Übungsaufbenlösung 1: Aufgabe 16

Tragsystem der quadratischen Platte

• Seitenlänge: je a
• Beansprucht durch: drei äußere Kräfte (F1 bis F3)
• Ziel: Verschieben der Kräfte in den Ursprung, Addition zu einer resultierenden Kraft und Bildung der Summe der Teilmomente bezogen auf den Ursprung

Vorgehen zur Berechnung der Resultierenden

1. Summe der Teilkräfte bilden:
   • F1 + F2 + F3 = Resultierende
2. Komponenten beachten:
   • Komponenten haben nur Sinn bei vorhandenem Koordinatensystem
3. Addition der Komponenten:
   • Komponentenweise Addition der Kräfte (R = F₁ + F₂ + F₃)
4. Matrix-Aufbau (FW):
   • Kräfte spaltenweise in einer Matrix darzustellen
5. Schleifenstruktur:
   • Vorschleife zur Addition der Kräfte (fortlaufend)
   • Schleifenvariable i für die Spalten
   • Beispiel: R = R + FW(:,i)

Bestimmung des resultierenden Moments (Mr)

• Summe der Teilmomente:
  • R x F₁, R x F₂, R x F₃
• Matrix-Aufbau (RW):
  • Ortsvektoren spaltenweise in einer Matrix darstellen
• Schleifenstruktur:
  • Loop zur Berechnung des resultierenden Moments (analog zur Kraft)
  • Beispiel: Mr = Mr + cross(RW(:,i), FW(:,i))

Analyse der Momente

• Diskussionspunkte:
  • F1, F2, F3 tragen unterschiedlich zu Momenten um die x-, y-, und z-Achse bei
• Kreuzprodukte:
  • Liefern effizient Resultate
• Vorzeichen und Hebelarme:
  • Vorzeichen konventionell bestimmen (Rechtsschraubenregel)

Aufgabe zur Bestimmung der Stützkräfte

• Einführung weiterer Kräfte:
  • Sechs Stützkräfte für die Platte im Gleichgewicht
• Unbekannte:
  • Die sechs Stützkräfte (S1 bis S6)
• Gleichgewichtsbedingungen:
  • Summe der äußeren Kräfte (Resultierende) und die Summe der Stützkräfte = Nullvektor
  • Summe der Momente inkl. Stützmomente = Nullvektor

Berechnung der Stützkräfte

• Variablen und Matrices:
  • Stützkräfte als Variable anlegen
  • Matrix S mit den unbekannten Stützkräften
• Schleifenstruktur:
  • Für Addition der Stützkräfte (Summe der Spalten)
  • Beispiel: Schleife über S(:, i)
  • Ortsvektoren R auch als Matrix anlegen
  • Momentenberechnung analog (loop und cross product)
• Resultierende und Momente:
  • System von Gleichungen lösen
• Ergebnisse analysieren:
  • Matlab Funktionalität nutzen zur Reduktion von Fehlern

Verteilte vs. Einzellasten

• Unterschiede und Bedeutung bildhaft machen (Volumslasten, Flächenlasten, Linienlasten)
• Beispiele & Definitionen:
  • Volumslast (z.B., Eigengewicht) = Kraft pro Volumen (N/m³)
  • Flächenlast = Kraft pro Fläche (N/m²)
  • Linienlast = Kraft pro Längeneinheit (N/m)

Schwerpunktbestimmung

• Berechnung des Schwerpunkts:
  • Gewicht an verschiedenen Stellen bestimmen
  • Summe der Momente
• Formel zur Berechnung der x-Koordinate des Schwerpunkts:
  • x_s = (Σ m_i * x_i) / Σ m_i

Tangenten und Differentialquotienten

• Differenzierung einer Funktion:
  • Tangentenbestimmung durch Grenzübergang der Sekanten
• Konkretes Beispiel: Quadratfunktion f(x) = x² differenzieren
• Infinitesimalrechnung und Unbestimmte Ausdrücke:
  • Differenzenquotient wird zu Differentialquotient
  • Limes-Definitionen und algebraische Umformung

Praktische Beispiele und Rechenverfahren

• Matlab zur Unterstützung verwenden:
  • Schleifen und Matrizenoperationen
  • Differentialquotient als analytisches Studium und Handwerkszeug
• Zusammenhänge und Schlussfolgerungen an Beispielen erläutert:
  • Z.B. Schwerpunktbestimmung für zusammengesetzte Massen

Anwendungen und Ableitungen

• Querschnitte, Balkenmechanik und tatsächliche Anwendungen aus Skripten:
  • Zusammensetzung von Einzellasten zu Verteilten Lasten
• Wichtige Erkenntnisse: Differential und Integralrechnung im Kontext der Statik