şimdi fonksiyonumu çizmeye başlıyorum. Hocam ama işaret tablosu yapaydık ya. Ben böyle göremiyorum diyen bir tayfa olabilir. Hemen işaret tablosunu da o zaman hemen şöyle çözelim. İki tane işaret tablosu yapacağım. X'e x artı birin değeri için yapacağız. Bak önce şunun için. Bunun içerisini sıfırlayan değer nedir? Eksi bir değerdir. Bak eksi bir verdim. İçerisi sıfır oldu. Sıfır verdim. Bir tane bu tarafa doğru gidelim. Bir oldu. Bir verdim. İki oldu. Eksi iki verdim. Cevap eksi bir oldu. Güzel. Bu noktaları birazdan birleştirip yazarız. Şimdi ikinci fonksiyona bakalım. Eksi x artı 5. Bunun içini sıfırlayan değer nedir? x yerine 5 verirsen fonksiyonun değeri 0 olur. 6 verirsem fonksiyonun değeri eksi 1 olur. Peki daha küçük verelim. 4 verirsem fonksiyonumun cevabı ne gelir hocam? Artı 1 gelir. Şimdi bu noktaları burada gösterelim. Ama neresi bizim için kritik noktaydı unutma. x eşittir 2. x eşittir... 2'nin hizasında önce bir çizgi çekiyorsun. Tamam mı? Bunu unutmamak adına. X eşittir. 2'nin hizası burası. Ardından grafiği çiziyorsun. Bak 0'da bir bir dakika. Önce neredeyim? Eksi 1'de 0'dayım. Eksi 1 neresi? Şurası. Eksi 1'de 0'dayım hocam. 0'da 1'deyim. 0'da 1'deyim. Buradayım hocam. 1'de. 1'in hizası burası. 1'de 2'deyiz hocam. 1'de 2 dediğimiz yer şurası. Şuradayız hocam. Bu grafiği çiziyorum ama dikkat et. Dikkat et. Grafiği çizdim ya şöyle. Şunu da biraz yukarıya doğru uzatalım. X eşittir 2'nin doğrusunu. X 2'den büyükken bu grafiği çizeceğim. X 2'den büyük olduğu yer neresi? Bak bu taraf X'in 2'den büyük olduğu yer. O zaman benim buradaki parçaya ihtiyacım yok. Bu tarafı silmem lazım. Ne diyorum? Arkadaş benim fonksiyonumun grafiği bu taraf. Tamam mı? Ben bu tarafı istemiyorum. O tarafı sildim o yüzden. Sadece onunla ilgileniyorum dedim. Bitmedi işimiz. Bitmedi işimiz. Devam ke. Peki zor bir tane grafik çizeceğim demiştim. İşte bu da onun grafiği. 5'e 0 noktasından geçeceğiz hocam. 5'e 0 neresi olsun? Hadi 5'e 0. Şurası olsun. Şurayı işaretledim. Hocam 6'ya eksi 1'den geçeceğiz. 6 şurası olsun. Eksi 1 burası. 6'ya eksi 1 noktası da burası olur. Hocam 4'te nereden geçeceğiz? 4'te 1'den geçeceğiz hocam. 4'te buradan geçeceğiz hocam. Peki şunu merak ediyorum. X eşittir. 2'nin hizasından nereden geçecek? Alttaki grafik. Bunu da görmekte fayda var. X yerine 2 yazarsam eksi 2 artı 5'ten fonksiyonumun grafiği nereden geçecek? 3'ten. Yukarıdaki fonksiyon X yerine 2 yazarsam 2 artı 1 nereden geçti? Aa o da 3'ten geçti. Aslında bu iki fonksiyonun grafiği de şu hizadayken, şuradaki hizadayken 2'ye 3 hizasından geçiyor. Doğru mu? Benim fonksiyonum da eğer buradan geçseydi buradan geçebilirdi. Şimdi ben fonksiyonumun grafiğini çiziyorum. Bak tam hemen hemen oldu diyelim. Hadi şu nokta burası olsun. Böyle çizeceğim ama biz burayı istemiyoruz. X ikinden küçük olduğu noktaları istiyoruz ki benim çizmem gereken grafik sadece ama sadece yeşil grafik. Bitti. Peki bu grafikler böyle her seferinde uzun uzun çizilmek zorunda mı? Asla değil. Hemen. Referans fonksiyonunun grafiği ile başlıyorum. Bak olaya bak. Y eşittir x'in grafiğini çizdik mi? Çizdik. Y eşittir fx eşittir x. Yanında ne var? Eksi 2 var. X'in yanına eksi 2 koymak demek. Onu 2 birim nereye kaydırmak demek? Saha kaydırmak demek. Artık ben o fonksiyonu 2 birim sağa kaydırdım. Şöyle süper oldu. Y eşittir fx eşittir x. Eksi 2 oldu mu? Oldu. Ama bunları ayrı ayrı çizelim mi? Birinci adım. İkinci adım diye çizeyim. Ki sen de sınavda kesinlikle böyle yap. Şimdi birinci adım. Yukarıdaki kırmızı fonksiyon. Sonra onu ne yaptım? Az önce de gösterdim. Gerçi şurada görmüş oldum. İkinci adım. Onu sonra bir adım geri yana kaydırdım. Birinci adım. Çizdim hocam. İkinci adım hocam. Bunu da çizdim hocam. Şimdi mutlak değer almamı istiyor. Bak sırada ne var? Mutlak değer var. Mutlak değer almak demek o fonksiyonun grafiğini ilk 80'nin altında kalan parçasını ne yapmak demekti? Yukarıya kaldır demekti. Bu arada bu fonksiyonun burayı sıfırlayan yani x80'i kestiği nokta neresidir? 2'dir. Bak fonksiyonun x80'in altında kalan kısım burası ya bunu ne yapacağım? Abi yukarı kaldıracağım. Bu kadar basit. O fonksiyon geliyordu daha önce. Şöyle artık o kısımdan ne oldu? Katlandı. Yukarıya kaldırdım. Süpersin. Bu kaçıncı adım olmuş oldu? Üçüncü adım olmuş oldu. Artık dördüncü adıma tekabül ettik. Dördüncü adımda ne yapıyorum hocam? Fonksiyonumun grafiğini şöyle bir bakalım ne yapıyoruz? En son fonksiyonumun dışına 3 eklemişim. Y eksinde 3 birim yukarı taşıyacağım. Hatırla ötelemelerde az önce daha sana bunları anlattım. Yine x'ye koordinat düzlemini çiziyorum. Çizdim x'ye koordinat düzlemini. Bu koordinat düzleminde bak 2'nin hizasındaydım. Kaç birim yukarı çıkarıyorum? 3 birim yukarı çıkarıyorum gördün mü? Fonksiyonumun grafiği artık ne oldu? Aaa hocam benim fonksiyonumun grafiği bu oldu. Mutlak değerli artık elde ettim fonksiyonu. Y eşittir. C x eşittir. x eksi 2 artı 3'ün grafiği oldu. Bitti bu kadar. Mükemmel. İşte fonksiyonlarda mutlak değerli fonksiyonların grafikleri de inan bu şekilde çizilebiliyor güzel arkadaşım. Ve son olarak tabii ki artık buraya girmeyeceğim. Sadece bunu buradan şeyler kontrol noktası üzerinden anlatacağım ama istersen hocam eşitsizlikle ilgili grafik çizmeydi ya da başka bir şey istiyoruz dersen onları da elimden geldiğince farklı. Farklı bir videoda çizerim çünkü 1 saati geçtik. Bence bu kadar yeterlidir. Şimdi mx artı n eşittir 0. Deminden beri çizdiğimiz fonksiyonlar aslında. Fonksiyonları özünde biz nasıl yaptık? Dedik ki hocam fx eşittir. Diyelim ki mx artı n şeklinde fonksiyon varsa. Önce bu fonksiyonu sıfırlıyorduk. Ki sıfırlayınca bak x değerine geldi. Eksi n bölü m geldi. Eksi n bölü m bu fonksiyonun nesi oldu? Sıfır oldu. Eksi n bölü m bu fonksiyonun sıfırı. Fonksiyon bu tarafta artı mı? eksimi ona karar veriyorduk hatırla. Bu fonksiyonlarda da eğer elimde f ve g gibi iki tane gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar varsa fx küçük gx fx küçük eşit gx fx büyük gx fx büyük eşit gx eşitsizliklerinin çözüm aralıkları bu tablodaki bir olacak. Ama bu tabloları ezber. Ben sana bunun kısaca mantığını anlatayım abi. Eğer benim bir fx fonksiyonum bu şekilde çizilmiş eğer Benim GX fonksiyonum altında kaldıysa, her daim altında kaldıysa, bu fonksiyonlarla ilgili yazabileceğin en önemli özellik, grafiklerine bakıp yorum yaparsak eğer, kimin grafiği yukarıdaysa o fonksiyonun değeri daha büyüktür. Bak, ben burada bu yorumu yapabilmeliyim. Ya da sen burada bu grafiklere bakıp bu yorumu yapmalısın. Hocam, benim grafiğim şöyle. Bu sefer GX'in grafiği daha yukarıda. Mesela böyle, tamam mı? Şöyle yaptık. Şurası neydi? Gx'in grafiğiydi. Gx. Şurası neydi hocam? Fx'in grafiğiydi. Onu da kırmızıyla yazalım. Fx. Burada neyi anlatmaya çalışıyor bize? Diyor ki kimin grafiği yukarıda? Gx'in grafiği yukarıda. Kimin grafiği aşağıda? Fx'in grafiği aşağıda. Bitti. Hangisinin değeri daha büyük? Belli oldu. En kritik soru tarzları da şu. Eğer ben şöyle bir Gx fonksiyonu çizsem. Eğer şöyle bir Fx fonksiyonu çizsem. Bak bak bak bak bak olaya bak. İkisinin kesim noktası diyelim ki x eşittir a noktasında bu doğrular kesilsin. Bu arada doğruların kesim noktası tam olarak eşitlikle gösterilir. Yani fx ile gx'in birbirine eşit olduğu noktalar denklemlerinin eşitlenmesiyle bulunur. Peki ben buradaki eşitlikten hemen sonra artık kimin yukarıda olduğunu görüyorum. Gx'in yukarıda olduğunu görüyorum. Hocam bu bölgede Gx Fx'den daha büyük. Niye? Fx'in grafiği aşağıda kaldı. Peki gel bak bu bölgede ne oluyor? G'nin grafiği altta G'nin grafiği, F'nin grafiği yukarıda. Mükemmelsin. O halde Fx bu bölgede nedir? Gx'den daha büyüktür. Müthiş. Müthiş abi daha ne olsun ya? Daha ne olsun ya? Biz bunları çözebiliyorsak zaten yeter. Peki bazen sorularda şunu soracağız. Hocam bana bu bölgeyi tarif eder misin derse tepede kim var? Gx var. Orası neresi? Yeşil bölge değil mi? Yeşil bölgenin değerleri kırmızıdan yani Fx'den büyüktür ama Gx'in değerlerinden küçüktür. İşte bütün tarif bu. Farklı tipteki soruları da bununla çözüyoruz zaten. Peki gel. Hocam bana sarı bölgeyi tarif eder misin? Bak, sarı bölgeyi tarif edelim. İndim aşağıya. Kimin grafiğinin altındayım? Fx'in grafiğinin altındayım. O zaman Fx'in grafiğinin altındaysam onun değerlerinden küçüğüm. Sarı bölgedeki değerler... Eee hocam, eşitsizlik sorularını ben hep böyle çözdüm. Problemlerime git bak. Gx'in değerlerinden büyüğüm. Ama özeli budur. Hani soru çözmek ayrı bir mevzu. Bu işin teorik kısmı. Bu işin... bilinmesi gereken matematik faslı burasıdır. Eminim beni derece tayfa şu anlattıklarımı inanılmaz böyle kafasında şimşekler çakmıştır. Bunu tahmin ediyorum. Hatta çok özel bir şey daha söyleyeceğim. Eğer bu çizgiyi eşit kabul edersem birbirine şu bölgede nedir? Gx Fx'den büyük eşittir. Bir an eşit oluyorlar. Eğer çizgiyi eşit kabul edersem bak çizgiyi almazsam büyüktür küçüktür. Çizgiyi eşit kabul edersem eşit olduğu yeri de istersem yazarken bak bu bölgede Fx'in grafiği Gx'den hem büyük hem de bir kez birbirlerine eşit olmuştur. Eşitsizliğin gerçekten teorik kısmı da budur dedim. Elimden döndüğünce 1 saat 5 dakika boyunca sana bunları anlatmaya çalıştım. Umarım anlaşılır olmuştur. En azından sınavdan önce çarpı 2'de de olsa, kesinlikle çarpı 2'de de olsa fonksiyon grafikleri üzerine yorumlar yapabileceğini düşündüğüm, bilmeni istediğim noktaları sana gerçekten hepsiyle göstermiş oldum mu diye bakıyorum. Gel, gel bir tane daha. Son, son, son. Valla var ya Mehmet Hocam var ya kıyamıyor lan. Ya Allah, abi eksik kalsın. Korkuyorum eksik kalır diye. Şu fonksiyonun... en son çizdiğimiz bu fonksiyonun şeyine bakalım mı arkadaşlar? Tanım kümesine bakalım. Bak bunlar önemli. Tanım kümesi neresi? Bak eksi sonsuzdan geliyor x ekseninde. Artı sonsuza gidiyor. Demek ki bütün real sayılar. Görüntü kümesi neresi? Kritik. Bak görüntü kümesi nerede? Hocam 3'ün hizasına başlıyor. Görüntü kümesi dedin mi? Y'lere bakacaksın. Nereye doğru gidiyor? Artı sonsuza gidiyor. O zaman bunun görüntü kümesi artı 3'den başlıyor. Artı sonsuza kadar gidiyor. Başka nelerine bakıyorduk? Görünüklemesi fonksiyonun sıfırı. Bu fonksiyonun sıfırı neresidir? Bu fonksiyonun sıfırı yoktur. Çünkü fonksiyonun sıfırı demek fonksiyonun değerinin sıfır olduğu noktadır. Dikkat et bu fonksiyonun değeri en küçük 3 oluyor. Abi bu kadar önemli bir şey. Nasıl unutuyordum ben? Aman Allah'ım. Bu fonksiyonun sıfırı yoktur. X80'ini kesmediği sürece bir fonksiyonun sıfırı oluşamaz. Tamam mı? X80'ini kesmek zorunda. İşaret tablosu. İşaret tablosunu yaptım diye hatırlıyorum. Yapmamışım. Onu da yapalım. İşaret tablosu. Yapalım. E fonksiyonun sıfırı yok hocam. Bunun işaret tablosu nerede olacak? Yok. Bu fonksiyon her daim nasıl değerler aldı? Bak x yerine ne yazarsan yaz. Fonksiyonun işaretleri hep ne oldu? Hep pozitif oldu. Demek ki bu kadar. Abi çok pozitif bir fonksiyon lan bu. Tamam mı? Fonksiyon artan olduğu aralığı yaz. Azalan olduğu Fonksiyon. aralığı yaz. Dikkat et. x eşittir 2'nin hizasına bak. Bu tarafta ne oluyor? Azalan davranıyor benim fonksiyonum değil mi? Azalan fonksiyon. Hangi aralık? Eksi sonsuzdan kime kadar geldim? Artı 2'ye kadar. Azalan olduğum yer eksi sonsuzdan artı 2 kapalı aralığına kadar. Aralıklar artanlık azalanlıkta kesinlikle kapalı yapılır. Fonksiyonu bak burada ne yapıyor? Artan gidiyor. Hangi? Nereden başlıyor? 2'nin hizasından başlıyor. Artı sonsuzun hizasına kadar Artarak ilerliyor. Benim fonksiyonum kesinlikle burada nedir dedim. Artan fonksiyondur dedim. Geldim. Fonksiyonumun maksimum noktasına. Yukarıda bitiş noktasını görebiliyor musun? Yok. O zaman fonksiyonun bitiş noktası yok. Fonksiyonun minimum noktası neresidir hocam? Bariz bir şekilde gözüküyor. Bak minimum noktası fonksiyonun dibidir. Dip noktası. X değeri 2. Pardon kapalı aralık değil. Koordinat düzlemi de x'ye değeri olarak yazıyoruz. 2'ye 3 noktası. Bak bu açık aralık değil ha. 2'ye 3 noktası demek. Tamam mı? Nokta anlamında yazdım ben onu. Başka bir şey kaldı mı diye bakıyorum. Valla çok yoruldum başım çok ağrıdı ama. Bitireceğim inşallah. Yukarıdan bakabiliriz. Maximum nokta. Birebirlik. Birebirlik kaldı hocam. Birebirliği de söyle. Bire bir mi bu fonksiyon? Değil. Nereden anlıyorsun hocam? Yatay doğru testi yaptım. Bak iki noktada kestim. Bir kere bile iki noktada kesiyorsan yeter. Bu fonksiyon birebir değildir. Aman diyeyim bunu unutuyordum. Lütfen bunu da yine notların içerisine eklemeden gitme. Videoyu da erken çıkan arkadaşlar kusura bakmayın. Erken çıkmayacağınız işte. Erken çıkmayacağınız. Mehmet Hoca bitti diyene kadar bitmez. Şimdi bitti ama. Artık bu kadar yeter. Sonrasında görüşelim. 1 saat 10 dakika yeter güzel arkadaşım. Sen yine yorumlarla destek çıkarsan. Sen yine yorumlarda ne istediğini yazarsan. Mehmet Hoca'nın boğazı yettiği kadar anlatmaya devam eder. Kendine iyi bak. Hoş kal. Hoşça kal.

