ความเข้าใจลิมิตและความต่อเนื่อง

สวัสดีน้องๆที่น่ารักทุกคนนะครับ ก็มาพบกับพี่มักอีกเช่นเคยนะครับในหัวข้อวันนี้นะครับ ที่พี่มักจะมาสอนน้องเนี่ย ก็จะเป็นเกี่ยวกับเรื่อง Calculus นะครับCalculus เนี่ย พี่มักเชื่อว่า นักเรียนหลายคนเลยนะครับ น้องหลายคนเลยเนี่ยน่าจะเรียนบทนี้กันตอนที่อยู่ม.6แต่ว่าบางคนอาจจะเรียนตอนเทิม 1บางคนอาจจะเรียนตอนเทิม 2 ขึ้นอยู่กับโรงเรียนCalculus ที่พี่มักจะสอนพี่มักจะขอแบ่งมันออกเป็น 3 พาร์ทหลักๆด้วยกันพาร์ทแรกที่เราจะมาเรียนกันในวันนี้ก่อนพาร์ทแรกจะเป็นเรื่องLimit และความต่อเนื่องLimit และความต่อเนื่องพาร์ทที่ 2 ครับพี่มักถามน้องหน่อยเวลาพูดถึง Calculusน้องจะนึกถึงการอะไรเก่งมาก การดริฟต์ถูกปะ เออดังนั้นเนี่ยในพาร์ทที่ 2 ที่เราจะเรียนกันนะครับพี่มักจะสอนน้องเกี่ยวกับเรื่อง การดริป หรือว่าภาษาไทยเรียกว่าการหาอนุอะไรมีช้อยระหว่าง 1.อนุพันธุ์ 2.อนุทินธุ์อนุพันธุ์ ไม่ใช่อนุทินธุ์ คนละอย่างกันแล้วก็แน่นอนครับ ถ้ามีดริปก็ต้องคู่กับการมีอะไรมีดริปก็ต้องมีการ อินทิเกจถูกปะ การอินทิเกต พี่มักจะขอสอนในหัวข้อสุดท้ายเลยเห็นมั้ยครับ อยู่ในคลิปสุดท้ายเลย การอินทิเกต ประสาทไทยก็จะมีชื่อให้มันว่า การหาปริพันธ์หรือว่าปรติยานุพันธ์โอเคไหมครับ ปรติยานุพันธ์ก็ได้โอเคดังนั้นนะครับ ในคลิปนี้พี่มักจะมาสอนน้องเกี่ยวกับเรื่องLimit แล้วก็ความต่อเนื่องกันก่อนโอเคไหม เออ Limit นะครับมา เรามาเริ่มกันเลยดีกว่าโอเคนะ หัวข้อที่ 1 นะครับLimit และความต่อเนื่องของ Function นะครับ Limit ของฟังก์ชันคืออะไรนะครับเวลาน้องเรียนเรื่อง Limit เนี่ยแน่นอนครับ พระเอกเลยที่น้องจะต้องเจอเนี่ยคือสัญลักษณ์อันนี้อ่า โอเคมั้ย อันนี้อ่านว่าอะไรก่อนอ่านว่า Limit อันนี้ย่อมาจาก Limitโอเคมั้ย Limit อันนี้ย่อมาจาก Limitนะครับคือ limit ของใคร คือ limit ของ fx นะครับเมื่อ x เข้าใกล้ a เล็กอันนี้ok นะครับ limit เนี่ยมันหมายถึงอะไรนะครับมันจะหมายถึง ค่าประมาณของ fx เมื่อ x มีค่าใกล้ aอันนี้คือความหมายของ limit นะครับ มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าถ้าเกิดโจทย์เขาให้มาว่า limit ของใคร fx ในที่นี้เป็น x บวก 2limit ของ x บวก 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่าไหร่ทำยังไงนะครับ อันดับแรกเลย น้องรู้ถูกไหมว่า x บวก 2 มันคือสมการของอะไรสมการเส้นตรงถูกปะ ดังนั้นพี่มักจะวาดเส้นตรงให้น้องเห็นภาพก่อนนะครับ x บวก 2 เนี่ยมันก็จะหน้าตาประมาณนี้ถูกแปลดังนั้นเรามาวาดเส้นตรงกันนะครับชึบ อ่า โอเคอันนี้คือ fx ของพี่มัก เราสนใจเมื่อ x มันเข้าใกล้ 1 ถูกปะน้องลองดูก่อน เฮ้ย ถ้าเกิด x เป็น 1 ตรงนี้x เป็น 1 มันให้ค่า y เท่าไหร่น้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกปะ1 บวก 2 ได้ เก่งมาก ได้ 3ดังนั้นถ้าเกิด x เป็น 1ตรงนี้มันจะให้ค่า y คือ 3 นั่นเองโอเคนะ ดังนั้นพี่แม็กก็พล็อตค่า y ตรงนี้ 3 นั่นเองนะครับอย่างที่บอกนะ เวลาเขาพูดถึง limit เนี่ยนะครับ คือเขาไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 1 นะแต่เขาสนใจเมื่อ x มันมีค่าใกล้ 1เราสนใจว่าถ้าเกิด x ของเรามันมีค่าใกล้ 1มันจะให้ค่า y เท่าไหร่น้องสังเกตนะ 1 อยู่ตรงนี้ถูกไหมอะไรบ้างที่เข้าใกล้ 1 แน่นอนถ้าเกิดน้อยกว่า 1 นิดนึงก็อาจจะเป็น 0.9ใช่ปะ มากกว่า 1 อยู่นิดนึงก็อาจจะเป็น 1.1ใช่ไหมครับ ดังนั้นเนี่ย x เท่ากับ 1 ตรงนี้เนี่ยค่าที่มันเข้าใกล้ 1 เนี่ยมันจะแบ่งได้เป็น 2 ฝั่งคือน้อยกว่ามันนิดนึงกับมากกว่ามันนิดนึงโอเคนะ ตามทันนะครับดังนั้นเนี่ยพี่มักก็เลยบอกว่าถ้าเกิด x เข้าใกล้ 1 เนี่ยเราก็จะแบ่งได้เป็น x น้อยกว่า 1 ก็คือมาทางฝั่งซ้ายถูกปะกับ x มากกว่า 1 ก็คือมาทางฝั่งขวานะครับx น้อยกว่า 1 มีอะไรได้บ้างที่มันใกล้ 1 นะอันนี้ไฮลาฮ์ให้พี่มักก่อนก็ได้เมื่อ x มีค่าใกล้ 1 เห็นนะครับ x น้อยกว่า 1 ก็เ� ถูกป่ะ 0.9 นะครับ หรือว่า ใกล้กว่านี้อีกคือ 0.99หรือว่าจะใกล้กว่านี้อีกก็จะเป็น 0.999 เขียนแค่นี้พอนะครับน้องลองดูนะ เฮ้ยถ้าเกิด x ของพี่แม็กซ์เนี่ยคือ 0.9 นะครับมันให้ค่า y อยู่ที่เท่าไหร่เอา 0.9 เข้าไปแทนเลยคือ 2.9 เก่งมากถ้าเกิด x ของพี่มักเป็น 0.99 x ของพี่มักเป็น 0.99 จะให้ค่า y คือ 2.99y ก็คือ fx นะและถ้าเกิด x ของพี่มักเป็น 0.999แทนเข้าไปในนี้ก็จะได้ fx ออกมาคือ 2.999โอเคนะครับทีนี้ครับเหมือนกันเลยอีกฝั่งหนึ่งถ้าเกิด x มากกว่า 1 ล่ะแต่ว่ามันยังใกล้ 1 อยู่นะ อาจจะเป็นอะไรได้บ้างอาจจะเป็น 1.1 ถูกมั้ยครับ หรือว่าใกล้กว่านี้อาจจะเป็น 1.01ใช่ไหม หรือกล้ายกว่านี้อีกก็จะเป็น 1.001นะครับ ถ้าเกิด x เป็น 1.1จะให้ค่า fx คือเท่าไหร่ 1.1 เข้าไปแทนบวก 2 เลยได้เป็น 3.1นะครับ x เป็น 1.01 ให้ค่า y เท่าไหร่บวก 2 เลยได้เป็น 3.01นะครับ แล้วถ้าเกิด x เป็น 1.001 ก็ให้ค่า fx เป็น 3.001 0 0 1 ตามทันไหมครับน้องสังเกตไหมครับเฮ้ยถ้าเกิด x ของเราเนี่ยมันเข้าใกล้ 1น้องเห็นไหมว่าค่า y เนี่ยมันจะใกล้เลขอะไรมากเลยเฮ้ยค่า y หรือค่า fx เนี่ยมันจะใกล้อะไรมากใกล้ 3 มากเลยถูกปะน้องดูดิ 2.999 กับ 3.001 เนี่ยนะครับ ดังนั้นเนี่ย เฮ้ย เมื่อ x เข้าใกล้ 1 นะเราจะได้ค่า f เนี่ย มันประมาณอยู่ที่เก่งมาก 3 นั่นเอง นะครับ ดังนั้นเนี่ยเราก็จะสรุปได้แล้วว่า limit ของ x บวก 2 นะครับโดยที่ x เข้าใกล้ 1 จะมีค่าเป็น 3โอเคนะครับ ตามทันนะดังนั้นสรุปก่อนนะครับ limit เนี่ยนะครับคือเราสนใจอะไรนะครับlimit เนี่ยคือเราสนใจค่า fx หรือว่าค่า y นะครับสนใจค่า y เมื่อ x มันมีค่าเข้าใกล้ a เข้าใกล้จุดนั้น ๆเราไม่ได้สนใจที่จุดนั้นนะ แต่เราสนใจค่าที่มันเข้าใกล้ แล้วพอมันเข้าใกล้อย่างที่บอก ถูกไหม พอเข้าใกล้เนี่ย มันก็ต้องมีฝั่งซ้ายกับมีฝั่งขวา เคนะครับเห็นไหม พี่แม็คก็จะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาแบบนี้ได้เลยแล้วเราก็จะพบว่าค่าที่มันเข้าใกล้มันก็มีค่าเท่ากับ 3 เหมือนกันถูกไหมครับแค่นี้เองอันนี้คือการหาริมิตโอเคนะแต่ว่าในชีวิตจริงนะครับเวลาน้องจะทำจริงๆ แน่นอนครับเราไม่มานั่งวาดกราฟอันนี้หรอกเดี๋ยวไม่มานั่งเขียนตารางแบบนี้หรอก อันนี้พี่แม็กซ์ให้น้องเห็นภาพเฉยๆเวลาเราทำจริงเราทำยังไง ง่ายมากเวลาน้องทำจริง ให้น้องดูก่อน เอ็กซ์เข้าใกล้อะไรเอ็กซ์เข้าใกล้ 1 ใช่ปะ ให้น้องเอา 1 เข้าไปแทนในเอ็กซ์นี้เลย1 บวก 2 ได้ 3 จบครับ ไม่ต้องคิดมากแค่นี้เอง โอเคนะ ดังนั้นเรามาฝึกโจทย์กันหน่อยดีกว่าจงหาค่าลิมิตต่อไปนี้นะครับดูเลยครับ ข้อแรกลิมิตของใครลิมิตของ 5 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 น้องบอกพี่แม็กซ์ เฮ้ยข้อนี้ไม่เห็นมี x ให้เราแทนเลยเอาไม่มี x แน่นอนครับ ก็ไม่ต้องแทนดิถ้าเกิดมันเป็น limit ของค่าคงที่เป็นตัวเลขอย่างนี้น้องก็ตอบเก่งมาก เอาตัวเลขอันนั้น ค่าคงที่เอามาตอบเลยโอเคป่ะ ต่อมาครับ ลิมิตของ x โดยที่ x เข้าใกล้ 0 น้องแทน x เป็น 0 จบเลยครับโอเคมั้ย ต่อมาลิมิตของ 20x ครับ โดยที่ x เข้าใกล้ 3 น้องแทน x เป็น 3 เก่งมากจะได้ 20 คูณ 3 คือ 60ต่อมาลิมิตของ x กำลัง 2 บวก 5 โดยที่ x เข้าใกล้ลบ 3 แล้วก็แทน x เป็นลบ 3 เลยจะได้เป็นลบ 3 กำลัง 2 บวก 5ถูกไหมครับ ได้เป็น 9 บวก 5 คือ 14 นั่นเอง2 ข้อถัดมาเร็ว ทำให้พี่แม็กซ์หน่อยลิมิตของ square root x บวก 1 หรือที่ x เข้าใกล้ 3 เนาะก็แทน x เป็น 3 เข้าไปในก้อนนี้เลย จะได้ square root 4 ก็คือ 2แล้วก็ข้อสุดท้ายข้อสุดท้ายน้องจะแทนไปเลยก็ได้ หรือว่าน้องจะคูณกระจายมันก่อนก็ได้คำตอบได้เท่ากันดังนั้นพี่แม็กซ์เลือกที่จะแทนเข้าไปเลยจะได้เป็น ลบ 4 บวก 5 คูณกับลบ 4 ลบ 2ลบ 4 บวก 5 ได้ 1ถูกไหม ลบ 4 ลบ 2 ได้ ลบ 6 1 คูณลบ 6 ได้ ลบ 6 เรียบร้อยครับ เห็นไหม อันนี้คือการหาริมิตนะครับ ไปต่อนะ แต่แน่ คู่ที่โรงเรียนหรือว่าข้อสอบมันออกแบบนี้เนี่ยน้องคิดว่าทุกคนตอบได้ไหมทุกคนตอบได้เพราะมันก็เหมือนกับการคิดเลขธรรมดาถูกไหมการบวกลบภูมิฐานธรรมดานะครับดังนั้นเนี่ยมันก็จะมีแนวพิเศษของมันเป็นยังไงมาดูกันนะครับ แนวที่เจอบ่อยจะเป็นแบบนี้ครับลิมิตของ x ส่วน 10 หรือที่ x เข้าใกล้ 0 นะครับน้องก็แทนเลย แทน x เป็น 0 จะได้เป็น 0 ส่วน 10น้องบางคนงง เฮ้ยพี่แม็กซ์ 0 อยู่ข้างบนตอบอะไร อันนี้ขอสรุปก่อน ถ้าเกิดน้องเจอนะครับ อันนี้คือ Tips นะครับ Tips โอเคไหมถ้าเกิดน้องเจอนะครับ แบบแรกนะครับแบบแรก 0 ส่วนด้วยตัวเลขตัวเลข ตัวเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ 0 นะ เช่น 0 ส่วน 1 0 ส่วน 2 0 ส่วนลบ 3 อะไรอย่างนี้นะครับถ้า 0 ส่วนตัวเลขตอบ 0 โอเคนะ ดังนั้น 0 ส่วน 10 ข้อนี้ตอบอะไร เก่งมากตอบ 0 นะครับข้อต่อมา limit ของ x-2 ส่วนด้วย x โดยที่ x เข้าใกล้ 0น้องแพทย์ x เป็น 0 เลยครับ จะได้เป็น 0-2 ส่วนด้วย 0ถูกไหม จะได้เป็น 0-2 ส่วน 0เฮ้ยพี่แม็กซ์ อันนี้ 0 อยู่ข้างล่างถ้าศูนย์อยู่ข้างล่างตอบศูนย์ถูกหรือผิดครับผิดนะถ้าศูนย์อยู่ข้างล่างต้องตอบอะไรเก่งมากตอบหาค่าไม่ได้หาค่าบอกได้โอเคนะครับ ดังนั้นเนี่ย มาจดกันหน่อยนะครับทริปที่ 2 นะครับ ถ้าเกิดน้องดันมีตัวเลขนะที่มันดันไม่ใช่ 0 นะครับ แล้วเอามาส่วนด้วย 0 อย่างเนี่ยคำตอบจะเป็น หาค่าไม่ได้ทันทีโอเคปะ หาค่าไม่ได้ทันทีโอเคนะครับ มา ต่อมาเลย limit ของ x กำลัง 3 บวก 1 ส่วนด้วย x ลบ 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ครับแทนไปเลย แทน x เป็น 1 เข้าไปเลย จะได้เป็น 1 กำลัง 3 บวก 1 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 ถูกไหม ก็คือ 2 ส่วน 0นะครับ นี่อย่างนี้ ตัวเลขส่วนด้วย 0 ตอบหาค่าไม่ได้โอเคป��ะ ตอบหาค่าไม่ได้ข้อถัดมาตอบอะไรครับ น้องคิดดูหน่อยน้องบอกพี่แม็กครับข้อนี้ผมลองทำแล้ว เฮ้ย เราลองเอา 2 เข้าไปแทนถูกไหมน้องจะได้เป็น 0 ส่วน 0 ป่ะ อ่า ที่มักจะบอกให้นะครับ เวลาน้องเจอโจทย์ลิมิตนะ ประมาณ 80% นะครับพอน้องแทนไปเนี่ย น้องจะได้ 0 ส่วน 0เห็นไหม แล้วละ 80% ที่เจอบ่อยมากนะครับ เก็บสนิติมาให้แล้วแทนปุ๊บ น้องจะได้ 0 ส่วน 0 ครับดังนั้นทริปที่ 3 ถ้าเกิดน้องแทนหาริมิตแล้วได้ 0 ส่วน 0สิ่งที่น้องต้องทำต่อคือเรายังตอบไม่ได้ ถ้าเกิดได้ 0 0 0 เนี่ย ยังตอบไม่ได้ ต้องลุยต่อ โอเคปะ ต้องลุยต่อนะครับลุยต่อยังไงนะครับ จะแบ่งออกเป็น 2 วิธีที่จะทําได้1. ใช้การแยกตัวประกอบแล้วตัดกันกับอีกแบบนึง กับอีกแบบนึงนะครับ เราจะใช้การ conjugateน้องบอก conjugate คืออะไร เดี๋ยวพี่แม็กซ์สอนให้ในคลิปนี้เลยโอเคไหม อ่ะ ดังนั้นข้อนี้ครับน้องดูก่อน เฮ้ย ข้อนี้น้องไม่ต้องแยกตัวประกอบอยู่แล้ว เพราะมันทำไมกันได้มันตัดกันได้ถูกป่ะ x-2 กับ x-2 ตัดกันได้ 1ใช่ไหมครับ ดังนั้นที่ Max เขียนใหม่ที่ Max เขียนใหม่อันนี้ก็จะเป็น limit ของ 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 2 ถูกปะ น้องบอก พี่แม็กซ์ ลิมิตส่องค่าคงที่น้องตอบอะไรเลยครับ น้องตอบ 1 เลยเรียบร้อยโอเคนะครับ เรียบร้อยแล้วแค่นี้เอง0 ส่วน 0 เมื่อไหร่น้องต้องทำต่อทำต่อจะได้อยู่ 2 วิธีด้วยกันถ้าเกิดว่าน้องแยกตัวประกอบได้ให้น้องแยก ทำยังไงก็ได้ให้มันมีการตัดกันบนร่างส่วนคอนจุเกจโน้นไว้หน่อยก็ได้ คอนจุเกจใช้เมื่อไหน ใช้เมื่อ เห็น square root ใช้เมื่อน้องเห็น square root แล้วน้องแยกตัวประกอบไปได้เราถึงจะใช้วิธีการ conjugateโอเคนะครับข้อถัดมาลองแทนหน่อยLimit ของ x กำลัง 2 ลบ 5x ลบ 6 ส่วนด้วย x ลบ 6เดี๋ยวที่ x เข้าใกล้ 6 น้องพี่แม็กซ์แทนเลย 6 กำลัง 26 6 3 6 ถูกไหมลบกับ 5 คูณ x 5 6 30 ลบ 6สวนด้วย 6 ลบ 6 ได้ 0 ถูกไหมครับ อ่าเนี่ยน้องลองแทนปุ๊บ พี่แม็กซ์ผมได้ 0 ส่วน 0 อีกแล้วถูกปะ 0 0 0 น้องต้องลุยต่อ นะครับ ลุยต่อโดยการ แยกสมประกอบ นะครับ แน่นอน x กับ 2 เนี่ย น้องแยกได้ถูกปะแยกได้เป็นอะไร อะไรเอ่ย คูณกันให้ลบ 6 รวมกันให้ลบ 5ติ๊กต๊อก ติ๊กต๊อก เก่งมากครับ ลบ 6 กับบวก 1 ถูกปะจะได้เป็น x-6 กับ x บวก 1 ส่วนด้วย x-6 นั่นเองโอเคนะ ดังนั้นเนี่ยน้องเห็นไหมเฮ้ย x-6 กับ x-6 มันตัด ถูกปะพี่มันก็ตัดไปเลย ชึบๆ นะครับ แล้วเหลืออะไร เก่งมากจะเหลือเป็น limit ของ x บวก 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 6 นะครับน้องถึงเอา x เท่ากับ 6 เข้าไปแทนในนี้ 6 บวก 1 ได้ 7 นั่นเองเรียบร้อยครับต่อ 7 โอเคนะ ต่อมานะครับลิมิตของ x กำลัง 3 ลบ 1 ส่วนด้วย x ลบ 1 ต่อที่ x เข้าใกล้ 1แทนเลยครับ เราต้องแทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนเสมอนะ เออ ต้องเช็คก่อนว่ามันเป็น 0 ส่วน 0 หรือเปล่านะครับ จะได้เป็น 1 ลบ 1 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 ก็ออกเป็น 0 ส่วน 0 อยู่ดีนะครับ น้องก็ต้องแยกตัวประกอบให้เวลาคิดหน่อย 1 นาทีเร็วครับแต่น้องสังเกตนะ อันนี้มันกำลัง 3 ถูกไหม มันกำลัง 3ใครที่แบบพี่แม็กซ์ผมไม่เก่งเรื่องแยกตัวประกอบเลย พี่แม็กซ์โน้ตสูตรให้ ถ้าเกิดน้องเจอเป็น a กำลัง 3 ลบ b กำลัง 3 เนี่ย นะครับน้องสามารถแยกมาได้เป็น a ลบ b คูณ a กำลัง 2 บวก a b บวก b กำลัง 2โอเคนะครับ หรือน้องจะเขียนเป็นหน้ากำลัง 3 ลบหลังกำลัง 3 ก็ได้โอเคไหม แยกให้พี่แม็กซ์หน่อยเร็วนี่คือลบ 1 กำลัง 3 นะครับ พี่แม็กซ์ลุยนะ มา เรามาแยกก้อนข้างบนกันดีกว่าจะได้เป็นอะไร จะได้เป็นลิมิตของ x กำลัง 3 ลบ 1 ก็คือเป็นx ลบ 1 คูณ x กำลัง 2 บวก x บวก 1 นะครับ แล้วก็ส่วนด้วย x ลบ 1เดี๋ยวที่ x เข้าใกล้ 1 นะ แยกยังไงก็ได้ครับ ให้มันตัดบนตัดล่างได้ x บวก 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 1 แล้วน้องก็แทน x เท่ากับ 1 เข้าไปในก้อนนี้เลยจะได้เป็น 1 กำลัง 2 บวก 1 บวก 1 ก็คือ 3 นั่นเองเรียบร้อย ต่อนะครับ มา ลิมิตนะครับของ x กำลัง 2 บวก x ลบ 12 ส่วนด้วย x กำลัง 2 ลบ x ลบ 6โอเคไหม โดยที่ x เข้าใกล้ 3อันดับแรกแทน x เท่ากับ 3 เข้าไปก่อนเสมอนะแทนเข้าไปก่อนจะได้เป็น 3 กำลัง 2 บวก 3 ลบ 12ส่วนด้วย 3 กำลัง 2 ลบ 3 ลบ 6น้องก็จะพบว่าค่าที่ได้คือ 0.0ดังนั้น 0.0 เมื่อไหร่น้องก็ต้องแยกส่วนประกอบ โอเคมั้ย แยกตัวประกอบมาเรื่อยกันเลยมาแยกก้อนข้างบนก่อนอะไรเอ่ย คูณกันได้ลบ 12รวมกันได้บวก 1ก็คือ 4 กับลบ 3คูณกันได้ลบ 12รวมกันได้บวก 1ดังนั้นก้อนบนก็จะแยกได้เป็นx บวก 4 คูณ x ลบ 3เก่งมากก่อนข้างล่างอะไรเอ่ยคูณกันได้ลบ 6รวมกันได้ลบ 1 ครับลบ 3 กับ บวก 2 ถูกปะ ลบ 3 กับ บวก 2 นะครับ พี่ มาก ก็ เจอ แล้ว เอ้ยมัน มี อะไร ตัด กัน มัน มี เอ็กซ์ ลบ 3 กับ เอ็กซ์ ลบ 3 ตัดกัน ไง ใช่ปะ เออ น้อง ก็ ลุย เลย นะครับ จะได้ เป็น ลิมิต นะของตัว��นคือ x บวก 4 ตัวล่างที่เหลือคือ x บวก 2 โดยที่ x เข้าใกล้ 3 นั่นเองงั้นน้องก็แทนเลยครับ x เท่ากับ 3 เข้าไปในก้อนี้ได้เป็น 3 บวก 4 ได้ 7 3 บวก 2 ได้ 5 เรียบร้อย ข้อข้างล่างพี่แม็กซ์ขอให้น้องเป็นการบ้านพี่แม็กซ์เชื่อว่าน้องทำได้ แยกตัวประกอบออกมานะดังนั้นเรามาดูข้อข้างล่างสุดอันนี้ดีกว่าเข้าข้างล่างน้องบอกว่าพี่แม็กซ์ เฮ้ย เจออย่างนี้ผมไปไม่เป็นเลยอ่ะถูกปะ เพราะว่าเราจะแยกตัวประกอบได้หรือเปล่าที่จริงมันก็แยกได้ แต่ว่าแยกยาก เพราะว่ามันเป็น square root อย่างที่บอกนะ อันดับแรกครับ ไม่ต้องคิดอะไรมากแทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนใช่ไหม แทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนจะได้เป็น√1-1 ส่วนด้วย 1-1 ก็คือ 0 ส่วน 0อย่างที่บอก ถ้าเกิดน้องเจอ 0 ส่วน 0 เมื่อไหร่เราแยกตัวประกอบไม่ได้ ให้น้องนึกถึงการ conjugateใช่ไหม การ conjugateและเรามักจะใช้มันบ่อยมาก เมื่อเราเห็น square root เห็นมั้ย อย่างนี้เราเห็นแล้ว มันมี square rootหลักการของ conjugate ทำยังไง อันนี้ตั้งใจฟังพี่แม็กซ์ดีๆพี่แม็กซ์ขอลอกโจทย์ออกมาก่อนroot x-1 ส่วนด้วย x-1 ถูกมั้ยหลักของการ conjugate คือเราจะมีก้อนของตัวเลขคูณก้อนนี้แล้วตัวเลขที่เราจะมาคูณนะครับคืออะไร อันดับแรกนะ ให้น้องสังเกตเฉพาะอันที่มันมี square root ก่อนบนหรือล่างที่มี square root ด้านบนใช่ไหมหลักการคือให้น้องสลับเครื่องหมายของ 1 ตัวสลับเครื่องหมายของใครก็ได้ แต่สลับเครื่องหมายของตัวหน้าหรือตัวหลังก็ได้แต่โดยส่วนมากพี่มั๊กจะสลับเครื่องหมายตรงนี้ เครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าตัวหลังอย่างนี้ตัวหลังมันคือลบ 1 ใช่ไหม จากนั้นเราสลับเครื่องหมายครับ จากลบก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวกแค่นี้เองดังนั้นพี่แม็คจะคูณนะครับจะคูณกับด้วย Root x ลอกมาก่อนเหมือนเดิมตัวหน้าลอกมาก่อนเหมือนเดิม Root x นะครับแต่ว่าตัวหลังอย่างที่บอก