Değerli öğrencilerim, sevgili arkadaşlarım, selamlar, merhabalar. Evet, çok sevdiniz, çok beğendiniz. Genel tekrar serimiz devam ediyor. Ayete matematik genel tekrar serimiz devam ediyor.
Biraz erken başladık biz ayete tekrarlarını ama niye erken başladık? Mezunlar bitiriyor yavaş yavaş. Diğer öğrencilerimiz de yavaş yavaş bitirmeye başlıyor.
O zaman dedik hemen başlayalım. Biz önden yapalım ki öğrencilerimiz ihtiyaçları olduğu zaman izlerler. Şimdi polinomların genel tekrarlarını yaptık.
İki video halinde yaptık. Birnde... Böyle konunun mantığını güzel bir şekilde tekrar edip böyle güzel sorularla tekrarlarımızı yaptık.
İkinci videomuza ne dedik? Zor sorular dedik. 30 tane taş gibi taş gibi polinom sorusu çözdüm.
O videoları birleştirip tek videoda açacaktım aslında ama unuttum onu. Birleştirip atacağız. Şimdi burada ne yapacağız? Burada da arkadaşlar birinci videoda 60 tane civarında soruyla. İkinci dereceden denklemler karmaşık sayılar ve ikinci dereceden denklem sistemlerini yapacağız.
Özellikle limit türevi integral konuları çıktıktan sonra bu üç konunun üçünden de soru gelecektir. O yüzden şöyle bir hatırlayalım. 60 tane soru çözerek ve konu anlatımını böyle üstünden geçerek güzel bir şekilde tekrar edeceğiz. Ondan sonra bir video daha yapacağım. Sonra bu videoları birleştireceğim tabii ki ben yine.
Tek video halinde. Böyle 90 soruluk 100 soruluk bir serimiz de olacak. Kaç tane?
Kaç tane bakalım. Hadi onları da göstereyim ben size ya. Niye göstermiyorum? Gel bakın. Şimdi.
Burası genel tekrarlarımız arkadaşlar. Genel tekrarlarımız. Böyle başlayacağız.
İlerleyeceğiz, ilerleyeceğiz, ilerleyeceğiz, ilerleyeceğiz. Her şeyi tekrar edeceğiz. Tam 61 tane de soru çözeceğiz. Burada zor sorular dediğimiz böyle.
Zor sorular da demeyelim. Zor sorular da var içerisinde tabii ama sınav tarzı sorular diyelim. Beyninizi açacak, o konuyla ilgili çakralarınızı genişletecek sorular diyelim.
Evet bakın kaç tane soru çözecekmişiz oradan da arkadaşlar. 27-28 tane de oradan soru çözeceğiz. Yanii oradan 70 tane desek 30 tane 100 tane civarında taş gibi soruyla ikinci dereceden denklemler, karmaşık sayılar ve ikinci dereceden denklem sistemlerini güzel bir şekilde tekrar etmiş olacağız. Evet şimdi başlayalım mı?
Ne durumdasın? Olaya hazırsın değil mi? Olaya hazırsın.
Güzel bir şekilde ben arkadaşlar şunu yapabilirsiniz. Videoyu hızlandırıyorsunuz zaten biliyorum. Hızlandırın videoyu. Güzel bir şekilde çatara kütere çatara kütere olayı götürün.
Tamam mı? Şimdi kolay gelen kısımlar mutlaka olacak. Ben bütün her şeyi hatırlatacağım çünkü.
Son oraları geçebilirsin. Veya tekrarları tekrar sorularını önce kendin çözüp. Ondan sonra çıktısını alıp zor soruların üstünden de geçebilirsin. Zor sorular dediğimiz veya zor sorular demeyelim sınav tarzı olan soruların olduğu testi mutlaka sınava girmeden önce kendin bir kez bir kez çözüyorsun.
Hadi bakalım o zaman ikinci dereceden denklemlerin genel tekrarları başlasın. Evet şimdi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler dedik. A eşit değil sıfır olmak üzere. A sıfır olursa çünkü ikinci dereceden olan yok oluyordu.
İkinci dereceden denklem olmazdı. İfadesine ne diyoruz? İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklem diyoruz. İşte bu denklemi sıfır yapan sayıları bulmaya çalışacağız.
O sayılara ne ile gösteriyoruz biz? Bu ne ya? Beyaz kalem nereden geldin ya?
Beyaz kalem nereden geldin? O sayıları ne ile gösteriyoruz biz? X ve X ile gösteriyoruz. Bunlara denklemin neleri diyorduk arkadaşlar?
Kökleri diyorduk. Tamam. Denklemi sağlayan x gerçel sayılara denklemin kökleri denir.
Oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. ÇK eğer iki farklı kökümüz varsa x1 ve x2 ile göstereceğiz böyle. Eşit iki kökümüz de olabiliyordu. Boş küme de oluyordu. ABC'ye denklemin neyi diyoruz?
Kat sayıları diyoruz. Hadi bakalım yukarıdaki verilen ifadelerden hangisileri ikinci dereceden bir denklemdir? Bakın ikinci dereceden bir denklemdir. x kareli. İlla x'i terimin olmasına gerek yok.
Burada x kareli var. X de var, sabit de var. Sıkıntı yok.
Evet, x kareli var. X de var. Sabit sayı yok. Sabit sayıda olmak zorunda değil. Bu da ikinci dereceden denklem.
Bakın iki üzer x. Biz buna üstel dedik. Logaritma fonksiyonuna. Bu değildir. Bir, iki, üç.
Hemen ikinci dereceden denklemdir dedik. Hemen geldik. Bir, bir. Şimdi arkadaşlar dikkat edin.
Burada önemli bir bilgi veriyoruz aslında. Unutmamız var. Şimdi bir bilinmeyen denklem en çok bir...
...bilinmeyenli bir denklemin en çok derecesi kadar kökü vardır. Bir denklemin diyelim arkadaşlar. En çok derecesi kadar kökü vardır. Şimdi bakın.
A eşit değil sıfır olmak üzere A artı B eşittir sıfır denkleminin en çok bir kökü vardır. Bakın eğer A sıfırdan farklıysa A artı B eşittir sıfır birinci dereceden denkleminin en çok bir kökü vardır. İkinci dereceden denklemin en çok iki tane kökü vardır. Üçüncü dereceden denklemin en çok üç tane kökü vardır. 4. derecedense 4 kök yani bir denklemin çözüm kümesinin alabileceği en büyük değer derecesine eşittir.
O yüzden 2. dereceden denklemler için ne diyoruz? En çok çözüm kümesi 2 elemandır. Hemen hızlıca çözüm kümesi bulmayı hatırlayalım arkadaşlar. Burayı bilenler çarpanları ayırmayı bilenler hızlıca geçsinler ilerlesinler.
Ben her şeyi hatırlatıyorum. Şimdi fx çarpı gx eşittir 0 denkleminde fx 0 veya gx eşittir 0 denklemin çözüm kümesini oluşturur. Şimdi geldik buraya.
Bun çözüm kümesi nedir? İsteyen karşı yatar ama asıl çözümümüz 2 kare farkı yapmaktır. x eksi 3 çarpı x artı 3 eşittir 0. Köklerimizden biri 3 biri eksi 3 oldu. Bakın burası çarpanları ayırmaz. Gerçel sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.
Şöyle de düşünebilirsiniz. x kare eşittir eksi 4. Gerçel sayılarda x kare eksi 4 olamayacağı için. Çözüm kümesi boş kümedir.
Hemen burada bakın 9'u karşıya atabilirsiniz. x kare bölü 4 eşittir 9. İçler dışlar çarpımı yaparsam x kare eşittir 36. O zaman x dediğimiz artı veya eksi 6 olmuş oldu. Şimdi bu şekildekilerde ne yapıyorduk arkadaşlar?
Çarpanla ayırıyorduk. x kare x ile x'in çarpımı. Eksi 8, eksi 4 ile artı 2'nin çarpımı.
Toplamları eksi 2'yi veriyor. Yazarken yan yana yazıyorum. x eksi 4 çarpı x'e artı 2 eşittir 0. O zaman x dediğimiz ya 4, x dediğimiz ya da eksi 2'dir diyoruz.
Çözüm kümemiz iki eleman. Hemen bu şekilde olduğunda ne yapıyoruz? 3x ile 2x'in çarpımı diyorum.
Şimdi eksi x'i yakalayabilmek için orayı da 2 ile 1 gibi düşüneceğim. 2'yi 1 buraya. Şimdi eksi 1 yapmam lazım.
Çapraz kontrol yapıyordum. Çapraz kontrol yaparken işaretin eksi olabilmesi için buna eksi verdim. Eksi 4x artı 3x geldi. Bakın toplamları eksi x yapıyor.
Yazarken nasıl yazıyordum? Yani yana. Yazdım. 3x eksi 2 ile.
2x artı 1'in çarpımıymış. Oradan köklerimizi bulmuş oluyoruz. Buradaki yanlış yazılmıştır. Düzeltelim.
Evet şimdi sabit terimi olmayanlarda ne yapıyoruz arkadaşlar? X parantezini alıyorum. X artı 5 yapıyor bakın.
Eşittir 0. O zaman burayı 0 yapan değerlerimizden biri 0. Bir de eksi 5. 5x kare eşittir 0 denkleminin eşit 2 kökü vardır bakın. X eşittir x2 0'dır. Burayı 5x çarpı x gibi düşünün. Birnci kökte 0, ikinci kökte 0. Çözüm kümesi bir elemanlıdır 0'dır.
Ama... İki tane kökü vardır aslında. Hemen burayı çarpanlarına ayırdım.
Bakın x artı 2'nin neyidir? Karesidir. Eşittir sıfır.
Burada x1 de x2 de birbirlerine eşittir. Eksi 2'dir. Çözüm kümemiz bir elemanlıdır. Eksi 2. Dikkat edin mesela kökler toplamını sorduğu zaman eksi 2, eksi 2'den eksi 4 diyeceksiniz. Kökler çarpımları denildiği zaman çarpacaksınız ona göre.
Hemen Buraya bakalım. x kare x ile x'in çarpımı 3a'yı. a ile 3 gibi düşünüyorum ama toplamlarının eksi a eksi 3 olması lazım. x'e de eksi verdim. O zaman burası x eksi 3 ile x eksi a'nın çarpımı eşittir sıfırdır.
x dediğimiz ya 3, x dediğimiz ya da a'dır burası. Hemen sonuncuya bakıyorum. x ile x'in çarpımı bakın eksi köküç ve eksi 2 gelmesi lazım.
Eksi 2, eksi köküç. O zaman burası x eksi 2 çarpı. X eksi köküçün çarpımı eşittir sıfır.
X dediğimiz ya iki, X dediğimiz ya da köküç çözüm kümesini bulmuş olduk. Şimdi burası zaten hikaye kısmıydı. Birçoğunuz da belki de geçtiniz burayı.
Ama şöyle bir çarpanları ayırmayı da hatırlamış olduk. Hadi bakalım üçüncü soruyu hemen sen çözüyorsun. Gel bakalım. Denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir? Ne yapacağım?
Çarpanları ayıracağım. A kare ne ile neyin çarpımı? A ile A'nın çarpımı.
Bakın buradakini... B kareyi de B ile B'nin çarpımı gibi düşünüyorum. ...bakın AB eksi B gelmesi gerekiyor. Bakın çapraz kontrol ettiğim zaman buradan Ax geliyor. Bunları çarptığım zaman ne geliyor?
Pardon şuradakinde A'yı fazla yazdım. Bu A yok. A da X'in çarpımı çünkü. Bakın buradan da X geliyor.
Şimdi X parantezinde düşünürseniz... ...bakın bunun işaretinin artı, bunun işaretinin eksi olması gerekiyor. O zaman buranın eksi olabilmesi için B'nin önüne eksi, buranın önüne artı koydum. Yazarken yan yana yazıyordum.
Neymiş burası? A, x eksi b ile x artı b'nin çarpımı eşittir, sıfır oldu. Burayı sıfır yapan x değerimiz b bölü a'dır.
Burayı sıfır yapan x değerimiz eksi b'dir. Denkleminin bir kökü hangisidir diyor. Eksi b şıklarda var. Sorumuzun cevabı bursa oldu.
Evet dördüncü sorumuz yine kök bulma sorusu. Burada dikkat etmemiz gereken ne var? Bölüm durumunda ifade varsa paydayı sıfır yapanı çözüm kümesinden atıyoruz. Kökü nedir diyor. Yukarıyı çarpanlığına ayırıyorum.
Nedir yukarıyı çarpanlığına ayırdığımızda? X ile X'in çarpımı eksi dörtle artı iki. Yazarken yan yana yazdım. X eksi dört çarpı X artı iki.
Zorlaşacağız merak etmeyin. Aşağıya iki kare farkı yaptım. Dört eksi X çarpı dört artı X oldu burası. Eşittir sıfır. Bakın şimdi sadeleştirme yapmıyoruz ama yukarının köklerini söyle.
Yukarının köklerinden biri 4, burayı 0 yapan. Yukarının köklerinden bir tanesi de eksi 2. Aşağıya 0 yapanlara bakın. Burayı 0 yapan bir 4'üm var.
Bir de neyim var? Eksi 4'üm var. 4 paydayı 0 yaptığı için tanımsız yapar.
O zaman 4 kökünü çözüm kümesine atıyorum. Çözüm kümemiz sadece bir elemanlıdır. O da eksi 2'dir diyoruz. Şimdi önemsediğim bir duruma geldim. Burayı özellikle koydum.
Birçoğunuz burayı dağıtarak falan yapıyorsunuz. Bu şekilde bir şey karşımıza geldiğinde ne yapıyorduk bir hatırlayalım. Şimdi arkadaşlar karşımıza böyle bir denklem çıktı.
Denklemin kökleri toplamı kaçtırılıyor. Şimdi sadeleştirenler var. Sadeleştiriyor.
Bu da sadeleştiriyor. Bu tarafta bir kalıyor. Karşı tarafta x kalıyor.
x eşittir bir diyor. Ayvayı yedin. Tamam sadeleştirme doğru. Ama sadeleştirirken bir şey yapman lazım.
Ne yapman lazım? Şimdi sadeleştirirken x eksi 2'leri sadeleştirirken x eksi 2'yi sıfır yapan değeri çözüm kümesine eklemen lazım. Yanii köklerimden bir tanesi 1 tamam. Bir tanesi 2. Başka neleri sadeleştirdim?
x artı 1'leri de sadeleştirdim. x artı 1'i sıfır yapan değeri yani x eşittir eksi 1'i de çözüm kümesine eklememiz lazım. Bu denklemin çözüm kümesi 3 elemandır. Hocamm bunları niye ekledik?
Niye eklediğini? Bak şimdi. x'e ben 2 değerini verdiğim zaman ne oluyor?
Bak 2 değerini ver x'e. Burası sıfırlanıyor. Hop sıfırlandığı için sıfır. x'e 2 değerini verince burası sıfır sıfır eşit değil mi? Eşit.
Yanii çözüm kümesinin bir elemanı. x'e eksi 1 verince burası sıfır yaptığı için tamamı sıfır. Burası da sıfır.
Gördün mü? O zaman kökleri toplamları 1'i 1. 1'e eksi 1. 1'e eksi 1. Bir tanesi de 2 olmuş oldu. Şunlar götürdü.
2 sorumuzun cevabı. İşte matahası yapabilirim. Mantıklarını hatırlayın.
Mantıklarını öğrenin. Önemli olan o. Şimdi bir unutmamız daha var.
Şimdi kök denklemi sağlar. Sana bir denklemin kökünü verdiğinde çat. Çat, sana Çat. Ne yapacağız dedik? Kökü yerine yazacağız.
O kök denklemi sağlar. Yanii kök denklemi sıfır yapan değerlerden bir tanesidir diyorduk. Hemen bakalım o zaman sorumuza.