Selamlar güzel arkadaşım. 9. sınıf tayfam. Bu videoda sizinle birlikte fonksiyonları baştan sona full tekrar edeceğiz.

Bu alışagelmiş full tekrarların dışında bir şey olacak. Adeta bir özel ders kıvamında olmasını istiyorum. Bomboş bir kağıttan başlayacağız. Bunu şöyle hayal edebilirsin. Hocam ertesi gün sınavım var.

Fonksiyonlarla ilgili bana önemli noktaları bir hatırlatsan. Şöyle püf noktaları bir değinsek. Soru çıkabilecek noktaları bana şöyle bir tekrar ettirsen. Dedin.

yanıma oturdum. Ben de dedim ki güzel kardeşim gel sen RM tayfasın değil mi? Beğendim videoyu.

Yorumunu attın. O zaman RM tayfasın zaten. Otur yanıcıma. Sınavdan bir gece önce gel senle birlikte fonksiyonları şöyle bir full tekrar edelim. Tabii ki ben fonksiyonlara yaklaşık 15-20 video çektim.

Kesinlikle onları izlemeden bu videoya geçmemeni öneririm. Onları izlemeni öneririm. Ama yine de hocam son gece yaptık bir hata.

Onları izlemedik. Bunu izleyeceğim. Kabulümdür. En azından sana fonksiyonlarda her şeyi anlatacağım.

Hocam ben onların hepsini izledim. Süpersin. Gel o zaman beraber şöyle hızlıca bir tekrar edelim.

Cömber gelsin. Ne dedim? Dedim ki fonksiyonları hızlıca tekrar edeceğim.

Sadece Mab'in kitabında bizden istediği noktaları vurgu yapacağım. Bak Mab'in kitabından hatırlarsın kontrol noktaları var. Kontrol noktalarından önce şöyle bir nereye anlatacağımı sana bir göstereyim. F real sayılardan real sayılara doğru. Fx eşittir.

X şeklinde verilen fonksiyonla ilgili doğrusal. Referans fonksiyonu diyoruz biz buna. Bununla ilgili bir öğrencinin bilmesi gereken her şeyi anlat diyor. Bunu ilk nereden anlatacağım biliyor musun?

Hemen şöyle bir soruymuş gibi anlatacağım. Soru dedim eşittir başlıyoruz. Fonksiyonlarda f real sayılardan real sayılara tanımlanış hangi fonksiyon var elimde?

fx eşittir x fonksiyonu var. Hatta burada bir parantez açalım. Normal şartlarda enteresandır ki map burada fonksiyonun tanımına girmeden anlatmaya çalışıyor. sana birinci, sekizinci sınıfta birinci dereceden bir bilimmenli denklemlerden yola çıkarak artık o denklemlerde eşitliğin karşı tarafında y olduğunu düşünerek diyor ki biz bunu fonksiyon olarak anlatıyoruz. Aslında öyle değil.

Bunun gerçek tanımı şöyledir. Bir tane tanım kümesi, bir tane görüntü kümesi. A ve B kümeleri. A'dan aldığım A ve B boştan farklı olacak tabii ki.

A'dan aldığım her eleman B'de yalnız bir elemanla eşleşiyorsa bunu sağlayan bağıntıya ki bağıntıyı da bilmiyoruz. Tanı şeyde yok çünkü müfredatta yok. Etrafında dolaşıyoruz artık tanımın.

A'dan B'ye bir fonksiyon denir. Şimdi gel. A'dan B'ye fonksiyon kısmıyla ilgili. Sen hiç oraları takılma.

Mabin bizden müfredatta istediği kısım neresi? Real sayılardan real sayılara. Fx eşittir x'i tanımladık ya. Buradaki R benim tanım kümem olacak. Yani x'leri seçeceğim yer alacak.

Buradaki R görüntü kümem olacak. Görüntülerini bulacağız böylelikle. O x'lerin görüntülerini bulacağız.

Peki ne dedin hocam sen özünde? X'leri aldık, Y'lere götürdük. Görüntü kümesinde eşleştirdik.

Hadi birkaç tane deneyelim bakalım. Bunun mantığı neymiş? Birlikte görmeye çalışalım.

İlk olarak X eşittir 0 ile başladım. X'e 0 verirsem, F fonksiyonda her X gördüğüm yere 0 yazarsam, F0'ın cevabı 0. Aslında ne buldum biliyor musun? Y'nin cevabını buldum.

Bu ifade aynı zamanda şöyle de gösterilir. Y eşittir Fx. Ardından buraya da... Ki biz şu kısmı fonksiyonun kuralı adını vereceğiz. Şeklinde yazılır.

Aslında y'ler x'lere eşit. Ya da x artı 1'lere eşit. Ya da 2x artı 3'lere eşit. İlla kuralını yazacak olsam.

Tamam mı? Şimdi x'in değerini arttıralım. x'e 1 versem ne olur hocam? x yerine 1 verince f'ye 1'in cevabı 1. y'nin cevabı 1 çıktı özünde. Aslında bak benim fonksiyonum hep sıralı ikilerden oluşuyor.

x ve y sıralı ikillerinden. x'i 0'u seçtim. y'e 0 geldi.

x'i 1 seçtim. y'e 1 geldi. Süper. x'e 2 seçersem fonksiyonumun değeri ne gelecektir? 2 gelecektir.

Yani benim fonksiyonum 2'ye 2 noktasından geçecektir. E peki hep x'e pozitif değerler verdik. Bir de negatif verelim.

f'de x gördüğüm yere eksi 1 yazarsam fonksiyonun değeri. y dediğim şey aynı zamanda fonksiyonun değeridir. Eksi 1 gelir dikkat et. Eksi 1'e eksi 1'den geçiyor. x yerine 2 yazarsam f eksi 2'nin değeri eksi 2. Yani y değerimiz eksi 2 oldu.

Bu demek ki eksi 2. Eksi 2 noktasından geçiyor. Ardından da web şunu istiyor bizden. Arkadaş diyor. Gel biz bunu bir tabloya dökelim diyor.

Bak çok basit bir şey. Burada gözünü korkutma kendi kendine. Bunu bir sayı doğrusu olarak düşün.

Gerçekten de bir sayı doğrusu özünde. X'lerle ilgili değerleri buraya yazacağım. Fx'in sonuçlarını buraya yazacağım. Şimdi ben x'e 0 verdiğimde, 1 verdiğimde, 2 verdiğimde ya da eksi 1 verdiğimde, eksi 2 verdiğimde değerleri buldum. Onun haricinde...

ki ben biliyorum bu sayı doğrusu bu tarafa doğru artı sonsuz. Bu tarafa doğru eksi sonsuzdur. Öyle değil mi? Şimdi x'e eksi 2 verdiğimde cevap ne çıktı? f fonksiyonunda eksi 2. x'e eksi 1 verdiğimde eksi 1. x'e 0 verdiğimde 0. x'e 1 verdiğimde 1. x'e 2 verdiğimde cevap ne geldi?

2 geldi. Aynı tabloyu aslında map çaktırmadan sana burada bir işaret tablosu oluşturmanı istiyor. Fonksiyonun diyor bana diyor sıfır gelen yerini bir gösterir misin? Bak x değerinin sıfır olduğu yer. Daha doğrusu fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer.

Aa bu nasıl bir keçelidir hiç açmadı. Bir saniye sarıyla yapalım istersen. Üstünden öyle geçersek belki daha güzel gösterir. Hah şurası.

Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer burası. Hangi x de geldi? X.

eşittir sıfır dediğimde. O halde diyor gel buradan bir çizgi daha çekelim. Biz x'e sıfır verdiğimizde fonksiyonun değerine çıktı sıfır.

O çizginin üstüne sıfırı yazalım diyor. Gerçekten böyle ilerliyor. Peki buradaki değerlere dikkat et diyor. Bu değerler nedir diyor.

Hep pozitif. Demek ki sıfırdan büyük değerler verirsem pozitif. Sıfırdan küçük değerler verirsem ne gelir? Negatif değerler gelir diyor.

Al sana fonksiyonun işaret tablosu. Bak çaktırmadan sana aslında Şuradaki bilgide neyi vermiş oldum? Fonksiyonun işaret tablosunu vermiş oldum.

Aynı zamanda yukarıda da neyi vermiş oldum? Değer tablosunu vermiş oldum. Değer tablosundan veya işaret tablosundan yola çıkarak biz fonksiyonların grafiğini çizebiliriz. Şimdi artık fonksiyonun grafiği vakti ki özellikle ve özellikle map benden bunun grafiğini çok çok çok çok iyi bilmemi istiyor.

Nedir peki bunun grafiği? Bak x eksenini çizdim. Y eksenini çizdim. Nerelerden geçmem gerekiyor hocam?

Bak şurada yazıyor sıfıra sıfır noktasından. İşaretledim. 1'e 1 noktasından geçmem gerekiyor.

