dann versuchen wir uns an dieser übungsaufgabenstellung 1 ich bringe uns der mal da rüber ins auf dieses schreibbrettel Aufgabe 16 so wie im birchel diskutiert da gibt's keine grafischen Lösungsverfahren nicht die üblicherweise sind grafische Lösungsverfahren beschränkt auf Ebene Problemstellungen das ist ein räumliche Sache so wie man da sehen werden und was wir hier konkret vor der Nase haben ist ein Tragsystem in Form von einer seiner quadratischen Platte Seitenlänge ist da jeweils a und diese Platte wird beansprucht mit drei teilkräften mit drei äußeren Kräften F1 bis F3 und wir suchen anhand von diesen drei Kräften einmal im Arbeitspunkt 1 eine Reduktion dieser Kräfte in den Ursprung will sie verschierben die Kräfte in den Koordinatenursprung addieren Sie zu einer resultierenden und bilden die Summe der teilmoment wobei der Bezugspunkt für ein resultierendes Moment eben der Koordinatenursprung zu sein hat also ganz grundsätzlich anhand von diesen drei teilkräften kann ich eine resultierende bilden und die resultierende ergibt sich als die Summe der teilkräfte und die haben es da komponentenweise angegeben bitte B denken Sie immer dass die Komponenten dann und nur dann Sinn haben wann sie Koordinatensystem einzeichnen ne ansonsten kann ich ja ist die Komponente ohne jeglicher Bedeutung das heißt wie müss man dann vorgehen wenn man jetzt da drei solche solche Kräfte haben wir müssen man die addieren dass da resultierende rauskommt was ist die Rechenoperation ja sie müssen einfach die einzelnen Komponenten miteinander aderen das ist das ist die Message ich hab da erlaubt das vielleicht da schon ein mal ein bisschen so anzudiskutieren in unseren matl Lösungen ich lege als Variable die Geometrie a an und die eine Amplitude oder so ein F das dann da in diesen teilkräften vorkommt und normalerweise K jetzt zu diesem Zeitpunkt die resultierende ermitteln als F1 + F2 + F3 und wir hätten die resultierende mein Vorschlag wäre jetzt ich diskutiere es nur an wir könnten doch eine eine so eine wie soll ich mich ausdrücken eine Matrix fwellee aufbauen wo die einzelnen Kraftvektoren in den Spalten stehen auf solcher Ort und Weise wenn ich jetzt die Summe bilden möchte davon könnten wir vielleicht anhand von einer vorschleife dazu werkeschreiten K die sagen vor i 1 bis und wir haben hier drei verschiedene Spalten na ja dann lege ich vorher nur die resultierende an als ein Nullvektor und innerhalb von der vorschleife rechne ich resultierende sie resultierende R ist gleich das was wir schon hatten im ersten Schleifendurchlauf der Null wektor Plus von diesem FW die erste Spalte und im zweiten durchchleifenurchlauf die zweite Spalte plus die dritte Spalte ne sie geben das an Doppelpunkt komma i ist uns das soweit bewusst se ein bisschen über ist ein bisschen über schleifenarchitektur gesprochen worden in der matler beinf mit Doppelpunkt sprechen sie im Wesentlichen die ganze Spalte an und welche Spalte eben mit dem Beistrich i und wir addieren fortlaufend die einzelnen Kräfte daort zusammen kriegen resultierende KfT raus nicht W ich da unten mit nprich und mir da die resultierende ansehe na dann muss es die Addition gewesen sein die man da durchführen hat zu dieser Architektur jemand eine Frage resultierende ist in der Hand nicht W wir jetzt auch noch brauchen vielleicht da orangener Stift ein resultierendes Moment Mr na dann müssen wir do nichts anderes büden als die Summe von teilmomenten und die teilmomente bestimme ich mit einem R Kreuz FI und in vorliegenden Fall haben wir heute drei von diesen von diesen von diesen teilkräften na dann machen sie drei teilmomente und komponentenweises addieren macht uns eine eine ein resultierendes Moment da draus um den Koordinaten Ursprung und auch das lässt sich natürlich in so eine Schleife da hinein integrieren nicht ich bau nicht nur R fwelle auf so wie man es da sehen sondern vielleicht ein rwelle und in diesem rwelle stehen spaltenmäßig die einzelnen Ortsvektoren die man finden können da aus das Skizze ne und da sehe z.B aha da ist die Kraft F1 und die hat in X Richtung offensichtlich die Komponente A halbe in Y Richtung 0 und in Z Richtung 0 und das stüe in der ersten Spalte zweite Spalte zweiter Ortsvektor irgendein Punkt dieses ortsvektors der da vielleicht und dritter ist dann der Punkt nicht und W ich das so arrangier dann kann ich do wieder anlegen ein resultierendes Moment als Nullvektor und da drinnen rechne ich nichts anderes als Mr ist gleich das was in Mr schon gestanden ist plus das Kreuzprodukt Cross und dann brauche ich zuerst die Ortsvektoren und im ersten schleifenurchlauf eben die erste Spalte das heißt wir hätten ein rwelle wenn Sie mögen mit Doppelpunkt Komma Beistrich und die entsprechende Kraft ist die erste Spalte von fwelle ne hät man da fwelle Doppelpunkt komm i so und dann kriegen wir da herunten natürlich resultierende resultierendes Moment heraus natürlich ich möchte sie nicht verwiren mit dieser vorschleife nicht aber irgendwann kommt man BL vor wann ich dann Zeh einzelkräfte hab dass ich da z Zeilen brauch und R1 kuz F1 ist M1 und M2 ist R2 K F2 und so weiter wir machen hier genau das gleiche vielleicht ein bisschen im übertragenen Sinne schauen wir uns schauen wir uns das an wie man es da aufbauen die einzelnen Kräfte arrangiere ich spaltenmäßig in einer Matrix F diese Matrix F in diesem in dieser Situation enthält also offensichtlich diese diese diese diese drei teilkräfte spaltenmäßig Vergleichens mitm angabeblatt na ja und das gleiche mache mit den Ortsvektoren drei Ortsvektoren und ich füge sie spaltenmäßig aneinander jetzt die Initialisierung ich lege eine resultierende Matrix an als nullmrix und D resultierenden momentenvektor als Null Matrix als Null vktor um streng genommen also Matrix Vektor ist NS nichts anderes ist das sehr spezielle Matrix nämlich eine Matrix die nur aus einer Spalte besteht ne und da haben wir das was man da im vorfand diskutiert haben im ersten Schleifendurchlauf ist die resultierende das was sie schon war also der Nullvektor plus die erste Spalte von F und im zweiten schleifenurchlauf adieren wir zu dem r die zweite Spalte dazu und die dritte Spalte nicht und auf die gleiche Art und Weise kann ich ja mit äh mit Mr Vorgehen nicht R ist diese Matrix die die einzelnen Ortsvektoren enthält F ist diese Matrix die die einzelnen Kräfte enthält rkreuz F definiert das Moment und wenn wir auf die Ort und Weise summieren kriegen wir da eigentlich ein resultierendes Moment heraus jetzt fahren wir mal bis dahin sollte sein was dabei herauskommt bitte unbedingt denken Sie auch bei diesem Beispiel darüber nach wie Sie die einzelnen Komponenten des Moments finden können schau mal bitte einm auf die entsprechende Angabe die Kraft F1 da sen wir ist die Kraft F1 jemals im standande ein Moment um die x-Achse zu erzeugen kann sich da in dieser Situation eine Drehbewegung um die x-Achse ergeben ganz sicherlich nicht schneidet die x-Achse das heiß die Komponente von M1 in xrichtung muss 0 sein ergibt sich zufolge von F1 ein Moment um die yachse entsteht eine Drehbewegung um die yachse da sch bitte das F1 zielt genau in Y Richtung ist also hier offensichtlich Z yachse ja dabei kann es nie zu einer Drehbewegung kommen es gibt ja keinen Normalabstand aber z Komponente macht die Kraft und wir könnten den entsprechenden Komponenten Beitrag freilich auch finden indem man s Betrag der Kraft aha F multipliziert mit dem Hebelarm a halbe und das vorzeichenl man Überlegungen springen wann das F4 wirkt entsteht eine Drehbewegung so herum gewöhnliche rechtsschraube würde sich nach oben schrauben die Z-Achse zeigt nach oben es wäre ein positiver Beitrag der Amplitude F mal halbe Denkens bitte nüzen Sie auch diese Beispiele die freilich mit den kreuzprodukten wahrscheinlich effizienter zu finden sind und und und zu analysieren sind aber denken s da drüber noch und trainieren Sie Geschick mit Betrag der Kraft multipliziert mit ein hebelorm und das vorzeichenlos man legung springen was ist mit F2 kann F2 am Moment um die x-Achse machen freilich da entsteht doch Drehbewegung so wie Sie das sehen lass uns noch denken Betrag der entsprechenden Kraft F Hebelarm ABE was ist mitm Vorzeichen das muss negativ sein nicht da ent steht doch ein Drehbewegung so herum sie müssen sie das jetzt das Biss in schrägris vorstellen wenn ich so eine Schraube so um Schraube schraube ich sie nach hinten die positive x-Achse zeigt aber nach vorne sie hätten ein negatives Rechenzeichen in der entsprechenden Komponente mach die Kraft F2 am Momentum die Y-Achse na da kann doch ein Drehbewegung entstehen Betrag der Kraft multipliziert mitm Hebelarm ist einm der Betrag der Absolutwert der Komponente was ist mit Vorzeichen das so herum schraub Schraube doch gewöhnliche rechtschraube in Richtung der Y-Achse positiver Beitrag kann die Kraft F2 am Momentum die Z-Achse produzieren nein die Kraft Wirkungslinie der Kraft und die Bezugsachse sind parallel na da entsteht natürlich keine Drehbewegung kein keine entsprechende momentenkponente denken das auf die Art und Weise durch trainieren bei dem Beispiel natürlich auch noch einmal die die Analyse von kreuzprodukten mit der Hand jetzt haben wir da räumliche Sache W wir uns beschränken auf kartesische Koordinaten