Şimdi denkleminin bir kökü 3'tür diyor. O zaman bu denklemin bir kökü 3 ise 3 bu denklemi ne yapacak? Sağlayacak.
X gördüğüm yerlere 3 yazıyorum. 3'ün karesi 9. Artı X gördüğüm yere 3 yazdım. Artı 3A artı B eşittir 0 oldu.
Karşıya salladım. 3A artı B dediğimizin eksi 9 olduğunu bulduk. E A artı B'yi de söylemiş bize. A artı B eksi 13'müş.
A'yı istiyor bizden. A'yı bulabilmek için. Şuradaki denklemi neyle çarpalım?
Eksiyle çarpalım. Eksi, şurası art oldu. Topladım, bunlar götürdü. 2 tane a eşittir 4 yaptı.
Her iki tarafı 2'ye böldüğümüzde a'mızın 2 olduğunu bulduk. Tamam mı? Şimdi mesela 7. soru. Kök denklemi sağlarla ilgili tatlı bir soru. Tatlı bir soru, güzel bir soru.
Hadi bir bak. Şimdi diyor ki 2. dereceden denkleminin kökleri x1 ve x2'dir. Buna göre x1 artı x2 nedir?
Bak şimdi. A, B, C polinom mantığı gibi düşünürsen A, B, C buraların neleridir? Katsayılarıdır. X yerlerine ne yazılmış?
Yanii 1 yazılmış. Hadi X yerlerine 1 yazalım. X eşittir 1 için 1 yazdım.
A artı B artı C Bakın neye eşitmiş? Sıfıra eşitmiş. Yanii ben X yerine 1 yazınca denklemimin sonucu sıfır oldu mu? Oldu.
Yanii benim denklerimin köklerinden biri 1'miş. Çünkü kökü yerine yazdığınızda sonuç sıfır olur. Bak yine sonuç 0 olmuş.
Ne yazınca sonuç 0 olmuş diye bakacaksın şimdi. Ne yazmışız? Bakın 4a oluşmuş. 2 yazmışız değil mi? Bak eksi 2 de yazmış olabilirdik.
Buraya da bakıyorum. 2b oluştuğuna göre x yerine burada da 2 yazmışız. Yanii ikinci kökümde neymiş? 2 imiş. Çünkü 2 yazdım.
4a artı 2b artı c yaptı. Kökü ise 0. Yanii. Köklerimiz x1 ve x2, 1'i 1'miş, 1'i 2'miş, toplamları da 3'tür.
Tamam mı? Sadece kök denklemi sağlar yani sıfır yapar mantığını kullanarak çözüme ulaştık. Şimdi sekizinci sorumuz çok karşımıza gelen bir soru kalıbı.
Hep boğdu bunlar beni ya. Çok karşımıza gelen bir soru kalıbı değil mi? Kök denklemi sağlarım bir mantığı aslında.
Denklemin kökleri x1 ve x2'dir. E o zaman x1'i yerine yazdığımızda x1'in karesi artı 2x1 eksi 7 dediğimiz sıfırdır. X 2'yi yerine yazdığımızda X 2'nin karesi artı 2 X 2 eksi 7 sıfırdır. Yanii kök denklemi sağlar. Yanii böyle bir şey geldiğinde aslında bununla aynı şeydir.
Hadi bak şimdi ne var burada? İçeri dağıttım. İçeri dağıtınca ne yaptı burası? X 1'in karesi artı 2 X 1 yaptı. Artı 21 bölü X 2'nin karesi artı 2 X 2. Gördük mü yukarıda?
X 1'in karesi ile 2 X 1'in toplamı bunu karşıya atarsak neye eşittir? 7'dir. Eee bunu karşıya atarsak x2'nin karesiyle 2x2'nin toplamı da 7'dir. Sorumuzun cevabı 7 artı 21 bölü 7 yaptı.
3 10 cevap Bursa Kök denklemi sağlar. Hadi bakalım geldim bir sonrakine. Yine kök denklemi sağlar mantığıyla ortak iki köklü denklem bir sorusu.
Hemen kendin çözmeyi dene bakalım. A ve B gerçel sayılar diyor. Denkleminin köklerinden biri eksi birdir diyor. Bir kökü bana söylediyse eğer, bir kökü bana eğer söylediyse içerisinde de bilinmeyen varsa kök denklemi sağlarla o bilinmeyeni bulurum.
Diğer kökü ise bu denkleminin bir kökü. Diğer kökünü de a'yı bulduktan sonra bulacağım. b kaçtır diyor.
Hemen eksi 1'i yerine yazdım. Eksi 1'in karesi. Eksi 1'i yerine yazınca burası artı a yaptı.
Eksi 3 eşittir 0. Burası 1 yaptı. 1 eksi 3'ten eksi 2 karşıya aldım. a dediğimiz 2. Tamam a'mızın 2 olduğunu bulduk.
Şu karaladığım yerleri sileyim. O zaman bu denklemi söyle bana şimdi. x kare a'mız 2 ise eksi 2 x eksi 3 eşittir 0. O zaman bu denklemi çarpanlarına ayırdım.
x eksi 3 çarpı x artı 1. Çarpanları ayırmayı biliyorsun artık. Birnci kökümüz 3. İkinci kökümüz ne geldi? Eksi 1. Bir kökün zaten eksi 1 olduğunu biliyordum.
Yanii diğer kökü dediğimiz kökümüz 3 oldu. İşte bu 3 bunun bir köküymüş. O zaman 3 bu denklemi ne yapacak? Sağlayacak. Hemen 3'ü yerine yazıyorum.
X yerlerine. O zaman 3'ün karesinden 9. eksi 3B burada 3A var. Ben A'nın 2 olduğunu bulmuştum. A yerine 2 yazarsam burası kaç yapacak?
Artı 6 yapacak. Eşittir 0. Aldım bu tarafı. 15 eşittir 3B. B dediğimiz 5'e eşit olmuş oldu. Tamam mı?
İlk kısmımızı tekrarına bitirdik. Devam ediyoruz. Şimdi diskriminan. Delta delta delta. Delta delta delta.
Neydi delta? Tam kare yapma yöntemimizden karşımıza çıkan bir formüldü aslında. Sana verilen denklemi tam kare yaparak da köklerini bulabiliyorduk. Ayrıntısı konu anlatımında.
Burada tam kare yapma yöntemini anlatmadım. Hadi gel bakalım şimdi. Şimdi diskriminant yöntemi.
...diskriminant dediğimiz arkadaşlar... ...ax kare artı bx artı c... ...ikinci dereceden denklemin de... ...üçgenle gösteriyorduk.
Ne diye okuyorduk bunu? Delta Delta dediğimiz... ...b kare eksi 4ac idi. Sonra iki kökü aynı anda... ...bulduran bir formülümüz vardı bize.
Eksi ve artı eksi... ...kare kök delta bölü 2a. Bunları adın, soyadın gibi... ...bileceksin.
Tamam mı? Bakın bu yıl... ...ikinci dereceden denklemlerin... ...ayrıntısına girdirebilir.
Normalde bu formülü çok kullanmıyoruz ama bu formülü kullandıracak da bir şeyler sorabilir. Hemen bir unutmamız var. Şimdi ikinci dereceden denklemin eğer deltası sıfırdan büyükse, denklemin çözüm kümesi iki elemanlıydı, farklı iki gerçek kökü var unutma.
İki gerçek kök olma şartı neymiş o zaman? Deltasının sıfırdan büyük olma şartıymış. Burada da geçen gün video çekerken beyaz yapmıştım.
O rehberlik videosunu çekerken kalemi beyaz yapmıştım. beyaz olarak kalmış. Bir ara verirsem onu çevireceğim. Evet buradan delta sıfırdan büyükse iki farklı gerçek kök vardır. Ve çözüm kümesi iki eleman.
Delta eşit sıfır. Delta eşit sıfır olan denklemler arkadaşlar tam kare denklemlerdir unutma. Böyledir. Eşit iki kökü vardır bakın.
X ile X birbirlerine eşittir ve ikidir. Bu denklemin çözüm kümesi bir elemanlıdır. Ama kökler toplamını sorarsa X artı X iki tane kökü vardır aslında bunun. Bir tane kökü vardır demiyoruz bakın.
Çözüm kümesi bir elemandır çünkü kümelerde bir eleman bir kez yazılır. Ama iki kökü vardır. kök toplamı, kök çarpımı böyle yapılır.
O zaman eşit iki kökü vardır derse, tam kare derse... veya çift katlı kök derse çift katlı kök derse hepsi delta'nın sıfır eşit olduğu durumdur. Şimdi karmaşık sayılarda bizi ilgilendirecek olan son durumumuz delta küçük sıfırsa.
Delta sıfır küçük sıfırsa gerçek kökü yoktur. Karmaşık sayılarda denklemin çözüm kümesini bulacağız ama gerçek sayılarda çözüm soruyorsa çözüm kümesi nedir diyoruz? Boş kümedir diyoruz.
Hemen ilerledim. Şöyle deltanın durumlarıyla ilgili yapabileceğimiz şeylere bakalım. Denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? Bakın çarpanlarına ayrılıyor mu denklem?
Ayrılmıyor. Çarpanlarına ayrılmıyorsa hemen deltasından yürüyeceksin. Delta eşittir.
B kare. B'nin karesi eksi üçün karesi. Eksi dört. A dediğimiz iki. C dediğimiz eksi bir.
Delta hesapladık. Dokuz on yedi. Kök bulma formülümüz neydi? İki kökü aynı anda buluyorduk. X ve X'yi.
Eksi B artı eksi kare kök delta bölü 2A'ydı formülümüz. Hadi eksi B'miz. Eksi 3, eksi koyduk başına 3 oldu. Artı eksi kare kökün içine delta girdi 17. Bölü 2A, 2. Köklerinden bir tanesi 3 eksi kare kök 17 bölü 2. Bir tanesi 3 artı kare kök 17 bölü 2. O zaman burada bir bilgi çıktı. İkinci dereceden denklemin eğer kat sayıları gerçel sayılarsa köklerinden bir tanesi A artı kök B ise yani köklüyse bu taraftaki ikinci kökte A eksi kök B'dir.
Yanii birbirlerinin eşleniydi. Bu da özellikle denklem yazma sorularında kullanacağız. Hadi on birinci sorumuz ne diyor bakalım?
Denkleminin gerçek kökü olmadığına göre. Gerçek kökü yoksa denklemin deltası sıfırdan küçük. Hemen delta'yı hesaplıyorum o zaman. B kare. Eksi 2'nin karesi 4. Eksi 4. A dediğimiz kaç?
3. C dediğimiz A Eksi 5. İşte gerçek kökü yoksa bunun sıfırdan küçük olması gerekiyor. Bakın çok yapılan bir hata. Gidiyor 4 eksi 4 falan yapıyor. Hayır burada bir çarpma işlemi var.
Önce çarpmayı yapacaksın. Diyorum ki buradan 4 eksi. Burası ne yaptı? 12 yaptı.
Burada da A eksi 5 geldi. Küçük sıfır. Şimdi burayı içeri dağıtıyorum. 4 eksi 12a artı 60 küçükmüş sıfırdan.
Bu bu tarafa aldığımız zaman ne geldi? 64 yaptı. 12a'yı da buraya aldım. Her iki tarafı 12'ye böldüğümüz zaman 64 bölü 12'den büyükmüş a'mız.
O zaman 64 bölü 12'yi 4 ile sadeleştirirsem. Ne yaptı burası? 16 bölü 3. 16 bölü 3 5 virgül bir şeydir. 5 virgül bir şeyden büyük olacaksa cevabım bursa. İşlem hatası yapmış olabilirim hızlı hızlı giderken.
Mantığını hatırla yani. Mantığını hatırlaman yeter zaten. Sınavda işlem hatası yapıyorsan zaten ben yanında yokum. Orada kurtuluş yok.
Ben de yanlış yapabilirim sınavda işlem hatasından. Son de yapabilirsin. Orada dikkatini pür dikkat yapacaksın. Hadi bakalım 12. sorumuz ne diyor? Fonksiyonu veriliyor.
fx eşittir 2. Denkleminin birbirinden farklı 2 kökü olduğuna göre A'nın alabileceği pozitif tam sayı değeri. Diyor ki fx diyor, fx diyor, 2 yapan diyor. iki tane kök var diyor.
Biz ikinci dereceden denkleme dönüştürebilmek için bunu bu tarafa aldım. Ne oldu denklemim? x kare eksi 4x artı a eksi 2 eşittir sıfır denklemi oluştu.
İşte bu denklemin iki gerçek kökü olacak. Yanii deltası sıfırdan büyük. b kare eksi 4'ün karesi 16. B kare eksi 4 A dediğimiz 1. C'ye dikkat edin.
C dediğimiz A eksi 2. Bun sıfırdan büyük olması gerekiyor. Hadi denklemiş özelim şimdi. 16 eksi 4 A Şurayı dağıtıyorum. Artı 8 büyük sıfır.
Eksi 4 A'yı karşıya aldığımız zamandan. 24'den küçükmüş 4 A'mız. Her iki tarafı 4'e böldüğümüz zaman. A dediğimiz 6'dan küçük.
Anılabileceği pozitif tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 5 4 3 2 1'i. Topluyorsunuz sonucu buluyorsunuz.
Hadi bakalım 5 çarpı 6 bölü 2 15 cevabını işaretlemeden geçtim ben. Son bak. 13. soru. Diyor ki denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı. Denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı demek.
Çift katlı kök var demek. Çakışık kök var demek. Yanii denklemin deltası eşittir 0 demek. Delta hesapla işi bitir. Hemen diyorum ki o zaman b kare.
m eksi 1'in karesi. Eksi 4. A dediğimiz eksi 2. C dediğimizde eksi 2 eşittir 0. Hemen şurası şu eksiyle şu eksi artıya çevirsin. 8 eksi 16 yaptı. Bu eksi 16'yı da karşıya aldım.
M eksi 1'in karesi eşittir 16 oldu. Bakın ben açmayı tercih etmedim. O zaman M eksi 1'in karesi 16 ise M eksi 1 ya 4'tür. M-1 ya da M-4'tür.
Karşıya salladım. M dediğimiz ya 5, M dediğimiz ya da eksi 3 oldu. Emin alabileceği değerler çarpımları cevap B. Evet bakın burada bir unutmamız var.
Diyor ki delta eşittir sıfırın diğer isimleri çakışık kök. Eşit kök, çift katlı kök, tam kare hepsi aynı anlama gelir. Hepsi deltanın sıfıra eşit olduğu durumdur.
Şimdi diyor ki sonraki soruda denkleminin çakışık iki kökü vardır ve bu kök eksi dörttür. Nedir biliyor musunuz o zaman burası? Nedir biliyor musunuz? Kökü eksi dört olan denklem x artı dört kare.
Hemen böyle yaz bak tam kare durumunu unutma. Yaparsın yerine yazarak da falan yaparsın ama budur işte. Yanii çift katlı kökü olan denklemimiz tamam mı? Çakışık iki kökü olan denklemimiz tam karedir. Kökü de eksi dörtse bu.
Aç burayı şimdi. X kare artı birinci ile ikincinin çarpımını iki kata 8x. İkincinin karesi 16 eşittir 0. O zaman bakın buraya baktığımız zaman. Şuradaki 3a'nın, eksi 3a'nın neye eşit olduğunu biliyorum.
8'e eşit olduğunu biliyorum. a dediğimiz eksi 8 bölü 3 yaptı. Sonra a çarpı b.
a'nın eksi 8 bölü 3 olduğunu buldum. Çarpı b'miz var. Bunların çarpımlarının da 16'ya eşit olduğunu biliyorum.
Hadi şurada sadeleştirme yapalım. Şunları sadeleştirince eksi 2. Bunları içler dışlar yaptığım zaman b dediğimiz eksi 6'ya eşit oldu. Hiç uzun uzun uğraşmaya gerek yok.
Ne dedik? ...deltası sıfıra eşit olan denklemler... ...bir şeyin karesi olan... ...denklemlerdir dedik.
