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फंक्शन की विशेषताओं का अध्ययन

प्रस्तुति प्रस्तुति 6.1 के अंदर जो next question है 14, show that if F, A to B and G, B to C are 1 to 1, then G or F is also 1 to 1. यह क्या है ध्यान से देखो, question जो इसको पहले समझने की कोईश करो, यहाँ पर F एक function है और G भी एक function है, A और B उसके domain और co-domain है. बी और सी इसके डोमेन और कोडे में ने यहाँ पर देखो कि मैं पिक्चर के जरीए आपको बताता हूँ ए बी और सी इस तरह से ए बी सी जो फंक्शन F है वो इस तरह से यह फंक्शन है यानि जो यह अगर एक्स है तो इसका एफेक्स होगा इस तरह से और जो जी है जी फंक्शन वह जी है बी टू सी यहाँ पर दी टू सी दिया है यानि बी उसका डोमेन है तो सी उसका को डोमेन है तो इस तरह से बी से सी करेंगे यह एफ आता था और यह जी आता है अब क्या होगा कि मान लो कि इसका जो वैल्यू है वाई है तो यह एफ वाई हो जाएगा जैसे यहाँ पर एक्स ह यह एप्पल्ट यह एप्पल्� यह दिया है कब यह दिया इसका मतलब क्या है कोई फंक्शन 121 क्या होता है और मैनी टू वन क्या होता है यह कंसेप्ट आपको बताना चाहिए कि अगर कोई भी जैसे एक है और इसकी वैल्यू एफेक्ट्स है अगर एक्स वन के लिए जो फंक्शन एफ एक्स वन है एक्स वन के लिए और एक्स टू जो वैल्यू है समझे यहां पर एक्स वन एक्स टू एक्स तरह से है तो एक्स वन के लिए जो एंसर आ रहा है वह आ रहा है एक्स वन एक्स टू के लिए एक्स टू अ तो अगर fx1 ये और fx2 ये दोनों अगर equal है, fx1 और fx2 दोनों equal है, तो इनके लिए जो points है x1 और x2 ये दोनों equal होगा, for all x1 and x2. यह 1 to 1 है, एक का answer एक ही है, एक का image एक ही है, 1 to 1 है, इसके लिए अगर कोई भी 2, जो co-domain में, यानि range के अंदर जो values है, fx1 और fx2 अगर equal है, तो यह जो पॉइंट होंगे x1, x2 यह दोनों भी equal होंगे, यह क्राइटेरिया condition है कोई भी दो function है 1, 2, 1 कब होंगे जब उनके दो function की values अगर equal है तो at that time तो वह तो वन टू वन फंक्शन होगा इसको हम लोग ऐसे ली सकते हैं कि अगर इस देश देन दिस्स यानि कि अगर यह होगा तो यह होगा क्योंकि वह वन टू वन फंक्शन है अगर यह हुआ और यह भी हो रहा है तो वन टू वन फंक्शन है ऐसे मतलब आगे-पीछे करके कैसे भी हम समझ सकते हैं मैंने टू वन क्या होता है कि समझोगी एफेक्स वन अ और fx2, ये दोनों equal है, ये दो value equal है, many to one मतलब क्या होता है, आपको पता ही है, कि इस तरह से अगर होगा, many to one, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, यहाँ पर देखो, जैसे कि many to one, 2 के लिए answer 2 है, 3 के लिए भी 2 है, यहने many to 1, एक से ज़्यादा के लिए एकी image है, तो इसको हम अगर ऐसे represent करना है, mathematically, तो कैसे करेंगे, कि fx1 और fx2 same है, समझो, समझो ये 2 fx1 है, fx1 मतलब 2 for 2 and ये 3 के लिए, ये दोनों सेम है, f2 का value कितना है, f of 2 is 2, f of 3, f of 3 is also 2, दोनों सेम है, लेकिन क्या 2 और 3 ये सेम आएगा क्या, नहीं, ये तो अलग है, इसमें जो x की value है, ये x1 और x2, और ये समझो, कि अगर मैं fx1 निकालू, और f of x2 निकालू, ऐसे, x1 के लिए function की value यह function की value होती है fx अगर x1 के लिए function