haben wir im Detail diskutiert wie man da das entsprechend resultierende Moment finden kann hat zu diesem Arbeitspunkt 1 jemand eine Frage was wir hier tun ist wir reduzieren drei teilkräfte in den Koordinatenursprung das heißt am Ende vom Tag nehme ich aus dieser Platte die drei äußeren Kräfte F1 bis F3 weg und ersetze sie mit einer resultierenden Kraft die im Koordinatenursprung sitzt darüber hinaus haben wir ein resultierendes Moment ausgerechnet als momentenvektor als freier Vektor nur zeichnen wir den Vektor irgendwo ein das heißt der resultierende momentenvektor und die resultierende Kraft ersetzen die teilkräfte F1 bis F3 W wir das soweit am Start haben können wir uns an den Arbeitspunkt 2 da kümmern ne da gibt's offensichtlich sechs Stützkräfte die hier versuchen diese Platte im Gleichgewicht zu halten von diesen sechs stützkräften kennen wir alle Richtungen bitte lesen es noch wir kennen alle Richtungen von diesen stützkräften die einzige unbekannte da drinnen ist z.B das eine S6 oder da das eine S3 wir haben also in Wirklichkeit vor der Nase sechs unbekannte kraftgrößen nämlich diese dünngedrückten gedruckten s Kräfte sind da oben eingezeichnet die Stützkräfte haben wir grundsätzlich einm Chance mit Gleichgewichtsbedingungen alleine die sechs Unbekannten zu finden was hab wir für Bestimmung hab Kräfte gleichgewichtsbeziehung und wir momentengleichgewichtsbeziehung wann können wir die anwenden n dieser Satz voner diese Sätze von Gleichungen gelten Fürer vollständig freigeschnittenes Szenario hat diese Platte noch irgendeinen Anschluss an eine etweige Umgebung nein es ist vollständig freigeschnitten Gleichgewichtsbedingungen müssen halten und W ich jetzt in aufschreib die Kräfte Gleichgewichts Beziehung na ja was kriege ich denn da da kriege ich eigentlich die Summe der äßeren Kräfte und die haben wir ja gerade eben ausgerechnet als resultierende Kraft plus die Summe der Stützkräfte und raus muss dabei der Nullvektor kommen eine Kräfte gleichgewichtsbeziehung und freilich kten Sie jetzt einfach diese sechs Stütz Kräfte vektoriell eintippen und heute da obsetzen so simple addition F1 + F2 + F3 + S1 + S2 + S3 + bum bum bum bis S6 aber freilich lässt sich das wieder durch so eine Schleife darstellen und diese Schleife für den zweiten Anteil muss Hal jetzt über sechs Stützkräfte laufen l ma mal noch wie man es aufsetzen können schauen Sie mal sie könnten sie müssen natürlich die Variablen anleben S1 bis S6 bis datu haben wir das so gemacht nicht die einzelnen Variablen nebeneinander geschrieben am leerrzeichen dazwischen dann habe ich offensichtlich S1 als Variable angelegt eine andere Möglichkeit wäre die sechs Stützkräfte auf diese Art und Weise anzugeben da entsteht eine Matrix S mit den unbekannten s1 s2 S3 S4 S5 S6 lassen uns da mal eine hupfen anleg Kriege da meine sechs Stützkräfte ja da ist kein Doppelpunkt da ist ein Leerzeichen ja beides ist möglich ich möchte unterschiedliche Varianten diskutieren beides ist natürlich möglich nicht sie kennten Fürer Kräfte gleichgewichtsbedingung eben tippen F1 + F2 + F3 + S1 + S2 chim chim chim bis S6 könnte ich machen ist gleich Null aber vielleicht ist es durchaus attraktiv da bisschen von einer schleifenfunktionalität nutznissen zu können kein muss ein kann sehen Sie mal wie ich die einzelnen Stützkräfte da eingebe ne die muss natürlich aufpassen ich kann den weektor nicht wieder S1 nennen wenn er die unbekannte S1 enthält ne die muss dem irgendwie ein anderen Namen geben ich gib ein zweites s davor nur als Beispiel wenn sie im angabeblattel sehen dann kommen da bei man bei manchen stützkräften kommt da die Wurzel aus z vor na wann ich das Fall bin die Wurzel aus 2 zu tippen D lege ich die Wurzel aus 2 vorher Parameter ab und hab heute dann S3 durch s wobei s eben die Wurzel aus z ist nur als Möglichkeit nicht und in einer so einer Matrix s legge ich in den einzelnen Spalten die entsprechenden stützkraftkomponenten ab Schau wir hupfel bis dorthin lesen man noch wie sie das ergibt man das so Ort und Weise hät man das im Griff erste Spalte erste Stützkraft zweite Spalte zweite Stützkraft und so weiter und auf die gleiche Ort und Weise kann ich natürlich Vorgehen mit den Ortsvektoren der Stützkräfte der Lageplan die Abbildung zeigt uns irgendeinen passenden Punkt der Wirkungslinie der einzelnen Stützkräfte die habe ich da abgesetzt in Abhängigkeit der beliebig grroßen variable a und das arrangiere wieder in solch einer Matrix erste Spalte in de Punkt der Stützkraft S1 der Wirkungslinie der Stützkraft S1 zweite Spalte irgendein Punkt der Wirkungslinie der Stützkraft S2 und so weiter hupfelm bis dtin lesen wir da noch einm noch schauen mal ob ihnen das auch so gefällt nicht die Stützkraft S1 ist am vorderen linken Ecke ist an der vorderen linken Ecke die xkomponente ist a Y und Z Komponenten verschwinden nicht und S2 ist diagonalenpkt X ist a y ist a Z ist 0 S3 an derselben Stelle und so weiter und jetzt behelfe ich mir weiß ich nicht ob sie es mögen vielleicht mögen Sie es über das Anlegen einer kräftegleichgewichtsbeziehung und die kräftegleichgewichtsbeziehung hält mal die resultierende plus S1 im ersten Schleifendurchlauf + S2 im zweiten Schleifendurchlauf + S3 im dritten Schleifendurchlauf und so weiter und am Ende muss ich verlangen dass die kräftegleichgewichtsbeziehung 0 ist das wäre die Gleichung 1 die momentengleichgewichtsbeziehung K man ganz analog da bastel nicht W ich hinchrei Momenten Gleichgewichts na was habe ich die Summe der Momente die produziert werden von den teilkräften im Sinne von da gibt's ein R Kreuz FI und das läuft über die drei äußeren Kräfte und wir wissen dieses Ergebnis schon das haben wir gerade vorher ausgerechnet als resultierenden momentenvektor plus die Summe der teilmomente die die Stützkräfte produzieren im Sinne von RSI Kreuz si und ich habe se Kandidaten davon und wieder baue ich diese zweite Summe da diesen Anteil über einen Schleifendurchlauf auf die Schleife läuft jetzt sechsm und addiert jeweils das teilmoment gefunden auf ver so Ort und Weise da dazu und am Ende muss der nullwktor aus kommmen wenn sie vollständig freigeschnitten haben und sich in der Statik bewegen na dann verschwinden die Summe aller Kräfte und die Summe aller Momente das ist das was man da gelistet haben und es ließe sich heute auf diese Ort und Weise darstellen schau mal Name momentengleichgewichtsbeziehung vor der Schleife steht dort Mr drinnen das ist das MR im ersten Schleifendurchlauf addiere ich zu dem was in der momentengleichgewichtsbeziehung drinnen steht adtiia Kreuzprodukt von RS1 Kreuz S1 dazu und im zweiten Schleifendurchlauf hatere ich dazu RS2 Kreuz S2 und so weiter um am Ende bei zwei Gleichungen anzukommen wen sie Hupf in Gleid bis daher wie geht das so vielleicht dann haben wir die gleich Kräfte gleichgewichtsbeziehung Maßeinheiten der einzelnen summanten sind Newton und dann habe ich da drunter die momentengleichgewichtsbeziehung Maßeinheit der einzelnen summanten müssen Newtonmeter sein ich addiere ja Momente miteinander und jetzt habe ich am Ende zwei Sätze von jeweils drei Gleichungen die auch auf einmal löse in welcher Richtung in Richtung der unbekannten S1 bis S6 welche Felder ja das ist eine Matlab Funktionalität die mirag die bei default ist die aufgedreht die müssen es aktiv abdrehen was das nicht wollen natürlich kann ich auch nachlesen da im Workspace was in den einzelnen Komponenten da drinnen steht und in den einzelnen Variablen da drinnen steht am Ende kriegen wir raus sechs linear unabhängige Gleichungen zu Bestimmung von SE stützkraftamplituden und da kriegen die Ergebnisse raus als an und das S1 ist offensichtlich fhbe und S2 ist fhbe und das S3 ergibt sie so wie man da da sehen wenn sie jetzt norch mal ein Zugang wollen zu irgendeiner lösungsvariable aus dieser anser da Kent die sagen h ich schreib die Ergebnisse in ein symbolic Array hinein das erg heißt erg für Ergebnisse und dann kann ichmer die einzelnen Komponenten D mit R pun S5 z.B hol wir die fünfte Stützkraft auser lesen wir noch so kriegen wir die nicht Wurzel 2 f halbe stingen da nicht 2 hoch ein halbes ist die Wurzel aus 2 mal F geil dur 2 so kriegen wir S5 aer hat da jemand eine Frage dazu bitte unter keinen Umständen ich wer nicht müde das immer wieder zu sagen möchte ich ihre analytischen Fähigkeiten gänzlich maskieren durch den Einsatz von Matlab Ziel wä es natürlich dass sie dieses Beispiel auch mit der Hand rechnen können wenn man da reinschauen nicht allein dieser Satz der momentengleichgewichtsbeziehungen würde den Namen verdienen schwach besetzt schwach besetzt in jenem Sinne als ich da sogar schaffen kann aus jeder Zeile sofort eine unbekannte durch Umformung herausen das heißt allein durch durch durch Umformung der einzelnen komponentengleichungen Kriege es5 aus ich kriege es ein aus und ich kriege es z raus und wenn ich die schon weiß und sie rückeinsetze in die kräftegleichgewichtsbeziehung da habe ich de facto drei Gleichungen mit drei verbliebenen Unbekannten zu lösen das Beispiel ist natürlich im Skriptum da so so designed dass eine Handrechnung möglich ist nicht wann inen da als stark besetztes Gleichungssystem gibt mit sechs Gleichungen und sechs unbekannten dann ist es eher Unhöflichkeit