İşaretledim. 2'ye 2 noktasından geçmem gerekiyor. Onu da işaretledim güzelce. Aynı şekilde eksi 1'e eksi 1 noktasından geçmemiz gerekiyor.

Onu işaretledik. Eksi 2'ye eksi 2 noktasından geçmemiz gerekiyor. Onu işaretledik. Şimdi bu işaretlediğim noktalardan geçen doğruyu çizdiğimde.

E hocam biz buraya bu doğruyu çizersek. Örneğin şurada 1 ile 2 arasında 1.5 değerinden de geçen değer var mıdır? Kesinlikle vardır.

Bunu nereden anlıyorsun hocam? Bak x yerine bütün real sayılara yaz. Abi bizim ömrümüz yetmez onu yazmaya.

Biz diyoruz ki gel birkaç tanesini yazalım. Bunları birleştirip doğruyu çekelim. Ne yaptık?

Doğruyu çektik. Bitti. Elde ettiğim fonksiyon artık ki üstüne yazacaksın sınavda da.

Bak şöyle fx eşittir. X'in grafiğidir abi. Bitti bu kadar.

Hatta bazen şöyle de yazılır. Y eşittir ve X diye yazılır. Anlaştık mı burada?

Var mı bir problem? Süper. Şimdi aynı fonksiyon için ya da öncesinde şöyle bir bilgi verelim. Bir fonksiyon için X eksenini şuraya koydum.

X ekseninden öte şöyle de fonksiyonumun grafiğini çizin. Bak herhangi bir fonksiyon bu. Hangi fonksiyon olduğunu bilmiyorsun.

Sadece Fx fonksiyonu olduğunu biliyorum. Bu Fx fonksiyonunun şurada X eksenini kestiği bir nokta vardır. Tamam mı?

Bu... Bu x eksenini kestikten sonra eğer benim fonksiyonum x ekseninin üstünde bir bölgede yer alıyorsa fonksiyonum buradaki değerleri pozitiftir. Biz fonksiyonun değerlerini fx ile gösteririz. Dikkat et fx'in değerleri burada ne oldu?

Sıfırdan büyük oldu. Eğer ki benim fonksiyonumun grafiği tıpkı şurada olduğu gibi x ekseninin altında devam ediyorsa benim fonksiyonumun değerleri hep negatif değerler alır. Ki biz bunu nasıl gösteriyoruz?

Fx fonksiyonu yazamadım bir saniye. Yazacak inşallah. Fx fonksiyonunun değerleri burada sıfırdan küçüktür. Hocam tam şunun hizasında işte Fx'in değeri x eksenini kestiği yerde sıfırdır.

Bunu nereden biliyorum? Bak burada da gösterdim. Gördün mü?

Burada da fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer x eşittir sıfırdı. Bu hangi fonksiyon bilmiyorum. O yüzden nerede kestiğini de bilemeyeceğim. Bak biz ne yaptık?

Fonksiyonu kestiği yere sıfır dedik. Fonksiyonu kestiği yere sıfır dedik. Şimdi kendi fonksiyonumuza geri dönelim. Bu fonksiyonun değerleri nerede x80'nin üstünde?

x0'dan büyük olduğunda. Bizim fonksiyonumuz bu aralıkta nasıl değerler alır? Sıfırdan büyük değerler.

Bizim fonksiyonumuz burada nasıl değerler alır? Sıfırdan küçük değerler alır. Tam şu noktada benim fonksiyonumun değeri nedir?

Sıfırdır. Bak bir daha söylüyorum. Ağzımdan değer kelimesi çıkıyorsa aslında hep y'den bahsediyorumdur. Fx fonksiyonu yani özellikle bize vurguladığı f doğrusal referans fonksiyonu budur. Peki bunun haricinde benim neyi bilmem lazım?

Fonksiyonun nitel özelliklerini bilmem lazım. Şunu şuradan bir kopyalayalım. Gel bakalım.

Bu fonksiyonun nitel özelliklerini beraber yazmaya çalışacağız şimdi seninle birlikte. Yapıştır. Fonksiyonun tanım kümesi ama hangi tanım kümesi hocam?

En geniş tanım kümesi. En geniş tanım kümesinden kastı nedir? Bu fonksiyonun grafiği en dipte x'te nereden başlıyor bana onu bul diyor. Tanım kümesi demek x'lere bak demek. Bak gel yanına parantezimizle yazalım.

Bak burada x'leri benden istiyor demektir. Anlaştık mı? Tanım kümesi benden x'leri istiyor. Hocam benim grafiğimin bak karşısında x değeri x değeri x değeri var. Görüyor musun burada x değerleri var.

Peki kaç burası? Bilmiyoruz. Aslında bu grafik nereye kadar gidiyor?

Sonsuza kadar. O zaman x değerlerinde nereden başlıyorum? Eksi sonsuzdan başlıyorum. Peki nereye kadar gidiyorum?

Bak grafikten x eksenine dikimeler atıyorum. Grafikten x eksenine dikimeler atıyorum. Grafik burada sonsuza kadar gitti. X değerlerinde de artık nereye kadar gittim? Dikkat et.

Artı sonsuza kadar gittim. Dilersen şöyle yazabilir. Hocam ya bizim bu tanım kümesi yazalım.

Tanım kümesi dediğimiz yer. Eksi sonsuzla artı sonsuz olabilir. Ama biz bunu böyle yazmıyoruz.

Eksi sonsuzla artı sonsuz dediğimiz yer. Zaten bütün real sayılar değil midir? Aynen öyle.

Benim fonksiyonumun en geniş tanım kümesi bütün real sayılar. Peki benim fonksiyonumun görüntü kümesini yazar mısın hocam? Yine görüntü kümesi dendiği an aklına tek bir şey gelecek.

Sadece y'ler aklına gelecek. O zaman grafikte y eksenine bakıyorum. Bak grafikten y'ye dikimeler atıyorum. Nereden başladım? Eksi sonsuz en dipten.

Ama hocam burası eksi sonsuz değil. Abicim bu sonsuza kadar gidiyor. Tamam mı? Grafinin ucu bucağı yok. Gidiyor.

Hatta Bazı hocalar özellikle der ki bunun ucuna böyle ok yapmazsan onu ben kabul etmem. Aman diyeyim oku da yap tamam mı? İlla isteyen hocalarımız vardır.

Şimdi şuradan dikmeler atıyorum, dikmeler atıyorum. Burası nereye kadar gidiyor? Artı sonsuza kadar gidiyor. O zaman görüntü kümesi bunun içinde yine ne yazılabilir?

Hocam eksi sonsuza artı sonsuz aralığında yani kısaca bütün real sayılardır denebilir. Var mı buraya kadar itiraz? Yok.

Peki. Fonksiyonun sıfırı demek. Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yerdir. Senden şunu istiyor. Fx'in ne zaman sıfıra eşit olduğunu soruyor.

Bizim fonksiyonumuzda, fonksiyonumuza biz sıfırı nerede elde ettik bak. Şurada x'e sıfır verince elde ettik. O halde fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun sıfırı dediğim yer neresidir? Şöyle yazılır. x eşittir sıfırdır.

Tamam mı? Fonksiyonumuzun sıfırı x eşittir sıfır. Ya da kısaca f sıfır eşittir sıfır yazabilirsin.

Yukarıdaki birinci, pardon birinci diyorum. Referans fonksiyonuma özel. Fonksiyonun işareti.

Aslında fonksiyonun işareti demek şuradaki işaret tablosudur. Yani fonksiyonun pozitif değer aldığı, fonksiyonun negatif değer aldığı. Ki, aa gerçekten sıfırın sağ tarafında benim fonksiyonum nasıl değerler aldı? Dikkat et pozitif.

E biz de burada gerçekten pozitif değerler aldığını gösterdik. X eşittir sıfırda, fonksiyonun değeri sıfır. X eksenin altında kalan kısım neresi?

Hocam, X'in negatif değerler aldığı yerlerde bak, şurası X'i sembolize ediyor. X'in negatif olduğu yerde şurası Y'yi sembolize ediyor. Y değerlerinin olduğu negatif.

Gerçekten bak X80'nin altında kaldıysam oralar hep negatif değerler alır. Peki geldik. Fonksiyonun maksimum noktasına.

Burada şöyle bir şey yapacağım. Bir tane ek bir sayfaya ihtiyacım var. Sayfa ekle diye bir şey olması lazım burada. Bir saniye şuradan mı ekliyorduk?

Kafamız karıştı ya. Şuraya araya bir tane sayfa ekleyelim. Sonrasına bir tane sayfa ekle desek.

Güzel. Yetmiyor abi. Bol bol anlatacağım sana.

Sen hiç merak etme. Tamamını tekrar etmiş olacağız. Şöyle alttan devam ediyorum. Bu fonksiyonun nesini arıyorum?

Şurada neredeydi o? Fonksiyonun maksimum noktasını arıyorum. Arkadaş bir fonksiyonun maksimum noktasını bulmak istiyorsan grafiğine bakman yeterlidir.

Ki biz zaten hep grafikler üzerinden ilerleyeceğiz. Ezbere çizebilmeliyiz bu arada. Az önce çizdiğim fonksiyon grafiğini ezbere çizebilmelisin. Bak. Bu neymiş?

Y eşittir. F X eşittir. X'in grafiği. Hatta bak burada ne yapıyor?

Açı ortay yapıyor. 45 dereceye 45 derece bölüyor. Bu fonksiyonun maksimum değeri noktası demek X'te aldığı en büyük değer nerede?

Bana onu sormaya çalışıyor. Yok ki hocam bu sonsuza kadar gidiyor. O halde bu fonksiyonun maksimum noktası yoktur yazacaksın. Anlaştık mı?

Peki hocam bu fonksiyonun minimum noktası var mıdır? Bu fonksiyonun en dipte gittiği Gittiği yeri soruyor. Var mı öyle bir yer? Yok.

O halde bu fonksiyonun minimum noktası da yine nedir? Yoktur. Ama olduğu durumlar var mı hocam?

Vereceğim. Çok tatlı bir örnek vereceğim. Hiç acele etme. Şimdi geldim fonksiyonun bire birliğine. Bak fonksiyonun bire birlik.

Bire birlik. Normal şartlarda fonksiyonun bire birliği dediğinde matematiksel olarak tanımı şöyle yapılıyor. F A'dan B'ye tanımlı bir fonksiyon ya.

Her X1 ve X2... elemanıdır A için A kümesinin elemanının içerisinden iki tane X seçeceğim. Bu X1 ve X2'nin değeri birbirinden farklı ise Fx1'de Fx2'den ne olması gerekiyor? Farklı olması gerekiyor. Bunun kısaca anlamı şu.

Fonksiyonda her farklı X için farklı bir Y değeri bulmalısın. Gerçekten. Senin burada aynı Y değerini bulduğun bir X değeri var mı?

Mesela x'i eksi 1 ve eksi 2 verince x'i de eksi 1 çıkıyor mu? Ayrı öyle bir şey yok. Peki ben bunu nereden anlayacağım hocam? Grafik üzerinden anlayacağız. Ona da yatay doğru testi adını vereceğim.

Birebirliği neyle kontrol edeceğiz? Yatay doğru testi. Yatay doğru testi.

Şimdi bunu en güzel anlamanın yolu budur. Benim elimde fonksiyonun nesi var? Grafiği var. Bak yine grafiği çiziyorum buraya.

Hiç erinmiyoruz bunları çizmekten. Y eşittir x'in grafiğiydi doğru mu bu aynı zamanda? Y eşittir fx eşittir x. Yatay doğrudan kastım.

Bak grafiği y eksene dik olacak şekilde doğrularla kesiyorum. İstediğin yerden kesebilirsin. İstediğin kadar çizebilirsin.

Hep... Kaç noktada kesiyorsun? Her seferinde bir noktada kesiyor.

Noktada kesiyor. O halde birden fazla noktada kesmiyorsa bu fonksiyona ne diyeceğiz? Bire bir fonksiyondur diyeceğiz.

Fonksiyondur diyeceğiz. Anlaştık mı? Gerçekten benim bu fonksiyonum bire bir bir fonksiyondur. Ne yaptım? Yatay doğrularımı gönderdim.

Her seferinde ne yaptık? Tek bir noktada kestik. Tek bir noktada kestiysem benim fonksiyonum bire bir fonksiyondur. Bu bilgiyi de burada Birebirlik adı altında ben vermiş olayım sana. Başka ne istiyorsun?

Artan veya azalan olduğu aralıkları bulun diyor. Grafiğe bakarak karar vereceğiz ona. Bak yine fonksiyonu yine hiç erinmiyorum.

Her seferinde çiziyorum. Bunlar çünkü bizim için önemli. Fonksiyonumu getirdim buraya. Y eşittir fx. Çizdik.

Hemen hemen hemen. Sen de benimle birlikte not alırsan süper olur. Fx eşittir x. Fonksiyonun grafiğini inceleyeceğiz.

Bak fonksiyonun grafiği sürekli nereye gidiyor? Yukarıya doğru gidiyor. gidiyor gidiyor gidiyor. Hiç sapıyor mu? Ya da sapıtıyor mu?

Sapıtmıyor değil mi? O zaman bu fonksiyona biz ne diyoruz biliyor musun? Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. Bu fonksiyon azalan bir fonksiyon değildir.