की value 2 है और x2 के लिए भी 2 है तो यह तो same है लेकिन यह x1 x2 तो दोनों अलग है 2 और 3 x1 is not equal to x2 यह यहां पर आएगा कि एक्स वन इज नॉट इक्वल टू एक्स टू फॉर मैनी टू वन फंक्शन मैनी टू वन में यह अगर इक्वल है यह इक्वल होगा और आल वेल्यूज आफ एक्स वन एक्स टू यह क्यों बता रहा हूं क्योंकि अगर हमको ऐसे समाते हैं तो लिखने के लिए यह कंडीशन हम यूज करके उसको हम प्रूफ करके बताएंगे कि जो है 1 to 1 है नहीं है जो भी पूछा गया है यहाँ question क्या है show that if function f and g are 1 to 1 if यहाँ पर दिया if if का मतलब क्या है कि यह दिया हुआ है कि जो function f और g है solution यहाँ पर लेते हैं f and g है f and g are 1 to 1 function ऐसे दिया हुआ है तो show क्या करने बोला है show that यह बोला है अगर ये 1 to 1 है then G.O.F. is also 1 to 1 इस तरह से लिख सकते हैं आप ऐसे भी लिख सकते हैं जोमेटरी डाइप में given F and G are 1 to 1 function to prove या to show G.O.F. is also 1 to 1 function ठीक है तो ये कैसे proof किया जाए यहाँ पर आप proof लिखो या तो आप generally अब देखो अगर f और g वन टू वन function है, यहाँ पर देखते हैं, यह f function है, f function में एक domain और एक co-domain है, तो यहाँ पर हम क्या लिखेंगे, f a to b, यह जो दिया था, is one to one function, अगर ऐसा है, a से b, f जो है one to one function है, तो इसमें जो fx1, fx2 है, f of x1 is equal to fx2, क्योंकि one to one में यह दो function equal होते हैं, और अगर ये 1 to 1 है दिया हुआ है 1 to 1 ये दोनों सेम है 1 to 1 है तो इन दोनों का जो corresponding point है x1 x2 वो भी सेम होगा for all x1 and x2 समझ में आए ये तो ये लिखना है इस तरह से ये equation number 1 हो गया यहाँ पर अब क्या करो जी ले लो यहाँ पर जी जी क्या है वो b to c आर वन टू वन मतलब जो जी है वो भी वन टू वन है जी इस वन टू वन फंक्शन अब देखो यह जो जी बी टू सी है यहां पर डोमेन देखो यह डोमेन है बी और यह सी बी टू सी इसका नाम जी देंगे जैसे एसे बी का नाम हमने फंक्शन एफ दिया था ऐसे जी देंग यह जी होगा, जी वाई वान और जी वाई तू इस तरह से होगा, तो जो जी है भी वान तू वान है, तो जैसे हमने यहाँ पर एटू बी के लिए एफ लिया था, एफ एक्स वान, एफ एक्स टू, यहाँ पर आप लोगे जी एक्स वान इस इक्वल टू, जी एक्स टू, और अब यहाँ पर जो क्या होगा, y1 is equal to y2, क्योंकि वो 1 to 1 है, for all y1 and y2, इस तरह से हो गया, इसको 2 number ऐसे दे दो, अब क्या होगा, g of f की बात करते हैं, g of f, g of f, यहाँ पर बोला गया, g of f is also 1 to 1, प्रूप करना है, g of f का मतलब होता है, g function of function, function f का function g, g function g of function f, g of f, f का मतलब, एफेक्स यहां पर आप ले सकते हैं इस तरह से तो अगर समझो कि मैं यहां पर मुझे उसमें भी वन टू वन लाना है तो यह प्रूफ करना पड़ेगा कि जो जी एफ एक्स वन और एक्स टू है पैसे जी ओ एक्स वन इस इक्वल टू जी ओ एक्स टू इस तरह से यह दोनों तो इसके जो elements उसकी values भी same आ रही है कि अगर आएगी तो वो 1 to 1 है तो इसको कैसे solve किया जाएगा देखो G इसे मैंने G of F का meaning बदाए G of Fx वैसे G of F का meaning बदाए G of F x1 और यहाँ पर जाएगा G