Şimdi 15. sorumuz. Sınav bu tarzda soru sordu. Ben de yerleştirdim. Denklemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. Denklemin diskriminantı deltadır.
Denkleminin iki farklı gerçek kökü vardır. Bakın. Denklemin içine de deltayı yerleştirmiş. Şimdi biz deltayı hesaplayalım hadi. Delta nasıl buluyorduk?
B kare. Bak bunun B'si burası. C'si burası.
A'sı bir. Şimdi soru da direkt şöyle yazıyor bazıları. B kare eksi 4 AC B kare eksi deltanın karesinden delta kare yaptı. Eksi 4 A dediğimiz bir C dediğimiz.
Sadece böyle yazan ayvayı yedi. Niye ayvayı yedi? Şöyle bir eşitliğin hem solu hem sağı vardır. Yanii bizim formülümüz şu. delta eşittir b kare eksi 4 ac.
Yanii yazarken ben delta'yı hesaplıyorum diyeceksin. Sonra burayı hesaplayacaksın. Birnde b kareyi oluşturdum.
Eksi 4 ac'mizde 12 yaptı. Şimdi denklemin iki farklı gerçek kökü varmış. İşte bu bizim deltamıza eşit. O zaman bu deltayı hesaplayacağım.
Bu bu tarafa aldım. Sıfır eşittir. Deltanın karesi eksi delta eksi 12. Burayı çarpanla ayırıyorum.
Bakın delta ile deltanın çarpımı. Eksi 4 ile artı 3'ün çarpımı. Yanii bu denklem delta eksi 4 ile delta artı 3'ün çarpımı oldu.
Eşittir sıfır. Buranın sıfır olabilmesi için delta ya 4. ...delta ya da eksi üçüdür. Şimdi ne diyordu?
İki farklı gerçek kökü. E delta eksi olursa iki farklı gerçek kökü olur mu? Olmaz.
Demek ki delta dediğimiz dörtmüş. O zaman bu denklemde delta yerine dört yazıyorum. X kare eksi dört x artı üç oldu. Eşittir denklemin. Çarpanla ayırdım.
X eksi üç çarpı. X eksi birdir. Burası eşittir sıfır.
O zaman köklerimizden biri üç. Bir de bir oldu. Küçük kökü kaçtır diyor?
Bir. 15. sorumuzun cevabını da bulmuş olduk. Hemen hemen hemen hemen 16'ya geldik.
Bakalım 16'da ne var? Evet bu da yine bir önemsediğim soru. Kurnaz olman gereken küçük bir trik olan zor olmayan bir sorun.
Şimdi diyor ki denkleminin kökleri A, B ve C'dir diyor. Tamam kökleri A, B ve C'dir. Bu A eşittir B eşit değildir C olduğuna göre N'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır diyor. Şimdi dikkat et. Üç tane kökümüz varmış.
İkisi birbirlerine eşitmiş. üçüncü eşit değilmiş. Şimdi burada bak bir tane bir birinci dereceden denklem var. Buranın bir kökünü biliyorum. Buranın köküne eksi üç.
Dikkat et güzel soru. Şimdi mesela A eksi üçse B'de ne olacak o zaman? Eksi üç olacak. C bunlardan farklı. Yanii bu denklemin köklerinden bir tanesi eksi üç olabilir.
Şimdi birinci durumumuz bu. Tamam mı? Bu birinci durumumuz.
Yanii ben bu denklemin eksi üç diye bir kökü var. O zaman... ...kök denklemi sağlardan...
...eksi 3'ü yerine yazıyorum. Eksi 3'ün karesi 9. Eksi 3 ile 4'ü çarptım. Eksi 12. Artı n eşittir 0. N dediğimiz ne geldi?
3. Yanii oradaki denklem şu oldu. x kare artı 4x artı 3 oldu. Eşittir 0. x, x, 3, 1. Ne oldu?
x artı 3 çarpı x artı 1 eşittir 0. O zaman x dediğimiz... ...ya x ya da x dediğimiz ne oldu? Eksi 1. Bakın o zaman bir kök eksi 3'tü, bir kök daha eksi 3 geldi, bir kök de eksi 1 oldu.
Neydi kaç oldu arkadaşlar bu durum için? 3. Yanii n'in alabileceği ilk değer bu. Hocamm başka ne durumu var?
Şimdi bakın bizim şurayı siliyorum, siliyorum. İkinci durumu da şöyle yapalım. İki tane eşit kökümüz vardı değil mi? İşte bunun kökü bir kere eksi üç tamam. Eksi üç eşit olmayan kökümüz olsun.
O zaman bu denklemin kökleri birbirlerine nedir? Eşittir Yanii bu denklemin deltası sıfırdır. Veya neyin karesinin açılımı gibidir? Düşün burayı.
Neyin karesinin açılımı? Tam kareyi kullanırsan işin daha kolay olur. x artı 2'nin karesinin açılımı.
Yanii bu x kare artı 4 x artı 4 deyip n'ye 4 diyebilirsin. Ama delta ile de yapabilirsin. Hadi delta ile de yapalım biz.
Deltası ne olacak arkadaşlar çift katlı kökü olabilmesi için? 0. b kare 4'ün karesi 16. Eksi 4. a'mız 1 c'miz n. Eşittir 0. Burada n'nin yine 4 olduğunu buldum. Bizden n'nin bir 4 bir 3. Cevabımız 7 olmuş oldu.
Evet şimdi konunun önemli önemli önemli bölümlerinden bir tanesine geliyoruz. Dikkatini topla. Kökler toplamı, kökler çarpımları, kökler farkının mutlak değeri.
Şimdi kökler farkının mutlak değeri normalde ikinci dereceden denklemlerde çok kullanmıyoruz ama parabolide kullanıyoruz. Hemen parabol ile de ilgili bir şey hatırlatmış olayım. İşte sana mesela şu parabolide burası x1 burası x2'dir. İşte şu uzaklığı soruyorsa aslında sana. Mutlak değer x1 eksi x2'yi soruyor.
Yanii kökler arasındaki uzaklığı soruyorsa aslında bunu soruyordur. Kök delta bölü mutlaka kullanabilirsin. Hemencik bir parabol formu şeyi de yaptım sana.
Şimdi kökler toplamları nedir arkadaşlar? Kökler toplamlarımız x1 artı x2. Eksi b bölü a'dır. Tamam biliyorsun. Kökler çarpımlarımız c bölü a'dır.
Kökler farkının mutlak değeri. kare kökte delta bölü mutlaka adır. Bu formülleri adın soyadın gibi biliyorsunuz zaten.
Şöyle bir üstünden geçtik. Hemen kolay birkaç tane sorular çözelim. Denkleminin kökleri budur diyor. X artı X'yi söylemiş. X artı X.
Bakın burası B'dir. Eksiyi koydum. B dediğimiz M eksi 3. A dediğimiz x karenin kat sayısı 1. İşte buranın 5 olduğunu söylemiş.
Kökler çarpımları C bölü A'ydı. C dediğimiz 5 eksi N. A dediğimiz 1. Buranın kaç olduğunu söylemiş bize eksi 3. Bakın burayı dağıttığımız zaman eksi M artı 3 eşittir 5. Bu buraya salladığım zaman eksi M eşittir 2 yaptı. M dediğimiz ne eşit oldu? Eksi 2 burayı bulduk.
Bu buraya bunu buraya aldığımız zaman ne dediğimizde 8 oldu. Sorumuzun cevabı 6. Kolay bir soruydu. Zor bir soru değildi. Tamam mı?
Bir hatırlatma sorusuydu yani öyle söyleyelim. Hemen geldik 18. sorumuza. Diyor ki 2 olduğuna göre bu nedir? Hemen buranın ne yapacağım? Paydasını eşitleyeceğim.
x2 ile x1 ile. Payda eşitlediğimde yukarısı x2 artı x1 yaptı. Aşağısı x1 çarpı x2 yaptı.
İşte burası 2 imiş. x1 artı x2. Yanii denklemin kökler toplamları. Eksi b bölü a. Tamam mı?
Yukarıda kökler toplamları var. a'sı 1 olduğu için eksi b hiç bölmüyorum. Eksi parantezinde n eksi 5 yaptı.
Kökler çarpımları c bölü a. C dediğimiz eksi n artı 6'dır. Bakın burasının ne eşit olduğunu biliyorum 2'ye.
Hadi bitirelim işi şimdi. Şuradaki eksi'yi içeri dağıtıyorum. Eksi n artı 5 yaptı burası eşittir. İçler dışlar yapıyorum.
Eksi 2n artı 12 olmuş oldu. Bu bu tarafa aldığım zaman n. Bu bu tarafa aldığım zaman eksi olarak geçti 7. n dediğimizin 7 olduğunu bulduk.
Hemen geçtik 19. sorumuz. Ne diyor? ...kökler farkının mutlak değeri 5'miş.
Hemen formülünü hatırla. Burada şıklarımız çıkmamış. Kare kök delta bölüm mutlak A'nın bize...
...kaç eşit olduğunu söylemiş? 5. Veya ikinci parabol sorusu olarak çıktığında... ...şöyle verir bakın.
Şimdi size der ki A ile B noktaları arasındaki uzaklık... birim olduğunu... ...yani oralara x1, x2 yazmaz.
5 birim olduğuna göre neye kaçtır der. Hemen sen diyeceksin ki buralar x1. Buralar x2'dir deyip yürüyeceksin.
Hadi bitirelim şimdi. Ne diyorum? Kare kök delta.
Kare kök içerisinde delta'yı hesapla. b kare eksi 3'ün karesinden 9. Eksi 4. a'mız 1, c'miz 4. 4'en yaptı. Bölüm mutlak a dediğimiz 1. Buranın 5 olduğunu söylüyor.
İçler dışlar yaptım. Kare kök içerisinde 9 eksi 4n eşittir 5. Bu denklemi çözebilmek için her iki tarafın karesini aldım. 9 eksi 4n dediğimiz...
25'e eşit olmuş oldu şöyle. Buranın 25 olabilmesi için 4n'in eksi 16 olması lazım. Her iki tarafı 4'e böldüğümüzde n dediğimiz eksi 4. n eksi 4 ise kökler çarpımlarını soruyor.
c bölü a'yı soruyor. O da zaten eksi 4'tür diyoruz. Tamam.
Şimdi... 20 ve 21. soruları beraber açtım. İyi bak. Şimdi soruların köklerine bak.
Sorular birbirlerine çok benzer sorular ama hatırlaman gereken özellikle soruları iyi ikinci dereceden denklem sorularına iyi okuman gerektiğini hatırlatacak iki tane soru. Hadi gel bak şimdi. Denkleminin kökleri çarpımı kaçtır diye soruyor burada. Burada da denkleminin gerçek kökleri çarpımı kaçtır diye soruyor.
Ne farkı var? Bu soruda denklemin kökleri mesela buradaki ikinci dereceden denklemin kökleri gerçek mi diye bakacaksın. Nasıl bakıyorduk gerçek mi diye delta.
Yine buradaki ikinci dereceden denklemin kökleri gerçek mi diye bakacağım. Ama burada sadece kökler çarpımını soruyor. Burada bir ikinci dereceden denklem var. Bu denklemin kökler çarpımları x1 çarpı x2. C bölü a hiç çarpanları ayırmam bile.
Eksi 2 bölü 1'den bunun kökler çarpımları. 1'den eksi 2 yaptı. Burada da ikinci dereceden bir denklem var.
Onun köklerini de x3 ile x4 diyelim. Yine c bölü a. Bakın bunun c'si eksi 9. a'sı 1. Eksi 9 bölü 1'den eksi 9. Bütün kökler çarpımlarını soruyor.
Çarptığım zaman 18. Yanii x1, x2, x3, x4'ün çarpımını soruyor. Ne diyordu? Kökleri çarpımı. Gerçek mi değil mi bakma demiş.
Şimdi sonraki soruya baktığımda gerçek kökleri diyor. O zaman hemen ilk denklemin şunun deltasına bakıyorum. Delta eşittir. B kare eksi 7'nin karesi 49. Eksi 4. A'mız 1. C'miz 3. 49 eksi 12'den 37. Deltası sıfırdan büyük olduğuna göre bunun kökleri gerçektir. X artı X'si.
Eksi B bölü A'dan. Eksi B'miz eksi 7. A'mız 1. 7'dir. Şimdi hemen ikincinin deltasına bakıyorum. B kare 5'in karesinden 25. Eksi 4. A'mız 1. C'miz 8. Deltası eksi 7 yaptı. Yanii buranın gerçek kökü yok.
O zaman gerçek kökleri toplamını sorduğu için buranın köklerini alamıyorum. 7 sorumuzun cevabı tamam mı? Yanii sorunun içerisinde gerçek kelimesi geçiyorsa delta sıfırdan büyük olmalı. Buna bakacaksın. Ama sadece kökler toplamı diyorsa...
Yanii o zaman karmaşık köklerin de toplamlarını falan da istiyordur. Hiç kafayı karıştırmadan güzel bir şekilde ilerliyorsun oradan. Evet şimdi kaçıncı soruydu bu çözdüğümüz?
19-20, 21'i çözdük. Tamam. Bakalım 22. sorumuz ne diyor? Şimdi soruda verilen bilgilere göre kökleri buluyorduk. Gel bize denklemi vermiş x1 ve x2'dir demiş.
Aralarında bağıntı vermiş bu. Şimdi bu bilgiyle beraber ben bu denklemden neyi hesaplayabiliyorum bir kere yukarıdaki verilen denklemden? x1 artı x2'yi hesaplayabiliyorum. Nedir?
Eksi b dediğimiz nedir? Üçtür. A dediğimiz eksi birdir.
Kökler toplamını buldum. Bu denklemden kökler çarpımından c bölü a da uygularım ama. Bu bilgiyle arkadaşlar bu çarpımlarını aynı anda kullanamazsın.
Hemen bununla beraber kullanacağım bilgiyi yazıyorum. Bakın şurası. Denklemleri yazdım. 2x1-2.
x2 eşittir 18. x1 artı x2'nin de ne olduğunu buldum. Ben 3 olduğunu buldum. Bakın taraf tarafa topladım götürdü. 3 tane x1'imiz kaça eşit oldu? 21 yaptı.
O zaman x1 dediğimiz kaçmış? 7'ymiş. O zaman x1'imiz 7 ise...
şurada x1 yerine 7 yaz x2 dediğimiz kaçtır o zaman arkadaşlar? Eksi 4 İstersen kökler çarpımından bul. Bakın x1 çarpı x2 c bölü a'dır değil mi?
c'miz m artı 12 yapıyor. a'mız kaç burada? Eksi 1. Bakın köklerden bir tanesinin biz ne olduğunu bulduk 7. Bir tanesinin eksi 4 çarpınca eksi 28 yapıyor. İşte burası eksi 28. Şunları işler dışlar çarparsam artı yapar.
m artı 12 eşittir 28 ise m dediğimizin 16 olduğunu buluruz. Veya ne yaparsınız kökü bulduk ya kök denklemi sağlar. X yerine yazıp sorunun cevabına yine ulaşabilirsiniz. Hadi bakalım 23. Hemen 23'e baktığımızda bilgiye bakıyorum. Bu bilgide kökler çarpımını güzel kullandıracak bilgi.
Hadi bakalım şimdi. Bu denklemde kökler toplamlarını bulun isterseniz. X artı X eşittir.
Eksi B bölü A Eksi B dediğimizin başında da eksi var. Bakın 4n-2. Böyle A dediğimiz 1. Şu eksileri artıya dönüştü. Kökler toplamlarımız 4n-2 imiş.
Tamam. Şimdi kökler çarpımlarına da bakın hadi. X çarpı X eşittir. C bölü A C'miz eksi 16. A'mız 1. Eksi 16. Bakın x1 yerine diyor ki eksi 2 x2 yazın.