Artan bir fonksiyondur. Niye? Çünkü benim grafiğim hep yukarı doğru gitti. Yukarı doğru gidiyorsa benim fonksiyonum artan bir fonksiyondur. Burayda da anlaştık mı güzel arkadaşım?

Süpersin. Peki hocam bizim fonksiyonumuz ne zaman azalan olur? Onun örneğini birazdan vereceğim. Ama fonksiyonun artan ya da azalan olmasıyla ilgili artan azalan fonksiyonla ilgili bir de matematiksel bir veri vereyim ben sana. X1, X2 her X1 ve X2 yine A kümesinden alalım.

Yani tanım kümesinden ya da belli bir aralıktan alalım. Aldığımız X1, X2 değerine karşılık yani X değerleri büyürken fonksiyonun değeri de büyüyorsa bu fonksiyona Artan fonksiyon denir. Bazı okullarda bu tanımlar da veriliyor arkadaşlar.

Çok kıymetli tanımlar zaten. Matematikte olmazsa olmazlarımız. Misal bak ben x1 değerini buradan aldım.

x2 değerini buradan aldım. Dikkat et. fx1 burada. fx2 burası oldu.

Doğru mudur? Aslında bunlar y değerleri ama aynı şey. x1 x2'den gerçekten büyük mü büyük?

Misal değer ver. Şuraya x2 şuraya x1 dersem. Burası x2 burası x1 çıkmaz mı? Evet gerçekten eksi 1 eksi 2'den küçük hocam. Ve fx1 fx2'den de gerçekten küçük çıktı.

Niye? fx1'in cevabı ne? Eksi 2. fx2'nin cevabı ne? Gerçekten eksi 1 ve gerçekten daha küçük benim bu değerlerimden.

Bitti. Bu fonksiyon kesinlikle nasıl bir fonksiyonmuş? Artan bir fonksiyonmuş.

Şimdi hemen arkasından bence kesinlikle ve kesinlikle benim doğrusal referans fonksiyonumdan yola çıkarak Şu fonksiyonu vermeliyim ben sana. Hocam yine f fonksiyonu real sayılardan real sayıları tanımlı. Ve fx eşittir eksi x fonksiyonunun grafiğini çizer misin? Artık nasıl çizeceğimiz hakkında fikrimiz var.

Diyoruz ki önce bir değer tablosu yapalım. Değer tablosu yaparsan çizemeyeceğin doğrusal fonksiyon grafiği yok arkadaş. Eksi sonsuz artı sonsuzu gösteriyor.

X'e 0 verirsem fonksiyonun değeri 0 verdi. X'e 1 verirsem fonksiyonun değeri x'i 1 geldi. 2 verirsem fonksiyonun değeri eksi 2 geldi.

X'e eksi 1 verirsem gerçekten X yerine eksi 1 koy bak. F eksi 1'in cevabı eksi eksi 1'den eksiler birbirine götürdü. Artı 1 geldi. F yerine eksi 2 ver cevap artı 2 geldi. E hocam o zaman ben bu fonksiyonun işaret tablosunu az önceki yukarıda yaptığım değer tablosuna bakarak yapamaz mıyım?

Yaparım. Kimi arıyorduk hatırla. Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu hizayı arıyorduk. Fonksiyonun değeri değerinden kastım. Fx'dendir.

Tamam mı? Y'lerdir. Y eşittir Fx. Y'lere bakıyorsun.

Sıfıra sıfırda. Şimdi sıfıra sıfırda sıfır ya. X eşittir sıfır yaz buraya.

Altına çubuk koy. Bak fonksiyonumun değeri burada sıfır. Peki fonksiyonum bu tarafta nasıl değerler aldı?

Sıfırın sağında eksi. Sıfırın solunda nasıl değerler aldı? Artı.

Ha bu fonksiyon bu tarafta artı. Bu tarafta negatif değerler alıyor. Bunun anlamı şu.

Fx'in değerleri sıfırdan küçük. Bu aralıkta fx'in değerleri sıfırdan büyüktür demektir. Şimdi en kritik kritik noktaya geldik.

İkinci açı ortay doğrusudur bu bizim çizeceğimiz. Ezbere bilmen de fayda vardır. Referans fonksiyonundan faydalanarak çiziyoruz aslında. Dikkat et.

Noktaları birleştireceğim sadece. Hangi noktalardan geçtik hocam? Artı bire eksi bir noktasından geçtik.

Bak bir nokta burada var. Artı ikiye eksi iki noktasından geçtik. Bir nokta burada var. Eksi bire artı bir noktasından geçtik.

Buradan geçtik. Diğerini çizmeme gerek yok artık. Bence fonksiyon çok net bir şekilde.

Zaten iki noktasını biliyorsan çizebilirsin. Artık benim çizdiğim fonksiyon y eşittir f x eşittir eksi x. Peki. Hemen fonksiyonun tanım kümesini yazalım bak buraya. Tanım kümesi.

Nerede başlıyor? Eksi R sayılardan başlıyor. X'de. Tanım kümesi deyince X'lere bakıyorduk. Nereye kadar gidiyor?

Artı sonsuza kadar. O zaman tanım kümesi bütün R sayılar. Görüntü kümesini bana söyler misin? Hocam görüntü kümesinde Y'lere bakıyorduk. Bak Y'lerin hizasında başlıyor.

En aşağıda en yukarıya gidiyor. Kısaca bütün R sayılar. Fonksiyonun işaret tablosunu yapar mısın?

Yaptım. Başka neyi soruyordu? Şuradan kontrol edeklerim.

Fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı neresi?

Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yer. Yani x'e sıfır verdiğimde fonksiyonumun değerine geldi. Sıfır geldi.

Süper. Başka ne istiyordu hocam? İşte fonksiyonun işareti yaptık. Fonksiyonun maksimum noktası.

Bakalım. Hocam maksimum noktası neresi? Yok. En tepede bir yer görebiliyor musun?

Yok. Minimum noktası var mıdır hocam bu fonksiyonun? O da yoktur.

Olanlar gelecek birazdan. Tamam mı? Birazdan o tarz fonksiyonu da açacağım.

Hiç merak etme. O da kıymetli bizim için çünkü. Geldik.

Bire bir midir hocam bu fonksiyon? Nereden anlıyorduk bire birliğini? Yatay doğru testi. Bir noktada kestim. Bir noktada kestim.

Bir noktada kestim. Bir noktada kestim. O zaman bu fonksiyon nedir? Bire bir fonksiyondur.

Bire bir fonksiyondur. Anlaştık mı? Süperiz ya. Süperiz.

Hocam bu fonksiyon artan mı azalan mı? Grafiğe bak abi. Grafik yalan söylemez. Grafik nereye doğru iniyor?

Aşağı doğru. Aşağı iniyorsa zaten bir grafik. O zaman nedir bu fonksiyon? Azalan fonksiyon grafiğidir.

Fonksiyonumun grafiği azalan olursa. Hani az önce tanımını yazdık ya. Her x1, x2 elemanıdır. Tanım kümesinin elemanı olmak üzere.

Ve x1 değerleri. x1 değerleri ve x2 değerleri arasında. X'ler artarken. Fonksiyonun değeri tam tersine azalıyorsa.

Biz o fonksiyona azalan fonksiyon diyoruz. Tanımını merak eden arkadaşlar için özellikle yazıyorum bunu. Hani bunu da görmen de fayda var diye buraya yazdım.

Bitti mi işim? Bitmedi. O zaman ek sayfa. Bak şimdi biz önüne eksi geldiğinde fonksiyonun neye benzeyeceğini de çizmiş olduk.

Doğru mudur? Bak benim fonksiyonumun önünde eksi varsa ne yaptım? Bir anda yön değiştirdi. Aslında yaptığım şey nedir biliyor musun?

Önüne eksi koyduğunda dikkat et. Y değerlerinin hepsi işaret değiştirdi. Yani kısaca ben fonksiyonumda ne yapmış oldum? Y eksenine göre simetri aldım değil mi?

Benim fonksiyonum az önce şöyle miydi? Y eşittir x'ti. Y eksenine göre simetri almak demek şuradaki parçayı buraya geçir.

Buradaki parçayı buraya geçir demektir. Şimdilik dur bakalım. Geliyor yavaş yavaş anlatacağım ben size.

3 merak etmeyin. X eksenine göre simetri alırım. Oğlum yanlış söyledim.

Y eşittir x'i çizdim. Y eşittir x'i x demek x eksenine göre simetri al demektir. Merhaba. x eksenine göre simetri aldım. Bu bu tarafa geçti.

Bu arkadaş da yukarı çıktı. Neyse orayı kafana takma. Birazdan şey kısımlarını da söyleyeceğim. İlk söyledim yanlıştı ama düzelttik sonrasında.

Hocam neyi bilmeliyiz? Bak şunların çizimlerini çok iyi bilmelisin. Soru benim fonksiyonum yine real sayılardan real sayılara tanımlı olsun.

f x eşittir. 2 x'in çizimini bilmelisin. g x eşittir.

1 bölü 3 x'in çizimini bilmelisin. h x eşittir. eksi 3 x'in çizimini bilmelisin.

Niye özellikle bunları vurguluyorum? Bunlarla ilgili özel bir not yazmak istiyorum sana. Şimdi benim fonksiyonlarım doğrusal referans fonksiyonum neydi? Burasıydı. Y eşittir x'den türetiliyor.

Y eşittir m x dediğim yerde şuradaki m değeri bizim fonksiyonumuzun eğimidir. Anlaştık mı? Eğer benim fonksiyonum ne olabiliyordu? artan fonksiyon olabiliyordu. Ya da benim fonksiyonum nasıl fonksiyon olabiliyordu?

Azalan fonksiyon oluyordu. Eğer benim fonksiyonum artan bir fonksiyonsa fonksiyonumuzun eğimi sıfırdan büyük çıkar. Eğer benim fonksiyonum azalan bir fonksiyonsa eğimi sıfırdan küçük çıkar. Ve her zaman doğrusal fonksiyonlar da şuna benzer.

Eğer m değeri sıfırdan büyükse bak şöyle çizerim. Yani şurası dar açı olacak şekilde çizersin. Bu fonksiyonların hepsi dikkat et dar açı varsa. Aa hepsi artan hocam aynı zamanda. Eğer ben fonksiyonumu x80 ile geniş açı olacak şekilde çizersem.

Bak burası gerçekten bir geniş açıdır. E geniş açı olacak şekilde çizersem bu fonksiyonum ne oldu? Dikkat et azalan bir fonksiyon oldu.

Ve biz bunu nereden anlıyoruz? Önündeki kat sayıya bakarak. Buraya kadar problem yok herhalde. Çok hızlı bir şekilde. Artık bunun çizimini neyden faydalanıp çizebilirim?

Doğrusal referans fonksiyonundan faydalanıp çizebilirim. Önce doğrusal referans fonksiyonumu çiziyorum. Doğrusal referans fonksiyonu neydi?

Y eşittir. F, X o da eşittir. Aslında biz görmesek de burada X'in önünde hangi kat sayı var? 1 var. Eğer önündeki kat sayı artarsa benim fonksiyonum daha dik bir pozisyona geçer.

Bu hale döner örneğin. Y eşittir. F, X eşittir.

2x. Neden? Eğimim arttı. Artık fonksiyonum daha hızlı büyüyecek.

Daha hızlı büyüyebilmesi için daha dik pozisyona geçiyor. Anlaştık mı? Eğer ki eğer ki benim fonksiyonumun grafiği 1 bölü 3'e sahipsin önünde. Y eşittir fx'i çizdik ya.

Evet hocam benim grafiğim bundan daha yatay pozisyonda olacak. Hee hiç uzun uzun çizmemize gerek yok. Y eşittir.

Şuna F, buna ne dedik? G fonksiyonu dedik. Gx eşittir.

1 bölü 3x. Süperiz. Hani az önce bir fonksiyondan daha bahsetmiştim ben sana. Demiştim ki bir tane daha ikinci açı ortay fonksiyonu olarak da adı geçiyor.

Y eşittir. Mx diyelim ona da eşittir. Eksi x bu değil mi? Eksi x de eğer önündeki kaç sayı daha da küçük bir sayısa hem negatif hem daha küçükse nereden geçmek zorunda abi? Bak yine o da diçeliyor.

Daha çabuk negatif değerler alıyor. Daha küçük değerler alıyor. Haliyle o da daha dik bir pozisyona geçiyor.

Onun da değeri eşittir. H eşittir. X eşittir.

Eksi 3. X şeklinde yazılır. Çizilir. Anlaştık mı?

E hocam ben bir tane daha fonksiyon istiyorum. Seni mi kıracağım ya? Kx fonksiyonu eşittir.

Eksi 1 bölü 2x fonksiyonu. O halde o fonksiyon da ne yapacaktır? Biraz daha yatay ama negatif tarafta olacaktır.

Bunların çizimlerini bilmekte çok fayda var. Ama kaba taslak çiziyorum ben. Çizsem de kesinlikle ama kesinlikle buna benzeyecek zaten.

Bundan yana kurtuluşu da yok. Valla baya renkli bir pozisyon yaptık buraya ama. En azından bütün yanında hiç artı eksi olmadan herhangi bir doğrusal fonksiyonunda doğrusal referans fonksiyonundan faydalanıp nasıl bulunabildiğini anlattım.