of F x2 इस तरह से हो गया अब यहाँ पर देखो यह जो Fx1 है that is equivalent to y1 तो जो A के लिए B value है वही B यहाँ पर भी है जैसे X1 के लिए FX1 है उसको ही हमने Y1 लिया है यह क्या हो जाएगा, fx1 देखो, यहाँ हो जाएगा g, fx1 हो जाएगा y1, और यहाँ पर हो जाएगा g, fx2 जो हो जाएगा, fx2, हो जाएगा y2, g y1 is equal to g y2, ओके, यहाँ पर हम लिखके दिखाओगे, since fx1 is equal to y1, fx2 is equal to y2, यह लिखके दिखाओगे, अभी g y1 और g y2 दे तो यह फॉर वाइवन इज इक्वल टू वाइट टू फ्रॉम सेकंड कंडीशन यहां पर देखो अगर जी वाइवन इक्वल टू वाइवन वाइट इक्वल होगा सेकंड तो फ्रॉम सेकंड लेकिन वाइवन और वाइट वह हमने क्या लिया है एफेक्स वन देरफॉर एफेक्स वन इज इक्वल टू एफेक्स वन और एफेक्स टू इक्वल है तो हमने क्या निकाला था पहले एक्स वन इक्वल टू एक्स टू होगा एक्स वन इक्वल टू एक्स टू होगा कहां से आया फ्रॉम वन अब हमने क्या हमको क्या प्रूव करना था जी ओ एफ भी वन टू वन है तो हमने जी ओ एफ वन टू वन फंक्शन इस तरह से आपको इसे प्रूफ करना है क्वेश्चन नमबर 14 अब ये प्रूफ तो हो गया है लेकिन इसमें थोड़ा सा और एक बार देख लो कि ये कहां से आया पैने जियो एफ का मतलब ये बताया तो ये जियो एफ एक्स वन तो ये कंसीडर करना है ये आप कुछ से लेंगे करना होता है तो एफ एक्स वन या इक्वल नहीं है अगर ये consider खुद से लेते हो और उसको proof करते हो, अगर उसमें आपको मिलता है x1, x2 सेम है, तो हम बोलते है 1 to 1 है, अगर ये दोनों सेम नहीं आते, तो हम बोलते है main e to 1 है, ये इसका concept है, तो वैसे ही हमने कुछ से ले लिया, x1 और x2 के लिए gf दोनों को equal किया, और solve करके द अगला जो question है 6.1 के अंदर question number 15 यह कहता है show that if function f a to b and function g b to c are onto function then g of f is also onto अब यहाँ पर onto यह word आया है इसके पहले वाले question में हमने देखा one to one many to one into और onto function इसको पहले समझो क्या है onto को यहाँ पर नाम है subjective भी कहते है question number 13 में आपने देखा subjective subjective का मतलब होता है यह है क्या? suppose we have a domain और इसका एक co-domain है यहाँ पर कोई elements है और यहाँ पर समझो इसके दुसरे कोई element है तो अगर हम देखेंगे इस तरह से कोई function है f, this is a function from a to b, अगर किसी function में a में जितने भी elements है x और उसकी जो values है b के अंदर fx वो हर एक के लिए एक एक रहे और यहाँ पर एक बी एलिमेंट नहीं हो बी के अंदर यानि कि हर एक एक्स के लिए एक पर्टिकुलर एफेक्स है और यहां पर कोई भी एक एफेक्स वेल्यू ऐसी नहीं है जिसके लिए एक्स की वेल्यू ना हो यानि जो बी होता है को डोमेंट उसके अंदर वाला है शो देटी अ function f from a to b from a to b एक function है और कोई एक function है b to c यहाँ पर और एक बना देते हैं यहाँ से b to c यह जो function है f था और यह function जो है g है जैसे अभी हमने 14 में देखा दो function है a से b और b से c अब बोला गया है कि show that if f to a to b and g b to c are on to, on to मतलब इसके लिए भी एक fixed element कोई न कोई तीनों के लिए है, समझो यहाँ पर मैं देता हूँ 8 एक टी फॉर टू वन सिक्स यह तीन एलिमेंट है