Şunun yerine eksi 2 x2'nin karesi yazın diyor hatta. Çarpı x2 eşitmiş eksi 16. Bakın her iki tarafı eksi 2'ye bölüyorum. Böldüm eksi 2'ye.
Böldüm eksi 2'ye. Şunlar götürdü. X'nin 3. kuvveti eşittir 8 yaptı. Demek ki x2 dediğimiz kaçtır 2? Şimdi neyi bulmak istiyorsanız kök denklemi sağlar deyip x yerlerine 2 yazıp 0 eşitleyebilirsiniz.
Veya kökler toplamından da yapabiliriz. Bakın x2'nin 2 olduğunu bulduk. 2'yi yerine yazdım. 2'nin karesi 4. 4 ile x2'yi çarptım.
X dediğimizde eksi 8 oldu. O zaman kökler toplamlarımız eksi 6. Bakın şuradaki kökler toplamını eksi 6'yı eşitleyerek de yaparız. 4 en eşittir eksi 4 en eşittir eksi 1. Tamam mı? Kök denklemi sahalardan da yaparsın. Kök toplamından da yaparsın.
İstediğin yerden yaparsın. Hadi buna bakalım şimdi. Ne diyormuş bize? Denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre x1 artı x2 nedir?
Kolay soru. x1 artı x2. Ne eşittir x1 artı x? Söyle bana.
x1 artı x2 eşittir. Eksi b bölü a. b denilen x'in kat sayısı burası işte. Yanii eksi x1 artı 7. b'miz bu. a'mız 1. Hadi x1 çarpı x2'yi söyle bana şimdi.
c bölü a. c şuradaki sabitin hepsi işte. a'sı da 1 olduğu için eksi 5 x2 eşit oldu. Bakın. Buradaki sıfırdan farklı dedikleri için sadeleştirmede bir sıkıntı yok.
X dediğimizin ne olduğunu bulduk. Eksi 5. Hadi o zaman ilk denkleme geri dönüyorum şimdi. Ne yapıyorum ilk denklemden?
X eksi 5. Artı X eşittir. Eksi 5'i yerine yazdım. 7 ile topladığım zaman burası 2 yaptı. Bir de eksi var önünde. Eksi 2. Hop salladım karşıya bunu.
X dediğimiz 3 yaptı. X artı X. Eksi 2 eşit oldu. Cevabım. Bursa Tamam mı?
Kökler toplamları, kökler çarpımları bizim için önemli. Hop 25. sorumuz. Bu bir çözeyim.
Bu çözdükten sonra ben kısacık bir ara vereceğim. Tabii videoyu birleştireceğim için sen arayı anlamayacaksın. Denklemlerinin kökleri x1 ve x2'dir. Böyle bir ifade verilmiş. Buna göre m kaçtır?
Arkadaşlar kök denklemi sağlar demiştik değil mi? O zaman bakın x1 yazılmış aslında. x1'in karesi artı 5x1 artı 5m-3'ün ben neye eşit olduğunu biliyorum sıfıra.
x1 ya şunu elde etmeye çalıştım ama burada 6x1 var. Eee ben 5x1 ile olanı biliyorum. O zaman onu da parçalayayım şimdi.
Şurayı parçalıyorum. Nasıl parçalıyorum? x1'in karesi...
Artı 5x1 yazıyorum. Artı x1 yazıyorum. Yanii 6x1'i böyle yazdım. Artı x2 eşittir 13 oldu.
Bak şimdi ifadeye. Ben şuradaki ifadenin, şuradaki ifadenin karşıya atarsak burayı. x1'in karesiyle 5x1'in toplamının 3-5m olduğunu buldum.
Hadi bunun yerine 3-5m'i yazıyorum. Burada ne oluştu bakın. Burada ne oluştu.
Köküler. toplamı x1 artı x2 x1 artı x2'sini söyle bu denklemin şimdi bana. Bakın eksi b bölü a. Yanii eksi 5 bölü 1'den eksi 5 yaptı.
O zaman bunun yerine de eksi 5 yazdım. Eşittir 13. Şimdi Burası ne yaptı? Eksi 5m eksi 2 eşittir 13 yaptı.
O zaman eksi 5m eşittir 15 yaptı. Her iki tarafa eksi 5'e böldüğümüz zaman m dediğimizin eksi 3 olduğunu buluyoruz. Bu cevap. Tamam mı? Hadi ben küçük bir ara veriyorum.
Sonra hemen devam edeceğiz. Evet küçük bir ara verdim. Ben dinlendim. Siz de böyle küçük küçük aralar verebilirsiniz. Uzun bir video olacak çünkü.
Kaç tane? 60 küsur tane soru çözeceğiz dedik. Şimdi geldik.
İkinci dereceden denklemlerde simetrik kök. Şimdi simetrik arkadaşlar, simetrik kelimesi bizde nereye göre simetridir? Hep sıfıra göre simetridir. Bakın 1-2 ise diğeri nedir köklerden?
2'dir. Mesela şu denklem x²-4 eşittir 0. Attım karşıya x² eşittir 4. Bakın köklerimizden 1-2, 1-2 oldu. İşte bu durumlara simetrik kök diyoruz.
Simetrik köklerde kökler toplamlarımız nedir? Sıfırdır. Yanii şu b'nin olmaması gerekiyor.
b'nin sıfır olması lazım ama yetmiyor. Bakın şuradaki x ile mesela x kare artı 4 eşittir sıfır olsaydı, x kare eşittir eksi 4 olacaktı, gerçel kökü olmayacaktı. Ve şuradaki a ile de c'nin işaretinin ters olması lazım.
Yanii a çarpı c sıfırdan küçük olmalıdır diyoruz. Çok önemli değil aslında simetrik mantığını bilmen yeterli. Bak şimdi 26 diyor ki denkleminin simetrik iki gerçek kökü vardır. Simetrik kök olabilmesi için kökler toplamları sıfır olmalı. Yanii burası sıfır.
Yanii m kare eksi 16 eşittir sıfır olmalı. O zaman m kare eşittir 16. m dediğimiz ya eksi 4. m dediğimiz ya da ne olmuş oldu 4. Şimdi m eksi 4 mü 4 mü bakalım. m yerine biz eksi 4 yazdığımız zaman eksi 4 x kare.
Burası sıfırlanıyor zaten artı 9 eşittir sıfır yapıyor. 4 yazdığımız zaman 4x kare artı 9 eşittir 0 yapıyor. Bakın hangisinin kökü var?
Bun kökü var. 9 eşittir 4x kare yapıp kökleri bulabilirim. İşte x kare eşittir 9 bölü 4 yapar.
Köklerimizden biri artı 3 bölü 2 biri eksi 3 bölü 2. Ama bakın buranın yok. x kare eşittir eksi 9 bölü 4 yapar. Bir sayının karesi eksi sayı olamaz.
Veya ne dedik? a ile c zıt işaretli olacak dedik. c'nin işareti artıysa şunun işaretinin eksi olması lazım. Yanii m dediğimiz eksi 4 türlüyoruz.
Hadi bakalım 26'yı da geçtik 27'ye doğru ilerleyelim. Şimdi 27. sorumuz artık bize yavaş yavaş kökler ilişkilerine geçmeye başlıyoruz. Farklı sorularımız başlıyor.
Denkleminin köklerinin yarısı denkleminin kökleridir diyor. O zaman bu denklemin kökleri x1 ile x2 ise bu denklemin kökleri 2x1 ile 2x2 imiş gördük mü? Çünkü bunun köklerinin yarısı bunun köklerine eşitmiş. O zaman... Kök toplamı ve kök çarpımı yaparak soruyu rahatlıkla çözebilirim.
Şimdi yukarıdaki denklemin kökler toplamlarını söyle bana. 2 x 1 ile 2 tane x 2'nin toplamı eksi b bölü a. Eksi b bölü a'yı yaptığım zaman m buldum. Aşağıdaki denklemin kökler toplamlarını söyle.
x 1 artı x 2. Eksi b bölü a'dan bakın başında eksi var artıya dönüşür. m artı 1. a'mız zaten 1. Bakın o zaman şuradakinin 2 katı. buna ne olmak zorunda?
Eşit olmak zorunda. Şimdi burada ne var? 2 tane x1 artı x2 var. O zaman 2x1 artı 2x2 eşittir.
2m artı 2'ye 2 ile çarptım. O zaman bu burayla bura birbirlerine ne olmalı şimdi? Eşit olmalı. Hadi eşitleyelim. M eşittir.
2M artı 2 yapıyor. 10 oraya 10 oraya aldığımız zaman M dediğimizin eksi 2 olduğunu buluyoruz. Tamam mı? Yanii kök toplamı, kök çarpımı çok fazla kullanacağız.
Hadi şimdi 28. sorumuza bakalım. Ne diyor? Diyor ki denkleminin kökleri, denkleminin köklerin iki katının bir fazlasıdır diyor.
Buna göre A kaçtır? Bak bunun kökleri X ve X ise bunun kökleri... Bun iki katının bir fazlasıymış. 2x1 artı 1 ile 2x2 artı 1'miş. Yine kök toplamı kök çarpımı ile yapalım.
Bakın a'yı istiyor. Şimdi bu denklemin kökler toplamını söyle bana. x1 artı x2. Eksi b bölü a yaptığım zaman eksi eksi artıya dönüştü 2. Tamam. Şimdi buranın kökler toplamını söyle.
2 tane x1 artı 1 ile 2 tane x2 artı 1'in toplamı. Eksi b bölü a yaptığım zaman ne yaşit? a yaşit.
Bakın. İşim bitti artık. Şunlar da ikiler ortak. İki parantezini aldım.
X artı X. Sonra 1 artı 1'den de 2 geldi. Eşittir A X artı X'nin 2 olduğunu buldum.
2 ile 2'yi çarptım. 4, 4 ile 2'yi topladım. A'nın 6 olduğunu bulmuş oldum. Tamam mı? Hatırlıyoruz değil mi?
Hadi bakalım. Şimdi geldik ortak köklü denklemlere. Bu ortak köklü denklemler bizim için önemli. Şimdi ortak köklü denklemlerde neler yapıyorduk onu bir hatırlayalım.
Üç tane durumu çıkar karşımıza. Şimdi eğer denklemlerin birer kökü ortak diyorsa, sadece birer kökü ortak diyorsa, başka bir bilgi yoksa, o denklemlerdeki x kareleri yok et, bir x değeri bulacaksın. Bulduğun x değerin denklemlerin ortak kökü olacak. Birazdan göstereceğim.
Sadece birer kökü ortak derse, birer kökü ortak ve diğer kökleri eşittir derse mesela birer kökleri... Ne diyor? Ortak ve diğer köklerini de verdiyse işte bunu 5 bunu 6 gibi verdiyse bu sefer bu denklemin kökler toplamı ile bu denklemin kökler toplamı arasındaki ilişkiden çözeceksin. Anlaşıldı mı? Yanii bize birer kökü ortak derken başka bilgide verdiyse kök toplamı kök çarpımı sadece bir kök ortak dediyse x kareyi yok edip ortak kökü bulacaksın.
Bak sadece birer kökü eşit diyor. O zaman ortak kökü bulmak için yok etme metodu yapacağım. Yukarıdaki denklemi veya aşağıdaki denklemi eksiyle çarpıyorum.
Çarptım eksiyle. Taraf tarafa topladığımda x kareler götürdü. Bakın şimdi burada m artı iki tane x var. Eksiyi dağıtıyorum. Tamam mı?
Ya da x parantezine düşünün burayı. İkisini topladığımda. Bu x parantezine aldığımda yukarıdakinde m artı 2 geliyor.
Aşağıdakinde eksi m artı 3 geliyor. Eksi m artı 3 geliyor. Artı 15 eşittir 0 oldu.
Bakın m'ler götürdü. 5x artı 15'i de karşıya attım. Eşittir o eksi 15. 5x eksi 15 ise x dediğimiz eksi 3. İşte bu bulduğumuz eksi 3. Birer kökü eşit diyordu ya işte o eşit olan kökü buldum şu anda. Eksi 3. M kaçtır diyor.
Kök denklemi sağlar şimdi. Denklemlerden hangisinde eksi 3 yazarsanız yazın sorunun cevabı gelecek. Eksi 3'ün karesi 9 yaptı. Eksi 3 yazdım içeri dağıttım.
Eksi 3M eksi 6 artı 7 eşittir 0. Şu eksi 3M'i bu tarafa aldığım zaman buradan ne geliyor? 9'un 6'sı gitti. 3, 10 geldi.
3m eşittir 10'sa m dediğimiz 10 bölü 3 eşit oldu. Hemen başka bir durumu. Denklemlerin birer kökü eşit.
Bak yine sadece bir kökü eşit diyor. Ne yapacağım? Yok edeceğim yine. Hemen aşağıdaki denklemi eksiyle çarptım.
Eksi, eksi, eksi art oldu. X kareler götürdü. Bakın.
X'lilere bakın. Ne yaptı? X parantezini alırsak. A eksi 3x yaptı.
Bakın şunları x parantezine aldım. E şimdi neler de birbirlerini götürüyor? Şurasının işareti ne olmuştu? Halkayı alınca gitti işaret. Eksiyle çarpmıştık.
Eksiyle çarpınca ne oldu burası? Durun bakayım. Eksiyle çarptım. Eksiyle çarptım. Tamam.
Şimdi burada eksi 2a vardı. Eksi 2a daha var. Eksi 4a yaptı. Artı 12 eşittir 0. İksi bulmak istiyorum.
O zaman şunları karşıya aldım. x çarpı a eksi 3 eşittir. 4a eksi 12 oldu.
x çarpı a eksi 3 eşittir. 4 parantezinde a eksi 3. Bakın a 3'den farklı dediği için sadeleştirme yapabilirim. Çat çat götürdü.
x eşittir 4. İşte bu denklemin ortak köküdür. Ortak kökü denklemde yerine yaz şimdi. 4'ün karesi 16. 4'ü yerine yazdığım zaman a artı 4a eksi 2a eşittir 0. 2a eşittir eksi 16. a dediğimiz eksi 8 olmuş oldu. Hemen bir sonraki kalıbımız. Denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre birer kökü ortak olduğuna göre aslında bu kalıptan niye bu kadar çok soru koymuşum ki ben neyse.
Birer kökü ortak olduğuna göre m kaçtır diyor. Birer kökü ortaksa ortak kökü bulmak için hemen yine eksiyle çarptım. X kareler birbirlerini götürdü.
Bakın eksi x eksi x eksi 2x yaptı. Eksi 2m eşittir 0 yaptı. O zaman 2x eşittir eksi 2m.
Evet. Her iki tarafı ikiye böldüğümde x eşittir eksi m oldu. Tamam. Kök denklemi sağlar deyip x gördüğümüz yerlere eksi m yazıyorum.
Eksi m'nin karesi m kare. x yerine eksi m yazınca burası artı m yaptı. Artı buradan 2m geldi eşittir sıfır. Denklemim x kare artı 3m eşittir sıfır oldu. x parantezinde x artı 3 eşittir sıfır.
M x ne ya? Şuradakiler m. X'e niye dönüştü? Burada m.
M sıfırdan farklı diyor. M buradan ya sıfır ya da eksi üç geldi sıfır olabilmesi için. Sıfırdan farklı dediği için bu durum olmadı. Eksi üç. Hemen geçtik otuz ikiye.
Şimdi bakıyorum soruya diyor ki denkleminin bir kökü 3, denkleminin bir köke eksi 2 ve diğer kökleri eşit. Bu durumlarda ne yapacağız? Ya kökler toplamı ya kökler çarpımı.
Başlayalım. Eşit olan kökleri x1 olsun. Bu denklemlerin x1 kökleri eşitmiş.