เราจะสลับเครื่องหมายมันจากลบก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวก 1โอเคมั้ยแล้วแน่นอนครับ ถ้าเกิดคูณข้างบนแล้ว ข้างล่างก็ต้องคูณด้วยไม่ให้ค่ามันเปลี่ยนไปโอเคมั้ยครับ เห็นมั้ย ก้อนนี้ก็เหมือนกับเราเอา 1 เข้าไปคูณ ถูกมั้ยเหมือนกับเอา 4 น้ำเมินเข้าไปคูณ 1ความหมายไม่เปลี่ยนแปลงแต่ว่าเราต้องการจัดรูปมันเฉยๆเปลี่ยนหน้าตามันเฉยๆตามฐานะอันนี้คือการคอนจูเกจจบแล้วครับสลับเครื่องหมายเป็นแค่ 1 ตัวแล้วพี่แม็กซ์จะสลับเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าตัวหลังถ้ามันเป็นลบ น้องก็เอาบวกไปคูณแต่ถ้าเกิดตอนแรกมันเป็นบวก น้องก็เปลี่ยนบวกเป็นลบแค่นี้เองน้องถามทำไมต้องทำแบบนี้อันนี้เล่าให้ฟังหน่อย น้องลองนึกง่ายๆ มองว่าเนี่ย เฮ้ย มันคือ หน้าลบหลังก็ได้ นะครับหน้าลบหลังก็ได้ แต่พี่แม็กซ์เนี่ย ไม่ชอบ square root ถูกป่ะดังนั้นสิ่งที่พี่แม็กซ์ต้องทำเนี่ย ก็คือการเอาหน้าบวกหลังเข้าไปคูณน้องเห็นมั้ย หน้าลบหลังคูณหน้าบวกหลังได้หน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2น้องสังเกตดิ เฮ้ย พอเรามีกำลัง 2 เมื่อไหร่Square Root มันหายไปมั้ยอ่ะ มันหายไปไง โอเคไหมครับ มา ดังนั้นเนี่ย เรารุยกันเลยดังนั้นเนี่ย น้องก็คูณเลยเนาะ หน้ารบหลังคูณหน้าบวกหลังได้เป็นหน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2 นะครับดังนั้นหน้ากำลัง 2 ลุด x กำลัง 2 ก็จะเหลือแค่ x แล้วถูกไหม แล้วก็ลบกับหลังกำลัง 2 คือ ลบ 1 กำลัง 2 นะครับส่วนด้วยข้างล่างครับ แน่นอนข้างล่างเนี่ยมันคูณกันไม่ได้ถูกปะ น้องก็เขียนเป็น 2 วงเล็บเหมือนเดิมโอเคนะ จะได้เป็น x-1 คูณ รูท x บวก 1 นะครับน้องสังเกตไหมกำลังสองนี้พี่แม็กรบนะน้องสังเกตไหมพอน้องคอนจุเกตปุ๊บเนี่ยมันจะทำไมกันได้มันจะตัดกันได้ไงพอมันตัดกันปุ๊บ หายก็เหลือแค่ก้อนี้แหละน้องเขียนมาอีกรอบนึงเป็น limit ถูกไหม เป็น limit ของ 1 ส่วนด้วย square root x บวก 1 หรือที่ x เข้าใกล้ 1 แล้วน้องก็แทน x เท่ากับ 1 กลับเข้าไปอีกรอบนึงจะได้เป็น 1 ส่วนเท่าไหร่เป็น 1 ส่วนด้วย square root 1 บวก 1 ก็คือเก่งมากครับ 1 ส่วน 2 นั่นเองเรียบร้อยง่ายไหม limitง่ายถูกปะใครตรวจเสร็จแล้วนะครับ ลองฝึกทำด้วยตัวเองหน่อยข้อข้างล่างเดี๋ยวพี่แม็คเฉลยให้ฟังเลยตามทันนะ อันนี้เราเรียกว่าการ Conjugateชื่อเท่ดูดิเนาะ เออ เหมือนคอนจูอลิ่งเลยนะครับ น้องเคยดูไหมคอนจูอลิ่งเป็นหนังผีอะครับ เออ ไปต่อนะ มา ต้องมาข้อดีเนี่ย เห็นไหม นี่น้องเจออย่างงี้น้องรู้แล้วพี่แม็คแยกตัวประกอบเนี่ยโหแยกยากถูกปะก็ไม่รู้ถูกปะ กําลังสองก็ไม่ใช่ กําลังสามก็ไม่ใช่ แต่มันปิด square root อย่างนี้ไม่ต้องคิดอะไรมากครับอาจจะต้องใช้ conjugateนะ แต่อย่าลืมนะเราจะ conjugate ก็ต่อเมื่อมันได้ 0 ส่วน 0ถูกปะ ดังนั้นหน้าที่น้องต้องแทนก่อนเสมอนะครับคือน้องหลายคนชอบลืมเอาไปแทนเคยปะ บางครั้งแทนแล้วได้คำตอบเลยก็มีดังนั้นเนี่ย แทน x เท่ากับ 0 เข้าไปก่อนจะได้เป็น square root ของ 4 ลบ 2 ส่วนด้วย 0ถูกมั้ยครับ จะได้เป็น 2 ลบ 2 ส่วน 0 ก็คือ 0 ส่วน 0 อย่างนี้นะครับน้องถึงจะไป conjugateโอเคป่ะ มาดังนั้นดูด้วยกันเลยดีกว่านะครับ ลอกโจทย์มันออกมาก่อนนะครับ เป็น limit ของsquare root 4 บวก xลบ 2 ถูกไหม ส่วนด้วย xนะครับ ถ้าน้องอยากจะ conjugateแน่นอน ให้น้องเลือกเปลี่ยนเครื่องหมาย ดูพี่แม็กซ์เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวใดตัวหนึ่งก็ได้นะครับแต่พี่แม็กซ์เนี่ยชอบเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวหลังมากกว่า โอเคปะ ดังนั้นเนี่ย เครื่องหมายของตัวหลังเนี่ย ก็คือ 2 เนี่ย มันเป็นลบอยู่น้องก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวก นะครับ แล้วน้องก็คูณเลย โอเคไหมคูณกับ square root 4 บวก x นะครับ เปลี่ยนลบเป็นบวก 2 นั่นเองนะครับคูณบนแล้วก็ต้องคูณข้างล่างด้วยโอเคไหมน้องก็ลุยเลยนะครับอย่างที่บอกครับอันนี้น้องก็มองเป็นหน้ารบหลังคูณหน้าบวกหลังมันก็จะได้เป็นหน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2 เห็นไหม ตัวหน้าของน้องจากที่มันติด square root อยู่พอคูณไปปุ๊บ เป็นหน้ากำลัง 2 square rootบึ้ม หายไปแล้วโอเคนะครับ ดังนั้นก็จะได้เป็นอะไรจะได้เป็น limit ของ square root อันนี้พี่แม็กซ์ยกกำลัง 2คิดในใจเลยนะ จะได้ออกมาเป็น 4 บวก xนะครับ คือหน้ากำลัง 2ลบกับหลังกําลัง 2 ก็คือ 2 กําลัง 2 ได้ 4 นั่นเอง โอเคนะแล้วก็ส่วนด้วยนะครับ ตัวข้างล่าง ตัวข้างล่างเนี่ยถ้าเกิดมันคูณกันไม่ได้ น้องก้อยอย่างที่บอก น้องก็เขียนแยกไปเลยเป็น x คูณกับ square root ของ 4 บวก x แล้วก็บวก 2โดยที่ limit ของน้อง x เข้าใกล้ 0 ถูกไหมน้องจะพบว่าอะไร ข้างบน 4 บวก x ลบ 4น้องสังเกตดี 4 กับ 4 มันทำไมกันมันหักล้างกันได้กลายเป็น 0ทำให้ตอนนี้ข้างบนเนี่ย เสรตเนี่ย น้องเหลือแค่ xส่วนน้องมี x คูณกับก้อนอันนี้นะครับ x ก็คือ เอาไปตัด x ได้ถูกปะ x ข้างบนก็ตัด x ได้นะครับx ข้างบนตัด x ข้างล่างดังนั้นเนี่ยน้องก็จะเหลืออะไรแล้วข้างบนก็จะเหลือ 1 แล้วถูกปะเหลือ 1 นะไม่ใช่เหลือ 0 นะครับมันตัดกันก็เหลือ 1 ถูกไหมในขณะที่ส่วนข้างล่างก็จะเหลือเป็นก้อนสีฟ้าคือ square root 4 บวก x บวก 2 นั่นเองแล้วที่ x เข้าใกล้ 0 นะครับเวลาน้องเยี่ยมตัวประกอบหรือว่าน้องคอนจุเกตเนี่ย แล้วน้องทำให้มันตัด กันได้เมื่อไหร่ นะครับ ให้น้องสบายใจได้เลยว่าพอน้องแทนอีกครั้งนึง โดยมากนะ คําตอบมักจะได้แล้วนะครับ อ่า ดังนั้นน้องก็แทน เอ็กซ์เท่ากับศูนย์เข้าไปในก้อนนี้เลยก็จะได้เป็น 1 ถูกไหม ส่วนด้วยสภารุทของ 4 บวก 0 ก็คือ 4 ถูกไหมครับแล้วก็บวก 2 เลยเนาะ จะได้ออกมาเป็น 1 สักวัน 2 บวก 2 คือ 4 นั่นเองตอบ 1 ส่วน 4 โอเคนะครับ ให้เวลาจดก่อนเร็ว เดี๋ยวต่อไปเนี่ยเราจะมาพูดถึง limit ซ้ายกับ limit ขวากันนะนะครับอันนี้ก็เจอบ่อย พี่มักไปต่อนะ ต่อมานะครับ limit ซ้าย vs limit ขวาlimit ซ้าย vs limit ขวานะครับ limit ซ้าย limit ขวาคืออะไรนะครับถ้าเกิดพี่แม็กเนี่ย อ่ะ มีฟังก์ชัน fx มาก่อน นะครับเป็น x บวก 2 เข้ามานี่นะครับ นี่มันเป็นกราฟเส้นตรงแทน x เป็น 0 ได้ y เป็น 2 อยู่ตรงนี้แทน x เป็น 2 ได้ y เป็น 4เขาบอกว่าอะไร จากกราฟ fx เราจะพบว่าเมื่อ xอย่างที่บอก limit คือเราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 2แต่เราสนใจที่ x เข้าใกล้ 2ถูกปะ เนี่ย จุดตรงเนี้ยเราสนใจ x ที่มันเข้าใกล้สองนะครับซึ่งพี่แม็กบอกนองแล้วถูกปะ เฮ้ย จุดใดจุดหนึ่งเนี่ยจะจุดไหนก็ตาม x เข้าใกล้ 2 อย่างอันนี้มันก็จะมีได้ 2 ฝั่งคือน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงกับมากกว่า 2 อยู่นิดนึงถูกไหม น้อยกว่า 2 ก็อาจจะเช่น 1.9มากกว่า 2 อาจจะเช่น 2.1นะครับ ตามที่แม็กซ์คานะลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาคืออะไร ตามชื่อเลยครับน้อง2 อยู่ตรงกลาง ลิมิตซ้ายซ้ายก็คือต้อง มันต้องทำไม มันต้องน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงไงอันนี้คือลิมิตซ้าย โอเคป่ะ ในขณะที่ 2.1 อันนี้เราจะเรียกว่ามันเป็น limit แค่นี้เอง แล้วน้องสังเกต limit side เนี่ย ค่าที่ได้มันจะน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงถูกไหมเราเลยให้สัญลักษณ์มันเป็น 2 ทางด้านลบไง2 ลบก็คือ น้อยกว่า 2 นิดนึง เข้ยไหมครับในขณะที่ฝั่งขวาเนี่ยเห็นไหมมันมากกว่า 2 อยู่นิดนึงอาจจะเป็น 2.1 2.01เราเลยให้มันเป็น 2 ทางด้านบวกโน้ตไปหน่อยนะครับอันนี้คือฝั่งซ้าย เห็นไหมฝั่งซ้าย ในขณะที่อันล่างคือฝั่งขวานะเมนLimit ฝั่งขวาโอเคนะครับซึ่งข้อนี้เขาถามว่าอะไรLimit ของ f นะครับแล้วที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบหมายถึงเขาถามแค่ว่าฝั่งซ้ายน้องสังเกตLimit ฝั่งซ้ายx น้อยกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 1.9 อย่างนี้แต่ที่จริง 1.9 มันจะใกล้ 2 มากๆ เลยถูกปะ พี่มักถามน้องหน่อย ถ้าเกิด x เป็น 1.9 อย่างนี้มันให้ค่าวาดประมาณเท่าไหร่ ใกล้เคียงอะไร ก็แน่นอนก็ใกล้เคียง 4 อยู่ดีถูกปะ ลิมิตฝั่งซ้ายังไงมันก็เข้าใกล้ 4 อยู่ดีนะครับ ดังนั้นอันนี้ตอบ 4โอเคนะ ในขณะที่ลิมิตฝั่งขวามือนะครับคือเราอยากรู้ว่า เฮ้ย ค่าที่มันมากกว่า 2 อยู่นิดนึงนะครับเช่น อาจจะเป็น 2.00 อย่างเนี้ย เฮ้ย มันมีค่าเนี้ย ให้ค่า y เท่าไหร่น้องก็จะพบว่า line limit ฝั่งขวามือเนี้ย มันก็จะวิ่ง วิ่งเข้าหาค่าอะไรเข้าใกล้ 4 เหมือนกัน ดังนั้นอันนี้ค่าของลิมิตฝั่งขวาก็คือ 4 นั่นเองตามพี่แม็กท่านอยู่นะ ดังนั้นมาดูบรรทัดด้านล่างเขาบอกว่า ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่ออะไร อันนี้ดาวน์ล้านดวงเลยครับน้องสำคัญมากๆ นะครับLimit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อนะครับLimit ซ้ายLimit ฝั่งซ้ายนะครับ จะต้องมีค่าเท่ากับ limit ฝั่งขวาok ปะlimit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ limit ซ้ายมีค่าเท่ากับ limit ขวานะครับ ดังนั้นเนี่ยจากตัวอย่างอันนี้ครับจากตัวอย่างอันนี้น้องหาค่า limit ได้ไหมหาได้ถูกปะ เพราะว่า limit ซ้ายคือ 4Limit ขวาก็คือ 4 มันมีค่าเท่ากันดังนั้นข้อนี้ Limit หาค่าได้โน้ตไปหน่อยก็ได้ว่า Limit ของ fx นะ แล้วที่ x เข้าใกล้ 2 เนี่ย หาค่าด้าน แล้วก็มีค่าเท่ากับ 4 นั่นเองโอเคนะครับ โน้ตตรงนี้เพิ่มหน่อยก็ได้นะครับx เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบนี้อาจจะเช่น 1.9999 นะครับโอเคไหม น้องจะเขียน 9 กี่ตัวก็ได้ โอเคไหม ให้มันใกล้ 2 2 ทางนั้นบวกก็มากกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 2.0001 อะไรอย่างนี้น้องก็จะพบว่า พอเอาค่า x อันนี้ที่มันใกล้ 2 มากๆ เข้าไปแทนยังไงมันก็ให้ค่าประมาณอยู่ที่ 4 อยู่ดีโอเคนะ ดังนั้นเรื่องลิมิตเคลียร์นะครับ ลิมิตซ้าย ลิมิตขวาเคลียร์นะต่อมาครับ เราลองมาดูจากกราฟกันบ้างนะครับตัวอย่างถัดมานะครับ อันนี้ก็เป็นกราฟของพี่แม็กซ์ เห็นไหม เขาถามอะไร เขาถาม 1 f4 ครับถ้าเกิดเขาถาม f4 อย่างนี้ครับหมายความว่าอย่างไรหมายความว่า เขาสนใจอะไรเขาสนใจที่จุดนั้นเลยสนใจเลยว่าที่ x เป็น 4อันนี้สนใจที่ x เท่ากับ 4 แล้วให้ค่า y เท่าไหร่ให้ค่า y เท่าไหร่ น้องก็ดูเลยให้ค่า y คือ 3 นั่นเองถูกป้ะ ตามที่โจทย์เขาให้มาเลยนะครับที่ x เป็น 4 ให้ y เป็น 3 ดังนั้น F4 ก็คือ 3โอเคนะส่วนคำถามอ้านหลังครับอันนี้เขาสนใจ Limit ถูกปะLimit ของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 4น้องก็ดูเลยอย่างที่บอก Limit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อLimit ซ้ายมีค่าเท่ากับ Limit ขวาถูกมั้ย อย่างนี้เขาสนใจ limit ที่เข้าใกล้ 4น้องก็ดูเลย เข้าใกล้ 4 ทางฝั่งซ้าย กับเข้าใกล้ 4 ทางฝั่งขวา น้องสังเกตไหมว่าค่าของมันต่างก็เข้าใกล้อะไรค่าของมันต่างก็เข้าใกล้ 3 เหมือนกันถูกปะ น้องสองสังเกตน้อยกว่า 4 นิดนึง เช่น 3.999 ก็ได้มากกว่า 4 อยู่นิดนึง เช่น 4.001 อย่างนี้นานนองก็จะพบว่าค่าที่ได้เนี่ย โอ้โหมันค่าว่าที่ได้มันทำไม มันประมาณ 3 อยู่แล้วถูกปะ ดังนั้น limit อันนี้ก็คือ 3 นั่นเองเคลียร์นะครับ ต่อมา จงหาอะไรครับ จงหา f2 แล้วก็ limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 2นะครับ f2 คืออะไร น้องก็ดูเลย เฮ้ยพี่แม็กซ์ น้องเห็นไหมน้องดู กราฟอันนี้ อันนี้ x เท่ากับ 2 อยู่ตรงนี้ถูกไหมครับ x เท่ากับ 2 อยู่ตรงนี้น้องสังเกตนะ ถ้าเกิดมันน้อยกว่า 2 เนี่ย มันคือกราฟอันนี้ถูกป่ะ แต่ถ้าเกิดมากกว่า 2 เมื่อไหร่มันจะเป็นกราฟอีกตัวหนึ่งนะครับ แต่อย่างที่บอกนะ F2 ให้น้องสนใจอะไรนะครับให้น้องสนใจที่ ที่จุดๆนั้นเลยนะครับ ถ้าสนใจที่จุดๆนั้นน้องต้องมองที่จุดทึบ จุดโบน้องไม่มอง ถูกป่ะเราสนใจว่าจุดทึบตรงนี้ x เป็น 2 ให้ y คือเท่าไหร่ x เป็น 2 ตรงนี้ให้ y เป็น 0นะครับ ดังนั้น f2 น้องก็ตอบเลยว่าคือ 0 นั่นเองโอเคนะ ที่นี้ครับต่อมา มาหาริมิตกันอย่างที่บอก ริมิตจะหาได้ก็ต่อเมื่อริมิตฝั่งซ้ายมีค่าเท่ากับริมิตฝั่งขวาถูกไหม ลิมิตฝั่งซ้ายดูในใจเลย เขาสนใจ x เข้าใกล้ 2 ถูกปะดังนั้นถ้าฝั่งซ้ายเนี่ย มันต้องน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 1.999 ก็ได้น้องก็ลองดูซิ เฮ้ยถ้าเกิด x เป็น 1.999 อยู่ประมาณตรงนี้นะครับค่าที่ได้มันเข้าใกล้อะไร เก่งมากx เป็น 1.999นั้นจะพบว่าค่าที่ได้มันเข้าใกล้ตรงนี้ก็คือให้ y เป็น 2 ถูกปะ เออ ค่าของมันเนี่ย ประมาณ 2 นะครับแต่ถ้าเกิดลิมิตทางฝั่งขวา หรือฝั่งบวกกันบ้างก็คือ มากกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 2.001น้องสังเกตไหม ถ้ามากกว่า 2 เมื่อไหร่ มันจะเป็นกราฟอีกตัวนึง และที่น้องต้องดูนะครับมากกว่า 2 อยู่นิดนึงคือตรงนี้น้องสังเกตว่าตรงนี้มันให้ค่า y ใกล้เคียงกับอะไรเก่งมาก ตรงนี้มันให้ค่า y ใกล้เคียงกับ 4ถูกปะ ได้ประมาณ 4 เลยเห็นไหมครับ อันนี้ก็คือฝั่งขวาเขียนไว้ก็ได้ว่า 2 ทางด้านบวกฝั่งซ้ายคือ 2 ทางด้านลบอย่างนี้น้องสังเกตไหมว่า limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวามันให้ค่าทำไมกันมันให้ค่าคนละตัวกันถูกปะฝั่งซ้ายมากกว่า 2 นิดนึง 1.999 มันให้ค่า fx ประมาณ 2ถูกปะ แต่ฝั่งขวามากกว่า 2 นิดนึงเนี่ย มันให้ค่า fx 4ดังนั้นลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันไหม ไม่เท่ากันนะครับ ถ้าลิมิตฝั่งซ้ายกับลิมิตฝั่งขวาให้ค่าไม่เท่ากัน ลิมิตหาค่าได้บ้าหาค่าไม่ได้ แค่นี้เองโดยนั้นน้องก็โน้นไว้หน่อยก็ได้ลิมิตฝั่งซ้ายถูกแม้เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบ มันให้ค่า fx ค่า y อยู่ที่ประมาณ 2แต่ถ้าเกิดเป็นลิมิตฝั่งขวาฝั่งบวกเนี่ย มันจะเข้าใกล้ 4 ถูกไหมเนี่ย มันเข้าใกล้ 4โอเคนะครับ ซึ่งน้องจะพบว่าลิมิตซ้ายกับขวาเนี่ย มันทำไมกัน มันไม่เท่ากัน Limit ซ้ายไม่เท่ากับ Limit ขวาดังนั้น Limit อันนี้หาค่าได้ไหมครับLimit อันนี้หาค่าไม่ได้ที่ x เข้าใกล้ 2 ตรงนี้หาค่าไม่ได้ดังนั้นตามที่แม็กซ์ให้ทานนะ อันนี้สำคัญมากนะครับน้องหลายคนไปเรียนที่โรงเรียนแล้วแบบจะติดตรงนี้กันอย่างที่บอกนะ limit เราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 2 นะเราไม่สนใจที่จุดนั้น เราสนใจค่าที่มันเข้าใกล้ 2ถูกไหม ซึ่งมันก็จะแบ่งเป็นฝั่งซ้าย กับฝั่งขวานั่นเองโอเคนะครับ เคลียร์นะจริงมาก ไปต่อ อย่าเพิ่งท้องนะสู้ไปด้วยกันนะครับต่อมา กำหนดให้ fx นะครับน้องเห็นไหม อันนี้ fx เนี่ยมันทำไม โอ้โห มันมีด้วยกันถึง3 อันเลยถูกปะน้องหลายคนเนี่ยนะครับ เวลาเจอฟังก์ชันแบบนี้แล้วงงพี่แม็กซ์เปรียบเทียบให้ดูง่ายๆครับน้องเคยดูซีรีส์เรื่องนี้ไหมอ่า...