nicht we da rechnet man schon Weile lang herum bis man die sechs unbekannten herausbekommen hat aber das Beispiel ist e extra so gemacht dass auch eine Handrechnung durchaus eine eine wie drücke ich mich aus etwas ist was man hier verlangen kann da jemand eine Frage dazu und vielleicht gefällt Ihnen da was irgendwie mit solchen mit solchen einen Schleifen um einen Matlab Code verhältnismäßig schlank und übersichtlich zu gestalten die Chance auf diepfehler kleiner zu machen etc und wann i das heute nicht GEF dann tippen s die einzelnen die einzelnen Komponenten mit der Hand ein ist eine Herangehensweise die im lehrveranstaltungsnchbereitungsbeispiel 17 sich nicht viel anders gestaltet hat irgendjemand der Frage ist dieses durchaus wesentliche Kapitelchen eins klar es begleitet uns sicherer Drittel des Semesters werden wir nichts anderes tun als mit Kräfte und Momenten gleichgewichtsbeziehungen versuchen irgendwelche statisch bestimmten Aufgabenstellungen hinsichtlich der der dynamischen lösungsvariablen zu analysieren und ich verkuf Ihnen ohne jetzt auf die Details einzugehen das statisch bestimmte System als ein solche ein Tragsystem wo sie mit Kräfte und momentengleichgewichtsbeziehungen alleine alle dynamischen Lösung Variablen ausrechnen können das bedeutet im Raum könen nicht mehr sechs unbekannte auflaufen pro freikörperbild und in der Ebene können nicht mehr als drei Unbekannte auflaufen pro freikörperbildchen und wenn sie freikörperbilder zeichnen unter Ausnutzung des schnittprinzips dann müssens bitte denken an das Prinzip Aktion gleich Reaktion an das sichtbar machen von chend inneren kraftgrößen die daschselwirkungsgesetz befriedigen mssen irgendjemand Frage all diesen Beispielen die da gemeinsamkutiert haben diesen Herangehensweisen ist eine wesentliche Eigenschaft im kitel 1 eigen gewesen die äußeren Kräfte waren endlich große konzentrierte einzelkräfte natürlich gibt's auch verteilte Kräfte und das Kapitel 2 versucht einmal ein bisschen über verteilte Kräfte hier zu sprechen also unter verteilten Kräften verteilte kraftgrößen möchte ich sprechen über etwas was ich eine volumslast nennen werde eine volumenslast allein semantisch Ken wir uns ansch Anschleichen an eine mßeinheit eine volumslast ist eine Last eine Kraft pro Volumen die Maßeinheit von sowas muss sein Newton pro Kubikmeter alleine über die Begrifflichkeit als Variablen buuchstaben werde ich wählen ein so ein kleines F als Vektor Größe Pfeilchen drüber und wunderbares Beispiel für volumslast könnte z.B die Situation des Eigengewicht sein überlegen Sie folgendes Szenario da haben sie irgendwie ein Volumen und ich gehier he da irgendwie ein Volumen das da irgendwie ausschaut so schaut unser Volumen aus und wir beschreiben dieses Volumen freilich in einem kaththesischen Koordinatensystem zxi muss nach schrägrechts vorne laufen W kath Koordinatensystem sein will na jetzt können wir doch aus diesem Volumen ein kleines Teilvolumen sichtbar machen und dieses kleine Teilvolumen hat Seitenlänge von Delta x und hat Seitenlänge von Delta Z und die Höhe hat der Seitenlänge von Delta y und ich meine das kartesisch das heißt das quaderchen das wir da sehen ist eben ein quaderchen mit lauter rechten Innenwinkel damit ist doch völlig klar wie ich das Volumen dieses kleinen quaderchens beschreiben kann ne kann ich sagen da gibt's ein kleines Delta V Delta achten Sie bisschen auch auf meine Notation meint eine kleine Größe aber keine unendlich kleine Größe die würde ich mit dem differentiellen D bezeichnen und das Volumen von ein quadergrsüber multiplik Seitenlängen hab was hab wir da hab wir Delta x multipliziiert mit Delta y multipliziier mit Delta Z möchte bludern über das Eigengewicht welche Möglichkeit habe ich welche konstitutive Eigenschaft benötige ich um dieses kleine Volumen in eine kleine Masse zu übersetzen ich brauch dichte die Dichte R multipliziert mit Delta V macht uns eine Masse in der Maßeinheit Kilogramm wie können wir die kleine Masse übersetzen in ein kleines Gewicht multiplizieren mit ein mehr beschleunigungswektor und der erdbeschleunigungsvektor wenn nicht weiters angegeben nehmen es den als homogen an und da typischerweise von oben nach unten Erdbeschleunigung z.B dann hab sich den da da sich kleine Kraft und die kleine Kraft ergibt sich als kleine Masse multipliziert mit dem erdbeschleunigungswektor und da könnte ich Ihnen doch auch diese kleine Kraft einzeichnen da wird die irgendwo sitzen und in so Richtung wird sie zeigen die Richtung ist ja vorgegeben über den erdbeschleinigungsvektor desesto war war Delta F ein kleiner kraftbeitrag ein kleiner gewichtskraftbeitrag der Betrag davon ist also zu finden über Delta m und Delta m ist nichts anderes als R mal Delta V multipliziert mit der Amplitude der Erdbeschleunigung und Kriegen betrug von dem zeigasser und ich nenne Ihnen das ohne Betragsstriche Delta F ich definiere Ihnen jetzt die volumslast kleines F was mal wegtor pfilchen ein mal weg blauer man über die Beträge ich definiere die volumenslast achten sie schon auf meine Maßeinheit als ein kleine kleine kleine Gewichtskraft Maßeinheit Newton bezogen auf ein kleines Volumen ich wünsch man da bisschen Plotz davor so vielleicht sie sehen die Masseinheit sofort oben stehen Newton unten stehen Kubikmeter die volumslast hat die meinheit Newton pro Kubikmeter die volumslast wird dann zur volumslast wenn wir jetzt beginnen den Grenzübergang anzudiskutieren ich bilde den Grenzübergang für Delta V strebt gegen Null das heißt dieses kleine quaderchen eines differentiellen Volumens wird sukzessive immer kleiner in was wir laufen das würde man nennen einen Differentialquotienten nichts anderes Alser DF durch DV und WN wir uns das anschauen dann kriegen wir da der Amplitude noch nichts anderes ist die Dichte mal die Erdbeschleunigung heraus und wir haben sicherlich heute noch Gelegenheit über den Übergang zu sprechen zwischen einem Differenzenquotient hin zu einem Differentialquotienten aber das wäre nicht diskutieren mit drei diimensionen sondern W mit der beschränken auf eine Diskussion in einer Richtung in einer Achse hat jemand eine Frage zu den volumslasten volumslast Last pro Volumen ein quellterm wenn sie sehen in Richtung eines einer einer einer Beschleunigung die zufolge von Gravitation entsteht na wenn es volumslasten gibt gibt's freilich auch Flächenlasten allein über die Begrifflichkeit K man sofort an die maßßeinheit anschleichen Last pro Fläche ein Newton pro Quadratmeter 1 Newton pro Quadratmeter nennt man auch ein Pascal only irgendwie nur Vokabel nur Namen und en lst kürze ich Ihnen ab mit dem variablen Buchstaben P vielleicht P wie pressure als Druck überlegen wir unser Situation als kizze da daneben das sie sehen wie der hae läuft na ich stell mal heute irgendeine Fläche vor und ich beschreibe Ihnen diese Fläche natürlich mit demem Koordinatensystem lassen uns da x-achsen Herm da yachsen in welche Richtung welche Orientierung muss die Z-Achse haben geht die nach oben oder geht die nach unten wer hat ein Beitrag für uns nach oben ne sie müssen den basisvektor in xrichtung auf kürzesten Wege in den basisvektor in Y Richtung hineinrehen um eine Drehbewegung zu bekommen die die Z-Achse beschreibt und mit irgendeiner ander Farbe da vielleicht mit am orange zeichne ich Ihnen eine Druckverteilung auf diese Druckverteilung sitzt auf der Fläche ist also eine Verteilung in Abhängigkeit der laufvariablen X und Y vielleicht wie folgt da könnte sich doch da so eine Druckverteilung ergeben und entlang da noch hinten haben wir vielleicht so ein Druckverteilung und da noch hinten ergbt sie vielleicht so eine nicht und da habe ich dann vielleicht so etwas und ich orientiere Ihnen den Druck unter der Bestimmung dass ein Druck grundsätzlich etwas ist was normal auf eine Oberfläche wirkt entgegen eines Flächen normalen Vektors gleiche Situation und gleiche Diskussion wie man sie da heroben sehen also diese einzelnen Pfeilchen die ich Ihnen da symbolisiere könnte ein Druck sein Newton pro Quadratmeter und der hängt ab von den Ortskoordinaten X und Y na und dann gibt's in dieser Fläche ein besonderes Flächenelement und dieses besondere Flächenelement ist Delta x breit und Delta y tief und auf diesem Flächenelement sitzt irgendwie a so Druckverteilung wenn Sie das erkennen können wie quasi ausgestanzt auser aus dieser aus dieser aus dieser Funktion der höhenkoordinaten P bis zur orangenen Fläche wie wie wenn Sie das Ausstechen würden mit ein Z kerus Stecher an Weihnachten na was wir da sehen über die Höhe ist der Druck gleich selber in der Maßeinheit Newton pro Quadratmeter das heißt wenn ich den Druck übersetzen möchte hin zu einer kleinen Kraft na was habe ich Fürer Möglichkeit ich kann ihen sagen da gibt's kleine Graf Delta F und die ergibt sich an einer bestimmten Stelle in Abhängigkeit des Drucks multipliziert mit Delta a und dieses Delta a ist nichts anderes als ein Delta x mal Delta y n das ist Delta F Ken wir uns da einzeichnen ne da wird das Sitzen so schaut das aus das ist al so Delta f ich definiere Ihnen wieder über den Grenzübergang sauber eine Flächenlast die Flächenlast ergibt sich als Delta F zu Delta a und zwar genau dann wenn Delta a gegen ull strebt um hier also den Übergang zu stiften