ملاحظات عن درس الحساب التكامل والدوال الأصلية

مقدمة

• بدء سلسلة التمارين حول وحدة الدوال الأصلية والحساب التكامل.
• التمارين تُستمد من البكالوريا لشعبات مختلفة مثل العلوم التجريبية، التقنية الرياضية، والرياضيات.

التمرين الأول

• بكالوريا 2019 شعبة علوم تجريبية
• دالة F(X) = 1 / (X - 2) + ln(X)
  • مجال التعريف: (0, ∞) باستثناء 2.

الدوال الأصلية

• دالة H(X):
  • التكامل من 3 إلى X لـ ln(t) dt.
  • مجال التعريف: (3, ∞).
  • تحليل الدوال:
    • استخدام التكامل بالتجزئة.
    • E(t) = ln(t) و V'(t) = 1
    • مشتقة ln(t): 1/t
    • دالة أصلية لـ 1: t

القاعدة

• تكامل الجداء E في V' هو فرق الصور لجداء E في V بين حدود التكامل ناقص التكامل من A إلى B لـ V في E'.
• النتيجة النهائية: H(X) = X ln(X) - X - 3 ln(3) + 3

حساب المساحات

• A مساحة الحيز الذي يحدده:
  • المنحنى CF
  • محور الفواصل
  • المستقيمين X=3 و X=4

ملاحظة حول الدالة F(X)

• F(X) موجبة على المجال [3, 4]
• حساب المساحة عندما تكون الدالة موجبة:
  • A = تكامل F(X) من 3 إلى 4

حالات أخرى

• في حالة الدالة سالبة:
  • حساب التكامل مضروبًا في -1.
• الدالة تغير إشارتها:
  • تقسم إلى تكاملين موجبين وسالبين.

الوحدة

• الوحدة غير محددة: فقط نكتب A.
• المعلم متعامد ومتجانس (1 سم): وحدة المساحة تكون 1 سم².
• المعلم غير متجانس: نضرب الطولين لبعضهم البعض للوحدة.

الخلاصة

• تمارين الدوال الأصلية والتكامل سهلة ولكن تحتاج لتركيز.
• أهمية فهم الحالات المختلفة للدوال والمجالات.
• أهمية الوحدة في التعبير عن المساحة وملائمة الظروف المعطاة.