เนื้อคู่อยากดูว่าใครเห็นนะครับ น้องนอกเรื่องหน่อย สมัยพี่แม็กซ์อยู่ม.6 เรื่องนี้เป็นเรื่องที่พี่แม็กซ์ชอบมากเอาไว้ดูแบบเวลาอ่านหนังสือแล้วถ้าเกิดน้องแบบลาแล้วก็อยากหาอะไรแบบผ่อนคลายพี่แม็กซ์แนะนำเรื่องนี้เลย มีเป็นหลายแบบหลายเวอร์ชั่นด้วยมีเนื้อคู่อยากรู้ว่าใครเนื้อคู่ประตูถัดไป นะครับซึ่งรูปที่พี่แม็กซ์ให้น้องเอามาเนี่ย คนนี้ครับเขาชื่อว่าคุณรุ๊ดนะครับ เป็นนักแสดงในเรื่องนี้เนาะ นะครับคุณรุ๊ดเนี่ย น้องเห็นไหมว่าเขาเนี่ย มีด้วยกันอยู่ กี่บุคลิกครับ 3 บุคลิกเลยถูกป่ะ ถ้าเกิดน้องไปดูนะคุณรุ๊ดเนี่ยปกติเขาจะเป็นแบบ เขามีโรงแรมน้อง เขาเป็นเจ้าของโรงแรมแต่บางครั้งเนี่ยเขาก็เปลี่ยนตัวเองเป็น นี่ครับเป็นแม่บ้านบางครั้งเขาก็เปลี่ยนตัวเองเป็น รอบพอ นะครับมันก็คล้าย กันกับฟังก์ชันในข้อนี้เลยนะครับแล้วเราก็มองฟังก์ชันอันนี้เหมือนกับคุณรุษเพียงแต่ว่าฟังก์ชันอันนี้มันอาจจะเป็นอะไรก็ได้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข เห็นนะครับ ก็นอกเรื่อง เห็นไหม ให้น้องเห็นภาพนะครับว่าอันนี้ที่จริงแล้วมันก็คือ fx ตัวเดียวกันนะครับแล้วที่ fx เนี่ยถ้าเกิดมันน้อยกว่า 1 นะครับ เมื่อ x น้อยกว่า 1 เนี่ยมันจะแปลงร่างเป็น 2x บวก 5 โอเคป่ะแต่ถ้าเกิดว่า x เท่ากับ 1 นะครับ fx ของพี่แม็กซ์จะแปลงร่างเป็น 3แล้วถ้าเกิด x ของเรามากกว่า 1 เช่น x เป็น 2 x เป็น 3fx ก็จะแปลงร่างเป็น 4x บวก 3โอเคนะครับ มา เขาถามอะไรครับ จงหา อันที่ 1 ต้องหา limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านลบอันที่ 2 ถามว่า limit เหมือนกันแต่ว่าเข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกแล้วก็อันสุดท้ายคือถาม limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1มา เรามาหาตัวแรกอันนี้กันก่อนอย่างที่บอก ถ้าเกิดเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ พี่แม็คว่าเส้นจำนวนให้น้องดู1 อยู่ตรงนี้นะครับเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ หมายความว่ามันต้อง น้อยกว่า 1 อยู่นิดนึงถูกไหม เช่น อาจจะเป็น 0.90.99 อะไรอย่างนี้ก็ได้นะครับดังนั้นถ้าเกิดเป็น 1 ทางด้านลบ น้องจะเลือกใช้เป็นเงื่อนไขอันไหนครับ น้อยกว่า 1 อยู่นิดนึงก็ต้องใช้x น้อยกว่า 1 ไง ถูกป่ะดังนั้นเนี่ย น้องต้องใช้ fx เป็น 2x บวก 5โอเคนะ ถ้าเกิดเป็น 1 ทางด้านลบนะครับมาดังนั้นลุยกันเลยลิมิตของ fx นะครับ โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ เราจะต้องเลือกใช้เป็นสมการของ 2x บวก 5โอเคป่ะ มาดังนั้นน้องก็ลุยเลยครับน้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกมั้ย เออ 1 เข้าไปแทนในนี้เลย ก็จะเป็น 2 คูณ 1 บวก 5นะครับ จะได้ออกมาเป็น 7 นั่นเอง เรียบร้อยต่อมาอันที่ 2 เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกเข้าใกล้ 1 ทางด้านบวก หมายความว่า มากกว่า 1 ยูนิต 1 เช่นอาจจะเป็น 1.01 นะครับ ดังนั้นน้องต้องใช้เป็นฟังก์ชันอันไหนเลิศที่สุดนะครับ 4x บวก 3 อันนี้ถูกปะ เลือกเป็นฟังก์ชันอันนี้นะครับ ดังนั้นน้องก็เลยเลย มาเขียนเลยครับลิมิตของ fx เจอที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกเนี่ยเราจะใช้เป็น 4x บวก 3 ถูกมั้ยน้องก็เอา x เท่ากับ 1 แทนเข้าไปในนี้เลยจะได้เป็น 4 คูณ 1 บวก 3 นะครับจะได้ออกมาเป็น 7 เหมือนกันนะน้องโผล่บ้า เฮ้ยพี่แม็กซ์ Limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวามันมีค่าเป็น 7 เท่ากันดังนั้น limit ที่จุดนี้ครับ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้ป่ะดังนั้น limit ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้แล้วก็มีค่าเป็น 7 นั่นเองตอบเลยครับเรียบร้อย เคปะน้องบอก พี่แม็ค แล้วเนี่ย x เท่ากับ 1 เนี่ย มันคือ 3 นี่เราไม่สนใจไง พี่แม็คบอกแล้ว limit เนี่ย เราสนใจx ที่มันเข้าใกล้ 1 เฉย ที่จุดนั้นพี่แม็คไม่สนใจ มันเป็น 3 ไม่เท่ากับ 7 เราไม่สนเลยโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดน เก่งมากใช้อันล่าง เอ้ย อันบนถูกปะ เออ น้อยกว่า 0 เนี่ยศูนย์ทางด้านลบต้องใช้อันบนถูกมั้ย น้อยกว่า 0 นิดนึงนะครับและขณะที่ศูนย์ทางด้านบวก น้องก็ต้องใช้เป็นเก่งมาก ใช้เป็นอันล่าง ถูกปะอันนี้ใช้เป็น 0 ทางด้านบวกมาทางด้านนั้นเราก็ลุยเลยLimit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านลบเลือกเป็น Function Unboundเราก็เอา 0 เข้าไปแทนเลยจะได้เป็น 0 กำลัง 2 บวก 1 ก็คือ 1 นั่นเอง ในขณะที่ลิมิตฝั่งขวากันบ้างเข้าใกล้ 0 ทางด้านบวกอันนี้ไม่ต้องคิดเลยตอบ 1 ได้เลยดังนั้นอันนี้ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันป่ะเท่ากันแสดงว่าลิมิตอันนี้หาค่าได้ป่าวหาค่าได้โอเคไหมครับ ดังนั้น limit อันนี้เราก็เขียนเลยlimit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 หาค่าด้าน แล้วก็มีค่าเป็น 1โอเคนะครับ แต่ถ้าเกิด 2 ค่าอันนี้มันไม่เท่ากันนะ ตอบเลยว่า limit อันนี้หาค่าไม่ได้โอเคป่ะต่อมานะครับ เรามาเรียนเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันกันบ้างนะครับ เขาบอกว่า f จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x เท่ากับ a ก็ต่อเมื่อนะครับอันนี้พี่แม็กซ์ขอให้น้องจำกฎ 3 ข้ออันนี้ให้ได้มันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อนะกฎข้อที่ 1 นะครับ FA ต้องหาค่าได้ เขียนว่า f หาค่าได้อันที่ 2 ครับลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ a ที่จุดนั้นนะครับ limit เนี่ยก็ต้อง หาค่าได้เหมือนกันโอเคปะ อันนี้เราสนใจที่ x เท่ากับ a นะอันดับแรก f ต้องหาค่าได้อันดับที่ 2 ลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ a ก็ต้องหาค่าได้ครับแล้วก็อันที่ 3 ครับ สำคัญมากๆไอ้เจ้า FA ที่น้องหามาได้เนี่ยนะครับ กับ limit เนี่ยมันต้องมีค่าเท่ากันโอเคไหม FA ที่น้องหามานะครับ กับ limit มันจะต้องมีค่าเท่ากันนะครับจะต่อเนื่องได้นะครับ ต้องเข้ากฎ 3 ข้อนี้นะครับถ้าเกิดว่าผิดข้อใดข้อหนึ่ง เข็มไหม อันนู้นไว้หน่อยนะครับถ้าเกิดนะครับ ผิดนะ ถ้าเกิดผิดกดนะครับ ข้อใดข้อหนึ่งจะไม่ต่อเนื่องทันที เข็มไหม จะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้นที่ x เท่ากับ a ทันทีเห็นนะครับ ขอ 3 ข้อจำให้ได้ครับแล้วความต่อเนื่องจะไม่มีอะไรเลยให้เวลาเซิร์ชก่อนเร็วที่บอกนะ FA คืออะไร FA ก็คือเราสนใจที่ x เท่ากับ a เลยถูกปะ สนใจว่าที่ x เท่ากับ a ให้ y เท่าไหร่ ในขณะที่ limit เราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ a นะแต่เราสนใจอะไรสนใจค่า x ที่มันเข้าใกล้ a ถูกไหมซึ่งมันก็จะมีฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาเราลองมาดูตัวอย่างดีกว่าพี่แม็กซ์เอากราฟมาให้น้องดูพิจารณาว่ากราฟต่อไปนี้ข้อได้ต่อเนื่อง นะ เอ บ้างอันดับแรกข้อที่ 1 น้องเห็นไหมกราฟวันนี้ของพี่แม็กซ์เป็นกราฟที่มันทำไมมันเป็นกราฟที่มันแบบ เส้นตรงต่อกันเลย ถูกปะดังนั้นน้องสังเกต ที่ x เท่ากับ a ตรงนี้พี่แม็กซ์ก็สมมุติตัวเลขก็ได้ สมมุติว่า x เท่ากับ a ให้ค่า y เป็น 10 แล้วกันf หาค่าได้ปะหาค่าได้ f คือ 10ให้ค่า y เป็น 10แล้ว limit หาค่าได้ไหมlimit ก็หาค่าได้ถูกไหมน้อยกว่า a นิดนึง กับมากกว่า a นิดนึงยังไงมันก็วิ่งเข้าหาอะไรทั้งนั้นเลยมันก็วิ่งเข้าหา 10 ทั้งนั้นเลย ถูกมั้ยครับ ดังนั้น limit ก็หาค่าได้แล้ว 2 ค่านี้มันเท่ากันตอบเลยว่าต่อเนื่องตอบเลยว่าต่อเนื่อง นะ นะครับ x เท่ากับ aเรียบร้อยแค่นี้เอง พูดง่ายๆครับ ถ้าเกิดมันจะต่อเนื่องเนี่ยน้องรากเส้นมันต้องต่อกันนะครับดูง่ายๆ ถ้าเป็นกราฟนะเออ น้องรากเส้นมันต้องต่อกันนะครับมาดูตัวอย่างข้อที่ 2 กันบ้างx เท่ากับ a ก็คือสนใจตรงนี้ นะครับ ณx เท่ากับ 0 ใช่ไหม อันนี้คือสนใจณx เท่ากับ 0อันดับแรกน้องหาก่อน f0 คือเท่าไร x เป็น 0 น้องต้องสนใจจุดทึบตรงนี้ถูกป่ะ จุดทึบตรงนี้คืออะไร ให้ y เป็น 4 ถูกไหมครับF0 คือ 4 นะครับ ต่อมาข้อที่ 1 เช็คลิสต์แรกผ่านแล้วนะครับต่อมาเช็คลิสต์อันที่ 2 ลิมิต หาค่าได้เปล่านะครับลิมิตของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 อย่างนี้น้องสังเกตก่อน ลิมิตฝั่งซ้ายของมันเข้าใกล้ 0 น้อยกว่า 0 นิดนึงเห็นไหม น้อยกว่า 0 นิดนึงอยู่ตรงนี้ มันวิ่งเข้าหาอะไร มันวิ่งเข้าหาตรงนี้อันนี้คือลิมิตฝั่งซ้ายถูกปะ โน้ตไปหน่อยก็ได้ลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0 ทางนั้น ลบน้อยกว่า 0 นิดนึงมันจะให้ค่า y อยู่ที่ประมาณ 0 ถูกมั้ยครับแล้วลิมิตฝั่งขวาล่ะ ฝั่งบวกมันให้ค่าอยู่ที่เท่าไร ติ๊กตอก ติ๊กตอกมากกว่า 0 อยู่นิดนึงนะครับน้องก็ต้องสนใจเป็นกราฟอันนี้แล้วถูกปะ มากกว่า 0 นิดนึงจะอยู่ตรงนี้นะครับน้องจะพบว่า ถ้ามากกว่า 0 อยู่นิดนึงเนี่ยมันจะได้ค่า y อยู่ที่ประมาณ เข้าใกล้ 4ถูกปะครับ ดังนั้นลิมิตฝั่งขวาคือ 4น้องสังเกต ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันปะไม่เท่ากัน ดังนั้นลิมิตข้อนี้หาค่าไม่ได้เห็นปะครับ ดังนั้นลิมิตที่จุดตรงนี้นะ x เข้าใกล้สู่เนี่ย หาค่าไม่ได้นะครับถ้าเกิดกดข้อที่ 2 นะครับหาค่าไม่ได้ปุ๊บ ตอบเลยว่าไม่ต่อเนื่องทันที เข้มไหมx เท่ากับ 0 ไม่ต่อเนื่องทันทีครับผิดกดข้อใดข้อ 1 ตอบไม่ต่อเนื่องเลย เพราะ 3 นะ f เท่ากับลบ 1เราก็ดูเลย x ลบ 1 ให้ y เท่าไรนะครับx เป็นลบหนึ่งอยู่ตรงนี้ถูกป่ะ ให้ y เนาะต้องสนใจจุดทึบ จุดทิศตรงนี้ให้ y คือ 2 เนี่ยแล้ว limit ล่ะนะครับข้อนี้น้องสังเกตก่อนlimit ซ้ายอยู่ตรงนี้limit ขวาอยู่ตรงนี้มันเข้าใกล้จุดเดียวกัน คือเข้าใกล้ใครเก่งมาก มันเข้าใกล้ลบ 1ถูกมั้ย ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวายเนี่ยมันเข้าใกล้ลบหนึ่งนะครับ ดังนั้นพี่แม็กซ์ก็เลยตอบเลยเนาะว่าลิมิตอันเนี่ยหาค่าได้อยู่แล้วถูกมั้ย แล้วก็มีค่าเท่ากับ ลบ 1 นั่นเองอันนี้กดข้อที่ 1 อันนี้กดข้อที่ 2แต่น้องสังเกตดิเฮ้ย ค่า fx ถูกไหมค่า fx ที่น้องหาได้กับ limit มันเท่ากันปะอันหนึ่งเป็น 2 อันหนึ่งลบ 1เฮ้ย มันไม่เท่ากันถูกปะอ่ะ ดังนั้นเนี่ยข้อที่ 3 น้องก็มาโน้ตหน่อยว่าค่าที่เราหาออกมาเนี่ย f-1 เนี่ยกับ limit ของ f ,ถูกไหมครับโดยที่ f เข้าใกล้ลบ 1 เนี่ยค่าที่ได้มันไม่เท่ากันเนี่ย ทำไมก็กดข้อที่ 3 ไม่ได้ ตอบเลยว่า ไม่ต่อเนื่องx ต้องกลับลบ 1 ไม่ต่อเนื่องเห็นไหมครับ จดเสร็จแล้วนะนี่อย่างที่พี่แม็กบอกครับ เห็นไหมการที่มันจะต่อเนื่องกันได้น้องลองลากเส้นครับ ณ จุดตรงนี้ มันควรจะต้อง เชื่อมกัน เขียนว่าบางคนจะต้องเชื่อมกัน แต่นี่มันเชื่อมกันไหมมันดันไม่เชื่อมที่ x เท่ากับ 0 พอดีไงมันดันมีรอยต่อพอดี ก็เลยไม่ต่อเนื่องอย่างนี้ก็เหมือนกัน เห็นไหมวิ่งเข้ามาปุ๊บ จุดทึบดันอยู่ตรงนี้แล้วก็มาขวามือต่อเห็นไหม มันก็ไม่ต่อเนื่องกันนะครับถ้าเกิดจุดทึบอยู่ตรงนี้ก็จะต่อเนื่องทันที ถูกปะโอเคนะ ต่อเนื่องเคลียร์แล้วนะครับ มา ดูกันต่อดีกว่าข้อถัดมาเขาบอกว่า กำหนดให้ fx คือ x กำลัง 2 นะจงพิจารณาว่า fx ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0 หรือไม่ต่อเนื่องอย่างที่บอกเข้า Checklist เลยนะครับ3 ข้อ 1. f0 ก่อนถูกมั้ยสนใจที่ x เท่ากับ 0ดูซิ f0 หาค่าได้ไหมf0 น้องก็แทนเลยครับ ได้ 0 ถูกป่ะต่อมาข้อ 2 ครับ limit ของ fxok ไหม limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 หาค่าได้ไหม น้องสังเกตก่อน fx ของน้องคือ x กำลัง 2 ถูกไหมครับอันนี้ก็เหมือนกับที่พี่แม็กซ์สอนเลย ถูกไหมเหมือนที่พี่แม็กซ์สอนเลย เอา x เท่ากับ 0 เข้าไปแทนจะได้เป็น 0 เหมือนกันนะครับดังนั้นเนี่ยน้องสังเกตเฮ้ยค่าที่ได้จากกฎข้อที่ 1 กับกฎข้อที่ 2 มันเท่ากันดังนั้นเนี่ยตอบเลยว่าต่อเนื่องแน่นอนโอเคป่ะข้อ 3 เขียนไหมหน่อยก็ได้ว่า F0 มีค่าเท่ากับ limit โอเคไหม ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0 นั้น เป็นจริงทั้ง 3 กฎเลยก็ตอบเลยว่า ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0โอเคนะครับมาถึงตรงนี้พี่แม็กซ์เชื่อว่ามีน้องบางคนถามว่าพี่แม็คครับ เอ้ย แล้วอย่างข้อนี้พี่แม็คไม่หาริมิตซ้าย ริมิตขวาเหรออ่ะ มีใครงงตรงนี้ไหม มีใครงงไหม เอ้ย เนี่ย อย่างเนี้ยพี่แม็คไม่หาริมิตซ้าย ริมิตขวาเหรอ คำตอบคือไม่ต้องหาครับ เพราะว่าอะไรถ้าเกิดว่าฟังก์ชันของน้องเนี่ย มันเป็นฟังก์ชันตัวเดียวอยู่แล้วนะอย่างนี้ x กับ 2 ครับ มันคือ Parabola หน้าตาแบบนี้ถูกป่ะถ้าเกิดน้องรู้ว่ากราฟของน้องเนี่ย ยังไงมันก็เชื่อมต่อกันอย่างนี้อยู่แล้วนะครับ ยังไงเนี่ย ไม่ว่าจะจุดไหนก็ตามนะพี่แม็กวาดแป๊บ ชึบ อันนี้ Parabola ของน้องถูกไหมถ้าเกิดน้องรู้ว่า fx ของน้องเนี่ยมันเป็นฟังก์ชั่นเดียวอยู่แล้ว พี่แม็กซ์ถามหน่อย ไม่ว่าจะจุดตรงไหนก็ตามยังไงลิมิตซ้ายกับลิมิตขวามันก็ทำไมกันอยู่แล้วมันก็เท่ากันอยู่แล้วถูกป่ะสมมุติเราสนใจที่จุด x กับ 0ถ้าเกิดกราฟของน้องมันต่อกันLimit ซ้าย Limit ขวา ยังไงมันก็เข้ามาหาจุดเดียวกันโอเคนะครับ ดังนั้นคำตอบก็คือเราจะไม่สนใจ Limit ซ้าย Limit ขวาถ้าเกิดฟังก์ชันของเรามันมีแค่ตัวเดียวอยู่แล้วแต่ว่าตัวอย่างที่พี่แม็กซ์สอนเนี่ย ก่อนหน้าเนี่ยน้องจำได้มั้ยที่เรามี limit ซ้าย limit ขวาเนี่ย อย่างอันเนี่ยน้องเห็นไหมว่า เฮ้ยมันดันมีอะไรฟังก์ชันของเรามันดันมี 2 หน้าตาเนี่ยถูกปะ แล้วมันดันมาแบ่งที่อะไรด้วยดันมาแบ่งที่จุดที่เราสนใจพอดีคือx เท่ากับ 0 ด้วยถูกมั้ย อย่างนี้เราต้องเช็คลิมิตซ้าย ลิมิตขวา เพราะว่ามันทำไมกันมันคนละสมการกันเห็นมั้ย อย่างนี้เหมือนกันเลยลิมิตซ้ายคือสมการหนึ่ง ลิมิตขวาคืออีกสมการหนึ่งไง อันนี้เราเลยต้องคิดแยกออกมา เป็นลิมิ ตามทันนะ แต่ว่าก่อนหน้าสูตร แรกสูตรที่พี่แม็กซ์สอน ย้อนกลับไปหน่อยย้อนกลับไป ย้อนกลับไปเนี่ย ตอนแรกที่เราสอนกัน เห็นไหม ทำไมพี่แม็กซ์ถึงให้น้องแทนได้เลยไม่ต้องคิดลิมิตซ้าย ลิมิตขวาเพราะว่าฟังก์ชันของน้องมันมีแค่ฟังก์ชันเดียอยู่แล้วไงมันไม่ได้แยกเป็นแบบ 2 กรณีหรือ 3 กรณีใช่นะครับถ้ามันไม่ได้มีรอยต่อน้องแทนเลยก็จบไม่ต้องไปนั่งคิดลิมิตซ้ายลิมิตขวาเพราะว่ากราฟของน้องมันต่อกันอยู่แล้วโอเคนะจุดนี้สำคัญนะครับ โอเค ดังนั้นเคลียร์นะ ความต่อเนื่อง ถ้าเกิดเข้าใจเนี่ยไม่มีอะไรแล้วนะครับเดี๋ยวพี่แม็กซ์มาสอนแผ่น 1 ด้วย มาลองดูกันว่าแผ่น 1 ยากป่ะอ่ะ ลองทำโจทย์ Basic ก่อนถ้าเกิดพี่แม็กซ์ให้ fx มาครับ คือ 3 ส่วนด้วย x ลบ 3จงพิจารณาว่า fx ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 3 หรือไม่มาลุยกันเลยดีกว่าครับเช็คลิสต์ข้อที่ 1 ครับf3 ต้องหาค่าได้ก่อนนะครับข้อนี้เนี่ยพอน้องแทนปุ๊บจะได้ 3 ส่วนด้วย3 ลบ 3 ถูกป่ะคือ 3 ส่วน 0 อ้าวพี่แม็กซ์ 3 ส่วน 0 หาค่าไม่ได้นี่ ถูกต้องครับ หาค่าไม่ได้ดังนั้นถ้าเกิดที่ x เท่ากับ 3 หาค่าไม่ได้ครับเช็คลิสต์ 2 3 น้องไม่ต้องคิดต่อแล้ว ตอบเลยว่าไม่ต่อเนื่องทันทีโอเคปะ ตอบได้เลยว่าไม่ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 3เรียบร้อยครับ โอเคนะต่อมานะครับ ก็บอกให้ fx นะครับเห็นไหมอันนี้ก็แบ่งออกเป็น 2 เงื่อนไขอีกแล้ว f เนี่ยจะเป็น 2x ลบ 1 นะ เมื่อ x น้อยกว่า 1 ครับแล้วจะเป็น x กำลังสา เมื่อ x มากกว่าเท่ากับ 1จงพิจารณาว่า f เนี่ยต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 1 หรือไม่นะครับอันดับแรกเลย เช็คลิสข้อที่ 1 หาก่อน f หนึ่งมีค่าเท่าไหร่นะครับF1 ก็คือดูซิว่า ถ้า X เท่ากับ 1 จะให้ค่า Y เท่าไหร่ถูกปะX เท่ากับ 1 น้องจะใช้เป็นสมการบนหรือล่างเอาว่าไหน บนหรือล่างแน่นอนก็ต้องอันล่างถูกไหม เพราะอันล่าง เป็นมากกว่าเท่ากับ ถูกปะ มันรวมเท่ากับหนึ่งไว้ในอันล่างอยู่แล้วดังนั้นเนี้ย น้องก็ต้องแทนใน x กําลังสาม เข็มไหมครับดังนั้นก็รู้เลยเนอะ จะได้ f1 คือ 1 กําลัง 3 ก็คือ 1 นั่นเองต่อมา Checklist อันที่ 2Limit ต้องหาค่าได้Limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ต้องหาค่าได้อย่างนี้น้องสังเกตดีที่ x เข้าใกล้ 1 มันดันทำไมมันดันเป็นจุดที่มันแบ่งพอดี ถูกปะ ดังนั้นเนี่ย น้องก็ต้องคิดออกมาเป็น 1 ทางด้านลบกับ 1 ทางด้านบวกแหละถูกมั้ยครับ ถ้าเกิด 1 เป็นจุดแบ่งพอดีนะ น้องก็ต้องคิดเป็น 1 ทางด้านลบกับ 1 ทางด้านบวกตอบให้ชื่นใจหน่อย 1 ทางด้านลบ น้องจะใช้เป็นฟังก์ชันอันไหนครับจะเลือกอันไหน 1 ทางด้านลบน้อยกว่า 1 อยู่นิดนึง เช่น 0.990.99 สอดคล้องกับ Function อันบน ถูกไหมน้อยกว่า 1 ง่ะดังนั้นทางด้านลบ นองก็ต้องใช้เป็น 2x-1 โน้ตไว้แบบนี้ก็ได้ 1 ทางด้านลบฉันเลือกอันนี้นะครับ1 ทางด้านบวก ฉันก็ต้องเลือกใช้เป็นฟังก์ชั่นอันคำลาดอ่า โอเคนะครับ แล้วน้องก็ลุยเลยเอา 1 ทางด้านลบคิดก่อนก็ได้นะครับเอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยจะได้ 2 คูณ 1 เป็น 2ถูกไหม 2 คูณ 1 เป็น 2 ลบ 1พี่แม็กซ์ขอย้ายนิดนึงคิดออกมาจะได้ 1ลิมิตซ้ายได้ 1 ลิมิตขวาล่ะ น้องก็ลุยเลยเอา 1 เข้าไปแทนในนี้นะครับก็จะพบว่ามันก็มีค่าเป็น 1 กำลัง 3 เท่ากับ 1ดังนั้น limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวา ว่าอันนี้เท่ากันถ้า limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวา limit อันนี้ก็เลยหาค่าได้แล้วก็มีค่าเป็น 1 ไงนะครับแล้วก็ checklist อันที่ 3 ครับ checklist ข้อสุดท้ายคืออะไรค่าที่ได้จากกฎข้อที่ 1 กับกฎข้อที่ 2 ต้องเท่ากัน 1 เท่ากับ 1 ถูกป่ะดังนั้น เงื่อนไขที่ 3 ก็โอเคถูกป่ะ F1 มีค่าเท่ากับ limit ของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1ดังนั้นก็เลยตอบเลยว่า ต่อเนื่องถูกปะAnswer นะครับ ก็เลยตอบว่า Fx เนี่ย ต่อเนื่องนะที่ x เท่ากับ 1เรียบร้อยข้อข้างล่างลองทำเองหน่อยเร็ว อันนี้พี่มักถาม 2 จุดเลยถูกปะพี่มาร์คอยากรู้ว่า ที่ x เท่ากับ 0 ต่อเนื่องเปล่าแล้วที่ x เท่ากับ 1 ต่อเนื่องเปล่านะครับ หมายกันอยู่นะครับ หมายกันอยู่นะใครที่เรียนแล้วรู้สึกว่าคลิปนี้แบบน้องได้ความรู้นะครับพี่แม็กซ์ก็ขอฝากกด Subscribe นะครับฝากกด Like กด Share เนาะใคร Subscribe ขอให้แบบคะแนนที่ได้เนี่ยพุ่งขึ้นเยอะกว่าเดิมอีก 30% เลยนะครับโมยพรเลยนะครับ จากที่อยู่แล้วขอให้ปังกว่าเดิมโอเคนะครับใครชอบมุกไหนก็เม้นมาได้นะครับ โอเคมั้ยอย่าลืมนะ เรียนคลิปนี้จบเนี่ย ถ้าเกิดน้องแบบหัวไม่แลน น้องลองไปดูเนื้อคู่อยากรู้ว่าใครครับโอ้โห