zwischen einer kleinen Kraft einer unendlich kleinen Kraft die sich auf eine unendlich kleine Fläche bezieht und freilich sehen Sie hier an diesem Quotienten wie ich hoffe die Maßeinheit hat da jemander Frage dazu sie haben entsprechende Abbildungen natürlich im birchel aufgemalt die diskutier wir diesen Grenzübergang im Detail wenn ich drüber spreche was linienlasten sind der Grenzübergang ist einfach jene Überlegung die uns im Wesentlichen zur Differentialrechnung führt lassen s uns blaun über linienlasten linienlasten rein semantisch angeschlichen an die mßeinheit das muss sein eine Kraft pro Linienlänge Newton pro Meter jetzt ist natürlich die Frage was ich mir unter so einer linienlast vorstellen kann es gibt ja schlussendlich tatsächlich keine Geometrie die aussieht wie eine Linie aber wir wollen im Zuge dieser Lehrveranstaltung recht häufig balkenmechanik miteinander betreiben und dementsprechend muss ich ih einführen was man unter unter der Begrifflichkeit des Balkens versteht ein Balken sie mal prechende Zeichnung im im birchelseite 29 ist natürlich eine dreidimensionale dragstruktur freilich od auf der ister dreidimensionale Aufgabenstellung aber die wesentliche message ist dass dieser Balken ein ein schlankes dreidimensionales gerades Gebilde ist im Sinne V na da könntmer überlegen dass einen dreidimensionale Form hat die so ähnlich ausschaut wie das was ihen da aufzeichne so irgendwie nicht so dass Sie also da sehe die Länge dieser Tragstruktur l und da se heute vielleicht die Höhe und da in so einer dritten Richtung Kent man die Tiefe sehen t oder S oder b b ist vielleicht gcheit und ein Balken ist dieses dreidimensionale Gebilde dann wenn das B viel kleiner ist als das L und wenn das H viel kleiner ist als das L wenn wir solche stangenartigen Geometrien vor uns haben dann nennen wir sie ab jetzt balkeneometrien einen Balken und der muss ger muss sein wäre dieser Balken schlank und gekrümmt würde man se einen Bogen nennen ich muss mal überlegen ob ich mit über Bögen mit ihen blodern möchte aber jedenfalls einm eine Gerade Stange wäre etwas dass ich einen Balken nenne und dieser Balken wir wollen natürlich Balken Mechanik rechentechnisch betreiben und wir werden zu tun haben mit Kräften mit verteilten Lasten etc pp wenn wir so etwas vor uns haben na dann muss doch der erste Schritt der sein lass uns ein Koordinatensystem wählen mit dem wir balkenmechanik betreiben und natürlich ist die Wahl des Koordinatensystems ihre ihre ihre ihre eigene Wahl das Ken und für sich Ken das machen wie sie wollen aber wenn sie irgendwie mit dem Skriptum arbeiten wollen wenn sie dem dem dem dem dem Duktus dieser LE Veranstaltung folgen wollen dann lassen Sie uns jetzt ein Balten kartesisches Koordinatensystem kennenlernen das ich benutzen werde das entspricht natürlich der mitteleuropäischen sens in folgenden Sinne bitte wann ich da etwas sichtbar mache was ich eine Querschnittsfläche nennen würde das da ist ein Querschnittsfläche ich zeichne Ihnen dann noch mal eine aus Querschnitt Fläche im Sinne von na W das die Querschnittsfläche ist mit als B mal h dann versuchen Sie aus der Begrifflichkeit etwas abzuleiten es ist jene Fläche die sichtbar wird WN sie durch den beugen durchschneiden eine querchnittsfläche ja das ist natürlich ein len Jammer mal her ne also nich B mal h jede Querschnittsfläche und es wird die Aufgabe dieses Kapitels 2 sein das im Detail zu diskutieren und in einer Rechentechnik mitzugeben aber jede Querschnittsfläche auch z.B so eine rechteckige Querschnittsfläche die da B breit ist und H hoch ist hat etwas was ich einen Schwerpunkt nenne aus Symmetriegründen ist whhrpunkt dieser Querschnittsfläche klar zugänglich ich kann ih doch finden indem ich aus allein aus symmetrieüberlegungen den Schnittpunkt der Hauptdiagonalen bilde ich nenne diesen besonderen Punkt den Schwerpunkt und wir werden im Kapitel 2 genau diskutieren wie man so ein Schwerpunkt kriegen kann wann die Fläche eben nicht hinsichtlich des Schwerpunkts anhand von Symmetrien analysiert werden kann der Schwerpunkt da is er der Schwerpunkt ist der Ursprung des Koordinatensystems mit dem wir gemeinsam balkenmechanik betreiben wollen also ich schreibt das da wie ma ich denn das ich he es da so irgendwie daher zielt auf den Punkt der Ursprung des Koordinatensystems ist kongruent mit dem Schwerpunkt der Querschnittsfläche und jetzt muss ich kathesisches Koordinatensystem einzeichnen grundsätzlich naturwissenschaftlich kenen es machen wir es wollen in Mitteleuropa ist es üblich und diesen nysanen möchte ich anhängen dass eine x-Achse entlang der balkenstruktur läuft das ist eine x-Achse die anderen beiden Achsen sind rechtswendig zugeordnet wobei sich eine ance eingeprägt hat dass eine Z-Achse eine transversale Achse ist und rechtswendig zuordnen MS man die Y-Achse das ist die Y-Achse im Sinne von sie dreht sich so aus der tafelebene heraus das ist die mitteleuropäische ance Sees Koordinatensystems um balkenmechanik zu beschreiben und betreiben im asiatischen Raum wen die andere Herangehensweise nicht im asiatischen Raum haben die azachsen von links nach rechts laufen und die anderen beiden Ordnens rechtswendig zu und in amerikanischen Raum der ist durchsetzt von Europäern und von Asiaten nicht dann machen es die Ananas so und die anderen heute anders nicht aber das ist die mitteleuropäische ance quenen s dran der Ursprung des Koordinatensystems ist tatsächlich aus guten Gründen deckungsgleich mitm Schwerpunkt der Querschnittsfläche ich kann Ihnen aktuell noch nicht argumentieren warum es clever ist den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt zu setzen aber ich sage Ihnen den Satz ohne ihn jetzt beweisen zu können und weiter detaileren zu können der Schwerpunkt entkoppelt Zug von Biegung eine Zugbeanspruchung dieser Stange ist eine Beanspruchung die zur Längenänderung führt eine biege Beanspruchung einer solchen Stange ist so etwas was zu transversalen oder lateralen Deformationen von dieser Stange führt das Schwerpunkt ist jener besondere Punkt des Querschnitts der diese Zugbeanspruchungen von den Biegebeanspruchungen entkoppelt das heißt Sie können einen allgemeinen Lastfall zerlegen in den kleinen Gegner der Zugbeanspruchung und den kleinen Geger Gegner der biege beanspruchen und am Ende dürfen s die Ergebnisse wieder zusammenzählen wenn es ihnen gelungen ist dazwischen eine lineare Systembeschreibung aufzusetzen für lineare systembeschreibungen hält freilich das Superpositionsprinzip und etwaige nichtlinearitätsformen in der Kontinuumsmechanik möchte ich Ihnen weglinearisieren nicht wir haben da einführende Lehrveranstaltung die sich einmal mit dem linearen Dunstkreis auseinandersetzen möchte keine Nichtlinearitäten in diesem Zusammenhang wenn das so ist das Tragsystem ist ein schlankes balkenartiges Tragsystem dann wird es uns gelingen die dreidimensionale Wirklichkeit in ein eindimensionales Rechenmodell zu übersetzen im Sinne von die Punkte der Schwerpunkt also die die einzelnen Schwerpunkte werden zusammengefasst zu der eindimensionalen hoppala zu der einimens hab wir noch mal jetzt zu dieser eimensionalen Balken Geometrie zeichne fette Linie oder vielleicht zwei Linien irgendwie so dass das irgendwie fette Geometrie geworden ist und diese Fette Geometrie beschreiben wir mit unserem balkenkoordinatensystem da im Schwerpunkt Hock der Koordinaten Ursprung entlang des Stabs läuft die x-Achse transversal sehen wir die Z-Achse und aus der tafelebene heraus dreht die Y-Achse eine eindimensionale Repräsentation dieser dreidimensionalen aber schlanken tragwerksgeometrie sehr gerne zeichnet man da daneben nm den Querschnitt auf ich da den Querschnitt aufzeichn ble bei rechteckigen Querschnitt na dann Zi diese x-Achse offensichtlich durch den Schwerpunkt durch und wenn ich jetzt das Koordinatensystem beimessen möchte Kollege sinabel wä unzufrieden mit meiner werkstattzeichnung nicht aber W ich das jetzt da so einzeichne und ich sag in Y-Achse noch links und der Z-Achse noch unten dann ist es keine werkstattzeichnung ne und ver mir nicht beim Kollegen sinabell aber die Mechaniker ten des so nicht die Querschnittsfläche die hier sitzt wird daher gezeichnet nicht und wann die yachse zuerst zu mir schaut und die Dreh es daher schaut die yachse nach links und die Rotation findet statt um die Z-Achse das ist eine übliche Beschreibung der entsprechenden balkenachtigen Geometrie hat dazu einmal jemand eine Frage warum beschränke ich mich auf die balkenmechanik die als eindimensionale als eindimensionale Geometrie der Balken als eine eindimensionale Geometrie wird befördern können eindimensionale Rechenmodelle im Sinne von wir bekommen gewöhnliche Differentialgleichungen zur Beschreibung der aller lösungsvariablen gewöhnliche Differentialgleichungen sie hängen nur von einer Ortskoordinate ab und nicht etwa von mehr als einer und diese eindimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichungen da kann man von ihnen verlangen und kann man sie soweit bringen dass sie die analytisch ordentlich aufs Papier bringen so kan Mathematik Lehr Veranstaltung werden wir werden die Beispiele schon so wählen dass die Differentialgleichungen eigentlich recht simpel zu lösen sind und die Aufwände die jetzt in der