ความเข้าใจลิมิตและความต่อเนื่อง

Overview

บทเรียนนี้สอนเรื่องลิมิต (Limit) และความต่อเนื่องของฟังก์ชันในแคลคูลัส โดยเน้นวิธีการหาค่าลิมิต เทคนิคพิเศษ การใช้ลิมิตซ้ายขวา และเกณฑ์การเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

ลิมิตของฟังก์ชัน

• ลิมิต (limit) คือค่าที่ fx เข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้ a
• เขียนสัญลักษณ์ว่า lim x→a f(x)
• ถ้าเป็นสมการเส้นตรงหรือไม่มีปัญหา แทนค่าลงไปได้เลย
• ถ้าเป็นค่าคงที่ lim x→a c = c
• ถ้าเป็น 0 ส่วนตัวเลข ≠ 0 ตอบ 0
• ถ้าเป็นตัวเลข ≠ 0 หาร 0 ตอบว่าหาค่าไม่ได้
• ถ้าได้ 0/0 ให้แยกตัวประกอบหรือลอง conjugate (สำหรับ root)

เทคนิคการคำนวณลิมิต

• เทคนิค conjugate ใช้กับโจทย์ที่มีรูทและได้ 0/0
• สำหรับพหุนามหรือเศษส่วนที่แทนค่าแล้วได้ 0/0 ให้แยกตัวประกอบและตัดทอนก่อนแทนค่าใหม่
• เมื่อเจอหลายเงื่อนไขของฟังก์ชัน ให้เลือกใช้สมการตามช่วงที่ x เข้าใกล้

ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวา

• ลิมิตซ้ายคือ lim x→a⁻ f(x) (เข้าใกล้ a จากซ้าย)
• ลิมิตขวาคือ lim x→a⁺ f(x) (เข้าใกล้ a จากขวา)
• ลิมิตจะมีค่าเมื่อ limit ซ้าย = limit ขวา
• สนใจค่าที่เข้าใกล้ ไม่ใช่ค่าที่จุดนั้นจริง

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

• ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x=a ก็ต่อเมื่อ
  1. f(a) หาค่าได้
  2. limit x→a f(x) หาค่าได้
  3. f(a) = limit x→a f(x)
• ถ้าผิดข้อใดข้อหนึ่งจะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น
• กราฟต่อเนื่องคือไม่ขาดตอน เส้นต้องเชื่อมกัน

ตัวอย่างและโจทย์ประยุกต์

• ฟังก์ชันหลายเงื่อนไข (piecewise) ให้สนใจรอยต่อ โดยพิจารณา limit ซ้ายและขวา
• หากโจทย์บอกว่าต่อเนื่องทุกจุด ให้แก้สมการที่รอยต่อเพื่อหาเงื่อนไขของตัวแปร

Key Terms & Definitions

• ลิมิต (Limit) — ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่อ x เข้าใกล้จุดหนึ่ง
• ลิมิตซ้าย/ขวา — ค่าลิมิตขณะเข้าใกล้จากซ้าย/ขวา
• ต่อเนื่อง (Continuous) — ฟังก์ชันที่ไม่มีรอยขาดตอนที่จุดนั้น
• Conjugate — เทคนิคคูณเศษส่วนด้วยรูทต่างเครื่องหมายเพื่อตัดรูทออก

Action Items / Next Steps

• ฝึกทำโจทย์ลิมิตทั้งแบบแทนค่า แยกตัวประกอบ และ conjugate
• ทบทวนกฎ 3 ข้อของความต่อเนื่อง
• ตรวจสอบคำถามและฝึกโจทย์ที่ยังไม่ได้ทำในบทเรียน
• เตรียมเรียนเรื่องอนุพันธ์ (Derivatives) ในคลิปถัดไป