เป็นซีรีส์ที่แบบผ่อนคลายได้จริงๆ นะครับพี่แม็กซ์ดูแล้วพี่แม็กซ์แบบ โอ้โห พี่แม็กซ์ดูตอนสมัยม.6 นะช่วงแบบอ่านหนังสือเจ็ดเคียนพี่แม็กก็ดูครับ อะ มาลุยกันเลยดีกว่าพี่แม็กขอโฟกัสที่ x เท่ากับ 0 ก่อนแล้วกันนะครับ น้องสังเกตน่ะว่าฟังก์ชั่นในข้อนี้เนี่ยมันดัน มันแบ่งที่ไหนนะ มันแบ่งที่หนึ่ง ถูกปะ ดังนั้นที่ x เท่ากับ 0 เนี่ย น้องเลือกใช้สมการไหน สมการเดียวเลย เก่งมากน้องเลือกใช้ fx เท่ากับ x-2 อันเดียวเลยถูกปะ เพราะว่าสูตรนี้เนี่ย มันสอดคล้องกับฟังก์ชันอันข้างบนถูกปะ ดังนั้นที่ x เท่ากับ 0 พี่แม็กซ์จะได้เลยนะว่า f เนี่ยมันคือ x-2ถูกมั้ยครับ โอ้โห ถ้าเกิดเจออย่างเนี่ย f เท่ากับ x-2 อย่างเนี่ย น้องรู้ถูกมั้ยว่ามันคือสมการ เส้นตรงถูกไหม เออ มันคือสมาการณ์เส้นตรงนะครับ หน้าตาเป็นอย่างนี้เราสนใจเนี่ยที่ x ที่ x เท่ากับ 0 เนี่ย ดูก็รู้แล้วนะครับที่ f0 ได้ลบ 2 ถูกป่ะ ลิมิตของมันก็เท่ากันอ่ะก็ลบ 2 เหมือนกันถูกไหม มันเข้าหาการลบ 2 ถูกป่ะค่าของ fx กับ limit เท่ากัน ดังนั้นยังไงอย่างนี้ที่ x กับ 0 ยังไงก็ต่อเนื่องถูกป้าที่จริงดูแล้วตอบเลยก็ได้อาจจะเขียนไว้หน่อยก็ได้ f0 คือ ลบ 2 ถูกไหมแล้วก็ Checklist อันที่ 2 ครับLimit ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0มันก็คิดเหมือนเดิมถูกป่ะ เอา 0 เข้าไปแทนในนี้ก็จะได้ 0 ลบ 2 คือ ลบ 2ดังนั้นอันนี้ก็เลยตอบว่า ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0อันนี้ไม่มีอะไรมากที่ x เท่ากับ 1 ต่อหา ถึงยากมาดูที่ x เท่ากับ 1 กันดีกว่าที่ x เท่ากับ 1 นะครับ ปันดับแรกครับ หา F1 กันก่อนโอเคไหม F1 น้องก็ต้องเลือกใช้เงื่อนไขอันที่มันน้อยกว่าเท่ากับถูกปะ ที่มันมีเท่ากับ แสดงว่าx เท่ากับ 1 อยู่ตรงนี้ถูกปะ น้องก็แทนเลย เอา 1 เข้าไปแทนจะได้เป็น 1-2 คือ 1ต่อมาหาริมิตที่ f นะครับแล้วที่ x เข้าใกล้ 1 การนะครับลิมิตที่เข้าใกล้จุดนี้กันอย่างที่บอกเห็นไหมอย่างนี้มันดันมีอะไรมันดันมีจุดแบ่งที่ 1 พอดีนะครับ น้องก็ต้องคิดเป็น limit ซ้ายกับ limit ขวาแล้วเพราะว่ามันจะเป็นคนละสมการกันทุกป่ะ limit ซ้ายก็คือต้องใช้น้อยกว่าเท่ากับคือใช้อันบนถูกไหม เออ limit ฝั่งซ้าย 1 ทางนั้นลบเนี่ย1 ทางนั้นลบเนี่ยต้องใช้อันนี้ถูกไหมครับ 1 ทางนั้นบวกฝั่งขวาก็ใช้เป็นอันล่างโอเคไหมแล้วน้องก็ลุยเลยหาริมิตฝั่งซ้ายก่อนนะครับ น้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกไหม จะได้เป็น 1-2 คือ 1นะครับ ลิมิตฟังขวาก็คือเอา 1 ไปแทนในนี้เลยนะครับอันนี้น้องแทนแล้วน้องจะได้ออกมาเท่าไหร่น้องจะได้เป็น 1 กำลัง 2ถูกปะ เอา 1 เป็นแทนในสมการอันนี้นะจะได้เป็น 1 กำลัง 2 ลบ 3 คูณ 1 บวก 2 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 น้องจะได้ออกมาเป็น 1-3 บวก 2 ส่วนด้วย 0 ก็คือ 0 ส่วน 0อย่างที่บอกครับ หลักการคิดในการหาริมิต ทำเหมือนกันเลยนะถ้าเกิดน้องได้ 0 ส่วน 0 เมื่อไหร่ น้องต้องลุยต่อโอเคปะ ดังนั้นนี่น้องลุยต่อน้องทำยังไงน้องสามารถแยกตัวประกอบอันบนได้ถูกมั้ยครับx กำลัง 2 ลบ 3x บวก 2 เนี่ยน้องแยกตัวประกอบมันได้ใช่มั้ย ดังนั้นเนี่ยพี่แม็กซ์แยกตัวประกอบออกมาก่อน เขียนใหม่ได้เป็นอะไร อะไรเอ่ย คูณกันได้ 2รวมกันได้ลบ 3 ครับ แน่นอน ลบ 1 กับลบ 2ถูกป่ะ คูณกันได้ 2 รวมกันได้ลบ 3พี่แม็กซ์เลยแยกมันออกมาได้เป็น x ลบ 1 คูณกับ x ลบ 2 ส่วนด้วย x ลบ 1แล้วน้องสังเกตดิ เฮ้ย เดี๋ยว x-1 กับ x-1 มันจะตัดกันไงก็จะเหลือแค่ x-2 ถูกไหมครับดังนั้นอันนี้พี่แม็กซ์ก็เลยเขียน fx ใหม่ก็ได้นะครับโดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวก จะเหลือแค่อะไรละx-1 ตัด x-1เก่งมาก จะเหลือแค่ x-2 แล้วเห็นไหมครับ แล้วน้องก็แทนอีกรอบนึง เอา x เท่ากับ 1 แทนเข้าไปจะได้ 1-2 คือเก่งมากครับ ลบ 1เขียนป้า ดังนั้น limit ฝั่งขวาก็จะได้ลบ 1น้องดูเลย limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวาเท่ากัน แสดงว่า limitหาค่าได้ไหมครับlimit หาค่าได้ถูกป้าย limit ของ xx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้แล้ว มีค่าเท่ากับ-1 เนี่ย เรียบร้อย นะครับ แล้วก็ค่าที่ได้จากเบอร์ 1 กับเบอร์ 2 มีค่าเท่ากันก็ตอบเลยว่าต่อเนื่องเหมือนกันโอเคไหมครับ ดังนั้นเนี่ยก็เลยตอบว่าต่อเนื่องโอเคไหม ที่ x เท่ากับ 1 นั่นเองโอเคนะครับ ยากไหม แอบซับซ้อนนิดนึงนะครับแอบซับซ้อนนิดนึง แต่ถ้าเข้าใจเนี่ย ไม่มีอะไรเลยอย่างที่บอกนะ ต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ยึดกฎของพี่แม็กซ์เนี่ยครับมันต้องเข้ากฎทั้งสามข้อ ถึงจะต่อเนื่อง โอเคนะ ใครเสร็จแล้วทำแพท 1 ข้อข้างล่างเลย เนาะ เออ แพท 1 นะครับแต่สมัยยุคนี้ก็ไม่มีแล้วนะ เป็น T-PAT แล้วทีแพทก็สอบไม่ใช่คณิตแล้วไหวอยู่นะ สู้นะคะ พี่แม็กปิ้งกําลังใจให้ โอเคป่ะ กรุงโดมไม่ได้สร้างในวันเดียวครับ คณิตศาสตร์ก็เหมือนกันเห็นไหม มันเกิดจากการฝึกฝนนะครับไปต่อนะ มา เขาบอกว่าให้ a และ b เป็นจำนวนจริงนะครับแล้วก็ให้ fx โอ้โห อันนี้เนี่ย นึกถึงคุณรุ๊ดเลยถูกไหมเป็น 3 เวอร์ชั่นเลยครับมันจะเป็นเวอร์ชั่น x กําลัง 2 บวกไอ x บวก b เมื่อ x น้อยกว่า 2นะครับ เป็นอันนี้ อันนี้ ก็ต่อเมื่อสอดคล้องกับเงื่อนไขอันนี้นะเขาบอกว่า ถ้า f นะครับ เฮ้ย อันนี้โจทย์เขาบอกว่าถ้า f เนี่ย เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อ้าว เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงแล้วเนี่ยa ลบ b เท่ากับเท่าไหร่การที่มันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงหมายความว่าอะไรหมายความว่า F มันต่อเนื่องที่ทุกจุดเลยถูกปะ มันต่อเนื่องที่ทุกจุดเลยดังนั้นเวลาน้องเจอโจทย์แนวนี้อันนี้เจอบ่อยนะ ถ้าเกิดเขาให้เงื่อนไขมาแล้วบอกว่าต่อเนื่องที่ทุกจุดเมื่อไหร่ให้น้องนี้นะครับ ให้น้องสนใจที่รอยต่อมันพอเห็นป่ะ ให้เราสนใจที่รอยต่อให้สนใจที่รอยต่อซึ่งข้อนี้รอยต่อมันอยู่ที่อะไรบ้างอยู่ที่ x เท่ากับ 2 กับ x เท่ากับ 5ถูกป่ะ คือจุดอื่นมันต่อเนื่องอยู่แล้วแต่ว่า x เท่ากับ 2 กับ x เท่ากับ 5 เนี่ย มันก็ต้องต่อเนื่องกันด้วยมันถึงจะต่อเนื่องที่ทุกจุดบน set ของกันจำนวนจริง โอเคไหมครับ อ่ะ แทนยังไงดีครับ ข้อนี้แผ่น 1ติ๊กต๊อก ติ๊กต๊อก อ่ะอย่างที่บอกนะ พอเราสนใจที่รอยต่อเนี่ยน้องก็เขียนแยกเลย อ่ะเรามาโฟกัสที่ x เท่ากับ 2 กันก่อนดังนั้น x เท่ากับ 2 ต้องต่อเนื่องถูกไหมถ้าเกิด x เท่ากับ 2 ต่อเนื่องเนี่ยChecklist ข้อที่ 1 เลย f2 ต้องหาคาได้f2 น้องใช้สมการไหน จะได้ฟังก์ชันอันไหน เก่งมาก ก็ต้องเลือกอันที่มันมีเท่ากับถูกปะ น้องก็ต้องเลือกเป็น square root x-1เอา 2 เข้าไปแทนเลย จะได้เป็นsquare root 2-1 คือ 1 นั่นเองเห็นมั้ยครับ ดังนั้น f2 หาค่าได้แล้วต่อมา check list ข้อที่ 2limit ของมันต้องหาค่าได้โอเคปะ ลิมิตของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 2 เนี่ย ต้องหาค่าได้นะครับอย่างเนี่ยน้องรู้อยู่แล้วว่า น้องต้องคิดเป็นลิมิต ซ้ายกับลิมิตขวาถูกปะลิมิตซ้ายเนี่ย 2 ทางด้านลบก็ต้องใช้เป็นฟังก์ชั่นอันบนถูกปะลิมิตขวาทางด้านบวกก็ต้องใช้เป็นอันล่างถูกมั้ยครับตามพี่แม็กซ์ท่านอยู่นะ โอเคดังนั้นเนี่ย เรามาหาค่าของลิมิตทางด้านลบก่อนสองทางด้านลบอันนี้ก่อน นะครับ ข้อนี้ยาวหน่อยนะจะได้เป็นลิมิตของ fx ตัวที่ x เข้าใกล้สองทางด้านลบ น้องรู้ว่าถ้าเกิด 2 ทางด้านลบมาน้อยกว่า 2 นิดนึงน้องก็ต้องเอา 2 แทนในสมการอันนี้ถูกไหม? x กำลัง 2 บวก ax บวก bพี่แม็กซ์เอา 2 แทนเข้าไปเลยจะได้เป็น2 กำลัง 2 บวก a คูณ 2 บวก bจะได้เป็น 4 บวก 2a บวก bโอเคนะ อันนี้คือลิมิตของ 2 ทางด้านลบนะครับแล้ว 2 ทางด้านบวกล่ะ น้องก็หาได้ถูกไหม x เข้าใกล้ 2 ทางด้านบวก น้องก็หาได้โดยการเอาสองแทนเข้าไปในนี้เลย นะครับ ซึ่งที่จริงเนี้ยน้องก็สามารถเอาค่าที่ได้จากตอนแรกเนี้ย มาใช้ก็ได้เพราะว่ามันคือ ฟังก์ชั่นอันเดียวกัน ถูกไหม เออแทนออกมาก็จะมีค่าเป็น 1 นะครับซึ่งอย่างที่บอกครับ ถ้าเกิดมันต่อเนื่องเนี่ยนะบน set ของจำนวนจริง ซึ่งว่ามันต่อเนื่องทุกจุดถูกปะ ที่ x เท่ากับ 2 มันก็ต้องต่อเนื่องด้วยนะครับดังนั้นถ้าเกิด x เท่ากับ 2 ต่อเนื่องเมื่อไหร่ลิมิตต้องหาค่าได้ป่ะเก่งมาก ลิมิตต้องหาค่าได้ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวาดังนั้นน้องก็สามารถจับ เก่งมากครับ จับอันนี้มาเท่ากันได้เลยโอเคไหม น้องก็จะได้แล้วว่าดังนั้นพี่แม็กซ์ 4 บวก 2a บวก bต้องมีค่าเท่ากับ 1 ถูกไหมครับเราก็จะได้แล้วว่า 2a บวก b มีค่าเท่ากับเก่งมาก ลบ 3 นั่นเองอันนี้เนี่ยเราก็เก็บไว้ก่อนเป็นสมการที่ 1โอเคไหม พระโจทย์อยากรู้ A ลบ B ถูกปะดังนั้นเนี่ยเราต้องหา A กับ B มานะครับตอนนี้เราได้แล้ว ได้แล้วสมการ 1 โอเคนะ ตามพี่แม็กซ์คันนะครับทีนี้มีน้องถามว่า พี่แม็กซ์ แล้วเช็คลิสต์ข้อที่ 3 เราต้องเช็คหรือเปล่าไม่ต้องเช็คนะครับ ถูกปะ ทำไมไม่ต้องเช็ค เพราะว่าเนี้ยมันเท่ากับหนึ่งอยู่แล้วไงยังไง ของน้องเนี้ยต้องเท่ากับหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งน้องก็เปลี่ยนเช็คตั้งแต่อันนี้อยู่แล้วไงลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาอยู่แล้วโอเคนะครับ ก็จับมันมาเท่ากันเลยโอเคนะ หรือน้องอาจจะโน้ตอย่างนี้ก็ได้ชิบ ที่จริงแล้วกฎข้อที่ 3 มันคือ FA ก็คือ F2 ถูกไหมมันจะต้องมีค่าเท่ากับลิมิต พี่มักขอเลื่อนลงนิดนึงมันจะต้องมีค่าเท่ากับลิมิตฝั่งซ้าย และมีค่าเท่ากับลิมิตฝั่งขวาแบบนี้ครับคลิปตามทันนะครับ อันนี้มาจากกฎข้อที่ 1 อันนี้มาจากกฎข้อที่ 2 ต้องมีค่าเท่ากับ limitซึ่ง limit อันนี้อย่างที่บอก หาค่าได้ก็ต่อเมื่อ limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวาแต่นี่มันเท่ากับ 1 อยู่แล้วถูกไหม 2 ทางหน้ารบก็มีค่าเท่ากับก้อนนี้ก็มีค่าเท่ากับ 1 นะครับ ก็ได้เป็นสมการเดียวเนอะต่อมาที่จุด x เท่ากับ 5 ลองหาเองหน่อยครับ เร็วคราวนี้ยากหน่อยนะ แพทย์ 1 นะครับ ยากหน่อย ยากหน่อย แต่อยากเอามาสอนครับอ่า ได้ไหมพี่แม็คทำต่อนะชิบใครทำได้ทำเลยนะครับ ไม่ต้องหล่อนะอ่ะ มาดูกันนะครับ มาดูกัน ต่อมาเนี่ยเราสนใจที่ x เท่ากับ 5 ถูกปะเราก็รู้ว่า เฮ้ย ถ้าเกิดมันจะต่อเนื่องเนี่ยx เท่ากับ 5 เนี่ย มันก็ต้องต่อเนื่องกันด้วยถูกไหมถ้าเกิดมันต่อเนื่องที่ทุกจุดอยู่แล้ว นะครับดังนั้นที่ x เท่ากับ 5 จะต่อเนื่องได้แน่นอนเช็คลิสข้อที่ 1 F5 ต้องหาค่าได้ก่อนF5 ต้องหาจากฟังก์ชันอันนี้น้อยกว่าเท่ากับ 5 แสดงว่าที่ x เท่ากับ 5 อยู่ในฟังก์ชันอันนี้นะครับ แล้วก็แทน 5 ลงไปในนี้เลยจะได้ออกมาเป็น square root 5 ลบ 1 คือ root 4มีค่าเท่ากับ 2โอเคนะครับต่อมากดข้อที่ 2 ครับLimit ถูกไหม ลิมิตของ fx ตัวที่ xเข้าใกล้ 5 เนี่ย ต้องหาค่าได้ด้วยนะครับในเมื่อ 5 มันเป็นจุดแบ่งพอดีแน่นอนมันก็จะต้องแบ่งเป็น 5 ทางด้านลบ ถูกไหม อันนี้คือน้อยกว่า 5ถูกไหม น้อยกว่า 5 นิดนึง กับ 5 ทางฝั่งบวก ก็จะเป็นฟังก์ชั่นอันล่างโอเคนะครับ น้องอาจจะโน้ตหน่อยก็ได้ว่า5 ทางด้านลบก็ต้องใช้ฟังก์ชั่นอันนี้ อันที่ 2 ถูกไหมในขณะที่ 5 ทางด้านบวกจะใช้เป็นฟังก์ชั่นอันที่ 3 ล่างสุดแล้วน้องก็เขียนแยกอีกรอบหนึ่งเลยเป็นลิมิตซ้ายx เข้าใกล้ 5 ทางด้านลบกับลิมิตขวาลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 5 ทางด้านบวก x เข้าใกล้ 5 ทางด้านลบ น้องก็แทน 5 ลงไปในนี้เลยถูกไหม ก็คือ square root 4 ก็คือ 2 นั่นเองนะครับเห็นไหมมันมีค่าเท่ากัน เพราะว่ามันเป็นอะไรมันใช้ฟังก์ชันอันเดียวกันไง f5 กับ 5 ทางด้านลบถูกปะ ต่อมา 5 ทำด้านบวกครับ แล้วก็แทนเป็นอันนี้ถูกไหมแทนใน ax บวก b นะครับ เอา x เท่ากับ 5 แทนเข้าไปจะได้เป็น 5a บวก b นะครับ แล้วน้องรู้ว่า เฮ้ย ถ้าเกิ หาค่าได้ถูกปะ ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาต้องเท่ากันไงน้องก็เลยจับอะไรเลย จับ 2 มาเท่ากับ 5a บวก b ได้เลยนะครับ แล้วน้องก็ให้เป็นสมการที่ 2พอได้อย่างนี้น้องยืมแล้วนะ เพราะว่าน้องได้ 2 สมการแล้วแล้วน้องก็มีแค่ 2 ตัวแปลคือ A กับ B ถูกป่ะดังนั้นพี่แม็กซ์ขอเขียนใหม่นะครับ ขอเขียนใหม่นะ เอา 5A บวก B มา ย้ำอยู่ตรงนี้แล้วกัน จะได้แก้สมการง่ายๆจะได้เป็น 5a บวก b มีค่าเท่ากับ 2 นะครับอันนี้คือสมการที่ 2 เอาใครลบใครดีเก่งมาก เอา 2 ลบ 1 ดีไหม เอา 2 ลบ 1 นะครับb กับ b จะได้หักล้างไปแล้วก็จะเหลือ 5a-2a เลยถูกไหมจะได้เป็น 3a มีค่าเท่ากับ 5 นั่นเองโอเคนะครับ ดังนั้น A ของพี่แม็กซ์คือ 5 ส่วน 3พอน้องรู้ A แล้ว น้องอยากหา B ก็ได้ถูกปะ น้องก็เอา A ที่ได้ เข้าไปแทนในสมการที่ 1 หรือ 2 ก็ได้ครับพี่แม็กซ์ดูแล้ว เราแทนในสมการที่ 1 แล้วกัน เขียนป่ะดังนั้นเนี่ย น้องก็ลุยเลยนะครับจะได้เป็น 2a คือ 5 ส่วน 3 เนาะบวกกับ b มีค่าเท่ากับลบ 3 นะครับอันนี้โน้ตให้หน่อยก็ได้ว่า จากสมการที่ 1 คิดเลขจะได้เป็น 10 ส่วน 3 บวก b มีค่าเท่ากับลบ 3 ถูกปะดังนั้น b คือ ลบ 3 ลบ 10 ส่วน 3 ก็คือลบเท่าไหร่ลบ 19 ส่วน 3 นั่นเอง โอเคนะครับเลขไม่ค่อยสวยเท่าไหร่เลย ดังนั้นเขาถามอะไร เขาถาม a ลบ b ถูกปะดังนั้นถ้าเขาถาม a-b นั้นก็ลุยเลยครับ ได้แล้วจะได้ a-b คือ 5 ส่วน 3 ลบกับ -19 ส่วน 3 นะครับ เห็นไหม ลบกับลบ หักล้างการกลายเป็นบวกนะครับคิดในใจเลย 5 บวก 19 ได้เป็น 24 ส่วน 3 ตอบ 8 นั่นเอง เรียบร้อยนะครับก็ข้อนี้ถ้าเกิดใครทำได้ในปีนั้นเนี่ย คะแนนก็จะพุ่งเลย เพราะว่าถ้าจำไม่ผิดรู้สึกจะเป็นข้อแบบ เขียนคำตอบ เติมคำตอบเองด้วยคะแนนมันจะเยอะหน่อย แต่ว่ามันก็จะซับซ้อนนิดนึงให้เวลาจดก่อนนะ เดี๋ยวพี่มักขอสรุปอีกนิดนึงแล้วเดี๋ยว แล้วจะจบชัปเตอร์นี้กันแล้วนะครับโอเคนะ ใครยังจดไม่เสร็จ สตอบไว้ก่อนเนาะเดี๋ยวพี่แม็กซ์ขอพูดสรุปแล้วข้อนี้สำคัญมากเพราะออกบ่อยดังนั้นพี่มาขอเน้นอีกนิดนึง ถ้าเกิดว่าโจทย์ เขาให้สมการ ให้ฟังก์ชันน้องมา แล้วก็เขียนแยกอย่างนี้เลยเขาก็จะแบ่งเงื่อนไขให้น้อง ถูกไหม อย่างนี้แบ่งออกเป็น 3 ฟังก์ชันเลย มี 3 เงื่อนไขเลยถ้าเกิดเขาบอกว่าไอ้เจ้าฟังก์ชั่น f ของน้องเนี่ยมันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงแสดงว่าอะไรเฮ้ยฟังก์ชั่น f ของเราเนี่ยมันต่อเนื่องทุกจุดเลยถือว่าทุกจุดต่อเนื่องหมดนะครับดังนั้นเนี่ย เวลาเจอโจทย์แนวนี้เนี่ย สิ่งที่น้องสนใจนะ ถ้าบอกทุกจุดต่อเนื่องเมื่อไหร่ ให้น้องสนใจที่รอยต่อครับคือรอยต่อมันก็ต้องต่อเนื่องด้วย โอเคป่ะคือที่เรากลัวเนี่ย เรากลัวไอ้รอยต่อนี้มันไม่ต่อเนื่องนะครับ ดังนั้นเนี่ย เราสนใจที่รอยต่อก่อนนะครับรอยต่อข้อนี้มีอะไร มี 2 กับมี 5 ถูกปะน้องก็คิดแยกเลย เอ๊ะ x เท่ากับ 2 x เท่ากับ 5 นะครับแล้วถ้าเกิดต่อเนื่องเมื่อไหร่ให้น้องเนี่ยจําคําที่พี่พี่แม็กพูด 3 ข้อนั้น นะครับถ้าเกิดเข้ากด 3 ข้อนั้น มันถึงจะต่อเนื่องถูกไหมหาก่อน F2 ที่จุดนั้นคือเท่าไหร่ถูกปะหาริมิตนะครับแต่อย่างนั้นเนี่ยเวลาเจอโจทย์แล้วเนี่ยแน่นอนลิมิตน้องเนี่ยก็ต้องแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาเพราะว่ามันทำไมอยู่แล้วมันเป็นคนลาฟังก์ชั่นกันอยู่แล้ว ถูกปะ แล้วน้องก็จับค่าเนี่ยมาเท่ากันนะครับวิธีทำมันค่อนข้างตายตัวเลยนะ เวลาเจอจนเรื่องแคลคูลัส เรื่องความต่อเนื่องเนี่ยนะครับเราก็แก้สมการไม่มีอะไรเลย โอเคนะครับ ก็สําหรับคลิปนี้เนี่ย พี่แม็กก็หวังว่าการปูพื้นนะครับน้องบอกพี่แม็กปูพื้นอะไร ล่อมา sub-hack 1 เลยนะครับเอามาให้ฝึกให้ทําดูก่อนนะครับ ถ้าเกิดน้องยังไม่เคยเรียนบทนี้เลยมาเจอครั้งแรกคลิปมันยากแหละเพราะว่าแบบพี่แม็กซ์พยายามรวบรัดให้เร็วที่สุดนะครับถ้าเกิดไปเรียนที่โรงเรียนเนี่ยน้องน่าจะแบบเห็นภาพเพิ่มขึ้นเยอะเลยนะครับ เราก็หวังว่าคลิปนี้เนี่ยจะเป็นประโยชน์นะครับก็เดี๋ยวในใครพร้อมเนี่ยก็ ลุยคลิปถัดไปได้เลยนะครับ ก็เดี๋ยวเราครั้งหน้าเนี่ยเราจะมาสอนเรื่องDrip Gun มาปรูปพื้นฐานเรื่องการดริปหรือการหาอนุพันธ์กัน นะครับ ก็คลิปนี้ขอบคุณน้องๆทุกคนมากนะครับถ้าชอบก็ฝากกดไลค์เป็นกำลังจ่ายให้พี่แม็กซ์ด้วยไว้พบกันใหม่ในคลิปถัดไป ใครมีอะไรก็คอมเมนต์ได้เลยก็สู้ๆนะอย่าพึ่งท้อใครมีอะไรก็นี่นะหลังไมค์มาได้นะครับใครยังไม่รู้ว่าเราจะติดต่อกันยังไงนะครับนี่เลยนะFacebook นะครับหลักๆ คุยกัน Facebookเพราะ YouTube เราคุยกันไม่ค่อยได้อยู่แล้วนะครับFacebook นะครับเสิร์ชเลย NFMAT โอเคมั้ยหรือว่าไอจีก็ได้นะครับแต่ว่าไอจีจะเป็นไอจีที่พี่แม็คสอนความถนัดแพทย์อ่ะนะครับก็ชื่อเม็ดเด้นแกดเห็นป่ะใครจะสอบหมอสนใจเรียนความถนัดแพทย์ก็ฝากความถนัดแพทย์เม็ดเด้นนะครับเฟซบุ๊กก็มีครับลองไปเสิร์ชดูแล้วน้องก็จะเห็นว่า เอ้าเฮ้ย หน้าคล้ายกันเลยก็พี่นี่เองแหละโอเคนะครับ ไม่ใช่ มีคนบอก เฮ้ยพี่แม็กซ์ มีญาติด้วยเหรอสอนความสนับแทน ไม่ใช่พี่เอง โอเคนะครับ ชื่อก็เหมือนกัน แค่นั้นก็ไว้เดี๋ยวไว้พบกันใหม่ แค่นั้นสําหรั