Mechanik in der Mathematik 2 diskutiert werden in die wer wir do nicht laufen aber es sollen dennoch gewöhnliche Differentialgleichungen sein und werden die hier alle mechanischen lösungsvariablen beschreiben das heißt aus der dreidimensionalen Wirklichkeit ist geworden eine linienartige Geometrie und eine linienartige Geometrie promotet natürlich etwas was man linienlasten nennen könnte na lassen s uns drüber nachdenken damit an soin schicken blauen Stift könnte ich doch DAH her oben schaus bitte her in der dreidimensionalen Geometrie so einen Bereich abschranken an so ein kleinen blauen Bereich und auf diesem kleinen blauen Bereich stelle ich Ihnen eine Druckbeanspruchung und wir haben über Flächenlasten gesprochen auf die Oberfläche drauf und zwar mit der wesentlichen Eigenschaft dass ich der Druck den ich da drauf Stelle nicht in Y Richtung verändert der Druck bleibt in Y Richtung konstant so irgendwie natürlich kann er sich in xrichtung verändern verstehen Sie was ich meine fürchterliche Zeichnung mit diesem schregrissen muss man tefisch aufpassen schau bitte Abbildung 23 im birchel zeigt so eine gedachte Situation na wenn sich der Druck da heroben mach man n paar Pfeilchen dazu dass Ihnen die Orientierung klar wird wenn man diese Druckbeaufschlagung da heroben die sich nicht in Y Richtung verändert sondern nur in xrichtung verändert na dann können wir doch diese Drucksituation mit der Breite multiplizieren im Sinne von nm den Druck als Funktion von X multipliziere mit der Breite und bekomme der Maßeinheit nach etwas heraus was eine linienlast sein muss ne schau her Newton pro Quadratmeter mal Meter für die breite macht uns etwas in der Dimension Newton pro Meter und das ist eine linienlast und diese linienlast die ich Ihnen jetzt da unten aufzeichnen möchte ist eine linienlast die quer zur balkenachse wirkt W das die balkenachse wirkt dann produziert die offensichtlich Lasten quer zur balkenachse es lohnt der variaben Buchstaben eines kleinen QS quer für kleines Q und die Orientierung der entsprechenden belastenden Pfeilchen ist in die zrichtung es macht der Index Z an Sinn und das was wir sehen wollen ist eine Funktion des Aktes x und da kann ich das Aufzeichnen nicht so schaut das in etwa aus nicht W ich da von vorne quasi drauf Schau sich irgendwie so bütel so irgendwie schaut das aus lau ATX nach rechts einer dieser linienlastpfeilchen heißt QZ wo ist er an einer besonderen Stelle x ja wir haben noch nicht darüber gesprochen wie dieser Balken mit der Umgebung verbunden ist und wir sind nach wie vor im Dunstkreis der stereostatik das hei der biegedformation die sich da natürlich aufdringen würde wirden momentan noch ignoriert in der stereostatik Statik das starkörper nehmen an n die tragwerksgeometrie kann sich nicht verformen ist diese Skizze und diese Interpretation von linienlasten klar und jetzt möchte das bütel desm der Nase haben vielleicht ein bisschen größer zeichnen um mit ihnen drüber sprechen zu können passen S auf ich versuch da x-Koordinaten einal aufzumen na ja und dann gibt's da irgendwie eine besondere Stelle a und da gibt's vielleicht eine besondere Stelle B und über diesem Bereich über dieser Distanz hier über der Strecke von A bis B steht eine linienlast mit irgendeiner ortsverteilung so vielleicht na servus so irgendwie das da wäre irgendeine linienlast in zrichtung akzeptieren Sie die Variable die sich in Abhängigkeit des Ortes x verändert wie ist vorzugehen genau gleich wie beim Druck wie bei den Flächenlasten und bei den volumenslasten wir machen sichtbar aus dieser eimensionalen Strecke ein kleines Stückchen Delta x ein kleines Stückchen Delta x ich definiere Ihnen die volumslast entschuldigen Sie die linienlast die Linien l als eine kleine Kraft die in zrichtung lacht Z Z wann da z noch unten geht bezogen auf ein kleines linienstückchen Delta x unter der Prämisse dass Delta x gegen 0 strebt erkennen Sie bitte dass diese beschreibungsformen immer ganz ähnlich Aussehen ganz der gleiche Sache einal dividiere durch Delta um Flächenlast sichtbar zu machen dividier durch Delta x mach ja linienlast sichtbar und wan ich dividier durch ein Delta V mach volumenslast sichtbar und jetzt können wir ein bisschen über diesen Grenzübergang blaudern ein bisschen einen ersten beitru leisten zu den Spitzfindigkeiten der infiniteesimalrechnung der Differential und integral Rechnung was da herauskommt wenn Sie diesen Grenzübergang bilden ist eben das sogenannte differentialquotient dfz geil durch DX gewöhnen sie sich an die Notation mit Delta x meine ich etwas Kleines mit DX meine ich etwas unendlich kleines na wenn sie allein diese bestimmungsgleichung da sehen dann bedeutet das automatisch und darüber müssen wir bisschen nachdenken das muss man gut verstehen da muss man den Kopf passen schiefen wenn ich nur das unterstrichene mir hier ansehe dann steht doch dfz ist diese kleine linienlast QZ we an irgendeiner Stelle x mal DX nichts spannendes ich habe nur das DX auf die andere seenull versuchen Sie da zu interpretieren ich möchte den Grenzübergang zeichnerisch und das ist das schwierige das intellektuell aufwendige bei der infinit deciimalrechnung ich möchte genau diese Distanz Delta x jetzt als Distanz DX bezeichnen ich brauch keineich skizzenmenen nicht weil ich kann ja sowieso nichts unendlich kleines zeichnen na respektive kann ich schon nicht ich kann in einen Punkt hinmen und sage der ganze Zauber findet an der Stelle eines Punktes statt aber da kann man nichts verstehen das heißt ab jetzt bezeichne ich diese Distanz mit DX was steht denn dann hier ich nimm da andere VB ich nimm das Blau das hier wenn da die Stelle X ist dann ist doch hier diese höhenkoordinate die ich Ihnen anweise das QZ an der Stelle x eine Funktionsbeschreibung jeder Stelle x ordne ich eine höhenkoordinate zu und die höhenkoordinate interpretiere heute das transversale linienlass was steht hier bei QZ an der Stelle x mal DX was ist denn das lassen uns ausmen was man da sehen ne da sehen wir Höhe mal breite macht uns die Fläche die sich da irgendwie ergibt macht uns die Fläche aber wir müssen darüber nachdenken ob diese blaue Fläche die ich ihnen ausschrafiert habe auch tatsächlich im standande ist die gesamte Fläche da zu zu beschreiben weil überlegen mal bitte nicht ich schau da mit ein G Stift in das Detail da schau ich her was S sich linken Rand dann sich rechten Rand und dann sehe ich da irgendwie versuch es DAW so zu erwischen wie man das da sehen eine nach oben hin gekrümmte Funktion und da unten ist wegchnitten wir schauen nur in den gelben Bereich wenn ich hier die höhenkoordinate QZ hab und wenn die Breite von der Angelegenheit DX ist und wenn ich die die Fläche hier ausschrafieren möchte die ich gewinnen will na dann sich ich h ich mach doch eigentlich ein Föller wann ich rechne mit Höhe malbreite da gibt's eine blaue Linie die ist nicht deckungsgleich mit der gelben funktionsberandung der transversalen linienlast ist die Zeichnung verständlich ist nichts anderes ist ein Lupe daher ja genau dort möchte ich hin genau dort möchte ich hin lassen uns das ein bisschen besprechen jetzt haben sie doch das Vehikel einer Tangente kennengelernt wer sagt uns Waser Tangente ist wie finde ich eine Tangente an eine bestimmte Funktion kleiner seitengedanke was Gott nehmen da irgendwie konkrete Funktion dass man irgendwie was ausrechnen können lass ich da x laufen und da lass y laufen und ich nenne meine Funktion die Funktion f von X als x²r die sicher Parabel warum denn nicht was ist eine Tangente ich würde die Tangente an der Stelle beschreiben was bedeutet das was ist die Tangente lie die nur an dem Punkt denen berührt berührt an der Stelle wie finde ich denn die Tangente in einer intellektuell sauberen konzisen Ort und Weise aus der Sekanten was muss ich denn da machen Überlegens ich zeichne ihnen in K Sekante seante schneidet die Funktion an zwei Stellen zeichne da grodengleichung ein bemühe mich hier um einen geraden Strich das gelbe Ding nenne ich eine Sekante und ich kann die Gleichung der Sekanten freilich aufstellen wie wird aus der Sekante die Tangent mit blau was muss ich tun mit dem Punkt ich muss diesen zweiten Schnittpunkt entlang der Funktion führen bis zu dem Punkt und überlegen Sie was passiert W ich den Punkt jetzt da runter führ entsteht daraus etwas was S es Tangente kennengelernt haben das wir die Tangente im Sinne von mach mal mach mal gedankliches Experiment das da irgendwie beieinander s w ich da hab die Stelle x0 na dann ist diese Funktionsstelle offensichtlich F von x0 was so für ist wie x0 Quadrat jetzt wandere ich um eine Sek sichtbar zu machen ein kleines Stückchen Delta x nach rechts um die x-Koordinate und den abszissenwert dieses Punktes zu finden was ist der Ordinatenwert na das muss doch der Ordinatenwert sein das ist doch hier wie wie wie wie wie kann ich aufschreiben das muss die Funktion an der Stelle x0 + Delta x sein und die ergibt sich bei dieser Funktionsbeschreibung als ein x0 + Delta x zum Quadrat ich hab den Punkt und ich hab den Punkt geben Sie mir bitte an die Steigung K der Sekante wie finde ich die Steigung dieser gelben geradeng Gleichung ja ja schlussendlich ist die Steigung einer Geraden Gleichung nichts anderes ist das Steigungswinkel