Lezione sul Dominio delle Funzioni

Introduzione

• Argomento della lezione: studio del dominio (insieme di definizione) delle funzioni ad una variabile.
• Importanza di determinare correttamente il dominio per evitare errori nel calcolo di derivati e grafici.

Definizione di Dominio

• Il dominio è l'insieme dei valori per cui l'espressione della funzione ha senso.
• Sbagliare il dominio compromette la validità dell'intero esercizio.

Condizioni per Determinare il Dominio

• Non ci devono essere:
  1. Denominatori che possono annullarsi (diverso da zero).
  2. Radici con indice pari contenenti la variabile.
  3. Logaritmi che contengono la variabile.
  4. Funzioni trigonometriche inverse contenenti la variabile.
  5. Funzioni esponenziali con basi variabili.
• Se non ci sono queste condizioni, il dominio è tutto [ R: (-\infty, +\infty) ].

Esempi di Funzioni

1. Funzione: ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 )

   • Dominio: ( R ) (tutti i reali).

2. Funzione: ( g(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} )

   • Dominio: Escludere ( x=1 ) e ( x=2 ): ( (-\infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty) ).

3. Funzione Esponenziale: ( h(x) = e^{(1/2)x^2 + x + 5} )

   • Dominio: ( R ) (tutti i reali).

Funzioni con Denominatori

• Per determinare il dominio:
  • Porre il denominatore diverso da zero e risolvere.

Funzioni con Radici

• Per la radice quadrata e funzioni con indice pari:
  • Rendere l'argomento della radice maggiore o uguale a zero.

Logaritmi

• Per i logaritmi:
  1. Argomento maggiore di zero.
  2. Se la base è variabile, deve essere maggiore di zero e diversa da uno.

Funzioni con Arco seno e Arco coseno

• Argomento deve essere compreso tra ([-1, 1]).

Funzioni Esponenziali con Base Variabile

• Base deve essere maggiore di zero e l'argomento dell'esponente deve essere verificato secondo le condizioni sopra descritte.

Conclusione

• Importanza di determinare correttamente il dominio per garantire la validità delle funzioni e per la loro rappresentazione grafica.
• Riflessione sull'importanza del dominio nella risoluzione di problemi matematici in generale.