สวัสดีน้องๆที่น่ารักทุกคนนะครับ ก็มาพบกับพี่มักอีกเช่นเคยนะครับในหัวข้อวันนี้นะครับ ที่พี่มักจะมาสอนน้องเนี่ย ก็จะเป็นเกี่ยวกับเรื่อง Calculus นะครับCalculus เนี่ย พี่มักเชื่อว่า นักเรียนหลายคนเลยนะครับ น้องหลายคนเลยเนี่ยน่าจะเรียนบทนี้กันตอนที่อยู่ม.6แต่ว่าบางคนอาจจะเรียนตอนเทิม 1บางคนอาจจะเรียนตอนเทิม 2 ขึ้นอยู่กับโรงเรียนCalculus ที่พี่มักจะสอนพี่มักจะขอแบ่งมันออกเป็น 3 พาร์ทหลักๆด้วยกันพาร์ทแรกที่เราจะมาเรียนกันในวันนี้ก่อนพาร์ทแรกจะเป็นเรื่องLimit และความต่อเนื่องLimit และความต่อเนื่องพาร์ทที่ 2 ครับพี่มักถามน้องหน่อยเวลาพูดถึง Calculusน้องจะนึกถึงการอะไรเก่งมาก การดริฟต์ถูกปะ เออดังนั้นเนี่ยในพาร์ทที่ 2 ที่เราจะเรียนกันนะครับพี่มักจะสอนน้องเกี่ยวกับเรื่อง การดริป หรือว่าภาษาไทยเรียกว่าการหาอนุอะไรมีช้อยระหว่าง 1.อนุพันธุ์ 2.อนุทินธุ์อนุพันธุ์ ไม่ใช่อนุทินธุ์ คนละอย่างกันแล้วก็แน่นอนครับ ถ้ามีดริปก็ต้องคู่กับการมีอะไรมีดริปก็ต้องมีการ อินทิเกจถูกปะ การอินทิเกต พี่มักจะขอสอนในหัวข้อสุดท้ายเลยเห็นมั้ยครับ อยู่ในคลิปสุดท้ายเลย การอินทิเกต ประสาทไทยก็จะมีชื่อให้มันว่า การหาปริพันธ์หรือว่าปรติยานุพันธ์โอเคไหมครับ ปรติยานุพันธ์ก็ได้โอเคดังนั้นนะครับ ในคลิปนี้พี่มักจะมาสอนน้องเกี่ยวกับเรื่องLimit แล้วก็ความต่อเนื่องกันก่อนโอเคไหม เออ Limit นะครับมา เรามาเริ่มกันเลยดีกว่าโอเคนะ หัวข้อที่ 1 นะครับLimit และความต่อเนื่องของ Function นะครับ Limit ของฟังก์ชันคืออะไรนะครับเวลาน้องเรียนเรื่อง Limit เนี่ยแน่นอนครับ พระเอกเลยที่น้องจะต้องเจอเนี่ยคือสัญลักษณ์อันนี้อ่า โอเคมั้ย อันนี้อ่านว่าอะไรก่อนอ่านว่า Limit อันนี้ย่อมาจาก Limitโอเคมั้ย Limit อันนี้ย่อมาจาก Limitนะครับคือ limit ของใคร คือ limit ของ fx นะครับเมื่อ x เข้าใกล้ a เล็กอันนี้ok นะครับ limit เนี่ยมันหมายถึงอะไรนะครับมันจะหมายถึง ค่าประมาณของ fx เมื่อ x มีค่าใกล้ aอันนี้คือความหมายของ limit นะครับ มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าถ้าเกิดโจทย์เขาให้มาว่า limit ของใคร fx ในที่นี้เป็น x บวก 2limit ของ x บวก 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 มีค่าเท่าไหร่ทำยังไงนะครับ อันดับแรกเลย น้องรู้ถูกไหมว่า x บวก 2 มันคือสมการของอะไรสมการเส้นตรงถูกปะ ดังนั้นพี่มักจะวาดเส้นตรงให้น้องเห็นภาพก่อนนะครับ x บวก 2 เนี่ยมันก็จะหน้าตาประมาณนี้ถูกแปลดังนั้นเรามาวาดเส้นตรงกันนะครับชึบ อ่า โอเคอันนี้คือ fx ของพี่มัก เราสนใจเมื่อ x มันเข้าใกล้ 1 ถูกปะน้องลองดูก่อน เฮ้ย ถ้าเกิด x เป็น 1 ตรงนี้x เป็น 1 มันให้ค่า y เท่าไหร่น้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกปะ1 บวก 2 ได้ เก่งมาก ได้ 3ดังนั้นถ้าเกิด x เป็น 1ตรงนี้มันจะให้ค่า y คือ 3 นั่นเองโอเคนะ ดังนั้นพี่แม็กก็พล็อตค่า y ตรงนี้ 3 นั่นเองนะครับอย่างที่บอกนะ เวลาเขาพูดถึง limit เนี่ยนะครับ คือเขาไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 1 นะแต่เขาสนใจเมื่อ x มันมีค่าใกล้ 1เราสนใจว่าถ้าเกิด x ของเรามันมีค่าใกล้ 1มันจะให้ค่า y เท่าไหร่น้องสังเกตนะ 1 อยู่ตรงนี้ถูกไหมอะไรบ้างที่เข้าใกล้ 1 แน่นอนถ้าเกิดน้อยกว่า 1 นิดนึงก็อาจจะเป็น 0.9ใช่ปะ มากกว่า 1 อยู่นิดนึงก็อาจจะเป็น 1.1ใช่ไหมครับ ดังนั้นเนี่ย x เท่ากับ 1 ตรงนี้เนี่ยค่าที่มันเข้าใกล้ 1 เนี่ยมันจะแบ่งได้เป็น 2 ฝั่งคือน้อยกว่ามันนิดนึงกับมากกว่ามันนิดนึงโอเคนะ ตามทันนะครับดังนั้นเนี่ยพี่มักก็เลยบอกว่าถ้าเกิด x เข้าใกล้ 1 เนี่ยเราก็จะแบ่งได้เป็น x น้อยกว่า 1 ก็คือมาทางฝั่งซ้ายถูกปะกับ x มากกว่า 1 ก็คือมาทางฝั่งขวานะครับx น้อยกว่า 1 มีอะไรได้บ้างที่มันใกล้ 1 นะอันนี้ไฮลาฮ์ให้พี่มักก่อนก็ได้เมื่อ x มีค่าใกล้ 1 เห็นนะครับ x น้อยกว่า 1 ก็เ� ถูกป่ะ 0.9 นะครับ หรือว่า ใกล้กว่านี้อีกคือ 0.99หรือว่าจะใกล้กว่านี้อีกก็จะเป็น 0.999 เขียนแค่นี้พอนะครับน้องลองดูนะ เฮ้ยถ้าเกิด x ของพี่แม็กซ์เนี่ยคือ 0.9 นะครับมันให้ค่า y อยู่ที่เท่าไหร่เอา 0.9 เข้าไปแทนเลยคือ 2.9 เก่งมากถ้าเกิด x ของพี่มักเป็น 0.99 x ของพี่มักเป็น 0.99 จะให้ค่า y คือ 2.99y ก็คือ fx นะและถ้าเกิด x ของพี่มักเป็น 0.999แทนเข้าไปในนี้ก็จะได้ fx ออกมาคือ 2.999โอเคนะครับทีนี้ครับเหมือนกันเลยอีกฝั่งหนึ่งถ้าเกิด x มากกว่า 1 ล่ะแต่ว่ามันยังใกล้ 1 อยู่นะ อาจจะเป็นอะไรได้บ้างอาจจะเป็น 1.1 ถูกมั้ยครับ หรือว่าใกล้กว่านี้อาจจะเป็น 1.01ใช่ไหม หรือกล้ายกว่านี้อีกก็จะเป็น 1.001นะครับ ถ้าเกิด x เป็น 1.1จะให้ค่า fx คือเท่าไหร่ 1.1 เข้าไปแทนบวก 2 เลยได้เป็น 3.1นะครับ x เป็น 1.01 ให้ค่า y เท่าไหร่บวก 2 เลยได้เป็น 3.01นะครับ แล้วถ้าเกิด x เป็น 1.001 ก็ให้ค่า fx เป็น 3.001 0 0 1 ตามทันไหมครับน้องสังเกตไหมครับเฮ้ยถ้าเกิด x ของเราเนี่ยมันเข้าใกล้ 1น้องเห็นไหมว่าค่า y เนี่ยมันจะใกล้เลขอะไรมากเลยเฮ้ยค่า y หรือค่า fx เนี่ยมันจะใกล้อะไรมากใกล้ 3 มากเลยถูกปะน้องดูดิ 2.999 กับ 3.001 เนี่ยนะครับ ดังนั้นเนี่ย เฮ้ย เมื่อ x เข้าใกล้ 1 นะเราจะได้ค่า f เนี่ย มันประมาณอยู่ที่เก่งมาก 3 นั่นเอง นะครับ ดังนั้นเนี่ยเราก็จะสรุปได้แล้วว่า limit ของ x บวก 2 นะครับโดยที่ x เข้าใกล้ 1 จะมีค่าเป็น 3โอเคนะครับ ตามทันนะดังนั้นสรุปก่อนนะครับ limit เนี่ยนะครับคือเราสนใจอะไรนะครับlimit เนี่ยคือเราสนใจค่า fx หรือว่าค่า y นะครับสนใจค่า y เมื่อ x มันมีค่าเข้าใกล้ a เข้าใกล้จุดนั้น ๆเราไม่ได้สนใจที่จุดนั้นนะ แต่เราสนใจค่าที่มันเข้าใกล้ แล้วพอมันเข้าใกล้อย่างที่บอก ถูกไหม พอเข้าใกล้เนี่ย มันก็ต้องมีฝั่งซ้ายกับมีฝั่งขวา เคนะครับเห็นไหม พี่แม็คก็จะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาแบบนี้ได้เลยแล้วเราก็จะพบว่าค่าที่มันเข้าใกล้มันก็มีค่าเท่ากับ 3 เหมือนกันถูกไหมครับแค่นี้เองอันนี้คือการหาริมิตโอเคนะแต่ว่าในชีวิตจริงนะครับเวลาน้องจะทำจริงๆ แน่นอนครับเราไม่มานั่งวาดกราฟอันนี้หรอกเดี๋ยวไม่มานั่งเขียนตารางแบบนี้หรอก อันนี้พี่แม็กซ์ให้น้องเห็นภาพเฉยๆเวลาเราทำจริงเราทำยังไง ง่ายมากเวลาน้องทำจริง ให้น้องดูก่อน เอ็กซ์เข้าใกล้อะไรเอ็กซ์เข้าใกล้ 1 ใช่ปะ ให้น้องเอา 1 เข้าไปแทนในเอ็กซ์นี้เลย1 บวก 2 ได้ 3 จบครับ ไม่ต้องคิดมากแค่นี้เอง โอเคนะ ดังนั้นเรามาฝึกโจทย์กันหน่อยดีกว่าจงหาค่าลิมิตต่อไปนี้นะครับดูเลยครับ ข้อแรกลิมิตของใครลิมิตของ 5 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 น้องบอกพี่แม็กซ์ เฮ้ยข้อนี้ไม่เห็นมี x ให้เราแทนเลยเอาไม่มี x แน่นอนครับ ก็ไม่ต้องแทนดิถ้าเกิดมันเป็น limit ของค่าคงที่เป็นตัวเลขอย่างนี้น้องก็ตอบเก่งมาก เอาตัวเลขอันนั้น ค่าคงที่เอามาตอบเลยโอเคป่ะ ต่อมาครับ ลิมิตของ x โดยที่ x เข้าใกล้ 0 น้องแทน x เป็น 0 จบเลยครับโอเคมั้ย ต่อมาลิมิตของ 20x ครับ โดยที่ x เข้าใกล้ 3 น้องแทน x เป็น 3 เก่งมากจะได้ 20 คูณ 3 คือ 60ต่อมาลิมิตของ x กำลัง 2 บวก 5 โดยที่ x เข้าใกล้ลบ 3 แล้วก็แทน x เป็นลบ 3 เลยจะได้เป็นลบ 3 กำลัง 2 บวก 5ถูกไหมครับ ได้เป็น 9 บวก 5 คือ 14 นั่นเอง2 ข้อถัดมาเร็ว ทำให้พี่แม็กซ์หน่อยลิมิตของ square root x บวก 1 หรือที่ x เข้าใกล้ 3 เนาะก็แทน x เป็น 3 เข้าไปในก้อนนี้เลย จะได้ square root 4 ก็คือ 2แล้วก็ข้อสุดท้ายข้อสุดท้ายน้องจะแทนไปเลยก็ได้ หรือว่าน้องจะคูณกระจายมันก่อนก็ได้คำตอบได้เท่ากันดังนั้นพี่แม็กซ์เลือกที่จะแทนเข้าไปเลยจะได้เป็น ลบ 4 บวก 5 คูณกับลบ 4 ลบ 2ลบ 4 บวก 5 ได้ 1ถูกไหม ลบ 4 ลบ 2 ได้ ลบ 6 1 คูณลบ 6 ได้ ลบ 6 เรียบร้อยครับ เห็นไหม อันนี้คือการหาริมิตนะครับ ไปต่อนะ แต่แน่ คู่ที่โรงเรียนหรือว่าข้อสอบมันออกแบบนี้เนี่ยน้องคิดว่าทุกคนตอบได้ไหมทุกคนตอบได้เพราะมันก็เหมือนกับการคิดเลขธรรมดาถูกไหมการบวกลบภูมิฐานธรรมดานะครับดังนั้นเนี่ยมันก็จะมีแนวพิเศษของมันเป็นยังไงมาดูกันนะครับ แนวที่เจอบ่อยจะเป็นแบบนี้ครับลิมิตของ x ส่วน 10 หรือที่ x เข้าใกล้ 0 นะครับน้องก็แทนเลย แทน x เป็น 0 จะได้เป็น 0 ส่วน 10น้องบางคนงง เฮ้ยพี่แม็กซ์ 0 อยู่ข้างบนตอบอะไร อันนี้ขอสรุปก่อน ถ้าเกิดน้องเจอนะครับ อันนี้คือ Tips นะครับ Tips โอเคไหมถ้าเกิดน้องเจอนะครับ แบบแรกนะครับแบบแรก 0 ส่วนด้วยตัวเลขตัวเลข ตัวเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ 0 นะ เช่น 0 ส่วน 1 0 ส่วน 2 0 ส่วนลบ 3 อะไรอย่างนี้นะครับถ้า 0 ส่วนตัวเลขตอบ 0 โอเคนะ ดังนั้น 0 ส่วน 10 ข้อนี้ตอบอะไร เก่งมากตอบ 0 นะครับข้อต่อมา limit ของ x-2 ส่วนด้วย x โดยที่ x เข้าใกล้ 0น้องแพทย์ x เป็น 0 เลยครับ จะได้เป็น 0-2 ส่วนด้วย 0ถูกไหม จะได้เป็น 0-2 ส่วน 0เฮ้ยพี่แม็กซ์ อันนี้ 0 อยู่ข้างล่างถ้าศูนย์อยู่ข้างล่างตอบศูนย์ถูกหรือผิดครับผิดนะถ้าศูนย์อยู่ข้างล่างต้องตอบอะไรเก่งมากตอบหาค่าไม่ได้หาค่าบอกได้โอเคนะครับ ดังนั้นเนี่ย มาจดกันหน่อยนะครับทริปที่ 2 นะครับ ถ้าเกิดน้องดันมีตัวเลขนะที่มันดันไม่ใช่ 0 นะครับ แล้วเอามาส่วนด้วย 0 อย่างเนี่ยคำตอบจะเป็น หาค่าไม่ได้ทันทีโอเคปะ หาค่าไม่ได้ทันทีโอเคนะครับ มา ต่อมาเลย limit ของ x กำลัง 3 บวก 1 ส่วนด้วย x ลบ 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ครับแทนไปเลย แทน x เป็น 1 เข้าไปเลย จะได้เป็น 1 กำลัง 3 บวก 1 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 ถูกไหม ก็คือ 2 ส่วน 0นะครับ นี่อย่างนี้ ตัวเลขส่วนด้วย 0 ตอบหาค่าไม่ได้โอเคป���ะ ตอบหาค่าไม่ได้ข้อถัดมาตอบอะไรครับ น้องคิดดูหน่อยน้องบอกพี่แม็กครับข้อนี้ผมลองทำแล้ว เฮ้ย เราลองเอา 2 เข้าไปแทนถูกไหมน้องจะได้เป็น 0 ส่วน 0 ป่ะ อ่า ที่มักจะบอกให้นะครับ เวลาน้องเจอโจทย์ลิมิตนะ ประมาณ 80% นะครับพอน้องแทนไปเนี่ย น้องจะได้ 0 ส่วน 0เห็นไหม แล้วละ 80% ที่เจอบ่อยมากนะครับ เก็บสนิติมาให้แล้วแทนปุ๊บ น้องจะได้ 0 ส่วน 0 ครับดังนั้นทริปที่ 3 ถ้าเกิดน้องแทนหาริมิตแล้วได้ 0 ส่วน 0สิ่งที่น้องต้องทำต่อคือเรายังตอบไม่ได้ ถ้าเกิดได้ 0 0 0 เนี่ย ยังตอบไม่ได้ ต้องลุยต่อ โอเคปะ ต้องลุยต่อนะครับลุยต่อยังไงนะครับ จะแบ่งออกเป็น 2 วิธีที่จะทําได้1. ใช้การแยกตัวประกอบแล้วตัดกันกับอีกแบบนึง กับอีกแบบนึงนะครับ เราจะใช้การ conjugateน้องบอก conjugate คืออะไร เดี๋ยวพี่แม็กซ์สอนให้ในคลิปนี้เลยโอเคไหม อ่ะ ดังนั้นข้อนี้ครับน้องดูก่อน เฮ้ย ข้อนี้น้องไม่ต้องแยกตัวประกอบอยู่แล้ว เพราะมันทำไมกันได้มันตัดกันได้ถูกป่ะ x-2 กับ x-2 ตัดกันได้ 1ใช่ไหมครับ ดังนั้นที่ Max เขียนใหม่ที่ Max เขียนใหม่อันนี้ก็จะเป็น limit ของ 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 2 ถูกปะ น้องบอก พี่แม็กซ์ ลิมิตส่องค่าคงที่น้องตอบอะไรเลยครับ น้องตอบ 1 เลยเรียบร้อยโอเคนะครับ เรียบร้อยแล้วแค่นี้เอง0 ส่วน 0 เมื่อไหร่น้องต้องทำต่อทำต่อจะได้อยู่ 2 วิธีด้วยกันถ้าเกิดว่าน้องแยกตัวประกอบได้ให้น้องแยก ทำยังไงก็ได้ให้มันมีการตัดกันบนร่างส่วนคอนจุเกจโน้นไว้หน่อยก็ได้ คอนจุเกจใช้เมื่อไหน ใช้เมื่อ เห็น square root ใช้เมื่อน้องเห็น square root แล้วน้องแยกตัวประกอบไปได้เราถึงจะใช้วิธีการ conjugateโอเคนะครับข้อถัดมาลองแทนหน่อยLimit ของ x กำลัง 2 ลบ 5x ลบ 6 ส่วนด้วย x ลบ 6เดี๋ยวที่ x เข้าใกล้ 6 น้องพี่แม็กซ์แทนเลย 6 กำลัง 26 6 3 6 ถูกไหมลบกับ 5 คูณ x 5 6 30 ลบ 6สวนด้วย 6 ลบ 6 ได้ 0 ถูกไหมครับ อ่าเนี่ยน้องลองแทนปุ๊บ พี่แม็กซ์ผมได้ 0 ส่วน 0 อีกแล้วถูกปะ 0 0 0 น้องต้องลุยต่อ นะครับ ลุยต่อโดยการ แยกสมประกอบ นะครับ แน่นอน x กับ 2 เนี่ย น้องแยกได้ถูกปะแยกได้เป็นอะไร อะไรเอ่ย คูณกันให้ลบ 6 รวมกันให้ลบ 5ติ๊กต๊อก ติ๊กต๊อก เก่งมากครับ ลบ 6 กับบวก 1 ถูกปะจะได้เป็น x-6 กับ x บวก 1 ส่วนด้วย x-6 นั่นเองโอเคนะ ดังนั้นเนี่ยน้องเห็นไหมเฮ้ย x-6 กับ x-6 มันตัด ถูกปะพี่มันก็ตัดไปเลย ชึบๆ นะครับ แล้วเหลืออะไร เก่งมากจะเหลือเป็น limit ของ x บวก 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 6 นะครับน้องถึงเอา x เท่ากับ 6 เข้าไปแทนในนี้ 6 บวก 1 ได้ 7 นั่นเองเรียบร้อยครับต่อ 7 โอเคนะ ต่อมานะครับลิมิตของ x กำลัง 3 ลบ 1 ส่วนด้วย x ลบ 1 ต่อที่ x เข้าใกล้ 1แทนเลยครับ เราต้องแทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนเสมอนะ เออ ต้องเช็คก่อนว่ามันเป็น 0 ส่วน 0 หรือเปล่านะครับ จะได้เป็น 1 ลบ 1 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 ก็ออกเป็น 0 ส่วน 0 อยู่ดีนะครับ น้องก็ต้องแยกตัวประกอบให้เวลาคิดหน่อย 1 นาทีเร็วครับแต่น้องสังเกตนะ อันนี้มันกำลัง 3 ถูกไหม มันกำลัง 3ใครที่แบบพี่แม็กซ์ผมไม่เก่งเรื่องแยกตัวประกอบเลย พี่แม็กซ์โน้ตสูตรให้ ถ้าเกิดน้องเจอเป็น a กำลัง 3 ลบ b กำลัง 3 เนี่ย นะครับน้องสามารถแยกมาได้เป็น a ลบ b คูณ a กำลัง 2 บวก a b บวก b กำลัง 2โอเคนะครับ หรือน้องจะเขียนเป็นหน้ากำลัง 3 ลบหลังกำลัง 3 ก็ได้โอเคไหม แยกให้พี่แม็กซ์หน่อยเร็วนี่คือลบ 1 กำลัง 3 นะครับ พี่แม็กซ์ลุยนะ มา เรามาแยกก้อนข้างบนกันดีกว่าจะได้เป็นอะไร จะได้เป็นลิมิตของ x กำลัง 3 ลบ 1 ก็คือเป็นx ลบ 1 คูณ x กำลัง 2 บวก x บวก 1 นะครับ แล้วก็ส่วนด้วย x ลบ 1เดี๋ยวที่ x เข้าใกล้ 1 นะ แยกยังไงก็ได้ครับ ให้มันตัดบนตัดล่างได้ x บวก 1 โดยที่ x เข้าใกล้ 1 แล้วน้องก็แทน x เท่ากับ 1 เข้าไปในก้อนนี้เลยจะได้เป็น 1 กำลัง 2 บวก 1 บวก 1 ก็คือ 3 นั่นเองเรียบร้อย ต่อนะครับ มา ลิมิตนะครับของ x กำลัง 2 บวก x ลบ 12 ส่วนด้วย x กำลัง 2 ลบ x ลบ 6โอเคไหม โดยที่ x เข้าใกล้ 3อันดับแรกแทน x เท่ากับ 3 เข้าไปก่อนเสมอนะแทนเข้าไปก่อนจะได้เป็น 3 กำลัง 2 บวก 3 ลบ 12ส่วนด้วย 3 กำลัง 2 ลบ 3 ลบ 6น้องก็จะพบว่าค่าที่ได้คือ 0.0ดังนั้น 0.0 เมื่อไหร่น้องก็ต้องแยกส่วนประกอบ โอเคมั้ย แยกตัวประกอบมาเรื่อยกันเลยมาแยกก้อนข้างบนก่อนอะไรเอ่ย คูณกันได้ลบ 12รวมกันได้บวก 1ก็คือ 4 กับลบ 3คูณกันได้ลบ 12รวมกันได้บวก 1ดังนั้นก้อนบนก็จะแยกได้เป็นx บวก 4 คูณ x ลบ 3เก่งมากก่อนข้างล่างอะไรเอ่ยคูณกันได้ลบ 6รวมกันได้ลบ 1 ครับลบ 3 กับ บวก 2 ถูกปะ ลบ 3 กับ บวก 2 นะครับ พี่ มาก ก็ เจอ แล้ว เอ้ยมัน มี อะไร ตัด กัน มัน มี เอ็กซ์ ลบ 3 กับ เอ็กซ์ ลบ 3 ตัดกัน ไง ใช่ปะ เออ น้อง ก็ ลุย เลย นะครับ จะได้ เป็น ลิมิต นะของตัว���นคือ x บวก 4 ตัวล่างที่เหลือคือ x บวก 2 โดยที่ x เข้าใกล้ 3 นั่นเองงั้นน้องก็แทนเลยครับ x เท่ากับ 3 เข้าไปในก้อนี้ได้เป็น 3 บวก 4 ได้ 7 3 บวก 2 ได้ 5 เรียบร้อย ข้อข้างล่างพี่แม็กซ์ขอให้น้องเป็นการบ้านพี่แม็กซ์เชื่อว่าน้องทำได้ แยกตัวประกอบออกมานะดังนั้นเรามาดูข้อข้างล่างสุดอันนี้ดีกว่าเข้าข้างล่างน้องบอกว่าพี่แม็กซ์ เฮ้ย เจออย่างนี้ผมไปไม่เป็นเลยอ่ะถูกปะ เพราะว่าเราจะแยกตัวประกอบได้หรือเปล่าที่จริงมันก็แยกได้ แต่ว่าแยกยาก เพราะว่ามันเป็น square root อย่างที่บอกนะ อันดับแรกครับ ไม่ต้องคิดอะไรมากแทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนใช่ไหม แทน x เท่ากับ 1 เข้าไปก่อนจะได้เป็น√1-1 ส่วนด้วย 1-1 ก็คือ 0 ส่วน 0อย่างที่บอก ถ้าเกิดน้องเจอ 0 ส่วน 0 เมื่อไหร่เราแยกตัวประกอบไม่ได้ ให้น้องนึกถึงการ conjugateใช่ไหม การ conjugateและเรามักจะใช้มันบ่อยมาก เมื่อเราเห็น square root เห็นมั้ย อย่างนี้เราเห็นแล้ว มันมี square rootหลักการของ conjugate ทำยังไง อันนี้ตั้งใจฟังพี่แม็กซ์ดีๆพี่แม็กซ์ขอลอกโจทย์ออกมาก่อนroot x-1 ส่วนด้วย x-1 ถูกมั้ยหลักของการ conjugate คือเราจะมีก้อนของตัวเลขคูณก้อนนี้แล้วตัวเลขที่เราจะมาคูณนะครับคืออะไร อันดับแรกนะ ให้น้องสังเกตเฉพาะอันที่มันมี square root ก่อนบนหรือล่างที่มี square root ด้านบนใช่ไหมหลักการคือให้น้องสลับเครื่องหมายของ 1 ตัวสลับเครื่องหมายของใครก็ได้ แต่สลับเครื่องหมายของตัวหน้าหรือตัวหลังก็ได้แต่โดยส่วนมากพี่มั๊กจะสลับเครื่องหมายตรงนี้ เครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าตัวหลังอย่างนี้ตัวหลังมันคือลบ 1 ใช่ไหม จากนั้นเราสลับเครื่องหมายครับ จากลบก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวกแค่นี้เองดังนั้นพี่แม็คจะคูณนะครับจะคูณกับด้วย