Bakın o zaman bu denklemin kökler toplamını söyleyin bana. x1 artı 3 yapıyor. Eksi b bölü a yapıyorum şimdi. Eksi b bölü a. Eksiyi koydum.
a'mız 1 olduğu için yazmıyorum bakın. Eksi parantezinde a eksi 1 yaptı. Şimdi bu denklemin kökler toplamlarını söyleyin bana.
x 2 ile eksi 2'nin toplamı. Eksi parantezinde yine a'sı 1 olduğu için bir eksi de başında var. Artıya dönüşecek.
b artı 2. Bakın a artı b'yi istiyor bizden. a artı b'yi bulabilmek için yukarıdaki denklemi eksi ile çarpıyorum. Burası artıya dönüşüyor.
Bakın topladığımda topladığımda şu ortak kök ikisinde x 1. Şu x 1'ler birbirlerini götürdü. ...eksi 3 burada, eksi 2 burada, burası eksi 5 yaptı. Bakın A ile B'nin toplamı geldi.
A artı B. Sonra burada eksi 1 var. Burada artı 2 var.
Artı 1 yaptı. Karşıya aldığım zaman eksi 6 eşittir. A artı B olmuş oldu. A artı B eksi 6. Tamam mı? Yanii birer kökü ortak.
Ve diğer köklerle ilgili de bilgiler verdiyse ne yapıyormuşuz arkadaşlar? Kök toplamı kök çarpımı. Hadi sonraki soruya bakalım. Diyor ki denkleminin bir kökü 3, denkleminin bir kökü 6. Bu denklemlerin diğer kökleri eşit.
Hemen diğer köklerine x1, x1 dedim. Ne sorduğuna baktım. B ile C B sabit sayısı, C sabit sayısı. Yanii bu sefer kökler çarpımıyla uğraş diyor. Bunların kökler çarpımları ne yaptı?
Eksi 3 tane eksi 1 yaptı. C bölü A, C'si B, B bölü 1'den B yaptı. Hemen buranın kökler çarpımlarına bakıyorum. 6 tane x1 yapıyor. Buranın c bölü a'sı c bölü 1. C yaptı.
Bakın b bölü c oranını istiyor. Taraf tarafa böldüm bu sefer. x1'ler götürdü.
Şunları sadeleştirdik. Eksi 1 bölü 2 b bölü c oranına eşit olmuş oldu. Bu kadarcık basit. Hadi bakalım 34.sını.
Denkleminin bir kökü 4'tür. Diğer kökü ise bu denklemin bir köküne eşittir diyor. Şimdi bu denklemin bir kökü 4 ise bu 4'ü yerine yazarak bu 4'ü yerine yazarak M'yi bulabilirim.
4'ü yerine yazdım 16. 4'ü yazdım yerine ama önünde şu eksi var. Eksi 4 oluştu. İçeri dağıtıyorum. Eksi 4m artı 12 yaptı.
Eksi m, eksi 3 var. Eşittir 0a. Burası eksi 5m yaptı. Karşıya aldım 5m. 16, 28 ve 3'ü gitti 25. 5m 25 ise m dediğimizin kaç olduğunu bulduk?
5. Şimdi m yerine 5'i yazıyorum denklemde. 5'i yazdım. Eksi 2x yaptı burası. 5'i yazdım. Eksi 8 eşittir 0. Diyor ki denkleminin bir kökü 4. Diğer kökü de bunun kökü.
Hadi diğer kökünü bulmak için çarpanlığını ayırdım. Eksi 4 ile 2. Yazdım yan yana. X eksi 4. Çarpı X artı 2 eşittir 0. O zaman bir kökümüz 4. Bir kökümüz de eksi 2 oldu.
Bakın zaten 4'ü söylemişti bana. Diğer kökü yani eksi 2 kökü. Bun da bir köküymüş.
O zaman eksi 2'yi de burada X yerlerine yazıp bitireceğim. eksi 2'nin karesi 4 eksi 2 yazdım eksileri artıya dönüştü artı 2n yaptı şimdi biz m'nin 5 olduğunu bulmuştuk burada m yerine 5 yazarsak burası da eksi 10 yaptı eşittir 0 2n eşittir şurası eksi 6 yaptı karşıya aldım 6 3'e eşit olmuş oldu cevabımız denizli Tamam mı? Güzel tekrar yapıyoruz.
Her soru kalıbını vermeye çalışıyorum. Daha farklı soru kalıplarımız var. Onu nerede yapacağız?
Bu bir sonraki videoda veya birleştirilmiş halini izliyorsan birleştirilmiş halinde parça parça izliyorsan bu video bu tekrar videosundan sonra bir tane de böyle 23 tane falan güzel sorunun olduğu videomuz var. Onu da izleyebilirsin. Hadi bakalım denkleminin çözüm kümesi kaçtır? Başta yapmıştık arkadaşlar bunu. Paydayı sıfır yapanları çözüm kümesine atacaktık.
Şimdi şurada x küp çarpanlarına ayıralım burayı. x eksi 2 çarpı x artı 2'dir burası. Burası da x eksi 3 çarpı x artı 3'dir.
Bakın şu anda burayı sıfır yapan birinci kök sıfır gibi görünüyor. Sonra ikinci kök 2, üçüncü kök eksi 2, dördüncü kök 3, beşinci kök eksi 3. Şimdi yukarıyı sıfır yapanlar bunlar. Aşağı sıfır yapanlar varsa bunları çözüm kümesine atacağım. Hemen burayı çarpanlar ayırıyorum. Hızlı hızlı yapıyorum artık öğrendin.
X eksi 3 çarpı X artı 2. Burası da X artı 3 çarpı X eksi 2. Bakın bunun kökü 3, bunun kökü eksi 2, bunun kökü eksi 3, bunun kökü 2. O zaman paydayı sıfır yapanların köklerini atacağım. 3 attım. Eksi 2 attım.
2 attım. Eksi 3 attım. Çözüm kümemiz sadece bir elemanlıymış. Cevabımız Adana olmuş oldu.
İlerledik şimdi nereye geldik bakalım. Evet şimdi denkleminin kökler toplamı değişken değiştirme yöntemimize geldik. Değişken değiştirmeyi hatırlayalım şimdi. Biz 2. dereceden daha büyük dereceli şeyler mesela burası 4. derecedendir.
Denklemleri 2. dereceden denkleme dönüştürebiliyoruz. İpucuyu bize şuradakiler veriyordu. Ne yapıyorum burada? x kare eksi 3 x'e ne diyeceğim?
A diyeceğim. O zaman denklemimde burası a kare oldu. Şimdi şurada x kare eksi 3 x var bakın.
2 parantezini alırsak. x kare eksi 3x yapıyor. Ben ona a demiştim.
O zaman burası artı 2a yaptı. Eksi 24 eşittir 0. Şimdi burayı çarpanlarına ayıracağım ama bana a'ları sormuyor. X'leri soruyor dikkat et.
Burasını a ile a'nın, burayı a ile a'nın, burayı da artı 6 ile eksi 4'ün çarpımı gibi düşünüp yakaladım. Ne oldu o zaman burası? a artı 6 çarpı a eksi 4 eşittir 0 oldu.
a dediğimiz neydi bu? Hemen yaz. x kare eksi 3x artı 6a yerine eski haline döndürdüm çarpı.
x kare eksi 3x eksi 4 eşittir sıfır. Şimdi burada kökler toplamı diyor. Burada da denklemin gerçeği kökleri. Bu... Anlattım biraz önce.
Kökler toplamı diyorsa bütün köklerinin toplamlarını istiyor. Şimdi burada iki tane köküm vardır benim. X ve X'dir.
Bunların toplamları eksi B bölü A'dan 3 yapar. Burada üçüncü ve dördüncü köklerim vardır. Eksi B bölü A'dan bunların toplamları da 3 yapar. Kökler toplamları 6'dır.
4 kökü vardır. Şimdi gerçek kökleri diyorsa şuradaki ikinci dereceden denklemle, buradaki ikinci dereceden denklemle, Bu denklemin kökleri gerçek mi diye bakacağım yani deltalarına. Birncinin deltasını hesaplayalım.
B kare eksi 3'ün karesi 9. Eksi 4. A'mız 1. C'miz 6. Burada 24. Eksi 15 geldi. Yanii bunun gerçek kökü yokmuş. Bun deltasını hesaplıyorum şimdi. B kare eksi 3'ün karesi 9. Eksi 4. A'mız 1. C'miz eksi 4. Bakın 16, 25. O zaman bunun delta 0'dan büyük kökleri var. Kökler toplamları da buranın kökler toplamları 3. Cevabımız 3 olmuş oldu.
Hadi şu değişken değiştirmeden bir tane daha yapalım. Bana ipucunu buradaki veriyordu. Hemen ne diyeceğim o zaman bu soruda?
X artı X artı 2 bölü X'e ne diyorum? A diyorum. O zaman A kare eksi 6 A oldu. Hadi yaz.
A kare eksi 6 A artı 9 eşittir 0. Burası A eksi 3'ün karesinin açılımı eşittir 0. Demek ki A dediğimiz 0 olabilmesine 3. Neydi A demiştik? Burada Buraya geri dön şimdi. X artı 2 bölü X eşittir 3. Bizden kökü X 1'dir diyor bunu istiyor. Şimdi kök denklemi sağlar zaten.
Bir çarpanlara ayırma sorusu oluştu şimdi bakın. Şimdi bunu elde edebilmek için her iki tarafın neyini alıyorum? Karesini. Birncinin karesi X kare. Birnciyle ikincinin çarpımını iki katı.
2 çarpı X çarpı 2 bölü X. Artı ikincinin karesi 4 bölü X kare. Eşittir 9. Şunlar götürdü. 4 yaptı attım karşıya.
X kare artı 4 bölü X kare dediğimiz neye eşitmiş? 5'e. Kök denklemi sağlar mantığından X yazarsanız da aynı şey, X yazarsanız da aynı şey.
Evet şimdi konunun bence en önemli kısımlarından bir yerine geldik. Kökleri verilen ikinci dereceden denklemi yazmaya geldik. Bu bölümden soru gelebilir. Buralara dikkat edelim. Birkaç tane uzun mantığında olan soruların kısa yollarını vereceğim.
Dikkatli bir şekilde buradaki soruların hepsini iyi dinle. Şimdi ikinci dereceden denklemleri oluştururken biz baş kat sayısını bir alıyoruz. Yanii polinomlardan farklıdır bunlar.
Biz baş kat sayısını birmiş gibi düşünerek de alabiliyoruz. Çünkü 2 ile çarparsanız da köklerde bir değişiklik olmayacak. Şimdi bakın ikinci dereceden denklemin kalıbı şudur aslında.
x kare x kare artı b bölü a x artı c bölü a gibi bir kalıbı vardır buranın. Bakın eksi parantezini aldığınızda eksi b bölü a'mız bizim kökler toplamlarına eşittir. C bölü A'mızda çarpımımızda. Bakın şöyle bir şey oluştu o zaman.
X kare eksi TX artı C Yanii bir ikinci dereceden denklem oluştururken kökler toplamlarını T harfiyle gösteriyorum. X kare eksi TX. Bakın X kare toplamlarının yanına X'i koyup başına da X'i koyuyoruz.
Kökler çarpımlarını C bölü A'yı Ç ile gösteriyoruz. Formülüm bu. X kare eksi TX artı Ç. Unutma.
x kare eksi tx artı ç tn x1 artı x2 çn x1 çarpı x2. Hadi bakalım şöyle kolayından başlayalım. Birkaç tane sorumuzu çözelim. Şimdi köklerin 1 bölü 2 ve eksi 3 olduğunu söylemiş. Denklemi istiyor.
Formülüm neydi benim? x kare eksi t x artı ç eşittir sıfır. Hadi t'yi söyle bana. 1 bölü 2 ile eksi 3'ün toplamı topladığım zaman eksi 5 bölü 2 oldu.
Ç ne? Köklerimizin çarpımı. 1 bölü 2 ile eksi 3'ü çarptık.
Eksi 3 bölü 2. yerleştir yerine şimdi. x kare eksi. t'nin ben eksi 5 bölü 2 olduğunu buldum. Yaniına x'imi yazdım.
ç'miz eksi 3 bölü 2 eşittir 0. Şimdi şu eksileri artıya çevirdi. Hocamm şıklarda yok. İşte bölü 2'yi yok etmek için 2 ile genişletiyorum bunları. Yanii hepsini ne ile çarpıyorum? 2 ile.
Karşıyı da 2 ile çarpıyorum ama 0 olduğu için bir şey değişmeyecek. 2 x kare artı 2 ile çarpınca burası 5 x. x'i 3. Eşittir sıfır denklemi karşıma geldi.
Şimdi geldik 39'a. Arkadaşlar bizim bu deltalı kök hesaplamada şunu söylemiştik. A x kare artı b x artı c eşittir sıfır denkleminde. A b c eğer eleman real sayıysa gerçel sayılarsa ve kökünü hesapladığınızda köklerden bir tanesi m artı kök n şeklinde ise diğer kök bunun eşleniydi.
Bakın şöyle kök n. Ama ABC'nin real sayı olduğunu unutmayın. Gidip de bir tanesindeki mesela şöyle bir denklemse 2IX artı işte 7 gibi bir denklemse bakın buradaki kat sayımız bir real sayı olmadığı için bunun kökleri birbirlerinin eşliğine değildir. ABC sayılarının real sayı olması gerekiyor.
X dediğimiz M artı kök neyse X dediğimiz yanlış yazmışım burayı. Evet M Şunu yanlış yazmışım, tekrar yazıyorum. x2 dediğimiz m-kök ne?
Dikkat edin, kimin işareti değişiyor? Köklü olanın işareti değişiyor. Soru da şöyle verir sana mesela.
Kök 2 artı 3 der kökün birini. O zaman sen bunu 3 artı kök 2 diyeceksin köklerinden birine. Diğer kökte bunun eşlenidir deyip, 3-kök 2'dir deyip soruyu çözeceksin. Hadi şimdi sorumuza başlayalım.
Diyor ki rasyonel katsayıla, rasyonel sayılar birer real sayı olduğu için eşlenik durumu var bunda. İkinci dereceden denkleminin köklerinden biri x1, 3, eksi 2 kök 2 imiş. Bakın köklü olan ikinci olarak yazılmış oluyor.
x2 dediğimiz nedir o zaman? 3 artı 2 kare kök 2'dir. Bu denklemi istiyor. Neydi formülümüz? x kare eksi tx artı ç.
x kare şöyle yazayım. x kare eksi tx artı ç eşittir sıfır. Bakın t'miz. Bunların toplamları toplayınca şununla şu götürüyor. T'miz 6. Ç'miz eşlenik çarpımı.
Eşlenik çarpımlarından birincinin karesi eksi, ikincinin karesi geliyordu. Birncinin karesi 9, ikincinin karesi 8. 9-8'den ne geldi? 1. Hadi yerleştir o zaman. x kare eksi, t'mizin 6 olduğunu biliyoruz. Ç'mizin 1 olduğunu biliyoruz.
x kare eksi 6x artı 1 eşittir 0. 39. sorumuzun cevabı da Edirne oldu. Hemen 40'a bakalım. ...denkleminin kökleri x1 ve x2'dir.
Kökleri bunlar olan x1 bölü x1 ve 1 bölü x2 olan denklemi istiyor. O zaman diyorum ki t'miz... ...t'miz neye eşit?
1 bölü x1 artı 1 bölü x2'ye eşit. Ç'miz neye eşit? 1 bölü x1 çarpı 1 bölü x2'ye eşit.
Bitirelim bir şey. Yukarıda hemen bir payda eşit diyorum. Burayı x2 ile, burayı x1 ile çarptım.
Yukarısı x1 artı x2 yaptı. Aşağısı x1 çarpı x2 yaptı. Tamam.
T'yi buldum. Ç'mizde 1 bölü x1 çarpı x2 eşitmiş. O zaman hemen kenarda ilk denklemin x1 artı x2'sini söyleyin bana. Eksi b bölü a'dan eksi 3 bölü 2. X çarpı x2'sini söyleyin. C bölü a'dan 2. Tek yapmam gereken yerine yazmak şimdi.
Gel buraya. X artı x2'nin eksi 3 bölü 2 olduğunu buldum. Bun ne olduğunu buldum?
