Catatan Kuliah Matematika: Himpunan Bilangan dan Bilangan Rasional

1. Himpunan Bilangan

• Objek dasar dalam matematika: himpunan
• Himpunan bilangan klasik:
  • Himpunan bilangan asli: {1, 2, 3, 4, ...}
  • Himpunan bilangan bulat: menambah unsur 0 dan bilangan negatif

2. Himpunan Bilangan Rasional

• Definisi: bilangan pecahan, contoh: 1/2, 2/4, 8/16
• Pecahan paling sederhana: tidak ada faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut
• Contoh:
  • Di antara 1 dan 2 terdapat 3/2
  • Menghitung bilangan rasional di antara bilangan: (A + B) / 2

3. Keunikan Bilangan Rasional

• Selalu ada bilangan rasional lain di antara dua bilangan rasional apapun
• Implikasi: orang berpikir semua bilangan mungkin adalah bilangan rasional

4. Penemuan Bilangan Irasional

• Teorema Pythagoras: A² + B² = C²
  • Contoh: A = 1, B = 1, maka C² = 2
• Mencari bilangan rasional untuk C: C = M/N
  • Asumsi: M/N adalah ekspresi paling sederhana (FPB = 1)

5. Pembuktian Melalui Kontradiksi (Reductio ad Absurdum)

• Dari M²/N² = 2
  • Kesimpulan: M harus genap
  • M = 2K, substitusi ke dalam formula
  • Hasil: N juga harus genap
• Kontradiksi: M dan N tidak bisa memiliki FPB = 1 jika keduanya genap
• Kesimpulan: tidak ada bilangan rasional M/N yang memenuhi M² = 2N²

6. Kebutuhan akan Bilangan Real

• Hasil: C tidak dapat berupa bilangan rasional
• Diperlukan: bilangan yang lebih besar yaitu bilangan real.