एक्स के लिए हर एक एक एप्स था एप्स के लिए और एक यहां पर जी एक लेते जी फंक्शन है एप्स फंक्शन है एटू भी बीटू सीजी फंक्शन है तो हर एक एप्स की वैल्यू के लिए जी फंक्शन आफ का अगर जी निकालेंगे तो वह भी ऑन टू होगा यह प्रूवर बिल्कुल क्वेश्चन नंबर 14 जैसा बट वहां पर वन टू वन का कंसिप्ट था अ यहाँ पर अंटू का concept रहती है, चलो सॉल करते हैं इसको अप्र� एक लेते हम लोग यहां पर सबसे पहले जो दिया है वह देखते हैं यहां पर हम प्रूफ लिख देते हैं ओके यहां तो गिवें टू प्रूवें भी लिख सकते हो पहले दिया हुआ एफ एटू बी इज ऑन टू देखो एटू बी इज ऑन टू फंक्शन यह हो गया दूसरा क्या दिया है जी बी टू सी इज ऑन टू फंक्शन यह दिया हुआ है अ और हम लोगों को प्रूफ करना है जी ओ एफ जी ओ एफ इज ऑल्स ऑन टू यह भी ऑन टू है वह प्रूफ करके लेना है जी ओ एफ एक्स अगर लेते हैं तो क्या हो जाएगा जी ऑफ एफ एक्स इस तरह से हो जाएगा इस तरह से तीन स्टैप याद अ आपको कैसे प्रूव करना है इसके बाद प्रूव हो जाएगा अब एड टू बीज ऑन टू फंक्शन अब यह पहला है फंक्शन है एड टू बीज ऑन टू फंक्शन तो क्या करेंगे देखो यहां पर यह जो फंक्शन एस के सारे एलिमेंट को मैंने बताया पर एक्स क y और c के सारे element को आप z consider करो इस तरह से तो जो x है x का जो function होगा वो fx हो गया तो यह जो fx और y को equal होता है अब इस y का जो function है y का function gy हो गया यह gy और c equal होगा अब यहाँ पर देखो हमको दिया हुआ था कि if f is a function from a to b is onto function तो यह onto function है मतलब क्या है कि जो a to b है हर एक x के लिए एक y element होगा अब a to b is onto function याने क्या है देखो कि मैंने आपको onto का मतलब क्या बताया कि जो ये b है याने second वाला है उसका हर एक element जो होगा जैसे 2 for 3 उसका pre image होगा ही याने क्या there exist there exist x एलिमेंट एक्स बिलॉंग्स टू ए एक्स एलिमेंट ऑफ ए यानि कि जो एक एंडर एक्स एलिमेंट ऐसा होगा जो इसका इमेज हो प्रीमेज होगा ही होगा फॉर एवरी फॉर एवरी वाइ बिलॉंग्स टू बी यानि जो वाइ है जो बी के अंदर है उसका एक इमेज प्रीमेज इस एक के अंदर होगा ही होगा यह लाइन जो याद कर लो देर एक्स बिलॉंग्स टू ए फॉर एवरी वाइ बिलॉंग्स टू भी मैं से यहां पर लिखेंगे देर एक्स इस्ट अ y belongs to b for every z belongs to c, यानि इस c के अंदर हर एक value के लिए, इस b के अंदर एक value होगी होगी, इस तरह से दो बार करना है, यहाँ पर क्या हो जाएगा, यह जो x है, उसका जो function fx है, that is equal to y, fx is equal to y number 1, यहाँ पर जो y है उसके लिए जो g y है, g y is equal to z हो जाएगा, g y is equal to z, number 2, अब क्या करेंगे, यहाँ पर लिखा है कि then g of f is also on 2, यह प्रूच जाएगा, रूप करना है तो हम जीव निकालते पर एक जीव अपने अब देखो जीव अपने यहां पर आया फ्रॉम वन अब जीव यहां पर तो जी ओफ एक्स जेड को इक्वल आया यानि जो जी जी ओफ एक्स लाए इसमें क्या हुआ जो हर एक एलिमेंट एक्स है उसके लिए एक वैल्यू जेड आ रहा है एक्स के लिए एक वैल्यू जेड यहाँ पर आ रहा है यानि यह जो था यह ऑन टू था यह ऑन टू था हर ए दाइट यह जो लिखा था जी ओफ एफ इस ऑल सो ऑन टू फ्वांक्शन इस तरह से हमको करना है बहुत ही आसान है समझना में है समझ में आया तो बहुत इजी है