Root x ลอกมาก่อนเหมือนเดิมตัวหน้าลอกมาก่อนเหมือนเดิม Root x นะครับแต่ว่าตัวหลังอย่างที่บอก เราจะสลับเครื่องหมายมันจากลบก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวก 1โอเคมั้ยแล้วแน่นอนครับ ถ้าเกิดคูณข้างบนแล้ว ข้างล่างก็ต้องคูณด้วยไม่ให้ค่ามันเปลี่ยนไปโอเคมั้ยครับ เห็นมั้ย ก้อนนี้ก็เหมือนกับเราเอา 1 เข้าไปคูณ ถูกมั้ยเหมือนกับเอา 4 น้ำเมินเข้าไปคูณ 1ความหมายไม่เปลี่ยนแปลงแต่ว่าเราต้องการจัดรูปมันเฉยๆเปลี่ยนหน้าตามันเฉยๆตามฐานะอันนี้คือการคอนจูเกจจบแล้วครับสลับเครื่องหมายเป็นแค่ 1 ตัวแล้วพี่แม็กซ์จะสลับเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้าตัวหลังถ้ามันเป็นลบ น้องก็เอาบวกไปคูณแต่ถ้าเกิดตอนแรกมันเป็นบวก น้องก็เปลี่ยนบวกเป็นลบแค่นี้เองน้องถามทำไมต้องทำแบบนี้อันนี้เล่าให้ฟังหน่อย น้องลองนึกง่ายๆ มองว่าเนี่ย เฮ้ย มันคือ หน้าลบหลังก็ได้ นะครับหน้าลบหลังก็ได้ แต่พี่แม็กซ์เนี่ย ไม่ชอบ square root ถูกป่ะดังนั้นสิ่งที่พี่แม็กซ์ต้องทำเนี่ย ก็คือการเอาหน้าบวกหลังเข้าไปคูณน้องเห็นมั้ย หน้าลบหลังคูณหน้าบวกหลังได้หน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2น้องสังเกตดิ เฮ้ย พอเรามีกำลัง 2 เมื่อไหร่Square Root มันหายไปมั้ยอ่ะ มันหายไปไง โอเคไหมครับ มา ดังนั้นเนี่ย เรารุยกันเลยดังนั้นเนี่ย น้องก็คูณเลยเนาะ หน้ารบหลังคูณหน้าบวกหลังได้เป็นหน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2 นะครับดังนั้นหน้ากำลัง 2 ลุด x กำลัง 2 ก็จะเหลือแค่ x แล้วถูกไหม แล้วก็ลบกับหลังกำลัง 2 คือ ลบ 1 กำลัง 2 นะครับส่วนด้วยข้างล่างครับ แน่นอนข้างล่างเนี่ยมันคูณกันไม่ได้ถูกปะ น้องก็เขียนเป็น 2 วงเล็บเหมือนเดิมโอเคนะ จะได้เป็น x-1 คูณ รูท x บวก 1 นะครับน้องสังเกตไหมกำลังสองนี้พี่แม็กรบนะน้องสังเกตไหมพอน้องคอนจุเกตปุ๊บเนี่ยมันจะทำไมกันได้มันจะตัดกันได้ไงพอมันตัดกันปุ๊บ หายก็เหลือแค่ก้อนี้แหละน้องเขียนมาอีกรอบนึงเป็น limit ถูกไหม เป็น limit ของ 1 ส่วนด้วย square root x บวก 1 หรือที่ x เข้าใกล้ 1 แล้วน้องก็แทน x เท่ากับ 1 กลับเข้าไปอีกรอบนึงจะได้เป็น 1 ส่วนเท่าไหร่เป็น 1 ส่วนด้วย square root 1 บวก 1 ก็คือเก่งมากครับ 1 ส่วน 2 นั่นเองเรียบร้อยง่ายไหม limitง่ายถูกปะใครตรวจเสร็จแล้วนะครับ ลองฝึกทำด้วยตัวเองหน่อยข้อข้างล่างเดี๋ยวพี่แม็คเฉลยให้ฟังเลยตามทันนะ อันนี้เราเรียกว่าการ Conjugateชื่อเท่ดูดิเนาะ เออ เหมือนคอนจูอลิ่งเลยนะครับ น้องเคยดูไหมคอนจูอลิ่งเป็นหนังผีอะครับ เออ ไปต่อนะ มา ต้องมาข้อดีเนี่ย เห็นไหม นี่น้องเจออย่างงี้น้องรู้แล้วพี่แม็คแยกตัวประกอบเนี่ยโหแยกยากถูกปะก็ไม่รู้ถูกปะ กําลังสองก็ไม่ใช่ กําลังสามก็ไม่ใช่ แต่มันปิด square root อย่างนี้ไม่ต้องคิดอะไรมากครับอาจจะต้องใช้ conjugateนะ แต่อย่าลืมนะเราจะ conjugate ก็ต่อเมื่อมันได้ 0 ส่วน 0ถูกปะ ดังนั้นหน้าที่น้องต้องแทนก่อนเสมอนะครับคือน้องหลายคนชอบลืมเอาไปแทนเคยปะ บางครั้งแทนแล้วได้คำตอบเลยก็มีดังนั้นเนี่ย แทน x เท่ากับ 0 เข้าไปก่อนจะได้เป็น square root ของ 4 ลบ 2 ส่วนด้วย 0ถูกมั้ยครับ จะได้เป็น 2 ลบ 2 ส่วน 0 ก็คือ 0 ส่วน 0 อย่างนี้นะครับน้องถึงจะไป conjugateโอเคป่ะ มาดังนั้นดูด้วยกันเลยดีกว่านะครับ ลอกโจทย์มันออกมาก่อนนะครับ เป็น limit ของsquare root 4 บวก xลบ 2 ถูกไหม ส่วนด้วย xนะครับ ถ้าน้องอยากจะ conjugateแน่นอน ให้น้องเลือกเปลี่ยนเครื่องหมาย ดูพี่แม็กซ์เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวใดตัวหนึ่งก็ได้นะครับแต่พี่แม็กซ์เนี่ยชอบเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวหลังมากกว่า โอเคปะ ดังนั้นเนี่ย เครื่องหมายของตัวหลังเนี่ย ก็คือ 2 เนี่ย มันเป็นลบอยู่น้องก็ต้องเปลี่ยนเป็นบวก นะครับ แล้วน้องก็คูณเลย โอเคไหมคูณกับ square root 4 บวก x นะครับ เปลี่ยนลบเป็นบวก 2 นั่นเองนะครับคูณบนแล้วก็ต้องคูณข้างล่างด้วยโอเคไหมน้องก็ลุยเลยนะครับอย่างที่บอกครับอันนี้น้องก็มองเป็นหน้ารบหลังคูณหน้าบวกหลังมันก็จะได้เป็นหน้ากำลัง 2 ลบหลังกำลัง 2 เห็นไหม ตัวหน้าของน้องจากที่มันติด square root อยู่พอคูณไปปุ๊บ เป็นหน้ากำลัง 2 square rootบึ้ม หายไปแล้วโอเคนะครับ ดังนั้นก็จะได้เป็นอะไรจะได้เป็น limit ของ square root อันนี้พี่แม็กซ์ยกกำลัง 2คิดในใจเลยนะ จะได้ออกมาเป็น 4 บวก xนะครับ คือหน้ากำลัง 2ลบกับหลังกําลัง 2 ก็คือ 2 กําลัง 2 ได้ 4 นั่นเอง โอเคนะแล้วก็ส่วนด้วยนะครับ ตัวข้างล่าง ตัวข้างล่างเนี่ยถ้าเกิดมันคูณกันไม่ได้ น้องก้อยอย่างที่บอก น้องก็เขียนแยกไปเลยเป็น x คูณกับ square root ของ 4 บวก x แล้วก็บวก 2โดยที่ limit ของน้อง x เข้าใกล้ 0 ถูกไหมน้องจะพบว่าอะไร ข้างบน 4 บวก x ลบ 4น้องสังเกตดี 4 กับ 4 มันทำไมกันมันหักล้างกันได้กลายเป็น 0ทำให้ตอนนี้ข้างบนเนี่ย เสรตเนี่ย น้องเหลือแค่ xส่วนน้องมี x คูณกับก้อนอันนี้นะครับ x ก็คือ เอาไปตัด x ได้ถูกปะ x ข้างบนก็ตัด x ได้นะครับx ข้างบนตัด x ข้างล่างดังนั้นเนี่ยน้องก็จะเหลืออะไรแล้วข้างบนก็จะเหลือ 1 แล้วถูกปะเหลือ 1 นะไม่ใช่เหลือ 0 นะครับมันตัดกันก็เหลือ 1 ถูกไหมในขณะที่ส่วนข้างล่างก็จะเหลือเป็นก้อนสีฟ้าคือ square root 4 บวก x บวก 2 นั่นเองแล้วที่ x เข้าใกล้ 0 นะครับเวลาน้องเยี่ยมตัวประกอบหรือว่าน้องคอนจุเกตเนี่ย แล้วน้องทำให้มันตัด กันได้เมื่อไหร่ นะครับ ให้น้องสบายใจได้เลยว่าพอน้องแทนอีกครั้งนึง โดยมากนะ คําตอบมักจะได้แล้วนะครับ อ่า ดังนั้นน้องก็แทน เอ็กซ์เท่ากับศูนย์เข้าไปในก้อนนี้เลยก็จะได้เป็น 1 ถูกไหม ส่วนด้วยสภารุทของ 4 บวก 0 ก็คือ 4 ถูกไหมครับแล้วก็บวก 2 เลยเนาะ จะได้ออกมาเป็น 1 สักวัน 2 บวก 2 คือ 4 นั่นเองตอบ 1 ส่วน 4 โอเคนะครับ ให้เวลาจดก่อนเร็ว เดี๋ยวต่อไปเนี่ยเราจะมาพูดถึง limit ซ้ายกับ limit ขวากันนะนะครับอันนี้ก็เจอบ่อย พี่มักไปต่อนะ ต่อมานะครับ limit ซ้าย vs limit ขวาlimit ซ้าย vs limit ขวานะครับ limit ซ้าย limit ขวาคืออะไรนะครับถ้าเกิดพี่แม็กเนี่ย อ่ะ มีฟังก์ชัน fx มาก่อน นะครับเป็น x บวก 2 เข้ามานี่นะครับ นี่มันเป็นกราฟเส้นตรงแทน x เป็น 0 ได้ y เป็น 2 อยู่ตรงนี้แทน x เป็น 2 ได้ y เป็น 4เขาบอกว่าอะไร จากกราฟ fx เราจะพบว่าเมื่อ xอย่างที่บอก limit คือเราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 2แต่เราสนใจที่ x เข้าใกล้ 2ถูกปะ เนี่ย จุดตรงเนี้ยเราสนใจ x ที่มันเข้าใกล้สองนะครับซึ่งพี่แม็กบอกนองแล้วถูกปะ เฮ้ย จุดใดจุดหนึ่งเนี่ยจะจุดไหนก็ตาม x เข้าใกล้ 2 อย่างอันนี้มันก็จะมีได้ 2 ฝั่งคือน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงกับมากกว่า 2 อยู่นิดนึงถูกไหม น้อยกว่า 2 ก็อาจจะเช่น 1.9มากกว่า 2 อาจจะเช่น 2.1นะครับ ตามที่แม็กซ์คานะลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาคืออะไร ตามชื่อเลยครับน้อง2 อยู่ตรงกลาง ลิมิตซ้ายซ้ายก็คือต้อง มันต้องทำไม มันต้องน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงไงอันนี้คือลิมิตซ้าย โอเคป่ะ ในขณะที่ 2.1 อันนี้เราจะเรียกว่ามันเป็น limit แค่นี้เอง แล้วน้องสังเกต limit side เนี่ย ค่าที่ได้มันจะน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึงถูกไหมเราเลยให้สัญลักษณ์มันเป็น 2 ทางด้านลบไง2 ลบก็คือ น้อยกว่า 2 นิดนึง เข้ยไหมครับในขณะที่ฝั่งขวาเนี่ยเห็นไหมมันมากกว่า 2 อยู่นิดนึงอาจจะเป็น 2.1 2.01เราเลยให้มันเป็น 2 ทางด้านบวกโน้ตไปหน่อยนะครับอันนี้คือฝั่งซ้าย เห็นไหมฝั่งซ้าย ในขณะที่อันล่างคือฝั่งขวานะเมนLimit ฝั่งขวาโอเคนะครับซึ่งข้อนี้เขาถามว่าอะไรLimit ของ f นะครับแล้วที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบหมายถึงเขาถามแค่ว่าฝั่งซ้ายน้องสังเกตLimit ฝั่งซ้ายx น้อยกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 1.9 อย่างนี้แต่ที่จริง 1.9 มันจะใกล้ 2 มากๆ เลยถูกปะ พี่มักถามน้องหน่อย ถ้าเกิด x เป็น 1.9 อย่างนี้มันให้ค่าวาดประมาณเท่าไหร่ ใกล้เคียงอะไร ก็แน่นอนก็ใกล้เคียง 4 อยู่ดีถูกปะ ลิมิตฝั่งซ้ายังไงมันก็เข้าใกล้ 4 อยู่ดีนะครับ ดังนั้นอันนี้ตอบ 4โอเคนะ ในขณะที่ลิมิตฝั่งขวามือนะครับคือเราอยากรู้ว่า เฮ้ย ค่าที่มันมากกว่า 2 อยู่นิดนึงนะครับเช่น อาจจะเป็น 2.00 อย่างเนี้ย เฮ้ย มันมีค่าเนี้ย ให้ค่า y เท่าไหร่น้องก็จะพบว่า line limit ฝั่งขวามือเนี้ย มันก็จะวิ่ง วิ่งเข้าหาค่าอะไรเข้าใกล้ 4 เหมือนกัน ดังนั้นอันนี้ค่าของลิมิตฝั่งขวาก็คือ 4 นั่นเองตามพี่แม็กท่านอยู่นะ ดังนั้นมาดูบรรทัดด้านล่างเขาบอกว่า ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่ออะไร อันนี้ดาวน์ล้านดวงเลยครับน้องสำคัญมากๆ นะครับLimit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อนะครับLimit ซ้ายLimit ฝั่งซ้ายนะครับ จะต้องมีค่าเท่ากับ limit ฝั่งขวาok ปะlimit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ limit ซ้ายมีค่าเท่ากับ limit ขวานะครับ ดังนั้นเนี่ยจากตัวอย่างอันนี้ครับจากตัวอย่างอันนี้น้องหาค่า limit ได้ไหมหาได้ถูกปะ เพราะว่า limit ซ้ายคือ 4Limit ขวาก็คือ 4 มันมีค่าเท่ากันดังนั้นข้อนี้ Limit หาค่าได้โน้ตไปหน่อยก็ได้ว่า Limit ของ fx นะ แล้วที่ x เข้าใกล้ 2 เนี่ย หาค่าด้าน แล้วก็มีค่าเท่ากับ 4 นั่นเองโอเคนะครับ โน้ตตรงนี้เพิ่มหน่อยก็ได้นะครับx เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบนี้อาจจะเช่น 1.9999 นะครับโอเคไหม น้องจะเขียน 9 กี่ตัวก็ได้ โอเคไหม ให้มันใกล้ 2 2 ทางนั้นบวกก็มากกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 2.0001 อะไรอย่างนี้น้องก็จะพบว่า พอเอาค่า x อันนี้ที่มันใกล้ 2 มากๆ เข้าไปแทนยังไงมันก็ให้ค่าประมาณอยู่ที่ 4 อยู่ดีโอเคนะ ดังนั้นเรื่องลิมิตเคลียร์นะครับ ลิมิตซ้าย ลิมิตขวาเคลียร์นะต่อมาครับ เราลองมาดูจากกราฟกันบ้างนะครับตัวอย่างถัดมานะครับ อันนี้ก็เป็นกราฟของพี่แม็กซ์ เห็นไหม เขาถามอะไร เขาถาม 1 f4 ครับถ้าเกิดเขาถาม f4 อย่างนี้ครับหมายความว่าอย่างไรหมายความว่า เขาสนใจอะไรเขาสนใจที่จุดนั้นเลยสนใจเลยว่าที่ x เป็น 4อันนี้สนใจที่ x เท่ากับ 4 แล้วให้ค่า y เท่าไหร่ให้ค่า y เท่าไหร่ น้องก็ดูเลยให้ค่า y คือ 3 นั่นเองถูกป้ะ ตามที่โจทย์เขาให้มาเลยนะครับที่ x เป็น 4 ให้ y เป็น 3 ดังนั้น F4 ก็คือ 3โอเคนะส่วนคำถามอ้านหลังครับอันนี้เขาสนใจ Limit ถูกปะLimit ของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 4น้องก็ดูเลยอย่างที่บอก Limit จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อLimit ซ้ายมีค่าเท่ากับ Limit ขวาถูกมั้ย อย่างนี้เขาสนใจ limit ที่เข้าใกล้ 4น้องก็ดูเลย เข้าใกล้ 4 ทางฝั่งซ้าย กับเข้าใกล้ 4 ทางฝั่งขวา น้องสังเกตไหมว่าค่าของมันต่างก็เข้าใกล้อะไรค่าของมันต่างก็เข้าใกล้ 3 เหมือนกันถูกปะ น้องสองสังเกตน้อยกว่า 4 นิดนึง เช่น 3.999 ก็ได้มากกว่า 4 อยู่นิดนึง เช่น 4.001 อย่างนี้นานนองก็จะพบว่าค่าที่ได้เนี่ย โอ้โหมันค่าว่าที่ได้มันทำไม มันประมาณ 3 อยู่แล้วถูกปะ ดังนั้น limit อันนี้ก็คือ 3 นั่นเองเคลียร์นะครับ ต่อมา จงหาอะไรครับ จงหา f2 แล้วก็ limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 2นะครับ f2 คืออะไร น้องก็ดูเลย เฮ้ยพี่แม็กซ์ น้องเห็นไหมน้องดู กราฟอันนี้ อันนี้ x เท่ากับ 2 อยู่ตรงนี้ถูกไหมครับ x เท่ากับ 2 อยู่ตรงนี้น้องสังเกตนะ ถ้าเกิดมันน้อยกว่า 2 เนี่ย มันคือกราฟอันนี้ถูกป่ะ แต่ถ้าเกิดมากกว่า 2 เมื่อไหร่มันจะเป็นกราฟอีกตัวหนึ่งนะครับ แต่อย่างที่บอกนะ F2 ให้น้องสนใจอะไรนะครับให้น้องสนใจที่ ที่จุดๆนั้นเลยนะครับ ถ้าสนใจที่จุดๆนั้นน้องต้องมองที่จุดทึบ จุดโบน้องไม่มอง ถูกป่ะเราสนใจว่าจุดทึบตรงนี้ x เป็น 2 ให้ y คือเท่าไหร่ x เป็น 2 ตรงนี้ให้ y เป็น 0นะครับ ดังนั้น f2 น้องก็ตอบเลยว่าคือ 0 นั่นเองโอเคนะ ที่นี้ครับต่อมา มาหาริมิตกันอย่างที่บอก ริมิตจะหาได้ก็ต่อเมื่อริมิตฝั่งซ้ายมีค่าเท่ากับริมิตฝั่งขวาถูกไหม ลิมิตฝั่งซ้ายดูในใจเลย เขาสนใจ x เข้าใกล้ 2 ถูกปะดังนั้นถ้าฝั่งซ้ายเนี่ย มันต้องน้อยกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 1.999 ก็ได้น้องก็ลองดูซิ เฮ้ยถ้าเกิด x เป็น 1.999 อยู่ประมาณตรงนี้นะครับค่าที่ได้มันเข้าใกล้อะไร เก่งมากx เป็น 1.999นั้นจะพบว่าค่าที่ได้มันเข้าใกล้ตรงนี้ก็คือให้ y เป็น 2 ถูกปะ เออ ค่าของมันเนี่ย ประมาณ 2 นะครับแต่ถ้าเกิดลิมิตทางฝั่งขวา หรือฝั่งบวกกันบ้างก็คือ มากกว่า 2 อยู่นิดนึง เช่น 2.001น้องสังเกตไหม ถ้ามากกว่า 2 เมื่อไหร่ มันจะเป็นกราฟอีกตัวนึง และที่น้องต้องดูนะครับมากกว่า 2 อยู่นิดนึงคือตรงนี้น้องสังเกตว่าตรงนี้มันให้ค่า y ใกล้เคียงกับอะไรเก่งมาก ตรงนี้มันให้ค่า y ใกล้เคียงกับ 4ถูกปะ ได้ประมาณ 4 เลยเห็นไหมครับ อันนี้ก็คือฝั่งขวาเขียนไว้ก็ได้ว่า 2 ทางด้านบวกฝั่งซ้ายคือ 2 ทางด้านลบอย่างนี้น้องสังเกตไหมว่า limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวามันให้ค่าทำไมกันมันให้ค่าคนละตัวกันถูกปะฝั่งซ้ายมากกว่า 2 นิดนึง 1.999 มันให้ค่า fx ประมาณ 2ถูกปะ แต่ฝั่งขวามากกว่า 2 นิดนึงเนี่ย มันให้ค่า fx 4ดังนั้นลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันไหม ไม่เท่ากันนะครับ ถ้าลิมิตฝั่งซ้ายกับลิมิตฝั่งขวาให้ค่าไม่เท่ากัน ลิมิตหาค่าได้บ้าหาค่าไม่ได้ แค่นี้เองโดยนั้นน้องก็โน้นไว้หน่อยก็ได้ลิมิตฝั่งซ้ายถูกแม้เข้าใกล้ 2 ทางด้านลบ มันให้ค่า fx ค่า y อยู่ที่ประมาณ 2แต่ถ้าเกิดเป็นลิมิตฝั่งขวาฝั่งบวกเนี่ย มันจะเข้าใกล้ 4 ถูกไหมเนี่ย มันเข้าใกล้ 4โอเคนะครับ ซึ่งน้องจะพบว่าลิมิตซ้ายกับขวาเนี่ย มันทำไมกัน มันไม่เท่ากัน Limit ซ้ายไม่เท่ากับ Limit ขวาดังนั้น Limit อันนี้หาค่าได้ไหมครับLimit อันนี้หาค่าไม่ได้ที่ x เข้าใกล้ 2 ตรงนี้หาค่าไม่ได้ดังนั้นตามที่แม็กซ์ให้ทานนะ อันนี้สำคัญมากนะครับน้องหลายคนไปเรียนที่โรงเรียนแล้วแบบจะติดตรงนี้กันอย่างที่บอกนะ limit เราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ 2 นะเราไม่สนใจที่จุดนั้น เราสนใจค่าที่มันเข้าใกล้ 2ถูกไหม ซึ่งมันก็จะแบ่งเป็นฝั่งซ้าย กับฝั่งขวานั่นเองโอเคนะครับ เคลียร์นะจริงมาก ไปต่อ อย่าเพิ่งท้องนะสู้ไปด้วยกันนะครับต่อมา กำหนดให้ fx นะครับน้องเห็นไหม อันนี้ fx เนี่ยมันทำไม โอ้โห มันมีด้วยกันถึง3 อันเลยถูกปะน้องหลายคนเนี่ยนะครับ เวลาเจอฟังก์ชันแบบนี้แล้วงงพี่แม็กซ์เปรียบเทียบให้ดูง่ายๆครับน้องเคยดูซีรีส์เรื่องนี้ไหมอ่า...