2 olduğunu buldum. Ters çevirip çarpınca t'miz eksi 3 bölü 4 oldu. Buranın 2 olduğunu bulmuştum. Ç'miz de 1 bölü 2. Hadi yerleştir şimdi. x kare eksi tx.
t'mizin eksi 3 bölü 4 olduğunu bulduk. Yaniına x'mizi koyduk. Ç'miz 1 bölü 2 idi.
Artı 1 bölü 2 eşittir 0. Şimdi şu eksiler birbirlerini artıya çevirdi. Şıklarda bu yok. Şu bölüm durumunu yok edebilmek için 4 ile genişletiyorum.
4 ile genişlettiğimde yanlış bir şey mi yaptık? Rıçemiz nerede hata yaptık? Kökler toplamlarımız evet kökler toplamlarını yanlış almışız arkadaşlar. Şurası yok.
Kökler toplamlarımız nedir? Eksi 3'tür. Aman şurası eksi 3 bölü 2 oldu yani.
Niye oraya bölü 2 yazdım ki? Şu eksi 3 bölü 2 oldu. Şurası eksi 3 bölü 2 tamam o zaman.
Ne ile genişletiyorum? 2 ile genişletiyorum. Şöyle 2 ile.
2 ile genişlettiğim zaman 2x kare artı 3x artı 1 denklemim oluştu. Cevabım bursa. Şimdi gel gelelim, gel gelelim, gel gelelim diğerlerine. Şimdi bize bize bize demiş ki denkleminin kökleri x1 ve x2'dir demiş.
Kökleri 2x1-1 ve 2x2-1 olan ikinci dereceden denklemi yaz diyor. Şimdi burada bir kısa yöntemim var. İsterseniz bu kısa yöntemi kullanırsınız. O zaman birini uzun birini kısa çözeyim. Hadi bunu uzunla çözeyim.
41'i bir tane daha var onu da kısa ile çözeyim. Şimdi kökleri mix 1 ve x 2 imiş kökleri bunlar olan bir denklem oluşturuluyor. O zaman yeni yazacağım denklemin t'si.
Bunla bunun toplamı. Yanii 2x1-1 ile 2x2-1'in toplamı. Hemen şunları iki parantezine aldım.
İki parantezinde x1 artı x2. Eksi 1, eksi 1'den de ne geldi? Eksi 2. T'miz bu. Hemen ç'sini söyleyelim. Ç'de bunların çarpımı.
2x1-1 ile 2x2-1'in çarpımı. Hemen çarpalım. Burayı çarptığım zaman ne geliyor bakın. 4 tane x1 çarpı x2 yapıyor. Sonra eksi 2 x1, eksi 2 x2.
Eksi 2 parantezinde x1 artı x2 yapıyor yani. Eksi 1 ile de eksi 1'i çarpınca da 1 yapıyor. Bitti Şimdi bu denklemin ilk denklemin x1 artı x2'sini söyle. Eksi b bölü a yaptığım zaman 5 olduğunu gördük.
x1 çarpı x2'sini söyle. c bölü a'dan 1 olduğunu bulduk. Hadi o zaman t ve ç'mizi yazalım şimdi. t eşittir. t eşittir.
Neydi? Kökler toplamlarımızın kaç olduğunu biliyoruz burada. Kökler toplamlarımızın 5. 5 ile 2'yi çarptım.
10 yaptı. 10'un ikisi gitti. Bakın onun şu ikisi gitti.
T'miz 8. Ç'mize bakalım. Şimdi x1 çarpı x2 yerine 1 yazdım. Burası 4 yaptı. x1 artı x2 yerine 5 yazdım. Eksi 10 yaptı.
Artı 1. 5 eksi 5'ten eksi 5 yaptı. Ç'miz de eksi 5. Şimdi yerleştir yerine x kare eksi t'miz 8. 8x artı ç. Ç'miz eksi 5 olduğu için böyle. x kare eksi 8x. x'i 5 eşittir 0. Şimdi aşağıdaki kısa yolu kullanırsanız bir tık daha hızlı yapabilirsiniz.
Ona bir bakalım şimdi. ax² artı bx denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere kökleri mx1 artı ne, nx1 artı ne olan denklemi bulmak için x yerlerine şöyle düşüneceksiniz bakın. Şunu bir fonksiyon gibi düşünün. Yanii... mx artı n'yi bir fonksiyon gibi düşünün.
Bun tersini söyleyin bana. Nedir bunun tersi? x eksi n bölüme. İşte bunu denkleminde x gördüğünüz yerlere x eksi n bölüme yazarsanız bu kökü direkt bulmuş oluyorsunuz.
Mantığı da nereden geliyor? Bakın bunun kökleri nedir? x1'dir değil mi?
Öbürünün kökü nedir? x2'dir. Şimdi yeni bir denklem oluşturacağım ben. Yeni bu denklemin kökü mx1. Artı ne olmuş olacak?
Şimdi burada şunu yapacaksın. İşte ben bu denklemde x yerine ne yazarsam? x yerine ne yazarsam? ...neyi elde etmiş olabilirim?
Yeni denklemin oradaki x'li halini elde etmiş olacağım. Şimdi diyorum ki o zaman ben burada mx buradakinin şunun aslında neye eşit olduğu hali bulmam gerekiyor? x1'e.
Yanii şurada, burayı x gibi düşün. Sonra bunu karşıya atıyorsun. x1 eksi neye yapıyor?
Eşittir mx. Sonra her iki tarafı m'ye bölüyorsun. x eşittir x1.
Eksi n bölü m. Mantığı buna geliyor yani. Yanii ben diyorsun ki buradaki yeni oluşan denklemin bu kökü...
Şuradakinin yerine ne yazarsam ilkinin köküne eşit olur mantığıyla yapıyoruz. Hadi bakalım şimdi 42. soruyu çözelim. Diyor ki denkleminin köklerinin 2 katının 3 eksiğini kök kabul eden denklem nedir?
Bun kökleri x1 ve x2 imiş. Yeni bir denklem yaz diyor. 2 katının 3 eksiğini. Yanii 2 x 2 x 3. Bakın yukarıdakinin aynısı aslında. Hızlı yolla yapmak istiyorsanız ben ne yapacağım?
Şuradaki 2x1-3'ü kaç yapan değeri bulacağım aslında? 2x1 gibi düşünmeyin. 2x-3'ü x1 yapan değer gibi.
Veya bunu bir fonksiyon gibi düşünüp tersini alın. Tersini aldığınız zaman ne yapıyor? x artı 3 bölü 2. İşte bu fonksiyonda x yerlerine x artı 3 bölü 2 yazacağım şimdi.
Yazdım. x artı 3 bölü 2'nin... Karesi eksi 2 çarpı x artı 3 bölü 2 eksi 4. İşte bu denklemi düzenlediğinizde gelecek ama isteyen yukarıdaki gibi de yapabilir.
Ama bu soruda işte o yaptığım lazım olacak şimdi. Bu soruda lazım olacak. İşte böyle bir soru geldiğinde o anlattığım yöntem çok daha kolay olacak. Hadi gel bakalım.
Şimdi diyor ki bize A ve B gerçel sayılar olmak üzere denkleminin köklerinin çözüm kümesi. ...eksi üç ve beşmiş. Yanii bu denklemin kökü... ...bir kökü eksi üçmüş...
...bir kökü de kaçmış arkadaşlar? Beşmiş. Tamam. Buna göre bu denkleminin çözüm kümesi nedir? Bak x yerlerine ne yazdırmış sana?
X artı beş yazdırmış. Bak biz şunu yapıyoruz aslında. X'in yerine...
...eksi üç yazınca bu denklem sıfır oluyordu değil mi? O zaman bakın bu kat sayıları aynen duruyor. Yanii benim x eksi 3 olduğunda yani şu karenin altındaki sayı eksi 3 olduğunda sonucum sıfır oluyordu. Anladınız mı mantığını bak.
Burası nedir? X yerine eksi 3 yazıyorum. Yanii eksi 3'ün karesi diye başlıyor denklem.
O zaman X artı 5'in ne olması gerekiyor? Eksi 3. X artı 5 eşittir eksi 3 için attım karşıya. X eşittir eksi 8. Ne yazmalıymışım? Eksi 8. O zaman bu denklemin köklerinden biri eksi 8. Diğer kökü 5'miş.
O zaman burayı 5 yapacak. X artı 5 eşittir 5. X eşittir 0. O zaman bir kökümüz 0. Bir kökümüz eksi 8 sorumuzun cevabı Adana. İşte mantığı anladık mı arkadaşlar?
Mantığı buradan geliyor. 43'ü geçtik. Neydi şimdi?
Neydi şimdi? Karmaşık sayıya mı başlıyor? Bir sorumuz daha var mıydı?
Var mıydı şurada bir soru? Bir bakayım altında soru var mı? Yok. Tamam. Şimdi o zaman karmaşık sayılara başlıyoruz.
Yıllarca sormadılar, sormadılar. Sonra bir yılda iki tane sordular. Bir yıl sormadılar, bir tane sordukları yıl oldu. Ama limit türev integral yokken karmaşık sayı gelmesi aday konulardan bir tanesi. Nasıl sorduklarını çıkmış sınav sorularında yerleştirdim.
Zor bir mantık yok. Her şeyi vereceğiz. Hadi bakalım.
Şimdi karmaşık sayılarda bir kere önce sanal birimimiz var. Sanal birimimiz kare kök eksi bir geliyor. Şimdi kare kök eksi bir dediğimiz sayı normalde tanımsızdır değil mi?
Şimdi yeni bir sayı kümesi tanımlıyoruz. İşte eksi i kare eşittir eksi bir diye bir sayı tanımlıyoruz burada. O zaman eksi bir yerine i kare yazdığımızda. Eksi birin kare kökü i'dir diyoruz.
İşte tanımımız aslında gerçek tanımımız şu. Kare kök eksi bir eşittir i. Her iki tarafın karesini aldığınızda i kare eşittir eksi bir oluşuyor.
Hadi o zaman şunlara bir bakalım. Kare kök eksi 1 dediğimiz nedir? İyidir. Kare kök eksi 2 burayı nasıl düşünüyorum? 2 çarpı eksi 1 gibi düşünüyorum.
Sonra 2 çarpı eksi 1 yerine i kare yazıyorum. i kare de dışarı çıkıyor. Burası i kare kök 2'ye eşit olmuş oluyor.
Buraya bakıyorum şimdi burayı. 3 çarpı eksi 1 gibi düşünüyorum. Eksi 1 yerine i kare yazıyorum. i kare i diye dışarı çıkıyor bu.
Burayı nasıl düşünüyorum? 4 çarpı eksi 1 gibi düşünüyorum. Eksi 1 i kare oluyor. i kare de 4 de dışarı çıkıyor. 2 olmuş oluyor.
Şimdi biz karmaşık ikinci dereceden denklemlerde çözüm kümesi deltası sıfıra küçük olanlarda karmaşık sayılar doğuyordu. Şimdi buralara bir bakalım hadi. Karmaşık sayı neymiş?
Şimdi biz normalde gerçek sayılarda bunun çözüm kümesine boş küme dedik. Attık karşıya. x kare eşittir.
Eksi 4. Şimdi gerçek sayılarda boş kümedir ama karmaşık sayılarda bir karşılığı vardır. x kare eşittir 4 çarpı eksi 1 gibi düşündüm. x kare eşittir 4 çarpı eksi 1 yerine de i kare yazdım.
Şimdi x kare eşittir 4 i kare ise x dediğimiz nedir? x dediğimiz x dediğimiz bunun kare kökü. Kare kökü yalnız şunu unutmayın. x kare eşittir 4'ü çözerken x eşittir ya 2 x eşittir ya da eksi 2 demiyor muyduk?
Yine aynısını yapacağız. x dediğimiz ya 2'dir bakın kare kökünü alıyorum. Artı eksi koyuyorum önüne. X dediğimiz ya da... ...eksi 2'dir.
Bu at karşıya. x kare eşittir eksi 3. O zaman x kare eşittir 3 çarpı i kare gibi düşünüyorum. Kare kökünü aldığımız zaman artı veya eksi kare kökü 3, i kare i olarak çıkıyor. Yanii çözüm kümemizden bir tanesi artı i kare kökü 3'e, diğeri de eksi i kare kökü 3'e eşit olacak.
Bunlar da yine nedir? Eşteniktir. Yanii...
İyili durumlarda da köklerimiz yine eşlenik durumu olmuş oluyor. Hemen ilerleyelim. 44. sorumuza bakalım. Ne diyor?
Sonucu nedir diyor. Hemen burayı nasıl yazıyorum? 12, 12 i kare olarak yazıyorum kare kök içerisinde. Artı burayı nasıl yazıyorum? 48 i kare olarak yazıyorum.
Eksi burayı da 75 i kare olarak yazıyorum. Dereceler çift olduğu için sıkıntı oluştu. Şimdi i kare dışarı çıkıyor.
Burada 2 köküçtür. Burası 2 i. Kare köküç yaptı.
Artı Burası 16 çarpı 3'tür. 16 4 olarak çıkıyor. 4 i. Kare köküçtür burası. Eksi 25 çarpı 3'tür.
25 5 olarak çıktığı. Ne geldi buradan da? İ'si de var tabii köküç.
Bakın burada 4 tane var. 2 tane burada var. 6. 5 tanesi gitti.
İ. Kare kökü 3'e eşit oldu cevabımız. Yanii karmaşık sayılarda bir işlem sorusu da çözmüş olduk.
Şimdi i'nin kuvvetlerine geldik. i'nin kuvvetlerinde neleri biliyoruz arkadaşlar biz? Şurayı hatırlayalım.
i'nin birinci kuvveti zaten i'ydi. İ'nin karesi eksi 1'di. İ'nin üçüncü kuvveti nasıl yazıyorduk burayı?
İ kare çarpı İ gibi yazıyorduk. İ kare eksi 1 olduğu için eksi İ'ye eşit oluyordu. Eksi 1 değil eksi İ. İ üzeri 4'ü de İ kare çarpı İ kare gibi düşünürsek ikisi de eksi 1 olduğu için 1 olacak. O zaman büyük kuvvetlerde ne yapıyorduk?
Üstsü direkt kaça bölüyorduk? 4'e. 4'e böldüğümüz zaman 9 kez var kalanı 1. Kalanı İ'nin üstüne yazıyorduk.
70. 4'e böldüğüm zaman 60, 64, 68 yapıyor. Bölelim isterseniz şöyle. 68 yapıyor.
2 kalanı veriyor. Cevabı i kare eşit. i kare dediğimizde nedir? Eksi 1. 119. Bakın bölünebilme kuralı da hatırlayalım. Son 2 basamağıydı.
19'un 4'le bölümünden kalanı 3. i üzeri 3'e denk. i üzeri 3'te nedir? Eksiğidir.
120. 20, 4'e tam bölündüğü için tam bölünüyor. i üzeri 0. O da 1 oluyor. Tamam mı? 4n artı 3 bakın 4n sildim 4'ün katı çünkü. İküp'e eşit iküp de eksi 1. Eksi kuvvet olduğunda ne yapacağız?
Yine böleceğiz. 23'ü Böleceğiz 4'e. 5 kez var 20. Kalanım 3. Ama i üzeri eksi 3 yapıyor.
Bu artıya çevirebilmek için üstüne 4 ekliyorduk. Tamam mı? Önce böl.
Eksi 3 oluyor. 4'e ekledim. i üzeri 1 oldu. Bakın eksi 44. Tam bölünüyor zaten.
Tam bölünüyorsa 0 yaz. i üzeri 0 1'dir. 50. 50'yi 4'e böldüğümüz zaman 2 kalanı verdi. Ama i üzeri eksi 2. Artıya çevirebilmek için dörtte bir tekrar için dört ekliyorduk. İ kare eşittir eksi bir.
Tamam mı? Şimdi altmış beş. Altmış beşi dörde böldüğümüz zaman kaç kalanı veriyor? Bir. Ama i üzeri eksi bir.