Hızlıca bak bu fonksiyonu artandır, bu fonksiyonu artandır, bu fonksiyonu artandır. Fakat bu fonksiyonu azalandır, Hepsinin de maksimum minimum noktaları yoktur. Hiçbirinin yok. Hocam hiç olan olmuyor mu ya?

Hiç olan olmaz mı hocam? Olur. Ben sana hemen onun da bir örneğini vereyim. Bak hepsini tekrar ediyorum.

Yine f eşittir bu sefer eksi 2'den 3'e doğru. Real sayılara doğru fx eşittir. X fonksiyonunun grafiğini çizelim beraber.

Hocam ne var bununla çizeriz ya. Az önce öğrendik. Hemen neye bakıyorduk?

Değer tablosuna bakıyorduk değil mi? Değer tablosundan faydalanıp çizmek çok kolaydı çünkü. Yine eksi mi yazdım, yine f eksi mi yazdım.

Dikkat et. Bu sefer artı sonsuz, eksi sonsuz yok. Eksi 2 ile eksi 3 arası.

Kapalı aralık. Eksi 2, eksi 1, 0, 1, 2, 3. Aralık çok büyükse, mesela burada çok sayı varsa araya nokta nokta. Ama bir de son sayıyı yazman da fayda var.

Anlaştık mı? Son sayıyı kesinlikle görmelisin. Eksi 2 verdim de cevap eksi 2. Eksi 1 verdim de eksi 1. 0 verdim de 0. 1 verdim de 1. 2 verdim de 2. 3 verdim de 3. Şimdi geldim grafiğini çizmeye.

İşte öttüreceğimiz yer geldi arkadaş. Benim fonksiyonumun önce uç noktalarını çizmemde fayda var. Neymiş uç noktalarımız hocam?

Eksi 2'ye ki eksi 2 burası olsun. Cevabımız da yine ne geldi? Eksi 2 geldi. Eksi 2'ye eksi 2 noktası burası. Diğer uç noktamız neresi hocam?

3'e 3 noktası. 3'e 3 noktasında çizdiğimde elde ettiğim nokta burası mıdır? Artık fonksiyonumun grafiğini çizebilir miyim?

Tamamını çizmeyeceksin. Bitiş noktanla başlangıç noktanı belirle. Aradaki noktalar zaten tutacaktır. Kurtuluş yok. Örneğin eksi bire cevap nereye geldi?

Eksi bir geldi. Artı bire cevap nereye geldi? Artı bire geldi. Sıfıra sıfır tam göbek zaten.

İkiye iki cevabına geldi. Buraya geldi. Benim fonksiyonum normal şartlarda doğrusal referans fonksiyonunu çizseydim. Bak bu fonksiyonun grafiği şuradan devam etmesi gerekiyor. Hadi onu farklı renkle çizelim ve karışmasın.

Doğrusal referans fonksiyonun buradan sonsuza kadar devam etmesi lazım. Ama yetmiyor. O halde benim fonksiyonumun artık tanım kümesi değişti. Tanım kümesi nerede başladı hocam?

Kimlere bakıyorduk? Grafikte x'in hizası. Eksi 2'de başladık. Nerede bittik?

3'ün hizasında grafik bitti hocam. Haa. Eksi 2'den 3'e kadar. Peki gel. Görüntü kümesini yazalım beraber.

Görüntü kümesi ne oldu? Y'lerin hizasına bakıyoruz. En dipte eksi 2, en tepede artı 3. Aha da bu fonksiyonun da görüntü kümesi de aynı şekilde eksi 2'ye 3 oldu mu oldu. Devam. Başka ne soruyorduk biz?

Görüntü kümesi. Fonksiyonun sıfırı. Hocam fonksiyonun sıfırında bir değişiklik olmadı.

Bu fonksiyonun sıfırı kesinlikle fx eşittir. Sıfır olduğu yer x'in sıfır olduğu yerdir dedin. Noktayı koydum burada.

Fonksiyonun işaret tablosunda da bir değişiklik olmadı. Bak x yazdım fx yazdım. x'in eşittir sıfır olduğu yer neresidir? Fonksiyon bu tarafta pozitif. Bak gerçekten bu tarafta fx'in değerleri pozitif.

Nereden anladım? Grafik x ekseninin üstünde. Bu çok kıymetli.

Grafiğin x ekseninin altında olduğu yer neresi? Burası bak. Fx burada sıfırdan küçük. Grafiğim orada sıfırdan küçüktür dedim.

Fonksiyon artan mı yoksa azalan bir fonksiyon mu? Sınırlamam fonksiyonu mu? Artanlığını azalanlığını etkilemedi.

Bu fonksiyon hala ne yapıyor? Cayır cayır yukarı çıkıyor. Yani artan bir fonksiyondur. Peki başka maksimum noktasını bulmadık.

Bu fonksiyonun hocam maksimum noktası. noktası neresidir fonksiyonun maksimum noktası demek fonksiyonun en büyük değerini aldığı yerdir buranın koordinatı kaç 3e 3 noktası o halde geldim bu fonksiyonun maksimum noktası 3e 3 noktası şöyle yazsaydı maksimum değeri deseydi bak değer kelimesi hep bana kimi anlatacak y y değer neymiş maksimum değeri sadece 3 yazacaktı Peki hocam benim fonksiyonumun minimum noktası neresidir dediğinde en dipteki yer, en dipteki koordinat dikkat et. Bu koordinat kaç?

Eksi 2 eksi 2 noktası. O halde eksi 2 eksi 2 noktası. Bu fonksiyonumun minimum değeri deseydi kime bakacaktım?

Y değerine. O da nedir? Eksi 2'dir güzel arkadaşım. İşte bizim en azından ilk olarak bilmemiz gereken fonksiyon türleri bunlar.

Bunları canavar gibi öğrendiğimizi varsayıyorum. Şimdi yolumuza devam ediyorum. Hangi tip fonksiyonlarla?

a çarpı f x eksi artı r artı k şeklindeki yine doğrusal referans fonksiyonundan türeterek ilerlediğimiz fonksiyon türlerine bakacağız. Diyeceksin ki hocam bunun bizim fonksiyonla ne alakası var? Ne alakası var göstereyim ben sana. Şimdi sorumuz şu. Aslında biz o fonksiyona nereden ulaşıyoruz biliyor musun?

Yine ben fonksiyonumu real sayılardan real sayılara tanımlayayım. fx fonksiyonumu eşittir. x'i biliyorsun. Arkadaş ben burada x gördüğüm yere bundan sonra canım sıkıldı dedim ki ben x artı 3 yazacağım.

Anlaştık mı? Peki x artı 3 yazınca yeni bir fonksiyon elde edelim. gx fonksiyonu olsun adı.

x gördüğümüz yere ne yazalım dedik? x artı 3 yazalım dedik. Aslında benim yaptığım işlem fx eşittir x kısmı neydi?

Benim fx fonksiyonuma aslında kaç eklemiş olduk hocam? 3 eklemiş olduk. Beklemiş olduk.

Güzel. Önce bunun grafiğini çizelim. Sonra mantığını anlatacağım.

Ötelemelerden bahsedeceğim. Hiç panik yapma. Önce bana verilen x artı 3 şeklindeki bir fonksunun grafiği nasıl çizilir? Arkadaş hemen işaret tablosu yapacaksın. Tabii ki değer tablosu özür dilerim.

Bu değer tablosunun üzerinde x'e f'i gösterdim. Sınırlarımızı eksi sonsuz artı sonsuzu gösterdim. İlk olarak neyi bulmaya çalışıyorum? Bunun cevabını sıfıra götüren değeri. İşimi inanılmaz kolaylaştırıyor.

Bak x artı 3'ün cevabı 0 olabilmesi için x'e kaç vermeliyim? x'e 3. O zaman diyorum ki x'e x'e 3 verirsem fonksiyonumun değerine çıktı 0. Hadi biraz arttırayım. x'e x'e 2 verirsem g fonksiyonunda x'e x'e 2 verirsem x'e 2 artı 3'ten cevap ne oldu? A 1 oldu hocam.

x'e x'e 1 verirsem g fonksiyonunda x'e 1 verince x'e 1 artı 3'ten cevap ne geldi? 2 geldi. A 2 oldu. Peki 1 x'e 4. bir de eksi 5 verelim.

Ben yine g fonksiyonunda eksi 4 verirsem eksi 4 artı 3'ten cevap ne geldi? Eksi 1 geldi. Yine g fonksiyonunda x yerine eksi 5 verirsem eksi 5 artı 3'ten cevap ne geldi? Eksi 2 geldi. Buraya kadar bir problem var mı?

Yok. Bizim için en kıymetli yerlerden biri neresiydi? Fonksiyonun değerinin sıfır olduğu yerlerden biriydi.

Burayı unutmuyorduk. Artık fonksiyonumun grafiğini çizebilirim dedim. Gel bakalım fonksiyonumuzun grafiğini çizelim beraber. Hiç bir panik yok. Emin ol bu sınavdan güzel işler yapacaksın.

Ya da fonksiyonlar aslında bu kadar. Baya baya çözüyoruz artık bak seninle. Nereden başlıyorum?

Eksi 3'e 0 noktası. Eksi 3 burası. Eksi 3'e 0 burası hocam.

Eksi 2'ye 1 noktası. Eğer ben... Şurayı eksi 2 alırsam. Şurası da eksi 1 olursa. Şu noktadan geçeceğiz.

Doğru mu? Eksi 1'e 2 noktası. Eğer ben burayı eksi 1 alırsam.

Şurası ne olacak? 2'ye tekabül edecek. Şöyle gösterdim.

Burası da 2 noktası. Diğer noktaları da çizebilirim ama. Hadi neyse çizeyim bir tane de.

Eksi 4'e nereden geçeceğiz hocam? Eksi 1'den geçeceğiz. Eksi 1 dediğimiz yerde bak burası. Şuradan geçtik.

Ardından artık bu noktaları birleştirebilirim ki. İki tanesini bile çizmem yeterliydi. Benim bu elde ettiğim fonksiyon nedir?

Her seferinde y eşittir diye başlayabilirsin. g, x o da eşittir neymiş? x artı 3'ün grafiğiymiş. Şimdi hızlıca yorum yaptırayım sana. x'in önündeki kaç sayı kaç?

1, pozitif. O zaman bu fonksiyon kesinlikle artan fonksiyondur der miyiz? Deriz, artan fonksiyon.

Peki gel, hemen fonksiyonun işaret tablosunu yapacak olsam. x'e fx. Fonksiyonun değeri nerede sıfır oldu?

Eksi 3'te. O zaman x eşittir. eksi 3'ün hizasında fonksiyonumun değeri 0. Fonksiyonum bak tam burada.

Tam şunun hizasında bir dakika başka kalem alalım. Tam şunun hizasında 0 çıktı. X ekseninin nerede? Üstündeyim artık. Nerede?

Eksi 3'ün sağ tarafında. Yani fonksiyonum burada 0'dan büyük değerler alıyor. Gerçekten Allah aşkına grafiğe bir bakar mısın ya? Grafik bak.

X ekseninin üstünde. E burada nerede hocam? X ekseninin altında gördün mü? E x ekseninin altındaysa şu bölgede oraya ne diyeceğiz? Ve x 0'dan küçük.

Hocam bak burada sıfırdan büyük artı. Burada sıfırdan küçük. Bu fonksiyonun değeri kesinlikle eksilir. Bitti bu kadar. Ya artanlığı, azalanlığı daha grafiği çizmeden karar verebiliyorsun.

X'in önündeki kat sayıya bakıp sen daha ne diyorsun? Hocam tanım kümesini yazdırsan. E çok kolay deminden beri yazıyoruz. Bak görüntü kümesi, tanım kümesi, en geniş tanım.

Hocam real sayılar. Görüntü kümesini yazdırır mısın? Sınır yok abi real sayılar. Fonksiyonun sıfırını yazdırır mısın?

Aha bak referans fonksiyonundan farklı buradaki. Nerede kestik? Eksi 3'te. Bak f eksi 3'ün cevabı 0 olduğundan x eşittir. Eksi 3 benim fonksiyonumun 0'ıdır.

Fonksiyonumun 0'ını bir de nerede kullanıyorum dikkat et. İşaret tablosunda 0'ı gösterirken kullanıyoruz. Burası da önemli.

Dilimde tüy bitti valla var ya. Yoruldum biraz ama devam. Maksimum noktayı sorduğunda. Hocam maksimum noktası yok ki bir tepe değeri yok. Minimum noktasını sorduğunda.

En dip noktası yok. İndikçe iniyor. İndikçe iniyor. Hocam bu fonksiyon bire bir bir fonksiyon mudur?

Evet yatay doğru testi uyguladığımda her seferinde sadece tek noktada kestiğim için bu fonksiyon bire birdir diyeceksin. Fonksiyonun artan azalan olduğu aralığı söyledik daha doğrusu her zaman nedir bu fonksiyon? Artan bir fonksiyon bu arada her zaman artan olmayan fonksiyonlar da var onu da sana söylemiş olayım. Şimdi bir tane daha fonksiyon çizeceğiz arkadaş ondan sonra mevzuyu başka bir yere bağlamaya çalışacağım. Ötelemelere bağlamaya çalışacağım.