เนื้อคู่อยากดูว่าใครเห็นนะครับ น้องนอกเรื่องหน่อย สมัยพี่แม็กซ์อยู่ม.6 เรื่องนี้เป็นเรื่องที่พี่แม็กซ์ชอบมากเอาไว้ดูแบบเวลาอ่านหนังสือแล้วถ้าเกิดน้องแบบลาแล้วก็อยากหาอะไรแบบผ่อนคลายพี่แม็กซ์แนะนำเรื่องนี้เลย มีเป็นหลายแบบหลายเวอร์ชั่นด้วยมีเนื้อคู่อยากรู้ว่าใครเนื้อคู่ประตูถัดไป นะครับซึ่งรูปที่พี่แม็กซ์ให้น้องเอามาเนี่ย คนนี้ครับเขาชื่อว่าคุณรุ๊ดนะครับ เป็นนักแสดงในเรื่องนี้เนาะ นะครับคุณรุ๊ดเนี่ย น้องเห็นไหมว่าเขาเนี่ย มีด้วยกันอยู่ กี่บุคลิกครับ 3 บุคลิกเลยถูกป่ะ ถ้าเกิดน้องไปดูนะคุณรุ๊ดเนี่ยปกติเขาจะเป็นแบบ เขามีโรงแรมน้อง เขาเป็นเจ้าของโรงแรมแต่บางครั้งเนี่ยเขาก็เปลี่ยนตัวเองเป็น นี่ครับเป็นแม่บ้านบางครั้งเขาก็เปลี่ยนตัวเองเป็น รอบพอ นะครับมันก็คล้าย กันกับฟังก์ชันในข้อนี้เลยนะครับแล้วเราก็มองฟังก์ชันอันนี้เหมือนกับคุณรุษเพียงแต่ว่าฟังก์ชันอันนี้มันอาจจะเป็นอะไรก็ได้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข เห็นนะครับ ก็นอกเรื่อง เห็นไหม ให้น้องเห็นภาพนะครับว่าอันนี้ที่จริงแล้วมันก็คือ fx ตัวเดียวกันนะครับแล้วที่ fx เนี่ยถ้าเกิดมันน้อยกว่า 1 นะครับ เมื่อ x น้อยกว่า 1 เนี่ยมันจะแปลงร่างเป็น 2x บวก 5 โอเคป่ะแต่ถ้าเกิดว่า x เท่ากับ 1 นะครับ fx ของพี่แม็กซ์จะแปลงร่างเป็น 3แล้วถ้าเกิด x ของเรามากกว่า 1 เช่น x เป็น 2 x เป็น 3fx ก็จะแปลงร่างเป็น 4x บวก 3โอเคนะครับ มา เขาถามอะไรครับ จงหา อันที่ 1 ต้องหา limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านลบอันที่ 2 ถามว่า limit เหมือนกันแต่ว่าเข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกแล้วก็อันสุดท้ายคือถาม limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1มา เรามาหาตัวแรกอันนี้กันก่อนอย่างที่บอก ถ้าเกิดเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ พี่แม็คว่าเส้นจำนวนให้น้องดู1 อยู่ตรงนี้นะครับเข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ หมายความว่ามันต้อง น้อยกว่า 1 อยู่นิดนึงถูกไหม เช่น อาจจะเป็น 0.90.99 อะไรอย่างนี้ก็ได้นะครับดังนั้นถ้าเกิดเป็น 1 ทางด้านลบ น้องจะเลือกใช้เป็นเงื่อนไขอันไหนครับ น้อยกว่า 1 อยู่นิดนึงก็ต้องใช้x น้อยกว่า 1 ไง ถูกป่ะดังนั้นเนี่ย น้องต้องใช้ fx เป็น 2x บวก 5โอเคนะ ถ้าเกิดเป็น 1 ทางด้านลบนะครับมาดังนั้นลุยกันเลยลิมิตของ fx นะครับ โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านลบ เราจะต้องเลือกใช้เป็นสมการของ 2x บวก 5โอเคป่ะ มาดังนั้นน้องก็ลุยเลยครับน้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกมั้ย เออ 1 เข้าไปแทนในนี้เลย ก็จะเป็น 2 คูณ 1 บวก 5นะครับ จะได้ออกมาเป็น 7 นั่นเอง เรียบร้อยต่อมาอันที่ 2 เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกเข้าใกล้ 1 ทางด้านบวก หมายความว่า มากกว่า 1 ยูนิต 1 เช่นอาจจะเป็น 1.01 นะครับ ดังนั้นน้องต้องใช้เป็นฟังก์ชันอันไหนเลิศที่สุดนะครับ 4x บวก 3 อันนี้ถูกปะ เลือกเป็นฟังก์ชันอันนี้นะครับ ดังนั้นน้องก็เลยเลย มาเขียนเลยครับลิมิตของ fx เจอที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวกเนี่ยเราจะใช้เป็น 4x บวก 3 ถูกมั้ยน้องก็เอา x เท่ากับ 1 แทนเข้าไปในนี้เลยจะได้เป็น 4 คูณ 1 บวก 3 นะครับจะได้ออกมาเป็น 7 เหมือนกันนะน้องโผล่บ้า เฮ้ยพี่แม็กซ์ Limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวามันมีค่าเป็น 7 เท่ากันดังนั้น limit ที่จุดนี้ครับ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้ป่ะดังนั้น limit ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้แล้วก็มีค่าเป็น 7 นั่นเองตอบเลยครับเรียบร้อย เคปะน้องบอก พี่แม็ค แล้วเนี่ย x เท่ากับ 1 เนี่ย มันคือ 3 นี่เราไม่สนใจไง พี่แม็คบอกแล้ว limit เนี่ย เราสนใจx ที่มันเข้าใกล้ 1 เฉย ที่จุดนั้นพี่แม็คไม่สนใจ มันเป็น 3 ไม่เท่ากับ 7 เราไม่สนเลยโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดนโดน เก่งมากใช้อันล่าง เอ้ย อันบนถูกปะ เออ น้อยกว่า 0 เนี่ยศูนย์ทางด้านลบต้องใช้อันบนถูกมั้ย น้อยกว่า 0 นิดนึงนะครับและขณะที่ศูนย์ทางด้านบวก น้องก็ต้องใช้เป็นเก่งมาก ใช้เป็นอันล่าง ถูกปะอันนี้ใช้เป็น 0 ทางด้านบวกมาทางด้านนั้นเราก็ลุยเลยLimit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านลบเลือกเป็น Function Unboundเราก็เอา 0 เข้าไปแทนเลยจะได้เป็น 0 กำลัง 2 บวก 1 ก็คือ 1 นั่นเอง ในขณะที่ลิมิตฝั่งขวากันบ้างเข้าใกล้ 0 ทางด้านบวกอันนี้ไม่ต้องคิดเลยตอบ 1 ได้เลยดังนั้นอันนี้ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันป่ะเท่ากันแสดงว่าลิมิตอันนี้หาค่าได้ป่าวหาค่าได้โอเคไหมครับ ดังนั้น limit อันนี้เราก็เขียนเลยlimit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 หาค่าด้าน แล้วก็มีค่าเป็น 1โอเคนะครับ แต่ถ้าเกิด 2 ค่าอันนี้มันไม่เท่ากันนะ ตอบเลยว่า limit อันนี้หาค่าไม่ได้โอเคป่ะต่อมานะครับ เรามาเรียนเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันกันบ้างนะครับ เขาบอกว่า f จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x เท่ากับ a ก็ต่อเมื่อนะครับอันนี้พี่แม็กซ์ขอให้น้องจำกฎ 3 ข้ออันนี้ให้ได้มันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อนะกฎข้อที่ 1 นะครับ FA ต้องหาค่าได้ เขียนว่า f หาค่าได้อันที่ 2 ครับลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ a ที่จุดนั้นนะครับ limit เนี่ยก็ต้อง หาค่าได้เหมือนกันโอเคปะ อันนี้เราสนใจที่ x เท่ากับ a นะอันดับแรก f ต้องหาค่าได้อันดับที่ 2 ลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ a ก็ต้องหาค่าได้ครับแล้วก็อันที่ 3 ครับ สำคัญมากๆไอ้เจ้า FA ที่น้องหามาได้เนี่ยนะครับ กับ limit เนี่ยมันต้องมีค่าเท่ากันโอเคไหม FA ที่น้องหามานะครับ กับ limit มันจะต้องมีค่าเท่ากันนะครับจะต่อเนื่องได้นะครับ ต้องเข้ากฎ 3 ข้อนี้นะครับถ้าเกิดว่าผิดข้อใดข้อหนึ่ง เข็มไหม อันนู้นไว้หน่อยนะครับถ้าเกิดนะครับ ผิดนะ ถ้าเกิดผิดกดนะครับ ข้อใดข้อหนึ่งจะไม่ต่อเนื่องทันที เข็มไหม จะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้นที่ x เท่ากับ a ทันทีเห็นนะครับ ขอ 3 ข้อจำให้ได้ครับแล้วความต่อเนื่องจะไม่มีอะไรเลยให้เวลาเซิร์ชก่อนเร็วที่บอกนะ FA คืออะไร FA ก็คือเราสนใจที่ x เท่ากับ a เลยถูกปะ สนใจว่าที่ x เท่ากับ a ให้ y เท่าไหร่ ในขณะที่ limit เราไม่ได้สนใจที่ x เท่ากับ a นะแต่เราสนใจอะไรสนใจค่า x ที่มันเข้าใกล้ a ถูกไหมซึ่งมันก็จะมีฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาเราลองมาดูตัวอย่างดีกว่าพี่แม็กซ์เอากราฟมาให้น้องดูพิจารณาว่ากราฟต่อไปนี้ข้อได้ต่อเนื่อง นะ เอ บ้างอันดับแรกข้อที่ 1 น้องเห็นไหมกราฟวันนี้ของพี่แม็กซ์เป็นกราฟที่มันทำไมมันเป็นกราฟที่มันแบบ เส้นตรงต่อกันเลย ถูกปะดังนั้นน้องสังเกต ที่ x เท่ากับ a ตรงนี้พี่แม็กซ์ก็สมมุติตัวเลขก็ได้ สมมุติว่า x เท่ากับ a ให้ค่า y เป็น 10 แล้วกันf หาค่าได้ปะหาค่าได้ f คือ 10ให้ค่า y เป็น 10แล้ว limit หาค่าได้ไหมlimit ก็หาค่าได้ถูกไหมน้อยกว่า a นิดนึง กับมากกว่า a นิดนึงยังไงมันก็วิ่งเข้าหาอะไรทั้งนั้นเลยมันก็วิ่งเข้าหา 10 ทั้งนั้นเลย ถูกมั้ยครับ ดังนั้น limit ก็หาค่าได้แล้ว 2 ค่านี้มันเท่ากันตอบเลยว่าต่อเนื่องตอบเลยว่าต่อเนื่อง นะ นะครับ x เท่ากับ aเรียบร้อยแค่นี้เอง พูดง่ายๆครับ ถ้าเกิดมันจะต่อเนื่องเนี่ยน้องรากเส้นมันต้องต่อกันนะครับดูง่ายๆ ถ้าเป็นกราฟนะเออ น้องรากเส้นมันต้องต่อกันนะครับมาดูตัวอย่างข้อที่ 2 กันบ้างx เท่ากับ a ก็คือสนใจตรงนี้ นะครับ ณx เท่ากับ 0 ใช่ไหม อันนี้คือสนใจณx เท่ากับ 0อันดับแรกน้องหาก่อน f0 คือเท่าไร x เป็น 0 น้องต้องสนใจจุดทึบตรงนี้ถูกป่ะ จุดทึบตรงนี้คืออะไร ให้ y เป็น 4 ถูกไหมครับF0 คือ 4 นะครับ ต่อมาข้อที่ 1 เช็คลิสต์แรกผ่านแล้วนะครับต่อมาเช็คลิสต์อันที่ 2 ลิมิต หาค่าได้เปล่านะครับลิมิตของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 อย่างนี้น้องสังเกตก่อน ลิมิตฝั่งซ้ายของมันเข้าใกล้ 0 น้อยกว่า 0 นิดนึงเห็นไหม น้อยกว่า 0 นิดนึงอยู่ตรงนี้ มันวิ่งเข้าหาอะไร มันวิ่งเข้าหาตรงนี้อันนี้คือลิมิตฝั่งซ้ายถูกปะ โน้ตไปหน่อยก็ได้ลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0 ทางนั้น ลบน้อยกว่า 0 นิดนึงมันจะให้ค่า y อยู่ที่ประมาณ 0 ถูกมั้ยครับแล้วลิมิตฝั่งขวาล่ะ ฝั่งบวกมันให้ค่าอยู่ที่เท่าไร ติ๊กตอก ติ๊กตอกมากกว่า 0 อยู่นิดนึงนะครับน้องก็ต้องสนใจเป็นกราฟอันนี้แล้วถูกปะ มากกว่า 0 นิดนึงจะอยู่ตรงนี้นะครับน้องจะพบว่า ถ้ามากกว่า 0 อยู่นิดนึงเนี่ยมันจะได้ค่า y อยู่ที่ประมาณ เข้าใกล้ 4ถูกปะครับ ดังนั้นลิมิตฝั่งขวาคือ 4น้องสังเกต ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาเท่ากันปะไม่เท่ากัน ดังนั้นลิมิตข้อนี้หาค่าไม่ได้เห็นปะครับ ดังนั้นลิมิตที่จุดตรงนี้นะ x เข้าใกล้สู่เนี่ย หาค่าไม่ได้นะครับถ้าเกิดกดข้อที่ 2 นะครับหาค่าไม่ได้ปุ๊บ ตอบเลยว่าไม่ต่อเนื่องทันที เข้มไหมx เท่ากับ 0 ไม่ต่อเนื่องทันทีครับผิดกดข้อใดข้อ 1 ตอบไม่ต่อเนื่องเลย เพราะ 3 นะ f เท่ากับลบ 1เราก็ดูเลย x ลบ 1 ให้ y เท่าไรนะครับx เป็นลบหนึ่งอยู่ตรงนี้ถูกป่ะ ให้ y เนาะต้องสนใจจุดทึบ จุดทิศตรงนี้ให้ y คือ 2 เนี่ยแล้ว limit ล่ะนะครับข้อนี้น้องสังเกตก่อนlimit ซ้ายอยู่ตรงนี้limit ขวาอยู่ตรงนี้มันเข้าใกล้จุดเดียวกัน คือเข้าใกล้ใครเก่งมาก มันเข้าใกล้ลบ 1ถูกมั้ย ลิมิตซ้ายกับลิมิตขวายเนี่ยมันเข้าใกล้ลบหนึ่งนะครับ ดังนั้นพี่แม็กซ์ก็เลยตอบเลยเนาะว่าลิมิตอันเนี่ยหาค่าได้อยู่แล้วถูกมั้ย แล้วก็มีค่าเท่ากับ ลบ 1 นั่นเองอันนี้กดข้อที่ 1 อันนี้กดข้อที่ 2แต่น้องสังเกตดิเฮ้ย ค่า fx ถูกไหมค่า fx ที่น้องหาได้กับ limit มันเท่ากันปะอันหนึ่งเป็น 2 อันหนึ่งลบ 1เฮ้ย มันไม่เท่ากันถูกปะอ่ะ ดังนั้นเนี่ยข้อที่ 3 น้องก็มาโน้ตหน่อยว่าค่าที่เราหาออกมาเนี่ย f-1 เนี่ยกับ limit ของ f ,ถูกไหมครับโดยที่ f เข้าใกล้ลบ 1 เนี่ยค่าที่ได้มันไม่เท่ากันเนี่ย ทำไมก็กดข้อที่ 3 ไม่ได้ ตอบเลยว่า ไม่ต่อเนื่องx ต้องกลับลบ 1 ไม่ต่อเนื่องเห็นไหมครับ จดเสร็จแล้วนะนี่อย่างที่พี่แม็กบอกครับ เห็นไหมการที่มันจะต่อเนื่องกันได้น้องลองลากเส้นครับ ณ จุดตรงนี้ มันควรจะต้อง เชื่อมกัน เขียนว่าบางคนจะต้องเชื่อมกัน แต่นี่มันเชื่อมกันไหมมันดันไม่เชื่อมที่ x เท่ากับ 0 พอดีไงมันดันมีรอยต่อพอดี ก็เลยไม่ต่อเนื่องอย่างนี้ก็เหมือนกัน เห็นไหมวิ่งเข้ามาปุ๊บ จุดทึบดันอยู่ตรงนี้แล้วก็มาขวามือต่อเห็นไหม มันก็ไม่ต่อเนื่องกันนะครับถ้าเกิดจุดทึบอยู่ตรงนี้ก็จะต่อเนื่องทันที ถูกปะโอเคนะ ต่อเนื่องเคลียร์แล้วนะครับ มา ดูกันต่อดีกว่าข้อถัดมาเขาบอกว่า กำหนดให้ fx คือ x กำลัง 2 นะจงพิจารณาว่า fx ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0 หรือไม่ต่อเนื่องอย่างที่บอกเข้า Checklist เลยนะครับ3 ข้อ 1. f0 ก่อนถูกมั้ยสนใจที่ x เท่ากับ 0ดูซิ f0 หาค่าได้ไหมf0 น้องก็แทนเลยครับ ได้ 0 ถูกป่ะต่อมาข้อ 2 ครับ limit ของ fxok ไหม limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 0 หาค่าได้ไหม น้องสังเกตก่อน fx ของน้องคือ x กำลัง 2 ถูกไหมครับอันนี้ก็เหมือนกับที่พี่แม็กซ์สอนเลย ถูกไหมเหมือนที่พี่แม็กซ์สอนเลย เอา x เท่ากับ 0 เข้าไปแทนจะได้เป็น 0 เหมือนกันนะครับดังนั้นเนี่ยน้องสังเกตเฮ้ยค่าที่ได้จากกฎข้อที่ 1 กับกฎข้อที่ 2 มันเท่ากันดังนั้นเนี่ยตอบเลยว่าต่อเนื่องแน่นอนโอเคป่ะข้อ 3 เขียนไหมหน่อยก็ได้ว่า F0 มีค่าเท่ากับ limit โอเคไหม ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0 นั้น เป็นจริงทั้ง 3 กฎเลยก็ตอบเลยว่า ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0โอเคนะครับมาถึงตรงนี้พี่แม็กซ์เชื่อว่ามีน้องบางคนถามว่าพี่แม็คครับ เอ้ย แล้วอย่างข้อนี้พี่แม็คไม่หาริมิตซ้าย ริมิตขวาเหรออ่ะ มีใครงงตรงนี้ไหม มีใครงงไหม เอ้ย เนี่ย อย่างเนี้ยพี่แม็คไม่หาริมิตซ้าย ริมิตขวาเหรอ คำตอบคือไม่ต้องหาครับ เพราะว่าอะไรถ้าเกิดว่าฟังก์ชันของน้องเนี่ย มันเป็นฟังก์ชันตัวเดียวอยู่แล้วนะอย่างนี้ x กับ 2 ครับ มันคือ Parabola หน้าตาแบบนี้ถูกป่ะถ้าเกิดน้องรู้ว่ากราฟของน้องเนี่ย ยังไงมันก็เชื่อมต่อกันอย่างนี้อยู่แล้วนะครับ ยังไงเนี่ย ไม่ว่าจะจุดไหนก็ตามนะพี่แม็กวาดแป๊บ ชึบ อันนี้ Parabola ของน้องถูกไหมถ้าเกิดน้องรู้ว่า fx ของน้องเนี่ยมันเป็นฟังก์ชั่นเดียวอยู่แล้ว พี่แม็กซ์ถามหน่อย ไม่ว่าจะจุดตรงไหนก็ตามยังไงลิมิตซ้ายกับลิมิตขวามันก็ทำไมกันอยู่แล้วมันก็เท่ากันอยู่แล้วถูกป่ะสมมุติเราสนใจที่จุด x กับ 0ถ้าเกิดกราฟของน้องมันต่อกันLimit ซ้าย Limit ขวา ยังไงมันก็เข้ามาหาจุดเดียวกันโอเคนะครับ ดังนั้นคำตอบก็คือเราจะไม่สนใจ Limit ซ้าย Limit ขวาถ้าเกิดฟังก์ชันของเรามันมีแค่ตัวเดียวอยู่แล้วแต่ว่าตัวอย่างที่พี่แม็กซ์สอนเนี่ย ก่อนหน้าเนี่ยน้องจำได้มั้ยที่เรามี limit ซ้าย limit ขวาเนี่ย อย่างอันเนี่ยน้องเห็นไหมว่า เฮ้ยมันดันมีอะไรฟังก์ชันของเรามันดันมี 2 หน้าตาเนี่ยถูกปะ แล้วมันดันมาแบ่งที่อะไรด้วยดันมาแบ่งที่จุดที่เราสนใจพอดีคือx เท่ากับ 0 ด้วยถูกมั้ย อย่างนี้เราต้องเช็คลิมิตซ้าย ลิมิตขวา เพราะว่ามันทำไมกันมันคนละสมการกันเห็นมั้ย อย่างนี้เหมือนกันเลยลิมิตซ้ายคือสมการหนึ่ง ลิมิตขวาคืออีกสมการหนึ่งไง อันนี้เราเลยต้องคิดแยกออกมา เป็นลิมิ ตามทันนะ แต่ว่าก่อนหน้าสูตร แรกสูตรที่พี่แม็กซ์สอน ย้อนกลับไปหน่อยย้อนกลับไป ย้อนกลับไปเนี่ย ตอนแรกที่เราสอนกัน เห็นไหม ทำไมพี่แม็กซ์ถึงให้น้องแทนได้เลยไม่ต้องคิดลิมิตซ้าย ลิมิตขวาเพราะว่าฟังก์ชันของน้องมันมีแค่ฟังก์ชันเดียอยู่แล้วไงมันไม่ได้แยกเป็นแบบ 2 กรณีหรือ 3 กรณีใช่นะครับถ้ามันไม่ได้มีรอยต่อน้องแทนเลยก็จบไม่ต้องไปนั่งคิดลิมิตซ้ายลิมิตขวาเพราะว่ากราฟของน้องมันต่อกันอยู่แล้วโอเคนะจุดนี้สำคัญนะครับ โอเค ดังนั้นเคลียร์นะ ความต่อเนื่อง ถ้าเกิดเข้าใจเนี่ยไม่มีอะไรแล้วนะครับเดี๋ยวพี่แม็กซ์มาสอนแผ่น 1 ด้วย มาลองดูกันว่าแผ่น 1 ยากป่ะอ่ะ ลองทำโจทย์ Basic ก่อนถ้าเกิดพี่แม็กซ์ให้ fx มาครับ คือ 3 ส่วนด้วย x ลบ 3จงพิจารณาว่า fx ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 3 หรือไม่มาลุยกันเลยดีกว่าครับเช็คลิสต์ข้อที่ 1 ครับf3 ต้องหาค่าได้ก่อนนะครับข้อนี้เนี่ยพอน้องแทนปุ๊บจะได้ 3 ส่วนด้วย3 ลบ 3 ถูกป่ะคือ 3 ส่วน 0 อ้าวพี่แม็กซ์ 3 ส่วน 0 หาค่าไม่ได้นี่ ถูกต้องครับ หาค่าไม่ได้ดังนั้นถ้าเกิดที่ x เท่ากับ 3 หาค่าไม่ได้ครับเช็คลิสต์ 2 3 น้องไม่ต้องคิดต่อแล้ว ตอบเลยว่าไม่ต่อเนื่องทันทีโอเคปะ ตอบได้เลยว่าไม่ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 3เรียบร้อยครับ โอเคนะต่อมานะครับ ก็บอกให้ fx นะครับเห็นไหมอันนี้ก็แบ่งออกเป็น 2 เงื่อนไขอีกแล้ว f เนี่ยจะเป็น 2x ลบ 1 นะ เมื่อ x น้อยกว่า 1 ครับแล้วจะเป็น x กำลังสา เมื่อ x มากกว่าเท่ากับ 1จงพิจารณาว่า f เนี่ยต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 1 หรือไม่นะครับอันดับแรกเลย เช็คลิสข้อที่ 1 หาก่อน f หนึ่งมีค่าเท่าไหร่นะครับF1 ก็คือดูซิว่า ถ้า X เท่ากับ 1 จะให้ค่า Y เท่าไหร่ถูกปะX เท่ากับ 1 น้องจะใช้เป็นสมการบนหรือล่างเอาว่าไหน บนหรือล่างแน่นอนก็ต้องอันล่างถูกไหม เพราะอันล่าง เป็นมากกว่าเท่ากับ ถูกปะ มันรวมเท่ากับหนึ่งไว้ในอันล่างอยู่แล้วดังนั้นเนี้ย น้องก็ต้องแทนใน x กําลังสาม เข็มไหมครับดังนั้นก็รู้เลยเนอะ จะได้ f1 คือ 1 กําลัง 3 ก็คือ 1 นั่นเองต่อมา Checklist อันที่ 2Limit ต้องหาค่าได้Limit ของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 ต้องหาค่าได้อย่างนี้น้องสังเกตดีที่ x เข้าใกล้ 1 มันดันทำไมมันดันเป็นจุดที่มันแบ่งพอดี ถูกปะ ดังนั้นเนี่ย น้องก็ต้องคิดออกมาเป็น 1 ทางด้านลบกับ 1 ทางด้านบวกแหละถูกมั้ยครับ ถ้าเกิด 1 เป็นจุดแบ่งพอดีนะ น้องก็ต้องคิดเป็น 1 ทางด้านลบกับ 1 ทางด้านบวกตอบให้ชื่นใจหน่อย 1 ทางด้านลบ น้องจะใช้เป็นฟังก์ชันอันไหนครับจะเลือกอันไหน 1 ทางด้านลบน้อยกว่า 1 อยู่นิดนึง เช่น 0.990.99 สอดคล้องกับ Function อันบน ถูกไหมน้อยกว่า 1 ง่ะดังนั้นทางด้านลบ นองก็ต้องใช้เป็น 2x-1 โน้ตไว้แบบนี้ก็ได้ 1 ทางด้านลบฉันเลือกอันนี้นะครับ1 ทางด้านบวก ฉันก็ต้องเลือกใช้เป็นฟังก์ชั่นอันคำลาดอ่า โอเคนะครับ แล้วน้องก็ลุยเลยเอา 1 ทางด้านลบคิดก่อนก็ได้นะครับเอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยจะได้ 2 คูณ 1 เป็น 2ถูกไหม 2 คูณ 1 เป็น 2 ลบ 1พี่แม็กซ์ขอย้ายนิดนึงคิดออกมาจะได้ 1ลิมิตซ้ายได้ 1 ลิมิตขวาล่ะ น้องก็ลุยเลยเอา 1 เข้าไปแทนในนี้นะครับก็จะพบว่ามันก็มีค่าเป็น 1 กำลัง 3 เท่ากับ 1ดังนั้น limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวา ว่าอันนี้เท่ากันถ้า limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวา limit อันนี้ก็เลยหาค่าได้แล้วก็มีค่าเป็น 1 ไงนะครับแล้วก็ checklist อันที่ 3 ครับ checklist ข้อสุดท้ายคืออะไรค่าที่ได้จากกฎข้อที่ 1 กับกฎข้อที่ 2 ต้องเท่ากัน 1 เท่ากับ 1 ถูกป่ะดังนั้น เงื่อนไขที่ 3 ก็โอเคถูกป่ะ F1 มีค่าเท่ากับ limit ของ Fx โดยที่ x เข้าใกล้ 1ดังนั้นก็เลยตอบเลยว่า ต่อเนื่องถูกปะAnswer นะครับ ก็เลยตอบว่า Fx เนี่ย ต่อเนื่องนะที่ x เท่ากับ 1เรียบร้อยข้อข้างล่างลองทำเองหน่อยเร็ว อันนี้พี่มักถาม 2 จุดเลยถูกปะพี่มาร์คอยากรู้ว่า ที่ x เท่ากับ 0 ต่อเนื่องเปล่าแล้วที่ x เท่ากับ 1 ต่อเนื่องเปล่านะครับ หมายกันอยู่นะครับ หมายกันอยู่นะใครที่เรียนแล้วรู้สึกว่าคลิปนี้แบบน้องได้ความรู้นะครับพี่แม็กซ์ก็ขอฝากกด Subscribe นะครับฝากกด Like กด Share เนาะใคร Subscribe ขอให้แบบคะแนนที่ได้เนี่ยพุ่งขึ้นเยอะกว่าเดิมอีก 30% เลยนะครับโมยพรเลยนะครับ จากที่อยู่แล้วขอให้ปังกว่าเดิมโอเคนะครับใครชอบมุกไหนก็เม้นมาได้นะครับ โอเคมั้ยอย่าลืมนะ เรียนคลิปนี้จบเนี่ย ถ้าเกิดน้องแบบหัวไม่แลน น้องลองไปดูเนื้อคู่อยากรู้ว่าใครครับโอ้โห เป็นซีรีส์ที่แบบผ่อนคลายได้จริงๆ นะครับพี่แม็กซ์ดูแล้วพี่แม็กซ์แบบ โอ้โห