Herzlich Willkommen zu diesem Video in dem wir uns über die isotherme Zustandsänderung idealer Gase unterhalten wollen. Das ganze diskutieren wir mal an einem kleinen Beispiel. Dazu denken wir uns als erstes mal an eine kleine Kiste.
Für diese Kiste sind jetzt ein paar Randdaten gegeben. Erstens befindet sich die Kiste im thermodynamischen Gleichgewicht mit der Umgebung, hat eine Temperatur von 20°C. Zweitens ist die Kiste gefüllt mit 10 Litern Luft. Und in der Kiste herrscht zunächst ein Druck von 500 kPa.
Was passiert jetzt? In diese Kiste pressen wir 50 g Luft. Das heißt, ich schreibe mal, was passiert. Erstens, es gibt also eine Änderung der Masse um 50 Gramm.
Und dadurch passieren natürlich jetzt zwei Dinge. Erstens nimmt die Temperatur zu und zweitens steigt der Druck. Wir wollen das Ganze jetzt ja hier esoterisch betrachten.
Deswegen gehen wir mal davon aus, dass Wärme zwischen dem System und seiner Umgebung hin und her fließen kann. Also warten wir nach der Masse zu für so lange. bis T wieder 20 Grad Celsius beträgt.
Das Einzige, was sich jetzt also infolge dieser Massenzufuhr ändert, ist der Druck. Und wie viel sich der Druck ändert, wollen wir bestimmen. Also die Frage lautet, wie ändert sich der Druck? Also genau dieser Punkt hier, dass man eben wartet bis die Temperatur wieder 20 Grad Celsius beträgt, sagt uns, dass es eben eine Isothermezustandsänderung ist. Wie berechnen wir jetzt den neuen Druck?
Dazu schreiben wir uns als erstes in spezifischer Form, also ohne die Masse mit einem kleinen v, das ideale Gasgesetz hin. Jetzt gibt es einen kleinen Trick und zwar habe ich ja gesagt, die Temperatur bleibt gleich. Also formen wir diese Gleichung mal nach der Temperatur um und erhalten dann p mal v durch R. Und wir wissen jetzt, das ist konstant. Dementsprechend können wir also auch schreiben, E1V1, also genau Druck und Volumen vor der Massezufuhr, durch die spezifische Gaskonstante, muss genau das gleiche sein wie Druck mal Temperatur nach der Zustandsänderung.
Wenn wir das Ganze jetzt mal der spezifischen Gaskonstante multiplizieren, bekommen wir das Verhältnis von Druck und Volumen bei einer isothermen Zustandsänderung. Wir multiplizieren also mal R und bringen jeweils eine Zustandsgröße auf eine Seite und erhalten dann als Gleichung P1 durch P2 ist gleich V2 durch V1. Für diese Gleichung wollen wir jetzt ausrechnen, wie sich der Druck durch die Massezufuhr in dem System erhöht.
Wir formen das Ganze nach P2 um, das ist ja die Größe, die uns interessiert. Und erhalten P2 ist gleich V1 durch V2 mal P1. Jetzt müssen wir uns als nächstes überlegen, wie kommen wir denn dann auf das Volumen 1 und das Volumen 2. Das ist ja spezifisch, also das spezifische Volumen. ist wie jede spezifische Größe pro Masse angegeben.
Was haben wir denn bis jetzt erst? Bis jetzt kennen wir ja nur das Volumen des Behälters, 10 Liter. Wir müssen also erstmal die Masse ausrechnen vor der Massezufuhr.
Also Schritt 1, Masse der Luft vor Massezufuhr. Wie machen wir das? Dazu schreiben wir wieder das ideale Gasgesetz auf, allerdings diesmal inklusive der Masse, also mit dem großen Volumen V nicht spezifisch. P mal V ist gleich m mal R mal T.
Das können wir ja nach der Masse umformen, also m1, Masse der Luft vor der Massezufuhr, ist dann P mal V durch R mal T. Jetzt setzen wir einfach die Größen, die wir hier oben gegeben haben, ein. Also den Druck, das Volumen und die Temperatur. Die spezifische Gaskonstante von Luft ist in diesem Fall mal als bekannt vorausgesetzt.
Wir machen ein Video. in dem wir euch zeigen, wie man aus der allgemeinen Gaskonstante und der Molmasse von Luft auch die spezifische Gaskonstante ausrechnen kann. Also, wir haben 500 kPa, wir rechnen immer in SI-Einheiten, also 500 mal 10 hoch 3 Pa mal 10 Liter sind 10 mal 10 hoch minus 3 m³.
Und das teilen wir jetzt durch. Die spezifische Gaskonstante von Luft ist 287,12 Joule pro Kilogramm Kelvin. Und multiplizieren das mit der Temperatur in Kelvin, also 20 Grad Celsius plus 273,15.
Wenn man das in den Taschenrechner eintippt, bekommt man raus, vor der Massezufuhr befinden sich ungefähr 60 Gramm Luft im Behälter. Dementsprechend ist ja dann, wenn wir jetzt wissen, M2 ist gleich 50 Gramm plus M1, erhalten wir als Masse der Luft in den Behälter nach der Massezufuhr 0,1094 Kilogramm, also ungefähr 100 Gramm Luft. Okay, daraus können wir jetzt die spezifischen Volumina berechnen.
Wie machen wir das? Also. Das kleine spezifische Volumen ist das große Volumen pro Masse. Dementsprechend ist also V1 gleich V, also 10 mal 10 hoch minus 3 Kubikmeter, geteilt durch die Masse vor der Massenzufuhr. Das sind genau die hier oben, 0,0594 Kilogramm.
Wir bekommen als erstes spezifisches Volumen ungefähr 0,1684. Kubikmeter pro Kilogramm. Analog bekommen wir für das Volumen nach der Massezufuhr dann 0,0914 Kubikmeter pro Kilogramm.
Wir haben ja ein konstantes Volumen bei steigender Masse. Das heißt, das spezifische Volumen sinkt. Nicht daran irritieren lassen, dass die Zahl plötzlich kleiner wird. Okay. So, wir waren ja davon ausgegangen, dass wir eigentlich...
hier an dieser Stelle den Druck nach der Massezufuhr bestimmen wollen. Das heißt, in diese Gleichung, die nenne ich mal Sternchen, setzen wir jetzt das V1 und V2, das wir bestimmt haben, ein. Und erhalten dann folgendes. Ich schreibe die Gleichung nochmal einmal hin. P2 ist gleich V1 durch V2 mal P1.
Und setzen dann ein. 0,1684 durch 0,0914 mal den Druck vor der Massezufuhr, also 500 mal Pa. Und erhalten dann letztlich für den Druck ungefähr 921 kPa.
Zum Schluss tragen wir diese Zustandsänderung noch einmal in ein PV-Diagramm ein. Also wir tragen ab den Druck über das Volumen und bewegen uns jetzt hier entlang einer Isothermen und zwar von hier. und erhalten durch die Massezufuhr eine Drucksteigerung von P1 auf P2 und landen dann zum Beispiel hier.