nicht W da so geradeng Gleichung haben bestimmen Sie die Steigung indem sie sagen was ist die Veränderung der höhenkoordin dividiert durch was war die Veränderung der axialen Koordinate ist Delta F und dann ist Delta x na dann kann ich die Steigung Sekanten angeben mit Delta F geteilt durch Delta x in konkreto habe ich Test min dem da schön langsam Schrei DAH x0 + x in Klammer zum Quadrat - x0 qu Veränderung der höhenkoordinate dieiert durch die Veränderung der axialen Koordinate ich schreib sie mal ganz deer auf nicht das ist die Abszisse von dem Punkt x0 + Delta x das ist die Abszisse von dem Punkt x0 und dann gingen die x0 weg und es bleibt nur das Delta x da sichtbar das ein mal klar Steigung der Sekanten und jetzt machen wir mit demem blauen stiftter Tangente draus die Tangente Steigung der Tangente ist nichts anderes als die Steigung der Sekanten wenn der rechte Punkt am am Wege der Funktion zum linken Punkt hinrutscht und zwar unendlich knapp hinrutscht das wäre eine geeignete Notation Limes Delta x strebt gegen Null das heißt da Hammer ich schreib mit dem weißen Stift dann glaube ich es ist ein bisschen besser zu sehen Limes Delta x strebt gegen n0 angewandt auf was den auf das was da steht habe x0 + Delta x zum Quadrat weniger x0 und da unten Kriege Delta x so irgendwie Steigung der Tangenten es ist nichts anderes als die Sekante wobei der obere Punkt auf der Parabel zum anderen hinrutscht einverstanden der intellektuelle Aufwand und deswegen hat es verhältnismäßig lange gedauert bis man diese infinciimalrechnungen soweit erfasst hat dass sie jetzt dieses recheng Gerüst ist dass sie natürlich auch schon in den Vorbildungen kennengelernt haben ne di ja wir habmer am Ende die infin dezimalrechnung aber der intellektuelle Aufwand entsteht jetzt wann ich wissen will was dabei rauskommt weil wann ich jetzt für Delta x0 einsetze dann steht da x0 zum Quadrat verzeen sie zw verloren weniger x0 zum Quadrat ist 0 im Zähler und wenn ich für Delta x 0 einsetz dann kriege ich null im Nenner man bekommt das was der Mathematiker einen unbestimmten Ausdruck nennt und das Kriege natürlich bei diesen Zeichnungen da her auch wenn das Delta F proportional zu Delta a ist und Delta a strebt gegen 0 na dann wird Delta F 0 werden geteilt durch ein Null werdendes Delta a 0 dur 0 immer wieder bleibt uns dieser entsprechende unbestimmte Ausdruck übrig und wir nennen diesen unbestimmten Ausdruck ein DF geeil durch DX Differenzenquotient geht über zum Differentialquotienten und dieses DF unendlich kleine Veränderung der höhenkoordinate dividiert durch unendlich kleine Veränderung der axialen Koordinate definiert uns die Steigung der Tangente und sie sehen das bitte möglicherweise als einen klaren Bruch einen Quotienten aus zwe infimalen Größen natürlich kommt ihnen diese Notation bekannt vor man könnte das doch auch so schreiben als Operator ich leite ab was denn F vonx oder Sie haben das vielleicht auch so kennengelernt als ein F Strich von X Achtung wo suchen wir denn die Steigung der Tangente wir suchen sie an der Stelle x0 das soll man do nur irgendwie einflechten an der Stelle x0 an der Stelle x0 an der Stelle x0 was nichts anderes ist F STR an der Stelle x0 dann machen wir doch ein Beispiel was ist wenn x0 2 ist und da die Funktion f vonx heißt x² was ist die Steigung F Strich einer Tangente an der Stelle x0 was kriegen a wie kann ich die x²r differenzieren 2 x XO brauche die Z x an der Stelle x= x0 na was habe ich dann dann habe ich 2 x 2 kriege ich 4 raus Steigung der Tangenten ist 4 na ganz was ähnliches muss uns da doch herobuskmen ich habe ja hier eine Gleichungskette aufgeschrieben das muss doch dasselbe sein wie das aber wir haben noch die Hürde des unbestimmten Ausdrucks vor uns den wir hier aber recht leicht bewältigen können Kön dadurch die Idee und den Gusto entwickeln den Zähler auszumultiplizieren W ich da die Klammer auflös bitte Achtung meine Herrschaft na Klammer mit einer Summe zum Quadrat mach dann so ein binomischen term verlieren mal den nicht W Anfängerfehler nicht habe ich was habe ich x0 quadr plus dann Kriege 2x0 del X + del x² x0 qu geteilt durch Delta x habe ich was falsch gemacht nein ich habe ja nur umgeformt und das muss zulässig sein jetzt da aber auf + x0 quadr und x0 qur die Z und S Weg die verbliebenen Terme sind proportional zu Delta x was kriegen W ich da oben Delta x Ahe was habe ich dann dann habe ich da 2x0 + Delta x gehil durch Delta x wieder nichts Falsches nur eine algebraische Umformung ist am Start und dann kann ich doch die Delta x im Zähler mit den Delta x im Nenner kürzen was kriege ich dann dann kriege ich außer den Grenzübergang für Delta x strebt gegen 0 von 2x0 + del x und wenn wir jetzt für Delta x 0 einsetzen na dann kriegen wir unsere 2x0 raus genauso wie man es da wissen weil sie natürlich unterscheiden Sie bitte zwischen der Interpretation der infinesimalrechnung und und und und und den Merksätzen die sie im Kopf haben x Quadrat differenziert ist 2x x das S differenziert ist 7 x x der6 und so weiter aber da ist was da dahinter steht hat dazu jemand eine Frage und erkennen sie dass die Behandlung dieses unbestimmten Ausdrucks natürlich einiges an Hirnschmalz kostetung bedeutet spannenderweise sind da wesentliche wesentliche Beiträge ebenso von IC Newton gekommen der der uns die Maßeinheit der Kraft mitgegeben hat allein an dieser Zeichnung und ich stell sie gerne noch einmal zur Diskussion aber allein an dieser Zeichnung soll uns muss uns klar sein dass eine Tangente und ich schreib diesen wesentlichen Satz da Merz her eine Tangente eine beliebig nichtlineare Funktion ersetzt in unendlich kleinem interessensbereich Überlegens normal die Tangente ersetzt und das ist das entscheidende eine beliebig nichtlineare Funktion und ich möchte das ein bisschen ingenieursmäßig sehen nicht man muss da schon aufpassen mit stätigkeiten und man muss aufpassen mit tangentenstätigkeiten Sprüngen Fehlstellen all das wollen wir jetzt nicht mitdiskutieren die Tangente ersetzt eine beliebig nichtlineare Funktion eine Funktion die irgendeine grümmung enthält in infinideesimalen interessensbereich das heißt in einem interessensbereich der unendlich klein ist ein wesentlicher wesentlicher Merksatz überlegen Sie ob Sie den Merksatz erkennen aus dieser Zeichnung ich fahre ja nicht an die Stelle x0 sondern ich fahre an die Stelle x0 plus unendlich ganz Stickel das bedeutet innerhalb dieses unendlich kleinen Stückchens ist die Tangente und die Funktion Tangente und Funktion ist ident in unendlich g Stiel lass uns das da aufzeichnen Tangenten Herm sie berührt entsteht die Geradengleichung einer Tangente in weiß und sie müssen den Kopf darum herumbringen dass der weiße funktionsverlauf deckungsgleich mit dem gelben ist s sie das kann man aber nicht sen ja soll ich den was zeichnen was unendlich klein ist natürlich hätte ich für diese Zeichnung da ein fetten Klex hermenen können und sagen da drinnen SST es sie müssen es intellektuell erfassen können dass die Tangente die beliebig nichtlineare gelbe Funktion exakt ersetzt lassen s uns den Duktus anwenden da das H diese rech rechteckstreifchen die man da sichtbar gemacht haben oder diese infinitesimalen Teilflächen die man da sichtbar gemacht haben die sind jetzt oben nicht mehr gekrümt berandet sondern sie sind berandet entlang von einer oberen geraden Gleichung es ist ein trapezstreifchen geworden ein trapezstreifchen da habe ich ein Streifen rausgeschnitten der oben nicht linear berandet ist jetzt habe ich gesagt me Streifen ist unendlich dünn wenn unendlich dünn ist dann kann ich die nichtlineare Funktion ersetzen durch die Tangente das ist das Büel was man da Seen n und wir können freilich die Fläche von ein Trapez bestimmen schaus her wann das die linienlast QZ an der Stelle X ist und ich gehe do ein kleinen Schritt DX nach rechts dann ist doch die Veränderung der höhenkoordinate ebenso unendlich klein DQ überlegen sie nicht sie gehen auf einer groten Gleichung ein kleinen Schritt noch rechts D müssen s ein kleinen Schritt noch oben gehen W ich den Schritt den nach rechts mach nch Kiner muss ich nur weniger weit nach oben steigen wann mein Schritt unendlich klein ist nach rechts D muss ich unendlich wenig nach oben gehen DQ das ist unendlich klein und das ist unendlich kin und weiß ist gleich gelb dann lassen s uns als Fläche bestimmen da kann ich doch sagen diese resultierende dfz ergibt sich als QZ an der Stelle x mal DX das ist die Fläche eines Rechtecks aber sie sagen natürlich h das rechte ist für da muss ich doch das da abziehen geometrisch ich muss doch das da wegzen von dem Rechteck erst dann habe ich die exakte Fläche unter der Kurve erwischt na rechne daher minus Fläche von ein rechtwinkelen Dreieck DQ mal DX mal ein halbes das mal dem Dreieck ist ja na weil die Fläche wie drücke ich mich denn aus WN des rech ist wenn das Rechteck ist s die Fläche von dem rechteg ist des da mal dem da nicht breite mal Höhe ist die Fläche eines Rechtecks und rechtwinkeliges Dreieck so wie aufzeichne ist geometrisch die höfte davon ist uns das klar hat da jemand eine Frage was haben wir benüzt um in diese um in diese orangene Ring kommen wir haben die beliebig gekrümmte nichtlineare Funktion oben ersetzt durch die Tangente