Di dalam matematika, objek yang paling mendasar adalah sebuah himpunan. Dan khususnya dalam perkuliahan ini kita akan banyak bekerja dengan himpunan bilangan. Himpunan-himpunan bilangan yang paling klasik barangkali adalah himpunan bilangan asli yang berisikan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Himpunan bilangan dengan menambahkan unsur 0 dan menambahkan bilangan-bilangan negatif, tapi masih bilangan bulat semua di sana.
Nah ini pun juga diperluas kembali menjadi sebuah himpunan bilangan baru yang bernama himpunan bilangan rasional. Dan secara khusus kita akan melihat bilangan rasional ini secara lebih spesifik. Bilangan rasional ini kita kenal di pelajaran-pelajaran matematika SD, SMP maupun SMA sebagai bilangan-bilangan pecahan. Misalkan bilangan 1 per 2 dan kita tahu bilangan 1 per 2 ini bisa ditulis menjadi 2 per 4. Juga bisa ditulis menjadi 8 per 16 dan seterusnya. Jadi semua bilangan-bilangan ini kita anggap adalah bilangan-bilangan yang sama.
Jadi bilangan rasional memiliki ekspresi yang cukup banyak dalam hal ini. Kita kenal 1 per 2 ini meskipun sama dengan 2 per 4 dan sama dengan 8 per 16. Kita mengenali bilangan 1 per 2 ini dan menyebutnya sebagai pecahan yang paling sederhana. Dan ciri utama dari pecahan yang paling sederhana adalah antara pembilang dan penyebutnya sudah tidak lagi memiliki faktor persekutuan yang sama.
Bilangan rasional juga memiliki sebuah keunikan yang menarik untuk kita perhatikan di sini. Misalkan kita punya dua buah bilangan rasional yaitu 1 dan 2, maka di antara 1 dan 2 ini kita memiliki bilangan rasional lain yang berbentuk 3 per 2 dan 3 per 2 ini dengan mudah dapat kita hitung sebagai 1 ditambah 2 dibagi 2 dan antara 1 dan 3 per 2 itu lagi-lagi ada sebuah bilangan rasional lain yang lagi-lagi dapat saya tulis menjadi 1 ditambah 3 per 2 dibagi 2, ini kurang lebih adalah 5 per 4. Dan Anda perhatikan bahwa berapapun kecilnya atau dekatnya 2 buah bilangan rasional, selalu kita dapat menemukan bilangan rasional lain dengan cara menghitung A ditambah B dibagi dua. Dan ini memberikan kepada kita pengertian bahwa bilangan rasional itu tidak seperti bilangan bulat yang jangkau. jarang-jarang seperti itu, tapi bilangan rasional ini seperti sangat rapat sekali. Di antara dua buah bilangan rasional selalu terdapat bilangan rasional lain.
Dan itulah yang menyebabkan bahwa selama beberapa lama manusia berpikir bahwa jangan-jangan semua bilangan adalah bilangan rasional. Jangan-jangan kita sudah memiliki semua bilangan yang mungkin, dengan kata lain tidak ada lagi bilangan yang lain. Dan hal ini terbukti salah.
Salah karena kemudian Pitagoras menemukan sebuah teorema yang sangat bagus. Teorema itu berkata bahwa kalau kita mempunyai sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisinya adalah A dan B kemudian sisi miringnya adalah C. Pitagoras mengatakan bahwa haruslah berlaku A kuadrat ditambah B kuadrat sama dengan C kuadrat.
Khususnya... Kalau A dan B nya sama dengan 1 maka saya akan mempunyai 2, 1 kuadrat ditambah 1 kuadrat itu adalah 2 sama dengan C kuadrat. Nah selama beberapa lama Pitagoras dan murid-muridnya berusaha menemukan apakah ada sebuah bilangan rasional yang memenuhi hubungan ini. Bahwa ketika dia dikuadratkan hasilnya adalah C kuadrat.
Nah Kalau dia adalah bilangan rasional maka dia dapat ditulis C ini dapat ditulis menjadi A per B dengan A dan B nya adalah bilangan bulat. Barangkali saya jangan menggunakan huruf yang sama tapi saya pakai saja huruf yang lain M dan N di mana M dan N nya adalah anggota bilangan bulat. Nah kita ingat bahwa bilangan rasional itu memiliki S.
ekspresi yang banyak sekali jadi kita asumsikan sekarang ini m per n ini adalah ekspresi yang paling sederhana apa itu ekspresi yang paling sederhana? kita ingat tadi bahwa faktor persekutuan terkecil, terbesarnya persekutuan terbesarnya atau fpb nya itu adalah 1 jadi dia sudah tidak mempunyai lagi faktor persekutuan yang yang lebih besar dari 1. Oke nah jika demikian karena kita tahu bahwa c kuadrat adalah 2 maka saya Saya punya M kuadrat dibagi N kuadrat itu adalah 2. Dan ini berarti M kuadrat adalah 2 N kuadrat. Apa yang dikatakan oleh hasil ini? Dari hasil. Hasil ini yang dikatakan adalah M haruslah bilangan genap.
Sebab hanya bilangan genap yang kalau dikuadratkan hasilnya adalah bilangan genap. 2N kuadrat itu bilangan genap. Jadi mau gak mau M-nya harus genap. Jadi kita dapatkan M adalah genap berarti M-nya dapat ditulis menjadi 2 dikali K misalkan. Sebuah bilangan bulat lain.
Jadi K-nya adalah bilangan bulat yang lain. Nah kita substitusikan kembali ke dalam formula kita. kita yang ini, maka kita dapatkan 4K kuadrat haruslah sama dengan 2N kuadrat. Dan ini sama saja dengan mengatakan 2K kuadrat adalah N kuadrat.
Dengan argumentasi yang sama, disini kita dapatkan bahwa N adalah bilangan genap, sehingga bisa ditulis menjadi 2 dikali L, dengan L adalah bilangan bulat. yang lain. Jadi M-nya bilangan genap, L-nya, N-nya juga bilangan genap.
Artinya apa? Mereka memiliki faktor persekutuan yang lain selain 1, yaitu 2. Padahal kita tadi mengasumsikan bahwa faktor persekutuan terbesarnya harus 1. Dengan demikian tidak mungkin ada M dan N yang bisa kita tuliskan sehingga kalau kita kuadratkan hasilnya adalah 2. Nah, catat. Cara membuktikan ini itu dikenal pada zaman Pitagoras dulu, kemudian dikenal pada zaman Euler berikutnya, dan disebut sebagai Reductio ad Absurdum.
Yaitu apa? Kita mengasumsikan sesuatu, kemudian kita menurunkan sesuatu yang kontradiktif. Yaitu apa?
Bahwa M dan N memiliki faktor persekutuan terbesar satu, tetapi kita menunjukkan bahwa M dan N memiliki faktor persekutuan yang lebih besar dari satu. Dengan demikian mereka haruslah, ini sebuah kontradiksi dengan demikian permisalan saya salah. Jadi tidak ada bilangan yang bisa memenuhi persamaan ini.
Dengan demikian kita dapatkan bahwa C yang ada di sini yang dikuadratkan hasilnya 2 ini tidak mungkin merupakan bilangan rasional. Jadi kita menemukan sebuah bilangan lain yang yang juga yang tidak rasional. Dengan demikian kita perlu bilangan yang lebih besar lagi dan bilangan itu adalah bilangan real.