नोट्स: फंक्शन की विशेषताएँ

प्रश्न 14: 1-1 फंक्शन

प्रस्तावना:
- F: A से B और G: B से C, यदि ये दोनों 1-1 हैं, तो G.O.F भी 1-1 होगा।
1-1 फंक्शन की परिभाषा:
- यदि Fx1 = Fx2 है, तो x1 = x2।
- 1-1 फंक्शन का मतलब है कि हर एक इनपुट के लिए एक ही आउटपुट।
- उदाहरण: यदि Fx1 = 2 और Fx2 = 2 है, तो x1 और x2 अलग हो सकते हैं।
प्रूफ करने के लिए:
1. मान लें Fx1 = Fx2
2. क्योंकि F 1-1 है, तो x1 = x2।
3. फिर G की विशेषता का उपयोग करते हुए, यदि G(Fx1) = G(Fx2), तब G1 = G2।
4. क्योंकि G भी 1-1 है, तो Fx1 = Fx2।
5. इस प्रकार, x1 = x2।
निष्कर्ष:
- इसलिए, G.O.F भी 1-1 होगा।

प्रस्तावना:
- F: A से B और G: B से C, यदि ये दोनों Onto हैं, तो G.O.F भी Onto होगा।
Onto फंक्शन की परिभाषा:
- हर B के लिए कम से कम एक A होना चाहिए।
- हर C के लिए कम से कम एक B होना चाहिए।
प्रूफ करने के लिए:
1. F एक Onto फंक्शन है।
2. इसका मतलब है कि हर B के लिए एक A है।
3. G भी Onto है, इसलिए हर C के लिए एक B है।
4. यदि G.F(x) = z है, तो z के लिए एक तत्व होना चाहिए।
5. इस प्रकार, G.O.F भी Onto होगा।
निष्कर्ष:
- G.O.F भी Onto है।

फंक्शन के विशेषताओं का अध्ययन महत्वपूर्ण है ताकि हम विभिन्न प्रकार के फंक्शंस के बारे में समझ सकें और उनके प्रूफ कर सकें।
Onto और 1-1 फंक्शन के बीच का अंतर समझना भी आवश्यक है।
इन सिद्धांतों का उपयोग गणित में अधिक जटिल अवधारणाओं को समझने के लिए किया जाता है।