ansonsten haben wir noch nichts weiteres getan aber jetzt müssen wir uns natürlich auf die Spitzfindigkeiten der infinzimalrechnung einlassen bitte mit differentiellen Größen kenen mit ganz gewöhnlichen Größen ich entschließe mich diese Zeile durch DX zu teilen Weier Stift sie entschuldigen dieses Tafelbild des da jetzt ein bisschen man sowas anen wen ist ich dividiere das durch die X auf beiden Seiten zulässige operation was hab wir da da wir stehen dfz DX QZ DX dur DX QZ plus FCH minus DQ halbe die DX vorin Weg bedenken Sie dass ich mit so einem Buchstaben D eine unendlich kleine Zahl meine eine unendlich kleine Menge der entsprechenden Quantität die linienlast selber ist groß das ist endlich groß das da ist unendlich klein das Wesen der infinimalrechnung sagt uns und wo K sgen da K sen das Wesen der infinzimalrechnung sagt uns ein unendlich kleiner Beitrag ist exakt null im Vergleich zum endlich großen das ist endlich groß das ist unendlich klein das bedeutet für uns der unendlich kleine Beitrag verschwindet aber er verschwindet natürlich nur im Vergleich zu einem endlich großen das hei übrig bleibt uns da QZ an der Stelle x H und wenn man das Resultat vergleichen das ist gleich das mit unserer grundsätzlichen Definition von einer resultierenden KfT sen wir dass die Resultate dort z anpassen wir müssen uns halt Stück für Stück einlassen auf das Wesen der infiniteesimalrechnung und da ist es ein wesentlicher Beitrag zu erkennen wie ist denn eigentlich die Tangente definiert was passiert am Übergang zwischen einem Differenzenquotienten hin zu einem Differentialquotienten wie man dann im Detail den bestimmten Ausdruck zu einem Ergebnis überführt na das haben sowieso im Kopf ne sie wissen wie man Polynome differenziert sie wissen wie man Exponentialfunktion differenziert sie wissen es wie s ein Sinus differenzieren das müssen es nicht immer ze zeigen und und und beweisen ich habe s Ihnen heute da mal vorgeführt für polynomgleichung nicht aber das ist von da daher das nach daher das ist das Vehikel das sie sowieso im Kopf haben das Kochrezept vom differenzieren die Interpretation ist das entscheidende und die Möglichkeit hier Skizzen zu zeichnen und das kizze ist dann das Skizze wenn Sie das Wesentliche beleuchtet und das Unwesentliche nicht darstellt das heiß die gehen mit großen Zeichnungen vor ofal sieht man dann so Zeichnungen die werden den studenteness so ich kann ih nichts ableiten ne da ordentliche Zeichnung macht der Möglichkeit irgend etwas daraus ziehen zu können und da haben wir uns Hal angeschlichen an den Dunstkreis der infin desimalrechnung hat da jemand eine Frage dazu wir werden das ein paar mal sehen und ein paar mal diskutieren bis sie dann schlussendlich hoffentlich angekommen bin aber dieser diese ist diese erste Sache mal nachvollziehbar da imand eine Frage ja aber nur in einem unendlich kleinen interessensbereich wenn der interessensbereich größer wird ist die Tangente vielleicht der geschickte Annäherung ersetzen tut sie nur WN der interessensbereich unendlich klein ist aber das weiß ich schon die Tangente ich hab Frage nicht verstanden offensichtlich das weiße ist die Tangente des da ist die Tangente wo bestimmt in dem Punkt und worum sie den Kopf herumbringen müssen ist dass der weiße funktionsverlauf deckungsgleich ist mit dem gelben funktionsverlauf der eine ist gekrümt der andere ist ein grer Strich dennoch wenn DX unendlich klein wird na ist gelb ist gleich weiß und das ist das wo man sie gerne mal SP blockt nicht und das ist auch der Grund warum dieen Griechen nicht auf die infin Rechnung gekommen sind we sie das heute nicht hab überlegen kenen hat ja lang gedauert das 16 Jahrhundert Newton als wesentlicher Vertreter da in diesem in diesem Dunstkreis Notation kommt eher vom vom deutschen Mathematiker Leibnitz Leibnitz und Newton sind die Leute über infinimalrechnung erschöpfend gesprochen haben na schön und damit haben wir bisschenü was man unter einer linienlast verstehen kann und wo man sie brauchen kann lassen s uns das vielleicht noch mal bisschen zusammenfassen ich zeichne uns wieder auf eine balkenachtige Tragstruktur und ich versucht das mit zwei fetten mit zwei fetten Linien uns ist klar x-Achse läuft nach rechts unds ist klar Z-Achse lass wir da noch unten laufen und jetzt nehme ich da so ein Biss so ein schrägriss und Y sichtbar zu machen die aus dem Papier herausdreht gesprochen haben wir gerade eben über etwas was ich Ihnen als eine querlinienlast in zrichtung bezeichnet habe W das die starbx ist einimensional na würde ich irgendein so ein Pfeilchen eine transversale kleines Q quer quer zu stachse Index Z in Z Richtung schauend eine transversale linienlasten nennen na freilich gibt's auch transversale linienlasten in Y Richtung ne die versucht es da so bisschen da noch hinten aufzuzeichnen so irgendwie ne die dann so am sin wird's genauso geben nicht ich würde sie nennen querlasten in y Richtung als Funktion von X versteht man das nicht W das deren ist und das ist QZ na dann könnt ihr doch das qy sein und freilich könnte es auch linienlasten geben der übersichtlichkeitber nehme jetzt dann orangenen Stift die in axialer Richtung wirken so vielleicht eine Verteilung von linienlasten Newton pro Meter in axiale Richtung sind die Pfeilchen orientiert da variaben Buchstaben Q mach kein Sinn ist in axialer Richtung man verwendet den variablen Buchstaben Mees kleinen NS macht vielleicht noch mal x dazu um zu zeigen dass das Ding in xrichtung orientiert ist und gerichtet ist und auch das könnte eine Funktion von X sein wir werden schon noch ergründen warum da der kleines n steht axal wie axialmch kann SN aber wie Normalkraft macht dann Sinn und diese Belastung verursachen Normalkräfte und die querlasten verursachen große Querkräfte große QS ne und so könnte man sich da irgendwie also wir werden schon noch erkennen dass die Bezeichnung dieser Variablen jetzt nicht da einfach vollkommen willkürlich gewählt ist das hat schon das passt schon irgendwie hweg Z St on NX von X kleiner Buchstabe linienlast x der Index sagt man die Orientierung und Richtung von der entsprechenden linienlast und so wie ich hier meine Zeichnungen gewählt habe ist es eine entsprechende Verteilung dieser Funktion in Abhängigkeit von x und ich hoffe Sie haben einen klaren ein klares Bild einer einer Funktion Funktion verbindet abszissenwerte mit ordinatenwerten und eine Funktion ist die Menge dieser Punkte die auf die Art und Weise zeichnen kann und wir beschränken uns zunächst vielleicht einmal auf die Klasse der analytischen Funktionen analytische Funktion ist eine Funktion die keine Sprünge aufweist ist eine Funktion die nirgendwo knickt ist keine Funktion die an irgendeiner Stelle unendlich groß wäre analytische Funktionen so wie sie sie kennen aus der Mathe 1 hat da irgendjemand irgendeine Frage irgendeinen Hinweis also dieser Beginn von diesem Kapitelchen 2 hat zu tun mit einer Fülle von Begrifflichkeiten nicht man muss irgendwie heute ein paar Vokabeln kennenlernen und da entsprechend sauber einführen damit man etwas hat worüber man pludern kann eigentlich ein ein ein Rinner Lernteil so wie sie sehen ein bisschen wieder wieder wieder naturwissenschaftlicher wird die Diskussion bezüglich des Schwerpunkt lass uns mir no pa Takte über den Schwerpunkt sprechen wir brauchen den Schwerpunkt aus zwei wesentlichen Gründen wir bra den Schwerpunkt und eine klare bestimmungsgleichung und der Rechentechnik dafür um überhaupt ein unser Koordinatensystem da festhalten zu können mit dem wir balkenmechanik beschreiben wan sag der Ursprung des Koordinatensystems sitzt im Schwerpunkt der Querschnittsfläche na dann muss ihnen Gerüst mitgeben wie sie für beliebige Querschnittsfläche ein Schwerpunkt ausrechnen K und wir werden diese Begrifflichkeit des Schwerpunkts auch benötigen um resultieren von verteilten Belastungen kennenzulernen Stück für Stück eine leider Gottes verhötnismäßig mathematisch orientierte Sache leider Gott es zu ein frühen Zeitpunkt der Lehrveranstaltung aber wir brauchen s he wir ein Bissen Brot deswegen jetzt eine kleine Diskussion über den Schwerpunkt und vielleicht können Sie dieser Abbildung 25 im birchel Seite 31 was abgewinnen wo man mal so ein erstes Gefühl bekommen könnte was Punkt ist da gibt's eine eine eine ich gebe zu sehr ungewöhnliche Hantelstange da ist irgendwie nur so Gewichtscheiben auf der linken Seiten aufgeschoben und auf der rechten Seiten sind da mehrere Gewichtscheiben so und dann gibt's irgendwie ein Gewichtheber der vielleicht im standande ist diese Hantelstange in die Höhe zu lüpfen aber er versucht das und auch das ist ungewöhnlich das mit einer Hand zu tun nicht jetzt gibt's da den Gewichtheber so schaut der habber aus nicht und da steht er und da ist die eine Hand und mit der anderen Hand versucht er diese Hantelstange nach oben zu halten Hantelstange im Sinne von er steht auf der Erdoberfläche er sucht das Gleichgewicht der Hantelstange er stellt sich die Frage wo an welcher Stelle hier muss er denn die handelstange mit der einen Hand packen dass das sie in Ruhe in die Höhe lüpfen kann so dass der Schiedsrichter von dem gewichteben da zufrieden ist dieser besondere Punkt wo der das Ding angreifen möchte den möchte ich Ihnen einführen