Dört ekledim. İ küp yaptı. İ küp de eksi i'ye eşit olmuş oldum. Hadi şimdi böyle sorularımız vardı. Burada ne hatırlıyorduk arkadaşlar?
İ'nin kaçıncı kuvvetinden başladığının önemi yok. İ üzeri 23 mesela. Artı İ üzeri 24. Artı İ üzeri 25. Artı İ üzeri 26. Ardışık 4 tane kuvveti varsa toplamları mutlaka ne yapıyordu? Sıfır yapıyordu. Hepsinin değerleri yerine yazdığınızda.
O zaman bakıyorum 46, 47, 48 ardışık gidiyor. Şimdi kaç terim olduğuna bakalım. Her dörtlüm sıfırlayacak çünkü. Son terim 165. İlk terim 146. Son terim eksi. İlk terim bölü.
Birer birer artıyor. Artı 1. Kaç terimimiz varmış? Şimdi 165'den 46'yı çıkarıyorum.
9 tane burada var. Burada bir 119. 120 tane terim varmış. O zaman burada 120 tane terim varsa yanlış yapmadım değil mi? 9 burada 5 kaldı tamam.
120 terim varsa dörtlü dörtlü gruplandırdığımda bunları ben hiç artık terim kalmıyordur. Hiç artık terim kalmadığı için hepsi sıfır olur. Sorumuzun cevabı sıfır olmuş olur. Son terim 165, 146, 125, 119, 120. Evet sıkıntı yok.
Şimdi... Yine bu da aynı mantık. Her dörtte bir ne yapıyordur?
Sıfır yapıyordur. Şimdi burada kaç terim var bakalım. 125'e kadar gitmiş. 53'de başlamış.
Eksilerini görme. Son terim eksi ilk terim bölü artış miktarı artı bir yaptım. 125, 53'ünü çıkarıyorum.
Burada 2 geldi. Burada 72, 1 ile topladım 73. Yanii burada 73 tane terimim var. O zaman bu 73 tane terimi ben dörtlü dörtlü gruplandırıyorum.
Dörtlü dörtlü gruplandırdığımda bakın şuradan 18 tane dörtlü grubum geliyor. O dörtlü grupların her birinin sonucu ne yapıyor? Sıfır yapıyor. O zaman bir tane terim artıyor.
Bu terim artan terim ister buraları gruplandırırsanız bu artar. buraları gruplandırırsanız bu artar. İkisi de aynı şeye eşittir.
Yanii i üzeri eksi 53'ü veya i üzeri eksi 125'in değerini bulduğunda işiniz bitecek. Bunların değerini bulurken ne yapıyorum? 53'ü alıyorum, 4'e bölüyorum.
Kaç kalanı verdi? 1. Eksi kuvvet olduğu için i üzeri eksi 1. Artıya çevirmek için 4 ekledik. 2 pu oldu.
2 pu da eksi 1'e eşit olmuş oldu. Tamam mı? Hatırlıyorsunuz değil mi? Bakın çok yavaş yavaş gitmiyorum. Hızlı hızlı gidiyorum.
Böyle bildiğinizi düşünerek daha önceden çalıştığınızı bitirerek sadece beyninize geri getiriyorum. Şimdi burada ne vardı arkadaşlar? 1 artı i'nin karesi 2'ydi.
1 eksi i'nin karesi eksi 2'ydi. Bunların ispatlarını yapmıştık. Aç kareyi zaten. Birncinin karesi 1 yapıyor. Birnci ile ikincinin çarpımı 2 katı 2 katının 2'yi.
Artı i kare geldi. İ kare eksi 1 olduğu için götürüyor 2'yi. Yine buradan da açtığında eksi 2'yi geliyordu.
sonucu nedir diyor. Ben 1 artı i'nin karesini biliyorum. O zaman burayı 1 artı i'nin karesinin 23. kuvveti olarak yazıyorum artı. Burayı da 1 eksi i'nin karesinin 23. kuvveti olarak yazıyorum. Şimdi 1 artı i'nin karesi 2 i'ydi.
Yanii burası 2 i'nin 23. kuvveti oldu artı. Burası da eksi 2 i yaptı. Eksi 2 i'nin 23. kuvveti. Şimdi dikkat edin. 2'nin 23. kuvveti, 2'nin 23. kuvveti çarpı.
İ üzeri 23. İ üzeri 23'ü bulabilmek için 23'ü 4'e böldüm. 5 kez var. 3 kalanı. O zaman İ üzeri 23. İ küpe eşit oldu.
Şimdi eksi 2'nin 23. kuvveti eksi 2 üzeri 23'tür. Bir de İ üzeri 23 de buradan geldi. O da neye eşittir yine? İ küpe eşittir. Şimdi İ küp eksi iyiydi.
Bun yerine eksi iyi yazdığımda. Eksi iyi yazdığımda. Eksi 1 değil bakın.
Eksi iyi yazıyorum. Eksi iyi. çarpı 2 üzeri 23 yaptı burası.
Bun yerine de eksiği yazıyorum. Bu eksi eksi artıya çeviriyor. Artı i çarpı 2 üzeri 23 yapıyor. Şunlar götürdü.
Sorumuzun cevabı sıfır olmuş oldu. Tamam mı? İşte karmaşık sayının kuvvet kısmı da tamam.
Şimdi karmaşık sayıla dediğimiz nedir? Karmaşık sayılarda işlemleri nasıl yapıyoruz ona bakalım. Şimdi karmaşık sayı dediğimiz bir real sayı bir sanal sayı şeklinde z, z, v gibi şeylerle gösteriyoruz.
A artı bi sayısına karmaşık sayı denir. Z eşittir a artı bi gösterimine standart gösterim denir. R, z ne demek?
Real kısım. Real kısmımız nedir? A'dır. İmze diye imajiner kısım. Veya sanal kısım diyoruz.
Sanal kısmımız nedir? B'li olan kısımdır. Real kısmımız I'li olmayan kısımımızdır.
İmajiner B'de budur. Bakın Z karmaşık tıraşında real Z, real kısmı 2. İmajiner Z nedir arkadaşlar? Eksi 3'tür.
Şimdi Z2'de sadece eksi 4 var. Real kısmı eksi 4. Sanal kısmı yoktur demiyoruz. Vardır ve sıfırdır. Katsayısı sıfır.
Eksi 5'i real kısmı sıfırdır. Bu sefer sanal kısmı eksi 5'tir. Kat sayısını kullanıyoruz. İyisini almıyoruz. 4 eksi 2'yi bakın real kısmımız eksi 2'dir şurası.
Sanal kısmımız da 4'tür diyoruz. Eçtik. Şimdi diyor ki real z1 ile imajiner z2'yi vermiş. Buna göre a artı b toplamı kaçtır? Real z1 şurasıdır.
Bakın şurasıdır. Real kısmımız 7 imiş. O zaman a artı 3 eşittir 7 ise a dediğimiz 4 oldu.
İmajiner z2 iyili olan kısım eksi 2 imiş. 3 eksi b eşittir eksi 2 ise b dediğimizin 5 olduğunu bulduk. Toplamları da 9'dur.
Kolay bir sorumuzdu. Hadi bakalım şimdi 49. sorumuz bu işte 2020 veya 2021'deki sorulan sorulardan bir tanesi arkadaşlar. Karmaşık sayılarda işlem sorusu aslında. Şimdi karmaşık sayılarda toplama işlemi mesela size 2 artı 3 ile işte eksi 7 eksi 5 karmaşık sayılarını toplayın derse reellerini kendi aralarında topluyoruz.
Ne yapıyor? Eksi 5. İmajiner de kendi aralarında topluyoruz. Eksi 2'yi yapıyor.
Çarpma işlemi diyorsa işlemleri yan yana yazıp ne yapacaksınız bildiğiniz işte çarpmanın mesela 2 artı 3'i ile işte 3 eksi i'yi çarp dedi. Ne yapacağım? Bildiğim çarpma.
Dağıtacağım. 2 ile 3'ü çarptım 6. 2 ile eksi i'yi çarptım eksi 2'yi yaptı. 3 ile 3'ü çarptım artı 9'i yaptı.
Şimdi dikkat. 3i ile eksi i çarpınca eksi 3i'nin karesi yapıyor. i kare gördüğüm yere eksi 1 yazıp bunun yerine ne yazacağım? Artı 3. Bakın ne geldi buradan? 9 artı buradan da 7i gelmiş oldu.
Yanii çarpma işlemi de yine aynı. Tek burada hatırlatmam gereken şey eşlinik çarpımı. İki karmaşık sayı.
Mesela A artı B ise karmaşık sayılardan bir tanesi. Bun eşleniğine A eksi B demiştik. Hadi eşlenik çarpımlarını yapalım. Normalde eşlenik çarpımlarında köklü sayılarda A kare eksi B kare geliyordu ama burada İ kare işi değiştirecek. Bakın birincilerin çarpımı A kare yapıyor birincinin karesi.
Eksi ikincinin karesi. B'nin karesine dikkat et şimdi. A kare var. Eksi Burada b kare çarpı i kare geliyor.
Bu i kare eksi bir aradaki işareti eksiye çeviriyor. a kare artı b kare. Yanii iki karmaşık sayı eşlenik durumundaki karmaşık sayı çarpıyorsak sonucumuz birincinin kat sayısının karesi artı.
İkincinin kat sayısının karesinin toplamı oluyormuş. Hadi o zaman sınavda çıkmış soruya bakalım. 1 eksi ile 1 artıyı eşleniktir.
Çarpımlarından 1'in karesinden 1'in karesi. Bun kat sayısında ne var arkadaşlar? Burada da 1 var.
1'in karesi. Eşlenik çarpımları. Şimdi yukarıda normal çarpma işlemin var. Bakın şu i'yi içeri dağıtıyorum. Bu i'yi içeri dağıttığım zaman ne gelecek?
2 i'yi. Eksi i kare yaptı. Şimdi eksi i kare dediğimiz eksi birdir. Artıya dönüştü.
Yanii bir artı iki iyi oldu burası. Tamam. Şimdi görenler burayı iki parantezine alıp yaparsa hızlı yapmış olur. Ama görmediyseniz de bakın. Dört eksi iki iki eksi dört iyi yanına yazıp dağıtma yöntemiyle de yapabilirsiniz.
Aşağısının bir artı birden iki olduğunu bulduk. Ama ben yukarıda. 2 parantezini alınca bir şey geleceğini gördüm. Bakın 2 parantezini aldım burayı. Şöyle siyah kalemle yapayım.
2 parantezini aldım. 1 eksi 2 oldu. 2 parantezini alınca şunlar götürdü. Bakın bununla bu eşlenik oldu. Neydi?
Birncinin karesi artı. İkincinin kat sayısı 2. 2'nin karesi sonunca 5 oldu. Ama isterseniz uzun uzun da çarparak da yapabilirsiniz. Evet karmaşık sayının eşleniğini ben anlattım. Nedir?
Z karmaşık sayısı A artı B ise Z'nin eşleniği sanal kısmın işaretini değiştiriyoruz. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine kendisidir. Hemen bakalım.
Z karmaşık sayısı 3 eksi 4 İ ise Z'nin eşleniği nedir? 3 artı 4 İ'dir. Şimdi Z 2 karmaşık sayısı 3 ise eşleniği de kendisidir. İ'li yok çünkü. Artı 2 ise eşleniği eksi 2'yidir.
Bakın bunlara tuzağa düşmeyin. 2 artı i olarak yazın. Eşleniği i ile olan işaretini değiştiriyorsun. 2 eksi. Hadi gel bakalım.
Şimdi z karmaşık sayısı ve eşleniğini de vermiş. Şimdi z karmaşık sayımız 3 artı 2 ise z'nin eşleniği nedir? 3 eksi 2'dir. E o zaman buranın ne olması gerektiğini biliyorum.
3 eşleniği çünkü bu. Buranın da eksi 2 olması gerektiğini biliyorum. m eksi 3, 3 ise m dediğimiz 6'dır. O zaman burada 6 yazdım. 6 artı n eşittir eksi 2. Attım karşıya n dediğimizde eksi 8 oldu.
Çarpımlarını da bulmuş olduk. Hadi bakalım şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi neredeyiz? 51. sorudayız. Evet bu da sınav sorusuydu yanlış hatırlamıyorsam. Şimdi z karmaşık sayısına eşleni şu çizgi bunun üstünde olmak üzere eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının toplamı nedir?
Arkadaşlar bu sorularda ne yapacağım? Bir kere z gördüğümüz yerlere a artı b i yazacağım tamam mı? Z'nin eşleniğini gördüğüm yerlerden yazacağım.
A'yi ve sorumuzu çözmeye başlayacağız. Başlayalım. 6 artı 2 var öncelikle burada.
Şurada içler dışlar çarpımı yaparsam burada z çarpı z'nin eşleniği geliyor. Artı i çarpı z geliyor. Şimdi z ile z'nin eşleniğinin çarpımının ne eşit olduğunu biliyorum öncelikle. Eşlenik çarpımlarından birincinin karesi artı ikincinin karesi geliyordu. O zaman 6 artı 2'yi eşittir a kare artı b kare yaptı.
Şimdi İz'ye bakalım. İ ile Z sayısını çarpın diyor. Hadi İ ile Z sayısını çarpıyorum. Ne geldi buradan? A çarpı İ artı bakın A İ artı B İ'nin karesi.
İ kare eksi birdi. Hop o zaman eksi B yaptı. Şimdi iki karmaşık sayının eşitliği oluştu.
Bakın buradaki sanal kısmımız A İ buradaki iki İ. O zaman A dediğimiz mecbur ikiye eşit olacak. Buradaki real kısmımız altı. Buradaki real kısmımıza bakıyorum. A'nın 2 olduğunu bulduk zaten.
2'nin karesi 4. artı sanal kısmımızda bir de bunlar var. B kare eksi B var. Şimdi bunu bu tarafa aldığımız zaman sıfır eşittir.
B kare eksi B eksi 2 yaptı. Çarpanları ayırdığım zaman B eksi 2 ile B artı 1'in çarpımı eşittir sıfır oldu. O zaman B dediğimiz ya 2, B dediğimiz ya da eksi 1 oldu.
Şimdi o zaman biz Z karmaşık sayısına A artı B'yi demiştik. A'nın kaç olduğunu bulduk. Direkt 2. Yanii z eşittir 2. B'nin bir değeri 2 artı 2'yi yapar. Z eşittir bir de 2. B'nin bir değeri de eksi 1 eksi 2. Z karmaşık sayılarının toplamını istiyor.
Topladığımız zaman 4 artı 2 gibi bir şeye ulaştık. 51. sorumuzun cevabı Denizli. Hadi bakalım 52'yi de yapalım. Şimdi olduğuna göre ifadesinin eşiti nedir diyor. Arkadaşlar yine z karmaşık sayısı düşünelim.
Bu z karmaşık sayımız a artı b iyi olsun. Şimdi sorunun içerisinde z ile z'nin eşleniğinin çarpımı var. Z'nin eşleniği neydi o zaman?
a eksi b iyiydi. Bunların çarpımları ne yapıyordu? Söyle hemen.
a kare artı b kare yapıyordu. Hemen z'yi yazıyorum. z dediğimiz a artı b iyi. Tamam. Z ile Z'nin eşitliğinin çarpımı A kare artı B kare eşitmiş 16 artı 2'ye.
Şimdi iki karmaşık sayının eşitliği oluştu yine. B'yi sayımız 2'ye eşit olacak. B dediğimiz kesin 2'dir. Şimdi B yerine 2 yazıp real kısımlarımızı real kısımımıza eşitliyoruz.