ötelemelerden de bahsetmeden bu dersleri bitirmek istemiyorum. Ki daha mutlak değerli fonksiyonlar var. Onları da anlatacağım. Hepsini bu derste bitireceğiz. Bakayım kaç dakika oldu.

Ay maşallah. Anlat hoca anlat. Anlat hoca anlat. Valla çok seviyorum ben anlatmayı. İnşallah sen de anlayabiliyorsundur.

Ne mutlu bana o zaman. Şimdi yine biz bir f fonksiyonu alalım. Real sayılardan real sayılara doğru. Bu sefer f fonksiyonunun kuralı şu olsun. f x eşittir eksi 2 x artı 6 olsun.

Bunun grafiğini çizmek istiyorum abi. Ne dedim? Dedim ki önce bunu sıfır yapan değeri bulursan işin çok kolay olur.

Hemen bunu yap. Sınav anında Mehmet Hoca dedi dersin tamam mı? Eksi 2x eşittir eksi 6'dan.

X'se ne vermeliyim? 3. Ondan sonra ne yapacağız dedik? İşare pardon değer tablosu.

Değer tablosunu yaparsan grafiği çizmen kolaylaşır. X dedim. Fx dedim.

Şurası eksi sonsuz. Burası artı sonsuz. Sıfırlayan değer neymiş? Eksi 3 bak.

Eksi 3'ü nereye yazıyorum? Şuraya yazdım. Birazcık sıhh.

Az önce de eksi 3 gelmişti be. Farklı bir şey gelsin mi? Kafadan yazıyoruz şimdi soruları şey olmasın.

4 verelim. 4 verelim. Bak şuraya 4 verelim.

Artı 4 dedim. Eksi 4 olarak geçti. X eşittir 2 çıktı. Hani farklı gelsin diye uğraşıyorum deminkinden.

X eşittir. Artı 2 geldi ama değil mi? Artı 2 geldi.

E zemininki eksi 3'tü bu artı 3'tü aslında. Neyse be böyle gelsin. Artı 2 geldi.

Hocam bir tane. Artı 2 verince fonksiyonun değeri ne oldu? Sıfır oldu.

İstersen dene bak. X yerine 2 yazınca eksi 2 çarpı 2 artı 4'ten cevap sıfır. Şimdi bir tane arttırdım.

3 verdim. Eksi 2 çarpı 3 artı 4'ten. Eksi 6 artı 4 tane oldu. Cevap eksi 2 geldi.

Bir tane de soluna verelim. Hiç fark etmez. Az verdin hocam. Azmaz değil o bize.

Yeter. Azmaz demeyeceksin. İdare edeceksin arkadaş.

Tamam mı? X yerine ne verdim? 1 verdim. Cevabım ne geldi?

2 geldi. Şimdi gel bakalım. Fonksiyonun grafiği için iki tane bile noktam olsa yetiyordu. Ben de fazladan noktalar var. Fazla mal göz çıkarmaz dedim.

Oturdum çizmeye başladım. Şöyle grafiklerimin yerlerini belirledim. Yalnız şunları biraz şöyle sola doğru kaydıracağım.

Daha çünkü işlemler yapacağız. Şimdi 2'ye 0 noktasından geçiyor. 1 noktası burası olsun. 2 noktası burası.

Tam yani bu yuvarlaktan geçecek. 3'e eksi 2 noktasından geçecek. 3 burası.

Eksi 1. Eksi 2 burası olsun arkadaş. Eksi 2 noktasından geçecek. Doğru mu? Tamamdır. 1'e 2 noktasından geçecek.

1 noktası burası. Direkt 2'ye mi gitti o ya? Bakayım.

Eksi 1 2'ye gitti. Tamam yanlışlık yokmuş. Şurada nereden geçiyormuşum?

2 noktasından geçiyormuşum fonksiyonumla. Peki artık grafiği çizebilirim. İşte çizdiğim bu fonksiyonun grafiği nedir?

Y eşittir. F X eşittir. Eksi 2 X artı 4 fonksiyonun grafiğidir.

Ve bu fonksiyon hemen söyle. Artan mı azalan mı? Tabii ki azalan. Yani buna başka bir şey dersen vallahi ayıp edersin.

Grafiğe baksana abi. Bağıra bağıra aşağı iniyor. Oraya bakmama gerek yok hocam. Burası eksi ise azalandır. Bitti.

Bitti abi. Hemen gel bir de işaret tablosu yapalım meselenin. İşaret tablosunu yaparken nereye bakıyorduk aslında?

Fonksiyonun x80'ini kestiği yer. Ya da bak sıfıra 2 noktası değil mi? x eşittir 2 de fonksiyonun değeri sıfır.

Peki bunun sağında her zaman farklı şeyler gelebiliyor bak mesela. Bunun sağında x80'nin altında kalmışım. Demek ki benim fonksiyonum negatif değerler aldı. Gerçekten bak sağında negatif, solunda pozitif değer alıyor.

Gerçekten öyle mi hocam? Göster bize bilelim. Gerçekten bak fonksiyonumun grafiği x80'nin üstünde.

Sol tarafta x eşittir. 2'nin solunda x eşittir. 2'nin solunda ki solu bu taraf.

x80'nin üstündeysem fonksiyonumun değerleri pozitiftir. Geldim o pozitif değerleri de burada da gösterdim. İşaret tablosu da yine bizim için önemli.

Başka ne istiyoruz hocam? Bir fonksiyonda. İşte fonksiyonun tanım kümesi.

Real sayılar. Fonksiyonun görüntü kümesi. Real sayılar. Herhangi bir sınır koymadım.

İçimde sıkıntı yok. Özellikle bu tanım görüntü kümelerini biz şeyde isteyeceğiz. Mutlak değerli fonksiyonlarda.

Onu da hemen burada anlatacağım birazdan. Bunu da bitirdik. Hocam başka ne verebilirsin bana?

Ne vereyim abime? Ne vereyim abime? İşte tanım kümesi dedik.

Maksimum noktası. Maksimum noktası yoktur. Çünkü en tepeye çıkıyor.

Minimum noktası. Efendime söyleyeyim. o da yoktur.

Başka? Hocam fonksiyonun sıfırı. Fonksiyonun sıfırı neresidir? F2 eşittir sıfır yani x eşittir 2 bizim fonksiyonumuzun sıfırıdır.

Fonksiyonun azalan olduğunu söyledik. Fonksiyonun işaret tablosunu yaptık. Bu fonksiyon da yine diğerleri gibi nedir?

Birebir fonksiyondur diyebiliriz. Nereden diyebiliriz? Hocam bak yatay doğru test yapıyorum.

Her seferinde kaç noktada kesiyorum? 1. Ne zamanki 2 noktada kestin ya da 3 ya da daha fazla küt. Eliyorsun abiler.

Nereye geliyorsun bu diyorsun birebir fonksiyon değiller diyorsun. Anlaştık mı? Artık bunun da çizimini öğrendik mi?

O zaman genel bir yorum yapmaya yavaştan başlayayım ben sana. Eğer sana fx fonksiyonunu verir, fx fonksiyonum yani herhangi bir fonksiyon olsun hiç fark etmez. Bu fx fonksiyonumda fonksiyonumun dışına bir sayı eklersem, örneğin a sayısını eklersem, bunun anlamı şudur.

Y ekseninde, y ekseninde... evet fonksiyonun dışına bir değer eklenirse y ekseninde a birim yukarı çıkar demektir. Tabi ki a sıfırdan büyükse. Tamam mı? a sıfırdan büyükken.

Peki hocam ben aynı şekilde fx fonksiyonunda fx eksi a yazarsam yine y ekseninde a birim aşağı indir demektir grafiği. İlk grafiğine göre a birim aşağı indireceksin. Peki e Ben fonksiyonumun içine bir şey ekler ya da çıkarırsam. Bak fx-1 yaparsam ne olur? Pardon.

Eksi 1 demeyelim. x-a yaparsam ne olur? Bu arada a'yı burada sıfırdan küçük kabul etmedim.

a'yı burada da sıfırdan büyük kabul ettim. Çünkü çıkarıyorum. Tamam mı? Ya burada sayı vereyim.

Ben senin kafanı karıştırmayayım. Ki böylelikle daha iyi anlarsın. Mesela x-3 yazdım. Bu sefer artık x ekseninde işlem yapacağız.

İçine bir şey yapıyorsan x ekseninde dışına bir şey ekleyip çıkarıyorsan y ekseninde. Burada da ters yapıyorsun. Eksi 3 dediğinde 3 birim sağ.

Normal şartlarda sağ gittiğinde değerler artar. Burada eksi 3'te artıyormuş gibi davranıyorsun. Aynı şekilde fx fx artı 2'nin grafiğini sorarsam ben sana. X ekseninde ilk duruma göre 2 birim sola kaydırıyorsun. Bütün olay mevzu bu.

Misal benim elimde y eşittir fx fonksiyonu o da eşittir x fonksiyonu var. Ben bu fonksiyonun ki adına fx dedim ya bana kardeşim fx artı 3'ü çiz desem artık çok hızlı bir şekilde çizebiliyorsun. Dersin ki hocam 3 birim nereye kaydıracağım?

Yukarı doğru kaydıracağım. Bu fonksiyonu buradaydı x eksenini kestiği yer burasıydı. 3 birim yukarı kaydırdım.

Fonksiyonumun yeri ne oldu bak. Diğerine paralel çizmek zorundayım doğrusal olduğu için buradan geçti. Eee artık eksi 3'e 3'ten geçecektir benim fonksiyonum.

Fonksiyonu uzun uzun çizmekle uğraşmıyoruz. Anında çizimi yapabiliyoruz bu ötelemeler sayesinde. Tabi ötelemeler üzerinde çok fazla durmuyorum hep burada. Ben gerekli olan tüm bilgileri bunlarla ilgili verdim. Artık mutlak değer fonksiyonunun grafiğine geçebiliriz.

Mutlak değer fonksiyonunun grafiği. İşte burası gerçekten önemli. Garanti sorulardan beklediğimiz yerlerden biri burası. Çünkü burada özellikle tanım görüntü kümelerini sormak çok daha güzel oluyor. Ben şunu istiyorum.

x eşittir mutlak. X'in grafiğini bana çizer misin? Tanım kümesini alayını bulacağız beraber. Nasıl çizeceğiz? Önce mutlak yokmuş gibi yapıyorsun.

Bak birinci adım. Adım adım beraber ilerleyelim. Mutlak değer yokmuş gibi çiz. Mutlak değer yokmuş gibi çiz. Yokmuş gibi.

Çiz. Peki bu ne demek hocam? Biz mutlak değer yoksa eğer bu fonksiyona y eşittir f x eşittir x deriz.

Öyle değil mi? Peki bunu çizmeye biliyor muyuz? Diyelim ki bilmesek ne yaparsın dersin ki Hocam ben hemen bunun Değer tablosunu yaparım. X yerine 0 verince cevap 0. X yerine cevap verince cevap 1. X yerine 2 verince cevap 2. X yerine x'i 1 verince cevap x'i 1. Noktaların sayısını arttırabilirsin.

Ardından fonksiyonun grafiğini çizeriz. Bak inanılmaz güzel bir taktik. X'e y'yi elde ettik mi?

Eldettik. Çizeceğim fonksiyonun grafiği nedir? Budur. Y eşittir.

X'in grafiği biraz bozuk ha. Y eşittir. F, X eşittir. X ama ben mutlaklısını istiyorum dediğin an.

Şu X80'nin altında kalan kısmı yukarıya doğru simetri alıyorsun. Aynı şekilde almak zorundasın ama. Bak yukarıya doğru simetri aldım. Hocam üstteki yeri ne yapıyoruz?

Üstteki yere hiç dokunmuyorsun. Orası aynen kalacak. Alttaki yeri de sonra sil karışmasın.

Artık neyin grafiğini çizmiş oldum ben? Y eşittir. F, X. eşittir mutlak.

X'in grafiğini çizdim. Mutlak dediği an X80'nin altında kalan kısmı yukarıya taşıyacağız. Eğer parça bu taraftaysa bu tarafa taşıyacağım.

Parça bu taraftaysa bu tarafa doğru taşıyacağım mantıkken zaten. Şimdi geldim. Bunun için önemli noktalara. İlk olarak neyine bakacağız? En geniş tanım kümesine bakacağız beraber.

Yazalım bakalım. Beyaz kalemimi aldım yine. Tanım kümesi eşittir abi. Tanım kümesi X80'in de taradığım bölgedir.

Bak X'e nereden başlıyorum? Eksi sonsuzdan değerler vererek X eksenine grafikle birlikte ilerletimde Nereye kadar gittim? Artı sonsuza.

Biz onu neyle gösterdik hep? Real sayılarla gösterdik. Geldim görüntü kümesine.

Görüntü kümesi Y ekseninde nereden başladı? Bak sıfır burası abim sıfır. Sıfırın hizasından başladım. Nereye doğru gittim? Bak Y ekseninde grafiğin üstünde kalan bölgeye bak bak bak.

Nereye gittim? Artı sonsuza kadar gittim. O halde bunun tanım kümesi Sıfır kapalı aralığından Artı sonsuz açık aralığıdır. Bak diğer sorulardan farklı o yüzden önemli.

