¿Estás pensando en estudiar o trabajar en el extranjero y te piden el TOEFL? Hoy te tenemos una gran noticia y un descuento que puedes obtener con Platzi. ¡Quédate para conocer más! Imagina que quieres saber la altura de este muro.
Pero claro, está muy complicado subirte y medirlo con una regla. ¿Cómo le harías? Puedes apoyar una escalera cuya longitud sí conoces.
También puedes medir la distancia entre el punto de apoyo de la escalera y la base del muro. ¿Basta con eso? Pues un genial filósofo griego de hace más de 2.500 años descubrió que, si conoces estos dos lados, puedes calcular el tercero con total precisión y sin tener que trepar. Acompáñanos a comprender el asombroso Teorema de Pitágoras.
Pitágoras de Samos es conocido como el primer matemático puro y nació alrededor del año 470 antes de nuestra era. Formó una sociedad matemático-mágica-musical que sería conocida como los pitagóricos, aunque en su época se hacían llamar simplemente como los matemáticos. Ellos veían que todo el mundo era un matemático, y que todo el mundo era un matemático. todo en el universo podía describirse por medio de relaciones y proporciones geométricas y numéricas, y por eso le daban a las matemáticas un carácter místico y sagrado. Para ellos, los números y las figuras, eternos e inmutables, eran la esencia de las cosas terrenales, variables y perecederas.
La escuela pitagórica también desarrolló una teoría matemática de la música basada en la relación entre las longitudes de las cuerdas y las notas que producen. Creían que cada astro emitía una nota y todas juntas formaban la armonía de las esferas o música celestial. Mucho de lo que estudiaban los pitagóricos lo aprendieron de las matemáticas de Babilonia, incluyendo el famoso Teorema de Pitágoras, que al parecer, además de los babilonios, también conocían los chinos. Empecemos por entender lo básico.
El Teorema de Pitágoras se aplica a los triángulos rectángulos, o sea, todos los triángulos que tengan un ángulo recto, o sea, de 90 grados. No importa qué tan largo sean sus lados o en qué orientación se encuentre, si uno de sus ángulos es recto se trata de un triángulo rectángulo. Uno de los lados, el que se encuentra opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa.
Es el lado más largo. Por cierto, la palabra griega hipotenusa significa fuertemente tensada. Los geómetras usaban cuerdas tensas para realizar sus cálculos.
Los otros dos lados, los que forman el ángulo recto, se llaman catetos. Catetos significa que cae, porque se usaban plomadas para realizar las mediciones y asegurarse que una columna, por ejemplo, fuera perpendicular al suelo. ¿Listo?
Pues bien, el teorema de Pitágoras es una relación entre esos segmentos. y lo que declara es que en cualquier triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ¿Esto qué quiere decir?
Fácil, si dibujas dos cuadrados, uno cuyos lados sean iguales a uno de los catetos, otro cuyos lados sean iguales al otro cateto y sumas sus áreas, el resultado será igual al área de un cuadrado cuyos lados sean iguales al de la hipotenusa. Veamos este ejemplo. Del lado derecho, en la hipotenusa, que mide 5 unidades, tenemos un cuadrado de 5 por 5. Podemos ver que está formado por 25 cuadrados de 1 por 1. De este lado, uno de los catetos mide 4 unidades, o sea que su cuadrado es de 4 por 4 unidades.
Está formado por 16 cuadrados. la longitud del otro cateto es de 3 unidades, su cuadrado es de 3x3, o sea que está formado por 9 cuadrados. Si sumamos estos dos últimos, 16 más 9, en total son ¡ah, mira, también 25 cuadrados! Si nombramos a cada lado del triángulo con una letra, convencionalmente se le pone C a la hipotenusa y A y B a cada uno de los catetos, podemos expresar esta relación como a al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado.
Esta relación es constante, lo que quiere decir que siempre sucede, sin importar el tamaño de cada uno de los lados del triángulo. Por ejemplo, este otro triángulo rectángulo tiene su hipotenusa de 10 unidades y catetos de 8 y 6 respectivamente. Vemos si cumple.
8 al cuadrado, o sea 8 por 8, es 64. 6 al cuadrado, o sea, 6 por 6 es 36. Sumados dan 100, que es lo mismo que 10 al cuadrado. Claro, en estos ejemplos escogimos números enteros, pero no siempre es así. A veces salen decimales.
Cuando los tres lados son números enteros se les llama terna pitagórica. Como nuestros ejemplos, 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica, así como 6, 8 y 10 forman otra. Pero en este otro triángulo, uno de los catetos mide 7.5 unidades y el otro 4, lo que significa que sus cuadrados son de 56.25 y 16 respectivamente.
Sumados nos dan el cuadrado de la hipotenusa, 72.25. Su raíz cuadrada es de 8.5, que es la longitud de la hipotenusa. Como no son enteros los tres números, no forman una terna pitagórica. Veamos en un ejemplo muy sencillo cómo usar el teorema de Pitágoras de manera algebraica para conocer la longitud de uno de los lados cuando sólo conocemos los otros dos.
