Grundlagen zu linearen Gleichungssystemen

Einleitung

• Gleichung: Enthält ein Gleichheitszeichen mit einem Ausdruck auf beiden Seiten, die gleich sein müssen.
• Beispiel:
  • 2 + 3 = 5
  • 3 * 4 = 12
• Gleichungen können unbekannte Variablen wie x und y enthalten.
• Ziel: Den Wert der Variablen ermitteln, sodass die Gleichung stimmt (Gleichungen lösen).
• Gleichungen dürfen umgeformt werden, solange beide Seiten gleich behandelt werden (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren).
• Beispiel: 2 * x + 1 = 5 (2x muss gelöst werden)

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

• LGS: Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
• 2x2 LGS: Zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen x und y.
• Ziel: Werte von x und y finden, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Sonderfälle

1. Widerspruch: Keine Lösung (z.B. x + y = 5 und x + y = 2 gleichzeitig).
2. Gleiche Gleichungen: Unendlich viele Lösungen (z.B. x + y = 3 und 2x + 2y = 6).

Verfahren zum Lösen von LGS

1. Additionsverfahren: Gleichungen addieren oder subtrahieren.
2. Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variablen umstellen und gleichsetzen.
3. Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen.
4. Gauß-Verfahren: Kombination aus verschiedenen Verfahren.

Warum "linear"?

• Lineare Gleichungen: Jede Gleichung ist linear (kein x², x³, etc., nur x).
• Geometrische Vorstellung: Jede Gleichung repräsentiert eine Gerade.
• Beispiele:
  • x + y = 6 und 2x - y = 1: Genau ein Schnittpunkt (eine Lösung).
  • x + y = 5 und x + y = 2: Parallel, kein Schnittpunkt (keine Lösung).
  • x + y = 3 und 2x + 2y = 6: Überlappen, unendlich viele Lösungen.

Zusammenfassung

• LGS: Mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten.
• 2x2 Gleichungssystem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.
• Geometrisch: Geraden.
• Umformungen: Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.
• Lösungen:
  • Eine Lösung: Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Keine Lösung: Geraden sind parallel.
  • Unendlich viele Lösungen: Geraden liegen aufeinander.