Peki bu fonksiyonun sıfırı neresidir? Sıfırı demek x eksenini geçtiği yer demektir. F sıfırı eşittir.

Sıfır çıktığı için x eşittir. Sıfır benim fonksiyonumun sıfırıdır. Fonksiyonun işaret tablosunu yapar mısın? Yaparız. Canına bile okuruz.

Gel. X'i yazdım. F x eşittir. Bak buraya da mutlaka x yazacağız. X'e sıfır verdiğimde fonksiyonun cevabının sıfır olduğu yer burası mı?

Evet. Fonksiyon sıfırın sağ tarafında pozitif mi? Pozitif.

Sol tarafında a orada da pozitif hocam. Yani fonksiyon dikkat et hep x ekseninin üstünde mi kalıyor? Hep üstünde kalıyor.

Süper. Bak neleri çözüyoruz neleri. Peki fonksiyonun artan azalan olduğu aralıkları inceleyeceğiz. Dikkat et fonksiyon buradaki aralıkta nedir? A azalan davranıyor hocam fonksiyonum burada.

Peki buradaki aralıkta fonksiyonumun grafiği nereye doğru gidiyor? Artan gidiyor hocam. Ya inanılmaz bir bilgi bu. Neden? Eksi sonsuzdan geliyorum x'in hizasında.

Sıfıra kadar ne yaptım? Azalan davrandım. Peki sıfırın hizasından başladım. Nereye kadar?

Artı sonsuzun hizasına kadar da artan davrandım. Lütfen şunları kapalı yapmayı unutma. Ezbere de yapma yalnız.

Maksimum minimum noktalarını yazalım şimdi. Çok güzel çözüyoruz yahu. Çok güzel çözüyoruz yahu.

Ben inanılmaz lezzet aldım şu an bu dersen ya. İnşallah senin için de öyledir. Maksimum nokta. Ya abi sen fonksiyonun maksimum noktasını görebiliyor musun? Ben göremiyorum açıkçası.

Yoktur. Ama gel gelelim ezbere yapan adam buna da yoktur derse patlar işte. Minimum nokta.

Belli. Daha aşağıya iniyor musun y ekseninde? İnmiyorsun.

Hangi nokta orası? Sıfıra sıfır noktası. Sıfıra sıfır noktası.

Şöyle sorsaydı minimum değeri deseydi sıfırdaki yani. Bu sıfıra sıfır noktası yani minimum noktasında yazdığın y değerini yazıyorsun. O y değeri kaç? Sıfır. Hocam minimum değeri de sıfır.

Bire bir mi? Bire. Bir mi?

İşte bir kritik soru daha. Ne demiştik? Yatay doğru testi. Bak yatay doğru yaptım. A iki noktada kestik hocam.

A iki nokta. Hocam tam buradan kestim. En aşağıdan bir noktada kestim.

Fark etmez. Bir kere bile iki noktadan kestim mi? Bu fonksiyon bire bir değildir. Bire bir değildir.

Peki gerçekten bunu bana örnekle göster desem. Örneğin F1'in cevabı mutlak içerisinde birden dolayı nedir? 1'dir. F eksi 1'in cevabı nedir? Mutlak içerisinde eksi 1'den dolayı cevap nedir?

O da artı 1'dir. F normal şartlarda x eşittir 1 ile x eşittir eksi 1 birbirine eşit midir? Değil. Ama bunların değerleri birbirine ne çıktı? Eşit çıktı hocam.

İkisinin de değeri 1 çıktı. O yüzden bu fonksiyon bire bir fonksiyon değil. Her farklı x için farklı bir x değeri bulmak zorundasın. Mutlaktaki en büyük espride bu abi.

Ben yine sana mutlak değerde hani bir tane daha soru yazayım. Hatta onu bir tane de böyle azıcık kallavi bir soru yapmaya çalışacağız. Tamam mı?

Şurada kallavi bir soru olmaya çalışsın. Yoksa bunlarla ilgili zilyon tane örnek çözdüm. Lütfen, lütfen, lütfen. Daha fazla soru avcısı için gelip o yazılım provası videolarını falan izlemen lazım. Orada çok fazla çözdük.

Tabii ki bir de fonksiyonlar derslerini izlemen lazım. Hocam, bizim hoca sınavda şunu sordu ya. X eksi 2 artı 3'ün grafiğini sordu ya. Çok hızlı bir çiziliş yöntemi var. Önce uzun yöntemden başlayacağız.

Hah yukarıda şunu söylemeden de geçmeyelim. Şunu da söylemeden geçmeyelim. Fx eşittir.

Mutlak içerisinde x fonksiyonu her mutlaklı fonksiyon parçalı fonksiyon olarak yazılır. İçeriği sıfır yapan değerine x eşittir sıfır. Eğer x sıfırdan büyük olsaydı yani mutlak değerin işareti sıfır ya da sıfırdan büyük olsaydı dışarı aynen çıkardı ya da mutlak Mutlak işareti ya da x'leri sıfırdan küçük olsaydı dışarıya işaret değiştirip çıkardı.

O yüzden bu mutlaklı fonksiyonu biz iki türlü dışarı çıkarız. Ya x aynen dışarı çıkar x sıfırdan büyük eşit olduğunda ya da önüne eksi alarak çıkar x sıfırdan küçük olduğunda. Şimdi örneğimiz bu. O örneğe tekrar geri geleceğim ama şu önemliydi.

Orayı da atlamak istemiyorum. Hocam bizim hoca sınavda şöyle bir şey sordu. 2x eksi ya da... Ne diyelim?

Artı 8 fonksiyonunu verdi. Bu fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazar mısınız? Mutlak değerli ya. Önce fonksiyonun hemen içerisini mutlak değerini içerisini sıfıra eşitle. Ya da fonksiyonun tamamını hiç fark etmez.

2x eşittir. Eksi 8 geldi. X'in cevabı eksi 4 geldi. Demek ki bu fonksiyon eksi 4'ten büyük değerler alırsa benim fonksiyonum bak eksi 4'ten büyük eşit alırsa dışarı aynen çıkar. Aynen çıkması demek 2x artı 8. Mutlak değerin tanımı bu.

Mutlak değerde anlattım bunları. Hani burayı anlayamayan arkadaşlar için. x eksi 4'ten küçükse işaret değiştirip çıkar.

İçeride ne var? 2x artı 8. İşaret değiştir. Eksi 2x eksi 8. O halde fx fonksiyonunun kuralı eşittir.

Ya 2x artı 8 diye çıkar. x büyük eşit eksi 4 olduğunda ya da eksi 2x eksi 8 x küçük eşit, pardon küçük eşiti artık koyamam. Eksilisi çıkar, eksi 4'den küçük olduğundan. Şimdi soruma geri döneyim artık.

Elimde böyle bir fonksiyon var. Hemen ne yapacağız? Bu fonksiyonun cevabını önce hiç mutlak değer yokmuş gibi çizmeye çalışacağız. Öyle değil mi?

Normal şartlarda bu fonksiyonu şöyle hayal edeceksin tabii ki. Bak, sadece bu kadarı varmış gibi düşüneceğiz. Sonra devamını yapmaya çalışacağız. Anlaştık mı?

Öteleme yöntemiyle öyle çözülüyor. Öteleme olmazsa diyeceksin ki hocam benim fonksiyonumda şuranın içerisini sıfır yapan değer ne? Bunu bir parçalı fonksiyon gibi çizeceğiz.

Birinci yol. Bak birinci yoldan uzun uzun çizelim. Önce onu parçalı fonksiyona çevireceğiz.

Yazalım bakalım. X eksi 2 sıfır yapan değer ne? X eşittir 2. Eğer benim X değerim 2'den büyük olursa ya da eşit olursa dışarı nasıl çıkardı bu ifade? Aynen dışarı çıkar. Yani X...

eksi 2 diye dışarı çıktı. Yanında da artı 3'ü var. Fonksiyonumun kuralı ne oldu?

x artı 1. Eğer x 2'den küçük olursa bu fonksiyon dışarı işaret değiştirip çıktı. Bak eksi x artı 2 oldu. Yanında ne var?

Artı 3 var. Fonksiyon eksi 2 x pardon eksi x artı 5. Kısaca fonksiyonumun yeni kuralı x büyük eşit 2 iken fonksiyonum x artı 1 x 2'den küçük iken Eksi x artı 5 kuralıyla çizilmek zorunda. Alttan devam edeceğim.

İkinci yolu yanına çizeceğim. Şimdi fonksiyonumu çizmeye başlıyorum. Hocam ama işaret tablosu yapaydık ya. Ben böyle göremiyorum diyen bir tayfa olabilir. Hemen işaret tablosunu da o zaman hemen şöyle çözelim.

İki tane işaret tablosu yapacağım. X'e x artı birin değeri için yapacağız. Bak önce şunun için. Bunun içerisini sıfırlayan değer nedir?

Eksi bir değerdir. Bak eksi bir verdim. İçerisi sıfır oldu.

Sıfır verdim. Bir tane bu tarafa doğru gidelim. Bir oldu.

Bir verdim. İki oldu. Eksi iki verdim. Cevap eksi bir oldu.

Güzel. Bu noktaları birazdan birleştirip yazarız. Şimdi ikinci fonksiyona bakalım. Eksi x artı 5. Bunun içini sıfırlayan değer nedir? x yerine 5 verirsen fonksiyonun değeri 0 olur.

6 verirsem fonksiyonun değeri eksi 1 olur. Peki daha küçük verelim. 4 verirsem fonksiyonumun cevabı ne gelir hocam? Artı 1 gelir.

Şimdi bu noktaları burada gösterelim. Ama neresi bizim için kritik noktaydı unutma. x eşittir 2. x eşittir...

2'nin hizasında önce bir çizgi çekiyorsun. Tamam mı? Bunu unutmamak adına.

X eşittir. 2'nin hizası burası. Ardından grafiği çiziyorsun.

Bak 0'da bir bir dakika. Önce neredeyim? Eksi 1'de 0'dayım.

Eksi 1 neresi? Şurası. Eksi 1'de 0'dayım hocam. 0'da 1'deyim. 0'da 1'deyim.

Buradayım hocam. 1'de. 1'in hizası burası.

1'de 2'deyiz hocam. 1'de 2 dediğimiz yer şurası. Şuradayız hocam.

Bu grafiği çiziyorum ama dikkat et. Dikkat et. Grafiği çizdim ya şöyle. Şunu da biraz yukarıya doğru uzatalım.

X eşittir 2'nin doğrusunu. X 2'den büyükken bu grafiği çizeceğim. X 2'den büyük olduğu yer neresi?

Bak bu taraf X'in 2'den büyük olduğu yer. O zaman benim buradaki parçaya ihtiyacım yok. Bu tarafı silmem lazım. Ne diyorum?

Arkadaş benim fonksiyonumun grafiği bu taraf. Tamam mı? Ben bu tarafı istemiyorum.

O tarafı sildim o yüzden. Sadece onunla ilgileniyorum dedim. Bitmedi işimiz. Bitmedi işimiz. Devam ke.

Peki zor bir tane grafik çizeceğim demiştim. İşte bu da onun grafiği. 5'e 0 noktasından geçeceğiz hocam.

5'e 0 neresi olsun? Hadi 5'e 0. Şurası olsun. Şurayı işaretledim.

Hocam 6'ya eksi 1'den geçeceğiz. 6 şurası olsun. Eksi 1 burası. 6'ya eksi 1 noktası da burası olur. Hocam 4'te nereden geçeceğiz?

4'te 1'den geçeceğiz hocam. 4'te buradan geçeceğiz hocam. Peki şunu merak ediyorum. X eşittir. 2'nin hizasından nereden geçecek?

Alttaki grafik. Bunu da görmekte fayda var. X yerine 2 yazarsam eksi 2 artı 5'ten fonksiyonumun grafiği nereden geçecek?

3'ten. Yukarıdaki fonksiyon X yerine 2 yazarsam 2 artı 1 nereden geçti? Aa o da 3'ten geçti. Aslında bu iki fonksiyonun grafiği de şu hizadayken, şuradaki hizadayken 2'ye 3 hizasından geçiyor.

Doğru mu? Benim fonksiyonum da eğer buradan geçseydi buradan geçebilirdi. Şimdi ben fonksiyonumun grafiğini çiziyorum.

Bak tam hemen hemen oldu diyelim. Hadi şu nokta burası olsun. Böyle çizeceğim ama biz burayı istemiyoruz. X ikinden küçük olduğu noktaları istiyoruz ki benim çizmem gereken grafik sadece ama sadece yeşil grafik. Bitti.

Peki bu grafikler böyle her seferinde uzun uzun çizilmek zorunda mı? Asla değil. Hemen. Referans fonksiyonunun grafiği ile başlıyorum.

Bak olaya bak. Y eşittir x'in grafiğini çizdik mi? Çizdik. Y eşittir fx eşittir x. Yanında ne var?

Eksi 2 var. X'in yanına eksi 2 koymak demek. Onu 2 birim nereye kaydırmak demek?

Saha kaydırmak demek. Artık ben o fonksiyonu 2 birim sağa kaydırdım. Şöyle süper oldu.

Y eşittir fx eşittir x. Eksi 2 oldu mu? Oldu.