พี่แม็กซ์ดูตอนสมัยม.6 นะช่วงแบบอ่านหนังสือเจ็ดเคียนพี่แม็กก็ดูครับ อะ มาลุยกันเลยดีกว่าพี่แม็กขอโฟกัสที่ x เท่ากับ 0 ก่อนแล้วกันนะครับ น้องสังเกตน่ะว่าฟังก์ชั่นในข้อนี้เนี่ยมันดัน มันแบ่งที่ไหนนะ มันแบ่งที่หนึ่ง ถูกปะ ดังนั้นที่ x เท่ากับ 0 เนี่ย น้องเลือกใช้สมการไหน สมการเดียวเลย เก่งมากน้องเลือกใช้ fx เท่ากับ x-2 อันเดียวเลยถูกปะ เพราะว่าสูตรนี้เนี่ย มันสอดคล้องกับฟังก์ชันอันข้างบนถูกปะ ดังนั้นที่ x เท่ากับ 0 พี่แม็กซ์จะได้เลยนะว่า f เนี่ยมันคือ x-2ถูกมั้ยครับ โอ้โห ถ้าเกิดเจออย่างเนี่ย f เท่ากับ x-2 อย่างเนี่ย น้องรู้ถูกมั้ยว่ามันคือสมการ เส้นตรงถูกไหม เออ มันคือสมาการณ์เส้นตรงนะครับ หน้าตาเป็นอย่างนี้เราสนใจเนี่ยที่ x ที่ x เท่ากับ 0 เนี่ย ดูก็รู้แล้วนะครับที่ f0 ได้ลบ 2 ถูกป่ะ ลิมิตของมันก็เท่ากันอ่ะก็ลบ 2 เหมือนกันถูกไหม มันเข้าหาการลบ 2 ถูกป่ะค่าของ fx กับ limit เท่ากัน ดังนั้นยังไงอย่างนี้ที่ x กับ 0 ยังไงก็ต่อเนื่องถูกป้าที่จริงดูแล้วตอบเลยก็ได้อาจจะเขียนไว้หน่อยก็ได้ f0 คือ ลบ 2 ถูกไหมแล้วก็ Checklist อันที่ 2 ครับLimit ของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 0มันก็คิดเหมือนเดิมถูกป่ะ เอา 0 เข้าไปแทนในนี้ก็จะได้ 0 ลบ 2 คือ ลบ 2ดังนั้นอันนี้ก็เลยตอบว่า ต่อเนื่องที่ x เท่ากับ 0อันนี้ไม่มีอะไรมากที่ x เท่ากับ 1 ต่อหา ถึงยากมาดูที่ x เท่ากับ 1 กันดีกว่าที่ x เท่ากับ 1 นะครับ ปันดับแรกครับ หา F1 กันก่อนโอเคไหม F1 น้องก็ต้องเลือกใช้เงื่อนไขอันที่มันน้อยกว่าเท่ากับถูกปะ ที่มันมีเท่ากับ แสดงว่าx เท่ากับ 1 อยู่ตรงนี้ถูกปะ น้องก็แทนเลย เอา 1 เข้าไปแทนจะได้เป็น 1-2 คือ 1ต่อมาหาริมิตที่ f นะครับแล้วที่ x เข้าใกล้ 1 การนะครับลิมิตที่เข้าใกล้จุดนี้กันอย่างที่บอกเห็นไหมอย่างนี้มันดันมีอะไรมันดันมีจุดแบ่งที่ 1 พอดีนะครับ น้องก็ต้องคิดเป็น limit ซ้ายกับ limit ขวาแล้วเพราะว่ามันจะเป็นคนละสมการกันทุกป่ะ limit ซ้ายก็คือต้องใช้น้อยกว่าเท่ากับคือใช้อันบนถูกไหม เออ limit ฝั่งซ้าย 1 ทางนั้นลบเนี่ย1 ทางนั้นลบเนี่ยต้องใช้อันนี้ถูกไหมครับ 1 ทางนั้นบวกฝั่งขวาก็ใช้เป็นอันล่างโอเคไหมแล้วน้องก็ลุยเลยหาริมิตฝั่งซ้ายก่อนนะครับ น้องก็เอา 1 เข้าไปแทนในนี้เลยถูกไหม จะได้เป็น 1-2 คือ 1นะครับ ลิมิตฟังขวาก็คือเอา 1 ไปแทนในนี้เลยนะครับอันนี้น้องแทนแล้วน้องจะได้ออกมาเท่าไหร่น้องจะได้เป็น 1 กำลัง 2ถูกปะ เอา 1 เป็นแทนในสมการอันนี้นะจะได้เป็น 1 กำลัง 2 ลบ 3 คูณ 1 บวก 2 ส่วนด้วย 1 ลบ 1 น้องจะได้ออกมาเป็น 1-3 บวก 2 ส่วนด้วย 0 ก็คือ 0 ส่วน 0อย่างที่บอกครับ หลักการคิดในการหาริมิต ทำเหมือนกันเลยนะถ้าเกิดน้องได้ 0 ส่วน 0 เมื่อไหร่ น้องต้องลุยต่อโอเคปะ ดังนั้นนี่น้องลุยต่อน้องทำยังไงน้องสามารถแยกตัวประกอบอันบนได้ถูกมั้ยครับx กำลัง 2 ลบ 3x บวก 2 เนี่ยน้องแยกตัวประกอบมันได้ใช่มั้ย ดังนั้นเนี่ยพี่แม็กซ์แยกตัวประกอบออกมาก่อน เขียนใหม่ได้เป็นอะไร อะไรเอ่ย คูณกันได้ 2รวมกันได้ลบ 3 ครับ แน่นอน ลบ 1 กับลบ 2ถูกป่ะ คูณกันได้ 2 รวมกันได้ลบ 3พี่แม็กซ์เลยแยกมันออกมาได้เป็น x ลบ 1 คูณกับ x ลบ 2 ส่วนด้วย x ลบ 1แล้วน้องสังเกตดิ เฮ้ย เดี๋ยว x-1 กับ x-1 มันจะตัดกันไงก็จะเหลือแค่ x-2 ถูกไหมครับดังนั้นอันนี้พี่แม็กซ์ก็เลยเขียน fx ใหม่ก็ได้นะครับโดยที่ x เข้าใกล้ 1 ทางด้านบวก จะเหลือแค่อะไรละx-1 ตัด x-1เก่งมาก จะเหลือแค่ x-2 แล้วเห็นไหมครับ แล้วน้องก็แทนอีกรอบนึง เอา x เท่ากับ 1 แทนเข้าไปจะได้ 1-2 คือเก่งมากครับ ลบ 1เขียนป้า ดังนั้น limit ฝั่งขวาก็จะได้ลบ 1น้องดูเลย limit ฝั่งซ้ายกับ limit ฝั่งขวาเท่ากัน แสดงว่า limitหาค่าได้ไหมครับlimit หาค่าได้ถูกป้าย limit ของ xx โดยที่ x เข้าใกล้ 1 หาค่าได้แล้ว มีค่าเท่ากับ-1 เนี่ย เรียบร้อย นะครับ แล้วก็ค่าที่ได้จากเบอร์ 1 กับเบอร์ 2 มีค่าเท่ากันก็ตอบเลยว่าต่อเนื่องเหมือนกันโอเคไหมครับ ดังนั้นเนี่ยก็เลยตอบว่าต่อเนื่องโอเคไหม ที่ x เท่ากับ 1 นั่นเองโอเคนะครับ ยากไหม แอบซับซ้อนนิดนึงนะครับแอบซับซ้อนนิดนึง แต่ถ้าเข้าใจเนี่ย ไม่มีอะไรเลยอย่างที่บอกนะ ต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ยึดกฎของพี่แม็กซ์เนี่ยครับมันต้องเข้ากฎทั้งสามข้อ ถึงจะต่อเนื่อง โอเคนะ ใครเสร็จแล้วทำแพท 1 ข้อข้างล่างเลย เนาะ เออ แพท 1 นะครับแต่สมัยยุคนี้ก็ไม่มีแล้วนะ เป็น T-PAT แล้วทีแพทก็สอบไม่ใช่คณิตแล้วไหวอยู่นะ สู้นะคะ พี่แม็กปิ้งกําลังใจให้ โอเคป่ะ กรุงโดมไม่ได้สร้างในวันเดียวครับ คณิตศาสตร์ก็เหมือนกันเห็นไหม มันเกิดจากการฝึกฝนนะครับไปต่อนะ มา เขาบอกว่าให้ a และ b เป็นจำนวนจริงนะครับแล้วก็ให้ fx โอ้โห อันนี้เนี่ย นึกถึงคุณรุ๊ดเลยถูกไหมเป็น 3 เวอร์ชั่นเลยครับมันจะเป็นเวอร์ชั่น x กําลัง 2 บวกไอ x บวก b เมื่อ x น้อยกว่า 2นะครับ เป็นอันนี้ อันนี้ ก็ต่อเมื่อสอดคล้องกับเงื่อนไขอันนี้นะเขาบอกว่า ถ้า f นะครับ เฮ้ย อันนี้โจทย์เขาบอกว่าถ้า f เนี่ย เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อ้าว เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงแล้วเนี่ยa ลบ b เท่ากับเท่าไหร่การที่มันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงหมายความว่าอะไรหมายความว่า F มันต่อเนื่องที่ทุกจุดเลยถูกปะ มันต่อเนื่องที่ทุกจุดเลยดังนั้นเวลาน้องเจอโจทย์แนวนี้อันนี้เจอบ่อยนะ ถ้าเกิดเขาให้เงื่อนไขมาแล้วบอกว่าต่อเนื่องที่ทุกจุดเมื่อไหร่ให้น้องนี้นะครับ ให้น้องสนใจที่รอยต่อมันพอเห็นป่ะ ให้เราสนใจที่รอยต่อให้สนใจที่รอยต่อซึ่งข้อนี้รอยต่อมันอยู่ที่อะไรบ้างอยู่ที่ x เท่ากับ 2 กับ x เท่ากับ 5ถูกป่ะ คือจุดอื่นมันต่อเนื่องอยู่แล้วแต่ว่า x เท่ากับ 2 กับ x เท่ากับ 5 เนี่ย มันก็ต้องต่อเนื่องกันด้วยมันถึงจะต่อเนื่องที่ทุกจุดบน set ของกันจำนวนจริง โอเคไหมครับ อ่ะ แทนยังไงดีครับ ข้อนี้แผ่น 1ติ๊กต๊อก ติ๊กต๊อก อ่ะอย่างที่บอกนะ พอเราสนใจที่รอยต่อเนี่ยน้องก็เขียนแยกเลย อ่ะเรามาโฟกัสที่ x เท่ากับ 2 กันก่อนดังนั้น x เท่ากับ 2 ต้องต่อเนื่องถูกไหมถ้าเกิด x เท่ากับ 2 ต่อเนื่องเนี่ยChecklist ข้อที่ 1 เลย f2 ต้องหาคาได้f2 น้องใช้สมการไหน จะได้ฟังก์ชันอันไหน เก่งมาก ก็ต้องเลือกอันที่มันมีเท่ากับถูกปะ น้องก็ต้องเลือกเป็น square root x-1เอา 2 เข้าไปแทนเลย จะได้เป็นsquare root 2-1 คือ 1 นั่นเองเห็นมั้ยครับ ดังนั้น f2 หาค่าได้แล้วต่อมา check list ข้อที่ 2limit ของมันต้องหาค่าได้โอเคปะ ลิมิตของ fx โดยที่ x เข้าใกล้ 2 เนี่ย ต้องหาค่าได้นะครับอย่างเนี่ยน้องรู้อยู่แล้วว่า น้องต้องคิดเป็นลิมิต ซ้ายกับลิมิตขวาถูกปะลิมิตซ้ายเนี่ย 2 ทางด้านลบก็ต้องใช้เป็นฟังก์ชั่นอันบนถูกปะลิมิตขวาทางด้านบวกก็ต้องใช้เป็นอันล่างถูกมั้ยครับตามพี่แม็กซ์ท่านอยู่นะ โอเคดังนั้นเนี่ย เรามาหาค่าของลิมิตทางด้านลบก่อนสองทางด้านลบอันนี้ก่อน นะครับ ข้อนี้ยาวหน่อยนะจะได้เป็นลิมิตของ fx ตัวที่ x เข้าใกล้สองทางด้านลบ น้องรู้ว่าถ้าเกิด 2 ทางด้านลบมาน้อยกว่า 2 นิดนึงน้องก็ต้องเอา 2 แทนในสมการอันนี้ถูกไหม? x กำลัง 2 บวก ax บวก bพี่แม็กซ์เอา 2 แทนเข้าไปเลยจะได้เป็น2 กำลัง 2 บวก a คูณ 2 บวก bจะได้เป็น 4 บวก 2a บวก bโอเคนะ อันนี้คือลิมิตของ 2 ทางด้านลบนะครับแล้ว 2 ทางด้านบวกล่ะ น้องก็หาได้ถูกไหม x เข้าใกล้ 2 ทางด้านบวก น้องก็หาได้โดยการเอาสองแทนเข้าไปในนี้เลย นะครับ ซึ่งที่จริงเนี้ยน้องก็สามารถเอาค่าที่ได้จากตอนแรกเนี้ย มาใช้ก็ได้เพราะว่ามันคือ ฟังก์ชั่นอันเดียวกัน ถูกไหม เออแทนออกมาก็จะมีค่าเป็น 1 นะครับซึ่งอย่างที่บอกครับ ถ้าเกิดมันต่อเนื่องเนี่ยนะบน set ของจำนวนจริง ซึ่งว่ามันต่อเนื่องทุกจุดถูกปะ ที่ x เท่ากับ 2 มันก็ต้องต่อเนื่องด้วยนะครับดังนั้นถ้าเกิด x เท่ากับ 2 ต่อเนื่องเมื่อไหร่ลิมิตต้องหาค่าได้ป่ะเก่งมาก ลิมิตต้องหาค่าได้ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวาดังนั้นน้องก็สามารถจับ เก่งมากครับ จับอันนี้มาเท่ากันได้เลยโอเคไหม น้องก็จะได้แล้วว่าดังนั้นพี่แม็กซ์ 4 บวก 2a บวก bต้องมีค่าเท่ากับ 1 ถูกไหมครับเราก็จะได้แล้วว่า 2a บวก b มีค่าเท่ากับเก่งมาก ลบ 3 นั่นเองอันนี้เนี่ยเราก็เก็บไว้ก่อนเป็นสมการที่ 1โอเคไหม พระโจทย์อยากรู้ A ลบ B ถูกปะดังนั้นเนี่ยเราต้องหา A กับ B มานะครับตอนนี้เราได้แล้ว ได้แล้วสมการ 1 โอเคนะ ตามพี่แม็กซ์คันนะครับทีนี้มีน้องถามว่า พี่แม็กซ์ แล้วเช็คลิสต์ข้อที่ 3 เราต้องเช็คหรือเปล่าไม่ต้องเช็คนะครับ ถูกปะ ทำไมไม่ต้องเช็ค เพราะว่าเนี้ยมันเท่ากับหนึ่งอยู่แล้วไงยังไง ของน้องเนี้ยต้องเท่ากับหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งน้องก็เปลี่ยนเช็คตั้งแต่อันนี้อยู่แล้วไงลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาอยู่แล้วโอเคนะครับ ก็จับมันมาเท่ากันเลยโอเคนะ หรือน้องอาจจะโน้ตอย่างนี้ก็ได้ชิบ ที่จริงแล้วกฎข้อที่ 3 มันคือ FA ก็คือ F2 ถูกไหมมันจะต้องมีค่าเท่ากับลิมิต พี่มักขอเลื่อนลงนิดนึงมันจะต้องมีค่าเท่ากับลิมิตฝั่งซ้าย และมีค่าเท่ากับลิมิตฝั่งขวาแบบนี้ครับคลิปตามทันนะครับ อันนี้มาจากกฎข้อที่ 1 อันนี้มาจากกฎข้อที่ 2 ต้องมีค่าเท่ากับ limitซึ่ง limit อันนี้อย่างที่บอก หาค่าได้ก็ต่อเมื่อ limit ซ้ายเท่ากับ limit ขวาแต่นี่มันเท่ากับ 1 อยู่แล้วถูกไหม 2 ทางหน้ารบก็มีค่าเท่ากับก้อนนี้ก็มีค่าเท่ากับ 1 นะครับ ก็ได้เป็นสมการเดียวเนอะต่อมาที่จุด x เท่ากับ 5 ลองหาเองหน่อยครับ เร็วคราวนี้ยากหน่อยนะ แพทย์ 1 นะครับ ยากหน่อย ยากหน่อย แต่อยากเอามาสอนครับอ่า ได้ไหมพี่แม็คทำต่อนะชิบใครทำได้ทำเลยนะครับ ไม่ต้องหล่อนะอ่ะ มาดูกันนะครับ มาดูกัน ต่อมาเนี่ยเราสนใจที่ x เท่ากับ 5 ถูกปะเราก็รู้ว่า เฮ้ย ถ้าเกิดมันจะต่อเนื่องเนี่ยx เท่ากับ 5 เนี่ย มันก็ต้องต่อเนื่องกันด้วยถูกไหมถ้าเกิดมันต่อเนื่องที่ทุกจุดอยู่แล้ว นะครับดังนั้นที่ x เท่ากับ 5 จะต่อเนื่องได้แน่นอนเช็คลิสข้อที่ 1 F5 ต้องหาค่าได้ก่อนF5 ต้องหาจากฟังก์ชันอันนี้น้อยกว่าเท่ากับ 5 แสดงว่าที่ x เท่ากับ 5 อยู่ในฟังก์ชันอันนี้นะครับ แล้วก็แทน 5 ลงไปในนี้เลยจะได้ออกมาเป็น square root 5 ลบ 1 คือ root 4มีค่าเท่ากับ 2โอเคนะครับต่อมากดข้อที่ 2 ครับLimit ถูกไหม ลิมิตของ fx ตัวที่ xเข้าใกล้ 5 เนี่ย ต้องหาค่าได้ด้วยนะครับในเมื่อ 5 มันเป็นจุดแบ่งพอดีแน่นอนมันก็จะต้องแบ่งเป็น 5 ทางด้านลบ ถูกไหม อันนี้คือน้อยกว่า 5ถูกไหม น้อยกว่า 5 นิดนึง กับ 5 ทางฝั่งบวก ก็จะเป็นฟังก์ชั่นอันล่างโอเคนะครับ น้องอาจจะโน้ตหน่อยก็ได้ว่า5 ทางด้านลบก็ต้องใช้ฟังก์ชั่นอันนี้ อันที่ 2 ถูกไหมในขณะที่ 5 ทางด้านบวกจะใช้เป็นฟังก์ชั่นอันที่ 3 ล่างสุดแล้วน้องก็เขียนแยกอีกรอบหนึ่งเลยเป็นลิมิตซ้ายx เข้าใกล้ 5 ทางด้านลบกับลิมิตขวาลิมิตของ f โดยที่ x เข้าใกล้ 5 ทางด้านบวก x เข้าใกล้ 5 ทางด้านลบ น้องก็แทน 5 ลงไปในนี้เลยถูกไหม ก็คือ square root 4 ก็คือ 2 นั่นเองนะครับเห็นไหมมันมีค่าเท่ากัน เพราะว่ามันเป็นอะไรมันใช้ฟังก์ชันอันเดียวกันไง f5 กับ 5 ทางด้านลบถูกปะ ต่อมา 5 ทำด้านบวกครับ แล้วก็แทนเป็นอันนี้ถูกไหมแทนใน ax บวก b นะครับ เอา x เท่ากับ 5 แทนเข้าไปจะได้เป็น 5a บวก b นะครับ แล้วน้องรู้ว่า เฮ้ย ถ้าเกิ หาค่าได้ถูกปะ ลิมิตจะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาต้องเท่ากันไงน้องก็เลยจับอะไรเลย จับ 2 มาเท่ากับ 5a บวก b ได้เลยนะครับ แล้วน้องก็ให้เป็นสมการที่ 2พอได้อย่างนี้น้องยืมแล้วนะ เพราะว่าน้องได้ 2 สมการแล้วแล้วน้องก็มีแค่ 2 ตัวแปลคือ A กับ B ถูกป่ะดังนั้นพี่แม็กซ์ขอเขียนใหม่นะครับ ขอเขียนใหม่นะ เอา 5A บวก B มา ย้ำอยู่ตรงนี้แล้วกัน จะได้แก้สมการง่ายๆจะได้เป็น 5a บวก b มีค่าเท่ากับ 2 นะครับอันนี้คือสมการที่ 2 เอาใครลบใครดีเก่งมาก เอา 2 ลบ 1 ดีไหม เอา 2 ลบ 1 นะครับb กับ b จะได้หักล้างไปแล้วก็จะเหลือ 5a-2a เลยถูกไหมจะได้เป็น 3a มีค่าเท่ากับ 5 นั่นเองโอเคนะครับ ดังนั้น A ของพี่แม็กซ์คือ 5 ส่วน 3พอน้องรู้ A แล้ว น้องอยากหา B ก็ได้ถูกปะ น้องก็เอา A ที่ได้ เข้าไปแทนในสมการที่ 1 หรือ 2 ก็ได้ครับพี่แม็กซ์ดูแล้ว เราแทนในสมการที่ 1 แล้วกัน เขียนป่ะดังนั้นเนี่ย น้องก็ลุยเลยนะครับจะได้เป็น 2a คือ 5 ส่วน 3 เนาะบวกกับ b มีค่าเท่ากับลบ 3 นะครับอันนี้โน้ตให้หน่อยก็ได้ว่า จากสมการที่ 1 คิดเลขจะได้เป็น 10 ส่วน 3 บวก b มีค่าเท่ากับลบ 3 ถูกปะดังนั้น b คือ ลบ 3 ลบ 10 ส่วน 3 ก็คือลบเท่าไหร่ลบ 19 ส่วน 3 นั่นเอง โอเคนะครับเลขไม่ค่อยสวยเท่าไหร่เลย ดังนั้นเขาถามอะไร เขาถาม a ลบ b ถูกปะดังนั้นถ้าเขาถาม a-b นั้นก็ลุยเลยครับ ได้แล้วจะได้ a-b คือ 5 ส่วน 3 ลบกับ -19 ส่วน 3 นะครับ เห็นไหม ลบกับลบ หักล้างการกลายเป็นบวกนะครับคิดในใจเลย 5 บวก 19 ได้เป็น 24 ส่วน 3 ตอบ 8 นั่นเอง เรียบร้อยนะครับก็ข้อนี้ถ้าเกิดใครทำได้ในปีนั้นเนี่ย คะแนนก็จะพุ่งเลย เพราะว่าถ้าจำไม่ผิดรู้สึกจะเป็นข้อแบบ เขียนคำตอบ เติมคำตอบเองด้วยคะแนนมันจะเยอะหน่อย แต่ว่ามันก็จะซับซ้อนนิดนึงให้เวลาจดก่อนนะ เดี๋ยวพี่มักขอสรุปอีกนิดนึงแล้วเดี๋ยว แล้วจะจบชัปเตอร์นี้กันแล้วนะครับโอเคนะ ใครยังจดไม่เสร็จ สตอบไว้ก่อนเนาะเดี๋ยวพี่แม็กซ์ขอพูดสรุปแล้วข้อนี้สำคัญมากเพราะออกบ่อยดังนั้นพี่มาขอเน้นอีกนิดนึง ถ้าเกิดว่าโจทย์ เขาให้สมการ ให้ฟังก์ชันน้องมา แล้วก็เขียนแยกอย่างนี้เลยเขาก็จะแบ่งเงื่อนไขให้น้อง ถูกไหม อย่างนี้แบ่งออกเป็น 3 ฟังก์ชันเลย มี 3 เงื่อนไขเลยถ้าเกิดเขาบอกว่าไอ้เจ้าฟังก์ชั่น f ของน้องเนี่ยมันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงแสดงว่าอะไรเฮ้ยฟังก์ชั่น f ของเราเนี่ยมันต่อเนื่องทุกจุดเลยถือว่าทุกจุดต่อเนื่องหมดนะครับดังนั้นเนี่ย เวลาเจอโจทย์แนวนี้เนี่ย สิ่งที่น้องสนใจนะ ถ้าบอกทุกจุดต่อเนื่องเมื่อไหร่ ให้น้องสนใจที่รอยต่อครับคือรอยต่อมันก็ต้องต่อเนื่องด้วย โอเคป่ะคือที่เรากลัวเนี่ย เรากลัวไอ้รอยต่อนี้มันไม่ต่อเนื่องนะครับ ดังนั้นเนี่ย เราสนใจที่รอยต่อก่อนนะครับรอยต่อข้อนี้มีอะไร มี 2 กับมี 5 ถูกปะน้องก็คิดแยกเลย เอ๊ะ x เท่ากับ 2 x เท่ากับ 5 นะครับแล้วถ้าเกิดต่อเนื่องเมื่อไหร่ให้น้องเนี่ยจําคําที่พี่พี่แม็กพูด 3 ข้อนั้น นะครับถ้าเกิดเข้ากด 3 ข้อนั้น มันถึงจะต่อเนื่องถูกไหมหาก่อน F2 ที่จุดนั้นคือเท่าไหร่ถูกปะหาริมิตนะครับแต่อย่างนั้นเนี่ยเวลาเจอโจทย์แล้วเนี่ยแน่นอนลิมิตน้องเนี่ยก็ต้องแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายกับฝั่งขวาเพราะว่ามันทำไมอยู่แล้วมันเป็นคนลาฟังก์ชั่นกันอยู่แล้ว ถูกปะ แล้วน้องก็จับค่าเนี่ยมาเท่ากันนะครับวิธีทำมันค่อนข้างตายตัวเลยนะ เวลาเจอจนเรื่องแคลคูลัส เรื่องความต่อเนื่องเนี่ยนะครับเราก็แก้สมการไม่มีอะไรเลย โอเคนะครับ ก็สําหรับคลิปนี้เนี่ย พี่แม็กก็หวังว่าการปูพื้นนะครับน้องบอกพี่แม็กปูพื้นอะไร ล่อมา sub-hack 1 เลยนะครับเอามาให้ฝึกให้ทําดูก่อนนะครับ ถ้าเกิดน้องยังไม่เคยเรียนบทนี้เลยมาเจอครั้งแรกคลิปมันยากแหละเพราะว่าแบบพี่แม็กซ์พยายามรวบรัดให้เร็วที่สุดนะครับถ้าเกิดไปเรียนที่โรงเรียนเนี่ยน้องน่าจะแบบเห็นภาพเพิ่มขึ้นเยอะเลยนะครับ เราก็หวังว่าคลิปนี้เนี่ยจะเป็นประโยชน์นะครับก็เดี๋ยวในใครพร้อมเนี่ยก็ ลุยคลิปถัดไปได้เลยนะครับ ก็เดี๋ยวเราครั้งหน้าเนี่ยเราจะมาสอนเรื่องDrip Gun มาปรูปพื้นฐานเรื่องการดริปหรือการหาอนุพันธ์กัน นะครับ ก็คลิปนี้ขอบคุณน้องๆทุกคนมากนะครับถ้าชอบก็ฝากกดไลค์เป็นกำลังจ่ายให้พี่แม็กซ์ด้วยไว้พบกันใหม่ในคลิปถัดไป ใครมีอะไรก็คอมเมนต์ได้เลยก็สู้ๆนะอย่าพึ่งท้อใครมีอะไรก็นี่นะหลังไมค์มาได้นะครับใครยังไม่รู้ว่าเราจะติดต่อกันยังไงนะครับนี่เลยนะFacebook นะครับหลักๆ คุยกัน Facebookเพราะ YouTube เราคุยกันไม่ค่อยได้อยู่แล้วนะครับFacebook นะครับเสิร์ชเลย NFMAT โอเคมั้ยหรือว่าไอจีก็ได้นะครับแต่ว่าไอจีจะเป็นไอจีที่พี่แม็คสอนความถนัดแพทย์อ่ะนะครับก็ชื่อเม็ดเด้นแกดเห็นป่ะใครจะสอบหมอสนใจเรียนความถนัดแพทย์ก็ฝากความถนัดแพทย์เม็ดเด้นนะครับเฟซบุ๊กก็มีครับลองไปเสิร์ชดูแล้วน้องก็จะเห็นว่า เอ้าเฮ้ย หน้าคล้ายกันเลยก็พี่นี่เองแหละโอเคนะครับ ไม่ใช่ มีคนบอก เฮ้ยพี่แม็กซ์ มีญาติด้วยเหรอสอนความสนับแทน ไม่ใช่พี่เอง โอเคนะครับ ชื่อก็เหมือนกัน แค่นั้นก็ไว้เดี๋ยวไว้พบกันใหม่ แค่นั้นสําหรั

Transcript for:ความเข้าใจลิมิตและความต่อเนื่อง

Transcript for:
ความเข้าใจลิมิตและความต่อเนื่อง