A artı. A kare artı B yerine 2 yazdım 4 Eşittir 16 oldu Bu bu tarafa aldığım zaman A kare artı A Eksi 16 Eksi 12 yaptı eşittir 0 Yine çarpanları ayırıp A'yı buluyoruz hadi yapalım devam edelim A ile A bırakacaktım bir ama Artı 4 ile eksi 3 O zaman A dediğimiz ya eksi 4 A dediğimiz ya da ne oldu 3 oldu ifadesi aşağıdakilerden E kilerden Hangisi olabilir? Bun da neye eşit olduğuna bakalım şimdi. Z dediğimiz A artı B idi.
Eksi İ ile eşleniği çarptırmış. A eksi B'yi. Bir dağıtalım bakalım. A'ya mı eşit?
Neydi eşit? Şimdi burada A artı B var. Bu dağıttığınız zaman eksi a i geldi.
Sonra burayı dağıttığımız zaman artı b'yi kare yapıyor. O da eksi b yapıyor. Yanii bizden a eksi b artı i parantezinde b eksi a'yı istemiş oldu. Şimdi biz neyi bulduk? A'nın iki tane değeri b'nin de kaç olduğunu bulmuştuk bir kere.
B'miz 2 idi değil mi? Evet b'miz 2 bir kere. B'miz 2. B'miz 2 iken a'mız eksi 4 olabilir. B'miz 2 iken A'mız bir de ne olabilir? 3 olabilir.
Şimdi yerlerine yerleştiriyorum. Bakın A şuradan A'yi yaparsak burası eksi 6 yapar. Böyle bir şey yok. Burada A'yi yaparsak 1 geliyor. Cevabı bulduk.
Zaten yukarıdaki soruya da benziyor. Şimdi geldik ikinci dereceden denklemin karmaşık köklerine. Arkadaşlar karmaşık kökte de değişen bir şey yok eşleniğidir dedik. Kökü aynı formülle hesaplıyoruz. Sadece bu sefer deltamız eksi dört gibi bir sayı olduğu için kare kök eksi dördü nasıl yazıyoruz burada?
Delta negatif olduğu için dört i kare diye yazıyoruz. Dışarı çıkıyor iki diye çıkıyor. Yanii kökümüz eksi b artı eksi mesela iki bölü iki a gibi bir şey oluyor. Yanii köklerden bir tanesinin aradaki işareti artı bir tanesi eksisi oluyor. Yine kökleri aynı formülle bulmuş oluyoruz.
Hadi şurada hemen bunun örneklerine bakalım. Ondan sonra zaten yavaş yavaş sonuna sonuna geliyoruz. Diyor ki i kare eşittir eksi bir olmak üzere.
Bu demek ki bana karmaşık sayılar kümesine çalış. Denklemin çözüm kümesi nedir diyor. Hemen buraya bakıyorum. Buranın çarpanlarına ayrılabilir bir şey değil mi? Burası x eksi iki ile x artı birin çarpımıdır.
Burasının bakın arkadaşlar deltası sıfırdan küçük. Ama i kare eşittir eksi 1 dediği için bunu şöyle çözebilirim. x kare eşittir eksi 9. O zaman x kare eşittir 9 i kare.
Eksi 1 yerine i kare yazdım. x eşittir ya 3'i en başlangıçta yapmıştım bunu. x eşittir ya da eksi 3'i diyebilirim. Burada köküm ne geldi?
Bir tane 2. Burada eksi 1. O zaman çözüm kümemiz 1'i 3'i, eksi 3'i 4 elemanlı olmuş oldu. Eksi 1, 2 artı 3'i eksi 3'i. Tamam mı?
Şimdi hocam bunu delta ile de bulabilir miydik? Bulurduk tabi. Delta eşittir b kare.
B'si 0. Eksi 4. A'mızı 1. C'miz 9. Ne yaptı? Eksi 36 yaptı. Formülüm ne? Eksi b.
B dediğim 0. Artı eksi kare kök içerisinde eksi 36'yı aldım. Bölü. 2A'dan da 2 geldi.
Yine oradaki kökler karşıma gelmiş oldu. Köklerinden biri 2 artı 3 iyi olan gerçel kat sayılı denklemi yazınız diyor. Şimdi arkadaşlar ne dedik? Gerçel kat sayılı diyorsa bu kök 3 artı 2 ise diğer kök 3 eksi 2 iyidir dedik. Eşleniyedir dedik.
O zaman formülümüz x kare eksi tx artı çeydi. T kökler toplamları. Kökler toplamlarında bunlar birbirlerini götürür altı. Ç çarpıyorum.
Eşlenik çarpımı. Birncinin karesi 9 artı ikincinin karesi 4. Bitti işim. Hadi formülde yerleştir. Şimdi x kare eksi tx artı ç eşittir 0. X kare eksi 6X artı 13 eşittir 0. 54. sorumuzun cevabı da denizli olmuş oldu. Evet 55. sorumuz.
...olduğuna göre A ile B'nin çarpımı nedir? Bakın yukarıda 2x artı 9 var. Buna bölünmüş böyle bir şey. Arkadaşlar yukarıyı çarpanlarına ayıracağım.
Hocamm aradaki eksi olsaydı iki kare farkıydı. Aradaki işareti eksi yap o zaman. Nasıl yapacağım burayı? 4x kare eksi eksi 9 diye yazacağım. E bunu da şöyle yazabilir miyim?
4x kare eksi eksi 9 yerine 9i'nin karesi yazabilir miyim? Hatta bunu da... 4x kareyi 2x'in karesi, eksi 3'ü 2 kareyi de 3i'nin karesi diye yazıp 2 kare farkı yapıyorum şimdi. Buna 2 kare farkı yaptım. 2x eksi 3i ile neyin çarpımı?
2x artı 3i'nin çarpımı. Böyle aşağıda 2x artı 3i'niz var. Çat, şunlar birbirlerini götürdü. A x artı b i yaptı. Bakın o zaman a dediğimiz 2'ye, B dediğimiz eksi 3'e eşit oldu.
Çarpımları da 6'ya eşit olmuş oldu. Evet 55. sorumuzu da geçtik. Neydi?
56 ve 57. soruya geldik. Ne diyor? Köklerinden biri bu olduğuna göre bir oku soruyu gerçek sayı kelimesi geçiyorsa kökler eşlenir.
O zaman bu kök... Tamam mı? Birni vermiş.
Diğerini de ben biliyorum. O zaman T. T kökler toplamıdır zaten.
Şunlar götürüyor bakın. Toplayınca 6. Zaten 6 olduğunu gördüm. O zaman Ç'miz C bölü A'mız yani 3N eksi 1'miz bu köklerin çarpımların eşit. Ne diye köklerin çarpımları?
Birncinin karesi. 3'ün karesinden 9 artı ikincinin karesi. Kök 5'in karesinden 5. Burası 14 yaptı. Attım.
3n eşittir 15 yaptı. Her iki tarafı 3'e böldüğümde n dediğimizin 5 olduğunu... Hızlı hızlı gidiyor Selim Hocam. Eee zamanın değerli artık. İfadesinin en sade hali nedir?
Şimdi yukarıda kat sayısı iyi olan bir şey gördüm. Aşağıda x kare artı dokuz. Şimdi bunu çarpanlarına ayıramıyorum. Bu da ayıramıyorum.
Ne yapacağım? İkisini de ayırırım. Aradaki işaretleri eksi yap sadece.
Hadi şu halde yaz bunu bana. x kare eksi x eksi ...ekse 6 olarak yaz. İ'ye dönüştüreceğim yani burayı. Hadi aşağıya da yazalım.
X kare eksi... ...nasıl yazdım? Eksi 9 diye yazdım burayı da.
Şimdi ne oldu o zaman burası? X kare eksi ix... ...eksi 6 i'nin karesi oldu. Bölü.
Aşağısı x kare eksi... ...burayı da i'li olarak yazarsam... i oldu. Şimdi yukarıyı çarpanla ayırıyorum.
Yukarısı neyle neyin çarpımı? Bakın burası x ile x'in çarpımı. Burası eksi 3i ile artı 2i'nin çarpımı. Toplamları burayı veriyor. O zaman bunları yazarken yan yana yazdım.
x artı 2i ile x eksi 3i'nin çarpımı bölü. Burası x kare eksi 3. Şurası kareyi unutmuşuz. 3i'nin karesi. 2 kare farkı yaptım. x eksi 3i çarpı.
x artı 3'i x eksi 3'i'ler götürdü. Cevabı bulduk. İşaretlenmesi de senden. 157 diyorum.
57. soruyu da böylelikle geçmiş olduk. Şimdi geldik. 3-4 tane ikinci dereceden denklem sistemleri de sorusu çözelim. Sınavda çıkmış sorunun benzerini de çözelim. Şu 61. soru sınavda çıkmış soru sanırım.
Evet arkadaşlar ikinci dereceden denklem sistemlerini çözmenin iki yöntemi vardı. İki yöntemden birer tane soru çözüp bitireceğim. Bir yok etme, biri yerine koyma, biri birbirini eşitleme yöntemleri.
Hadi bakalım şimdi. Şimdi buraya baktığım zaman x eksi y'yi vermiş x kare artı y kareyi vermiş. Burada yerine koyma metodu kullanabilirim. Burada bunu karşıya alıyorum çünkü çarpanları ayırıp yerine falan koyamadım.
X'in neye eşit olduğunu biliyorum o zaman. Y artı 1 olduğunu biliyorum. Bu denklemde x yerine y artı 1 yazıyorum.
Y artı 1'in karesi artı y'nin karesi eşittir 41. Açalım burayı. Y kare 1 y kare de burada 2 y kare. Artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katından ne geldi? 2 y.
Artı birim geliyor. Şunu da bu tarafa aldığım zaman eksi 40 yapıyor. Eşittir sıfır.
Hepsini bir ikiye bölelim. Hepsini ikiye böldüğümde y kare artı y eksi 20 eşittir sıfır oldu. Hemen burayı çarpanla ayırıyorum.
Y ile y'nin artı 5 ile eksi 4'ün çarpımı toplamları burayı veriyor. Yaz şimdi. Y artı 5 çarpı. Y eksi 4 eşittir 0. O zaman Y dediğimiz ya eksi 5, Y dediğimiz ya da ne oldu?
4. Şimdi biz Y'leri bulduk. Y'leri yerlerine yazıp X'leri bulacağım. X eksi y'nin 1 olduğunu söylemişti.
Y'imiz 4 ise karşıya atarım. X eşittir kaç yapar? 5. Yanii x 5 olduğunda y 4'müş.
İlk x'i ikinci y'yi yazıyorum. Y yerlerine ne yazalım şimdi? Eksi 5. Eksi 5 yazınca burası artı 5 yapar.
Karşıya geçti. X eşittir eksi 4 yaptı. Ne zaman? Y eşittir eksi 5 iken.
Yanii eksi 4'e de eksi 5 oldu. Bunları yan yana yazacağım sadece. Eksi 4'e eksi 5. 5'e 4. İşte çözüm kümemiz B olmuş oldu. Hadi buraya bakalım.
Şimdi bu aslında parabol de de kullandığımız bir durum değil mi? Bakın bu bir parabol denklemi bu bir doğru denklemi. Parabol ile doğrunun kesim noktalarını sorunca ne yapıyorduk?
Bun aynısı işte. Aslında soru sana bu parabol ile bu doğrunun kesim noktalarını istiyor. Ne yapıyoruz?
Bu da y bu da y olduğu için ikisini birbirine eşitliyoruz. x kare eksi 5x artı 4 eşittir 8 eksi 2x. Hepsini bir tarafa topladım.
x kare eksi. 3x yaptı. Eksi 4 eşittir 0. Çarpanla ayırdım.
x eksi 4 çarpı x artı 1 eşittir 0. O zaman bunun köklerinden biri 4, biri eksi 1 oldu. Yanii bizim bunların kesişim noktalarından neleri bulduk? Absisi. Bir eksi 1, diğerinin absisi 4. Ordinatlarını bulabilmek için bu nokta kimin noktası diye soruyorum. İkisinin de doğru denkleminde yerine yazmak daha kolay.
Doğru da yerine yazıyorum. Y eşittir. 8 eksi x yerine eksi 1 yazınca artı 2'ye dönüşecek.
Burası 10 yaptı. Yanii eksi 1'e 10 oldu. 4'ü yerine yazdığımda 8, 8 eksi 8, 0. Bulduk bunları da. 59 neyse işte cevabını sen işaretle.
Evet burada bir 60'ımız var. Denklem sisteminde x değerleri toplamı nedir? Yine yerine koyma metoduyla yapabileceğimiz bir soru. Attım karşıya x eşittir 8 eksi y yaptı.
Burada x yerlerine 8 eksi y yazdım. Çarpı y'imiz var eşittir 15. Şimdi dağıtıyorum içeri. İçeri dağıttığım zaman buradan 8y eksi y kare eşittir 15 yaptı.
Karşıya topluyorum 0 eşittir. Y kare eksi 8y artı 15 yaptım. Çarpandan ayırıyorum y eksi 3 ile y eksi 5'in çarpımı eşittir 0. O zaman y dediğimiz ya 3, y dediğimiz ya da 5 oldu. Şimdi y dediğimiz 3 ise karşıya attım x dediğimiz 5 olur. Y dediğimiz 5 ise karşıya aldım x eşittir 3. x değerlerinin toplamları 8 cevabımız denizli.
Son sorumuz. Yoruldum yalnız ha. Vallahi yoruldum. Aralıksız yaptık. Bir de Ramazandayız.
Oruçuz biliyorsunuz. Nereden bileceksiniz? Oruçuz yani. Öyle dilim damağım kuruldu. Saatte beş buçuk olmuş.
İftarda yaklaşıyor. Öyle diller damaktan yapmaya başladım. Hadi bakalım son sorumuz.
Sınavda bir iki yıl önce çıkmış bir sınav sorusu arkadaşlar. Hadi çözelim. Olduğuna göre x ile y'nin çarpımı nedir?
Bu da yok etme ile yapabiliyoruz değil mi? Hangisini yok etmek istiyorsun? X'i yok etmek istiyorum. Yukarıyı eksi 2 ile çarptım o zaman. Eksi 2 x'in karesi eksi 6 y'nin karesi eşittir.
Eksi 16 yaptım. 2x karem var artı y karem var eşittir 10. Taraf tarafa topladım. Eksi 5y'nin karesi eşittir.
Burada 16'ydı burası 6'ydı. Eksi 10 yaptı değil mi? Eksi 10 yaptı.
Her iki tarafı eksi 5'e bölünce y kare dediğimiz ne eşit oldu? 2y. O zaman y dediğimiz artı veya eksi kare kök 2 olur.
x ve y pozitif dediği için y dediğimizin ne olduğunu söyleriz o zaman. Kök 2 pozitif diyor çünkü. O zaman y yerine kök 2 yazdım. Kök 2'nin karesi ne yaptı?
2 yaptı. 2 ile 3'ü çarptım 6. Karşıya salladım. x kare dediğimizde 2 yaptı. O zaman pozitif dediği için bu da kök 2. Kök 2 ile kök 2'nin çarpımı da 2 yapmış oldum. Evet şimdi bir veda edeyim bu videoda bitirecek olanlar için.
Çünkü birleşik olarak da çekeceğiz bir veda edelim ama bu videodan sonra mutlaka mutlaka mutlaka sen izlediğinde gelmiş olacak muhtemelen ama yarın izliyorsan veya ben bu videoyu yayınladığım gün izliyorsan yarın gelecek olan ikinci dereceden denklemlerden çözeceğim beynini açacak soruları da mutlaka çözmeni istiyorum. Ve ya... Birleşmiş videodan devam edenler de Burada ben şimdi videoları birleştireceğim ya İki videoya da uygun kelimeler ayarlıyorum Onu oradan kesip tek video Onu oradan birleştirip çift video yapacağız O yüzden öyle konuşuyorum Hadi bakalım Kendinize çok iyi bakın Ama genel tekrar serimizi mutlaka takip edin Özellikle konuları hatırlıyorum deseniz bile O çözdüğüm soruları mutlaka mutlaka mutlaka çözün Kendinize de iyi bakın Görüşmek üzere Bay bay