Ama bunları ayrı ayrı çizelim mi? Birinci adım. İkinci adım diye çizeyim. Ki sen de sınavda kesinlikle böyle yap. Şimdi birinci adım.

Yukarıdaki kırmızı fonksiyon. Sonra onu ne yaptım? Az önce de gösterdim.

Gerçi şurada görmüş oldum. İkinci adım. Onu sonra bir adım geri yana kaydırdım.

Birinci adım. Çizdim hocam. İkinci adım hocam. Bunu da çizdim hocam. Şimdi mutlak değer almamı istiyor.

Bak sırada ne var? Mutlak değer var. Mutlak değer almak demek o fonksiyonun grafiğini ilk 80'nin altında kalan parçasını ne yapmak demekti?

Yukarıya kaldır demekti. Bu arada bu fonksiyonun burayı sıfırlayan yani x80'i kestiği nokta neresidir? 2'dir.

Bak fonksiyonun x80'in altında kalan kısım burası ya bunu ne yapacağım? Abi yukarı kaldıracağım. Bu kadar basit.

O fonksiyon geliyordu daha önce. Şöyle artık o kısımdan ne oldu? Katlandı.

Yukarıya kaldırdım. Süpersin. Bu kaçıncı adım olmuş oldu? Üçüncü adım olmuş oldu. Artık dördüncü adıma tekabül ettik.

Dördüncü adımda ne yapıyorum hocam? Fonksiyonumun grafiğini şöyle bir bakalım ne yapıyoruz? En son fonksiyonumun dışına 3 eklemişim.

Y eksinde 3 birim yukarı taşıyacağım. Hatırla ötelemelerde az önce daha sana bunları anlattım. Yine x'ye koordinat düzlemini çiziyorum.

Çizdim x'ye koordinat düzlemini. Bu koordinat düzleminde bak 2'nin hizasındaydım. Kaç birim yukarı çıkarıyorum? 3 birim yukarı çıkarıyorum gördün mü? Fonksiyonumun grafiği artık ne oldu?

Aaa hocam benim fonksiyonumun grafiği bu oldu. Mutlak değerli artık elde ettim fonksiyonu. Y eşittir. C x eşittir.

x eksi 2 artı 3'ün grafiği oldu. Bitti bu kadar. Mükemmel. İşte fonksiyonlarda mutlak değerli fonksiyonların grafikleri de inan bu şekilde çizilebiliyor güzel arkadaşım.

Ve son olarak tabii ki artık buraya girmeyeceğim. Sadece bunu buradan şeyler kontrol noktası üzerinden anlatacağım ama istersen hocam eşitsizlikle ilgili grafik çizmeydi ya da başka bir şey istiyoruz dersen onları da elimden geldiğince farklı. Farklı bir videoda çizerim çünkü 1 saati geçtik.

Bence bu kadar yeterlidir. Şimdi mx artı n eşittir 0. Deminden beri çizdiğimiz fonksiyonlar aslında. Fonksiyonları özünde biz nasıl yaptık?

Dedik ki hocam fx eşittir. Diyelim ki mx artı n şeklinde fonksiyon varsa. Önce bu fonksiyonu sıfırlıyorduk. Ki sıfırlayınca bak x değerine geldi. Eksi n bölü m geldi.

Eksi n bölü m bu fonksiyonun nesi oldu? Sıfır oldu. Eksi n bölü m bu fonksiyonun sıfırı. Fonksiyon bu tarafta artı mı?

eksimi ona karar veriyorduk hatırla. Bu fonksiyonlarda da eğer elimde f ve g gibi iki tane gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar varsa fx küçük gx fx küçük eşit gx fx büyük gx fx büyük eşit gx eşitsizliklerinin çözüm aralıkları bu tablodaki bir olacak. Ama bu tabloları ezber.

Ben sana bunun kısaca mantığını anlatayım abi. Eğer benim bir fx fonksiyonum bu şekilde çizilmiş eğer Benim GX fonksiyonum altında kaldıysa, her daim altında kaldıysa, bu fonksiyonlarla ilgili yazabileceğin en önemli özellik, grafiklerine bakıp yorum yaparsak eğer, kimin grafiği yukarıdaysa o fonksiyonun değeri daha büyüktür. Bak, ben burada bu yorumu yapabilmeliyim. Ya da sen burada bu grafiklere bakıp bu yorumu yapmalısın. Hocam, benim grafiğim şöyle.

Bu sefer GX'in grafiği daha yukarıda. Mesela böyle, tamam mı? Şöyle yaptık. Şurası neydi?

Gx'in grafiğiydi. Gx. Şurası neydi hocam? Fx'in grafiğiydi.

Onu da kırmızıyla yazalım. Fx. Burada neyi anlatmaya çalışıyor bize?

Diyor ki kimin grafiği yukarıda? Gx'in grafiği yukarıda. Kimin grafiği aşağıda?

Fx'in grafiği aşağıda. Bitti. Hangisinin değeri daha büyük?

Belli oldu. En kritik soru tarzları da şu. Eğer ben şöyle bir Gx fonksiyonu çizsem. Eğer şöyle bir Fx fonksiyonu çizsem.

Bak bak bak bak bak olaya bak. İkisinin kesim noktası diyelim ki x eşittir a noktasında bu doğrular kesilsin. Bu arada doğruların kesim noktası tam olarak eşitlikle gösterilir. Yani fx ile gx'in birbirine eşit olduğu noktalar denklemlerinin eşitlenmesiyle bulunur. Peki ben buradaki eşitlikten hemen sonra artık kimin yukarıda olduğunu görüyorum.

Gx'in yukarıda olduğunu görüyorum. Hocam bu bölgede Gx Fx'den daha büyük. Niye? Fx'in grafiği aşağıda kaldı. Peki gel bak bu bölgede ne oluyor?

G'nin grafiği altta G'nin grafiği, F'nin grafiği yukarıda. Mükemmelsin. O halde Fx bu bölgede nedir? Gx'den daha büyüktür.

Müthiş. Müthiş abi daha ne olsun ya? Daha ne olsun ya? Biz bunları çözebiliyorsak zaten yeter.

Peki bazen sorularda şunu soracağız. Hocam bana bu bölgeyi tarif eder misin derse tepede kim var? Gx var. Orası neresi? Yeşil bölge değil mi?

Yeşil bölgenin değerleri kırmızıdan yani Fx'den büyüktür ama Gx'in değerlerinden küçüktür. İşte bütün tarif bu. Farklı tipteki soruları da bununla çözüyoruz zaten.

Peki gel. Hocam bana sarı bölgeyi tarif eder misin? Bak, sarı bölgeyi tarif edelim.

İndim aşağıya. Kimin grafiğinin altındayım? Fx'in grafiğinin altındayım. O zaman Fx'in grafiğinin altındaysam onun değerlerinden küçüğüm.

Sarı bölgedeki değerler... Eee hocam, eşitsizlik sorularını ben hep böyle çözdüm. Problemlerime git bak. Gx'in değerlerinden büyüğüm. Ama özeli budur.

Hani soru çözmek ayrı bir mevzu. Bu işin teorik kısmı. Bu işin... bilinmesi gereken matematik faslı burasıdır. Eminim beni derece tayfa şu anlattıklarımı inanılmaz böyle kafasında şimşekler çakmıştır.

Bunu tahmin ediyorum. Hatta çok özel bir şey daha söyleyeceğim. Eğer bu çizgiyi eşit kabul edersem birbirine şu bölgede nedir?

Gx Fx'den büyük eşittir. Bir an eşit oluyorlar. Eğer çizgiyi eşit kabul edersem bak çizgiyi almazsam büyüktür küçüktür.

Çizgiyi eşit kabul edersem eşit olduğu yeri de istersem yazarken bak bu bölgede Fx'in grafiği Gx'den hem büyük hem de bir kez birbirlerine eşit olmuştur. Eşitsizliğin gerçekten teorik kısmı da budur dedim. Elimden döndüğünce 1 saat 5 dakika boyunca sana bunları anlatmaya çalıştım. Umarım anlaşılır olmuştur. En azından sınavdan önce çarpı 2'de de olsa, kesinlikle çarpı 2'de de olsa fonksiyon grafikleri üzerine yorumlar yapabileceğini düşündüğüm, bilmeni istediğim noktaları sana gerçekten hepsiyle göstermiş oldum mu diye bakıyorum.

Gel, gel bir tane daha. Son, son, son. Valla var ya Mehmet Hocam var ya kıyamıyor lan. Ya Allah, abi eksik kalsın. Korkuyorum eksik kalır diye.

Şu fonksiyonun... en son çizdiğimiz bu fonksiyonun şeyine bakalım mı arkadaşlar? Tanım kümesine bakalım. Bak bunlar önemli. Tanım kümesi neresi?

Bak eksi sonsuzdan geliyor x ekseninde. Artı sonsuza gidiyor. Demek ki bütün real sayılar. Görüntü kümesi neresi?

Kritik. Bak görüntü kümesi nerede? Hocam 3'ün hizasına başlıyor. Görüntü kümesi dedin mi?

Y'lere bakacaksın. Nereye doğru gidiyor? Artı sonsuza gidiyor. O zaman bunun görüntü kümesi artı 3'den başlıyor. Artı sonsuza kadar gidiyor.

Başka nelerine bakıyorduk? Görünüklemesi fonksiyonun sıfırı. Bu fonksiyonun sıfırı neresidir?

Bu fonksiyonun sıfırı yoktur. Çünkü fonksiyonun sıfırı demek fonksiyonun değerinin sıfır olduğu noktadır. Dikkat et bu fonksiyonun değeri en küçük 3 oluyor. Abi bu kadar önemli bir şey. Nasıl unutuyordum ben?

Aman Allah'ım. Bu fonksiyonun sıfırı yoktur. X80'ini kesmediği sürece bir fonksiyonun sıfırı oluşamaz.

Tamam mı? X80'ini kesmek zorunda. İşaret tablosu. İşaret tablosunu yaptım diye hatırlıyorum.

Yapmamışım. Onu da yapalım. İşaret tablosu. Yapalım. E fonksiyonun sıfırı yok hocam.

Bunun işaret tablosu nerede olacak? Yok. Bu fonksiyon her daim nasıl değerler aldı? Bak x yerine ne yazarsan yaz. Fonksiyonun işaretleri hep ne oldu?

Hep pozitif oldu. Demek ki bu kadar. Abi çok pozitif bir fonksiyon lan bu. Tamam mı? Fonksiyon artan olduğu aralığı yaz.

Azalan olduğu Fonksiyon. aralığı yaz. Dikkat et.

x eşittir 2'nin hizasına bak. Bu tarafta ne oluyor? Azalan davranıyor benim fonksiyonum değil mi? Azalan fonksiyon. Hangi aralık?

Eksi sonsuzdan kime kadar geldim? Artı 2'ye kadar. Azalan olduğum yer eksi sonsuzdan artı 2 kapalı aralığına kadar.

Aralıklar artanlık azalanlıkta kesinlikle kapalı yapılır. Fonksiyonu bak burada ne yapıyor? Artan gidiyor. Hangi?

Nereden başlıyor? 2'nin hizasından başlıyor. Artı sonsuzun hizasına kadar Artarak ilerliyor.

Benim fonksiyonum kesinlikle burada nedir dedim. Artan fonksiyondur dedim. Geldim. Fonksiyonumun maksimum noktasına. Yukarıda bitiş noktasını görebiliyor musun?

Yok. O zaman fonksiyonun bitiş noktası yok. Fonksiyonun minimum noktası neresidir hocam? Bariz bir şekilde gözüküyor.

Bak minimum noktası fonksiyonun dibidir. Dip noktası. X değeri 2. Pardon kapalı aralık değil. Koordinat düzlemi de x'ye değeri olarak yazıyoruz. 2'ye 3 noktası.

Bak bu açık aralık değil ha. 2'ye 3 noktası demek. Tamam mı? Nokta anlamında yazdım ben onu.

Başka bir şey kaldı mı diye bakıyorum. Valla çok yoruldum başım çok ağrıdı ama. Bitireceğim inşallah. Yukarıdan bakabiliriz.

Maximum nokta. Birebirlik. Birebirlik kaldı hocam.

Birebirliği de söyle. Bire bir mi bu fonksiyon? Değil. Nereden anlıyorsun hocam? Yatay doğru testi yaptım.

Bak iki noktada kestim. Bir kere bile iki noktada kesiyorsan yeter. Bu fonksiyon birebir değildir.

Aman diyeyim bunu unutuyordum. Lütfen bunu da yine notların içerisine eklemeden gitme. Videoyu da erken çıkan arkadaşlar kusura bakmayın. Erken çıkmayacağınız işte.

Erken çıkmayacağınız. Mehmet Hoca bitti diyene kadar bitmez. Şimdi bitti ama.

Artık bu kadar yeter. Sonrasında görüşelim. 1 saat 10 dakika yeter güzel arkadaşım. Sen yine yorumlarla destek çıkarsan.

Sen yine yorumlarda ne istediğini yazarsan. Mehmet Hoca'nın boğazı yettiği kadar anlatmaya devam eder. Kendine iyi bak. Hoş kal. Hoşça kal.

Transcript for:Fonksiyonlar ve Özelliklerinin İncelenmesi

Transcript for:
Fonksiyonlar ve Özelliklerinin İncelenmesi