Spider-Man quiere salvar a este bebé, pero le queda poca telaraña. Apenas para 25 metros, ¿tendrá suficiente para alcanzarlo? En este triángulo sabemos que el cateto A mide 7 metros y el cateto B 24 metros. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Si a al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado, sabemos entonces que 7 al cuadrado más 24 al cuadrado es igual a c al cuadrado. 7 al cuadrado es 49 y 24 al cuadrado es 576. Si lo sumamos da 625. 625 es igual a c al cuadrado. Para saber sólo la c sin el cuadrado tenemos que sacar la raíz cuadrada de los dos términos. La raíz cuadrada de c al cuadrado pues es c. ¿Y la raíz cuadrada de 625?
Pues encontremos un número que multiplicado por sí mismo de 625. 25 por 25 da 625. El resultado es 25. Eso es lo que mide la hipotenusa. O sea... lo que debe medir la telaraña de Spidey. Bebé rescatado. Probemos con nuestro ejemplo de la escalera y el muro.
Sabemos que la escalera mide 13 metros y que su punto de apoyo está a 5 metros del muro. O sea, sabemos la medida de la hipotenusa y de uno de los catetos y nos falta saber la medida del otro cateto. Si lo sustituimos en la ecuación, sería a al cuadrado más 5 al cuadrado es igual a 13 al cuadrado.
Como queremos saber la medida de este cateto, dejemos a esa a cuadrada, que es nuestra incógnita, solita. Lo siento incógnita, es por tu bien. Lo hacemos mandando el 5 al cuadrado, que está sumando, del otro lado de la ecuación, pero restando.
Queda a al cuadrado es igual a 13 al cuadrado menos 5 al cuadrado. 13 al cuadrado es 169 y 5 al cuadrado es 25. Hacemos la resta de 169 menos 25 y queda 144. A al cuadrado es igual a 144. La raíz cuadrada de A al cuadrado es A y la de 144 es 12. ¡Y ya está! La altura del muro es de 12 metros.
¡Facilito! ¿Ves, catetito? Ahora ya te conocemos mejor.
Te dejamos un reto. Imagina que vas a construir una casa. ¿Puedes calcular de qué longitud debe ser este techo inclinado sabiendo que uno de los postes mide 2 metros, el otro 3 y la base 4?
En este caso hay que hacer algunas operaciones previas. Pausa el video y déjanos la respuesta en los comentarios. Algo interesante de esta relación descrita por Pitágoras es que es un teorema, o sea, una proposición que puede ser demostrada, y este teorema ha sido probado.
¡Totalmente! Funciona con todos los triángulos rectángulos en superficies planas. Es una verdad tan absoluta como las puede haber.
Pero tampoco creas que los matemáticos se ponen a ver si aplica a cada uno de los infinitos triángulos posibles de uno por uno. Más bien diseñan demostraciones que prueban su verdad general. Se dice que en las universidades de la Edad Media, si querías alcanzar el grado de Magister Matesos, tenías que inventar tu propia demostración del Teorema de Pitágoras. A lo largo de la historia, muchas personas, entre ellas persas, árabes y de la India, han diseñado pruebas muy ingeniosas y el de Pitágoras es de los teoremas con más demostraciones diferentes.
Existe una antigua demostración de la Teorema de Pitágoras, que es la de los teoremas de ...China, otra de Anairisi de Arabia, otra de Euclides, una de Leonardo da Vinci y una que Einstein hizo a los 12 años. Hasta el presidente de Estados Unidos, James Abraham Garfield, desarrolló una demostración e incluso estudiantes de secundaria han aportado nuevas pruebas. Bueno, ¿y para qué sirve saber el teorema de Pitágoras? Uy, pues para muchísimas cosas. Como te puedes imaginar, se usa en construcción y arquitectura para dividir terrenos o resolver cualquier diagonal.
En ingeniería civil para calcular la altura de las montañas y la inclinación de las carreteras. También en navegación naval y aérea. ¿Sabías que las mallas de los modelos 3D que usan los videojuegos y los personajes animados de las películas están hechas de triángulos?
Esto es porque es la figura geométrica más sencilla y que requiere menos datos para saber todo sobre ella. Porque, si sabes que los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180 grados, puedes usar funciones trigonométricas para saber todo de un triángulo rectángulo, partiendo sólo de la medida de un cateto y de otro de sus ángulos. Un dato curioso y muy útil, aunque hay muchos triángulos que no son rectángulos, Si en cualquiera de ellos trazas desde uno de sus vértices una línea perpendicular al lado opuesto de ese ángulo, siempre obtendrás dos triángulos rectángulos.
¡Curiosamente! ¡Pitagórico! Otro dato curioso es que Platzi ya tiene un curso de preparación para TOEFL.
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