als den Schwerpunkt der Hantelstange der Schwerpunkt der Hantelstange der Schwerpunkt einer beliebigen Geometrie ist bitte merken Sie sich das nur im homogenen erdbeschleunigungsfelder solches definiert das heißt wir wir wir wir haben schon mal vor der nosen hoch die Hantelstange muss deutlich kleiner sein als die Erdkugel ansonsten käme es ja zu diesen tienkräften die sich ergeben aufgrund der Rotationssymmetrie des beschleunigungsfelds wenn aber die Hantelstange und das ist sehr wahrscheinlich viel kleiner ist ist die Erdkugel wäre mit ganzem Recht sagen könen h die erdbeschleunigungen sind keine Funktion des Ortes an jeder Stelle ist Funktion W gleich groß jetzt habe ich da der linke Masse m links und da habe ich eine zusammengezogene Rechte Masse m rechts und offensichtlich ist oder mache ich das lieber mit m2 und das nenne M1 dann brauche ich do nicht immer mit so Buchstaben in die Indizes so dann wissen wir bereit wie wir die äußeren Kräfte sichtbar machen Masse in Kilogramm multipliziert mit der Erdbeschleunigung macht unser Kraft das ist die Kraft F1 mit der Amplitude M1 mal g und das die zusammengezogene Rechte Masse ist ne dann kann ich doch da sichtbar machen GRA die ist vielleicht sogar B gröer wenn Sie das maßstäblich berücksichtigen wollen D haben wir da ein m2 g und das ist die Kraft F2 wir suchen den Schwerpunkt dieser Hantelstange und wie der Kollege schon richtig gemutmaßt hat es ist kein neues rechengerüst das uns da aufläuft sondern wir haben erschöpfend eigentlich über die Lage des Schwerpunkts schon gesprochen mit Gleichgewichtsbedingungen alleine na lassen uns doch irgendwie sichtbar machen blauer Stift die gewichthebers auf die helstange und die Rückwirkung der helstange auf den Gewichtheber der FT zum Schwitzen wiriner die handelstange da nach oben lüpfen muss probier da ist die Stangen und ich zeichne jetzt nur me die beiden Kräfte ein F1 und F2 Gewichtheber da lochter da steht er und da h das seine Hand da dazwischen habe ich blau freigeschnitten um ein freikörperbild sichtbar zu machen durch das schnittprinzip werden sichtbar innere kraftgrößen innere kraftgrößen müssen das wechselwirkungsgesetz befriedigen na da muss doch die Rückwirkung des gewichthebers auf die Hand Stange manifest werden weil die handelstange wann sie heen kann bleibt ja in Ruhe die bleibt ja wo sie ist das he der Gewichtheber leistet eine Rückwirkung war der gewichthber nicht da F die handelstange noch unten aber freilich erfährt ja der gewichber entsprechende wie sag ich Beanspruchung ne das ist ja dem sein Spur dort ne dieser Pfeil ist die Rückwirkung der Gewichts der handelstange auf den gewichtsheber innere kraftgrößen sie müssen gleich groß sein gleicher Betrag sie müssen die gleiche Richtung haben aber sie sind entgegengesetzt orientiert und sie werden nur dann sichtbar wenn Sie das schnittprinzip zur Anwendung bringen plötzlich ist hier ein freikörperbild entstanden plötzlich ist hier ein freikörperbild entstanden W s den der der GR dann nam geben S und S das da herunten ist kein freikörperbild Summe aller Kräfte ist da nicht erfüllt weil der gewichthebe ja noch nicht von der Erdoberfläche weggeschnitten wurde aber desto herum ister freikörperbild alle Anschlüsse an die Umgebung sind vollständig getrennt wir wollen was rechnen Sie wissen wann es was rechnen wollen msens müssen es mit demem Koordinatensystem markieren n Bau einer Koordinatensystem hoppala da ist vielleicht der x-achsen und da noch oben Verkauf in einer Y-Achsen und dann messe ich die einzelnen Abszissen Abstände der einzelnen Kräfte an das ist die Stelle X1 da ist die Stelle X2 hier sehen wir die gesuchte Stelle XS wir können uns mit Gleichgewichtsbedingungen alleine doch daran anschleichen wie groß ist s erstens und zweitens wo ist s und der Ort von S der Punkt der Wirkungslinie von S das ist der Schwerpunkt der handelstange unter der Überlegung dass Sie dass das gefunden wird in einem homogenen erdbeschleunigungsfeld lassen Sie uns gleich für dieses freikörperbild eine bisschen eine passendere Notation wählen die vielleicht nicht so sträflich am Koordinatensystem hängt wir bitte ja weil blsin ist ne danke für die Kraft F2 ist an der abszissenstelle X Z verzeihen Sie vielen Dank na es könnt doch sagen ich bilde na freich könnte ich sagen Summe aller Kräfte Summe der äußeren Kräfte vektoriell plus Summe der Stützkräfte ich hab heute nur eine muss den Nullvektor erzielen und ich habe freilich auch das momentengleichgewicht nicht da gibt's die äußeren beiden Kräfte die teilmomente machen und ich überlagere die und auch die Stützkraft dieses s diese innere kraftgröße hier macht ein Momenten Beitrag mit RSI Kreuz si entschuldigen sie brauch KI wan es nur eine gibt und raus muss dabei der Nullvektor kommen und sie erkennen diese beiden Gleichungen sind dieselben Gleichungen die wir im Kapitel 1 benutzt haben keine neue Naturwissenschaft nur die Anwendung dieser Naturwissenschaft hinsichtlich einer neuen Begrifflichkeit und die Begrifflichkeit h Schwerpunkt und ich überlasse es Ihrer geschätzten lehrveranstaltungs Nachbereitung des vektoriell aufzubauen und aufzubereiten und das vielleicht in Matlab zu bestimmen aber vielleicht könen wir uns jetzt da helfen ein bisschen losgelöster vom Koordinatensystem zu spre DAH her oben habe ich doch zwei Gleichungen Summe aller Kräfte vielleicht in horizontaler Richtung und ein kraftpfeilchen das von links nach rechts lacht hätte einen positiven Beitrag und ich gucke innerhalb von dem freikörperbü und da gibt's überhaupt ke horizontale Kraft Null und Summe aller Kräfte muss Null sein wunderschöne Gleichung richtig nicht aber sinnlos Summe aller Kräfte in wert aler Richtung und ich möchte einen Beitrag der nach oben lacht als positiven Beitrag zählen das wäre bezogen auf dieses Koordinatensystem die y komponentengleichung na was habe ich denn da da habe ich - F1 sehen Sie die Orientierung vektoriell muss die Orientierungen mitdenken - F1 + S - F2 am Ende muss ull dabei auser kommmen Summe aller Momente schauen Sie auf meine Notation ich weiß es muss eine zkomponente sein ich wähle vielleicht als Bezugspunkt jenen Punkt wo ich die einzelnen abszissenabstände bemaßt habe nicht nen mal Momentum o und so herum vielleicht als positiv warum denn nicht was haben wir für Beiträge da haben wir F1 Betrag der Kraft F1 Hebelarm X1 Vorzeichen von dem K negativ dann haben wir + S mal XS Betrag der Kraft mal Hebelarm F2 mal X2 Betrag der Kraft F2 Hebelarm X2 Vorzeichen aus der Überlegung dabei muss null auserkmen vor unserer Nase stehen zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten s bzweise XS da kann ich doch da her oben probieren das S aus zum finden was kriege ich denn da s ist dann F1 + F2 das ist in konkreto wenn die erdbeschleunigungen konstant sind und damit herausgehoben werden können geh mal M1 + m2 S ist in der Amplitude in der Hand jetzt kann ich das S da unten einsetzen und das XS aus Null habe ich XS mal s =le F1 mal X1 + f2* X2 das ist in konkreto ich hebe Ihnen die gemeinsame Erdbeschleunigung als Konstante wieder heraus geh mal dann habe ich da M1 X1 + m2 X2 und S kenne ich da knurder so irgendwie mal aufpassen dass man da die Klammern passend gewählt hat nicht ke schöne Notation setz das S ein was kriegen wir im zler g M1 X1 + m2 X2 geteilt durch und im Nenner haben wir s stehen mit G mal M1 + m2 die Erdbeschleunigung g ist die Konstante die kommt im Zähler und im Nenner vor kann sie doch rauskürzen was wir hier bekommen ist ein durch die Gesamtmasse mg wobei ich die die Gesamtmasse bestimme aus der Summe der teilmassen und da habe ich heute z multipliziert mit etwas das ich nennen würde x XI mal mi und in dem Fall haben wir heute zwei Massen läuft es bis zwei plötzlich ist die Lage des Schwerpunkts überer formelwerk zugänglich nicht auch über ein formelwerk das sich jetzt nicht nur beschränkt auf zwei von diesen Massen sondern es wär auch denkbar noch ungewöhnlichere handelstangen mit fünf verschiedenen Massen na lass ich heute die Summe bis fünf laufen der Schwerpunkt der Lernteil davon ist na Schwerpunkt ist nur dann definiert wann die erdbeschleunigungen homogen sind wenn das beschleunigende Feld das das die Kräfte macht wenn das homogen ist dann ist der Schwerpunkt definiert das wenn wir wissen wenn wir im Kopf haben ist es nichts anderes als die Anwendungen der Überlegungen aus dem Kapitel 1 des war wesentliche Gleichung im Kapitel 1 und des war wesentliche Gleichung in Kapitel 1 und sie hält Fürer freikörperbild dann und nur dann und sie bietet hier genügend Möglichkeiten durch Umformung die Lage des Schwerpunkts einer ungewöhnlichen Handel s als solches zu identifizieren der Schlüssel zur Bestimmung des Schwerpunkts liegt hier in der momentengleichgewichtsbeziehung die momentenleichgewichtsbeziehung ist jene die an wesentlichen beitrug leistet zur Bestimmung des Schwerpunkts Summe aller Momente liefert uns ein Schwerpunkt hat da jemand eine Frage hat jemand einen Hinweis und das wer ein bisschen generalisieren in Richtung der Abbildung 26 aber freilich nicht mehr heute sondern bei unserem nächsten gemeinsamen Termin gibt's für heute noch irgendwelche Fragen hat irgendjemand ein Hinweis dann dürfen wir Schluss machen danke für die Aufmerksamkeit