بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم إذن بعد ما هزينا كل دروس وحدة الدولة الأصلية والحساب التكاملي اليوم إن شاء الله نبدأ في سلسلة التمارين حول هذه الوحدة رح نبدأ إن شاء الله تمارين متدرجة المستوى نبدأ من تمارين سهلة ثم نطلع المستوى مع الوقت أيضا نهزو تمارين من البكالورية بالنسبة لشعب المختلفة رح نهزو نماذج من شعبة علوم تجريبية نماذج من شعبة تقنية رياضية ونماذج من رياضيات وأيضا إن شاء الله نزيدو لها تمارين خارج البكالورية صحة التمرين الأول سنعطيه من بكالوريا 2019 شعبات علوم تجريبية عموماً ليس صعباً يعني مجرد عمل مباشر كما رأينا في الدرس صحيح الدلل أف لدرسوها في هذا التمرين أف لإكس يساوي 1 على إكس ناقص 2 زائد ألان إكس مجال تعريفه من صفر إلى زائد ما لنهاية ما عد القيمة 2 لأنها تعدمنا المقام في نهاية التمرين عدنا جزء يتعلق بالدولة الأصلية عرفنا الدلل أش أش لإكس هي التكامل من ثلاثة ثلاثة لإكس LNT DT مجال تعريف تحه هو من ثلاثة لزي المالة نهاية من بين قمصين هذه في الدرس وين شفناها؟ شفناها في الدرس اللي تعلمنا فيه حساب الدلة الأصلية لدلة التي تنعدم عند قيمة إذن هذه الدلة اسمها H اسمها الدلة الأصلية للدلة الآن التي تنعدم عند ثلاثة السؤال الأول قالهم عين عبارة H لإكس بدلات X باستعمال التكامل بالتجزئة يعني قال لهم احسبوا هذا التكامل باستعمال ماذا؟ باستعمال التكامل بالتجزئة طبعاً طبقنا عليه تطبيقات مختلفة في الدرس إذا رح نقول h لـ x هو التكامل من ثلاثة الـ x لهذه الدلة ln t dt الآن قلنا التكامل بالتجزئة دلن تعني ln t هذه اللي رح نجبولها الدلة الأصلية تحوشية لازم نعتبروها جداء دلتين رننلاحظوا بلي هناك دلة واحدة إذن دلة ثانية هي واحد يعني دلة الآن رها مضروبة في واحد الآن قلنا من بين هذي الدلتين باش نطبقوا مبدأ تكامل بالتجزئة لازم وحدة نسميوها ماذا؟ وحدة نسميوها E والأخرى نسميوها V فتحة الآن على أساس ماذا نخيره؟ في الدرس تكامل بالتجزئة مدينا قواعد الاختيار قلنا نبدأ ونخيره دلة E هي اللي نخيرها الأولى واللي تبقى نسميها V فتحة كيفاش نخيره لـ E؟ قلنا الأولوية الأولى هي للآلان إذن بما أنه في هذا المثال موجود الآلان إذن دل الأولى رح نسميها E هي آلان T إذن نخدمه كما مولفين عادي خلاص إذن رح نقول نضع E لـ T تساوي ماذا؟ تساوي آلان T وبالتالي دل الأخرى اللي بقات رح نسميها V فتحة لـ T إذن دل الأخرى اللي بقات هي ماذا؟ هي واحد الآن وش لازم ندير؟ E لازم نحسب مشتقةها وال-V لازم نجيب دلتها الأصلية صح ما هي مشتقة L&T؟ كما نعرفه هي 1 على T الآن ما هي الأصلية للدلة T؟ 1 عدد ثابت باش تجيب الدلة الأصلية تاعه فقط تضربه في X إذا كان المتغير هو X وتضربه في T إذا كان المتغير هو T إذن أصليةها فقط هي T لما تشتق T رح تمدلك واحد الآن هنا الكثير من التناميذ يقولوا لي أستاذ نزيده C لا يا جماعة احنا رح نحسبه في دالة أصلية ما قلناش عين كل الدوال الأصلية دالة أصلية واحدة تكفي صحى الآن ذكر معنا القاعدة تتكامل بالتجزئة تكامل بالتجزئة قلنا تكامل من A إلى B للجداء E في V فتحة هو ماذا؟ هو فرق الصورتين للجداء E في V بين A و B نقص منه التكامل من A إلى B هنا نعكس وعدنا A في V فتحة إذن في الجهة الأخرى تتعكس تصبح V مغروبة في E فتحة إذن هذا التكامل قلنا هو أولا فرق الصورتين لجداء دلتين A في V إذن قلنا دائما E تتضرب في V إذن T ألان ماذا؟ T ألان T فرق الصورتين بين ماذا وماذا؟ بين ثلاثة و X صح نقص منها ماذا؟ نقص منها التكامل من 3 ل X تعل جداء V مضروب في E فتحة إذا دائماً نضرب V في E فتحة تكامل بالنسبة إلى DT بطبيعة الحال الآن تبهم معي يا ملح عندك E فتحة راح تضربها في V إذا T تضرب في 1 على T في المحاولات T مضروب في 1 على T تروح T مع T تبقى لنا واحد إذن فقط لازم نعينه نحسبه هذا التكامل صح ركز معايا جيدا الآن خصوص مننا عدنا فرق صورتين معناه تعويض مباشر وليس حساب دالة أصلية فقط تتعوض إذن كيفه فرق صورتين قلنا نعوضه بإكس ناقص نعوضه بثلاثة عوض لنا في بلاصة إكس إذن هتقول لي لك إكس ألان إكس ناقص عوض بثلاثة إذن ثلاثة ألان ثلاثة صح ثلاثة عفواً ألان ماذا ثلاثة ناقص هذا التكامل التكامل هذا بش نحسبه تكامل تعدالة معينة بالنسبة لديتي إذا لازم نجبد أصليتها كي نجبد أصليتها ندير فرق الصورتين فقط بين 3 و X بطبيعة الحال ما هي أصلية 1 بالنسبة إلى T هي T نفس الأمر اللي كنا نقوله فيه عدل ثابت مش تجيب الأصلية تاو تضربه فقط في المتغير صحيح الآن وش رح نقوله إذا عدنا X ألان X ناقص 3 ألان 3 ضركها هنا فرق صورتين إذا نعوض بـ X ناقص نعوض بـ 3 إذن كيف ستقول لنا؟ ستقول لنا X ألن X ناقص نحاول رتبها ناقص X ناقص 3 ألن 3 ناقص هذه لما تضربها في ناقص 3 ستقول لنا زائد 3 إذن هذه ماذا هي؟ هذه عبارة الدلة H بدلة X تسمى ماذا؟ هي الدلة الأصلية للدلة ألن يعني لو كانت نشتقوها رح ننقوها فعلا دالة أصلية لدالة ألان وعندها خاصية وش هي أنها تنعادم عند ثلاثة لو كانت تعود فيها بثلاثة رح تلقى النتيجة تساوي الصفر إذن الآن مع السؤال الثاني في هذا الجزء قالنا أحسب A مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحنة CF ومحور الفواصل والمستقيمين ذوي المعادلتين X يساوي 3 وX يساوي 4 إذن حساب مساحة حيز محدد بالمنحنة سي اف محور فواصل والمستقيمين الملاحظة الاولى اللي لازم ننتبه لها دائما هل الدالة موجبة على المجال المعطى ولا لا المجال هو من ثلاثة ربع طبيعة الحال هذا الجزء رح يكون بعد دراسة الدالة وبعد تمثيلها البياني وكذا يعني رح نلاحظ هل هي موجبة ام انها سالبة ولكن لو كانت تنتبه المجال من ثلاثة ربعة الالان رح موجب لان الالان موجب من 1 إلى نهاية الألان يكون موجب من 0 إلى 1 يكون سالب إذن الألان من 3 إلى 4 ره موجب وهذا البسط موجب المقام ينعدم عند 2 قبله سالب بعده موجب إذن من 2 إلى نهاية الألان مقام ره موجب وبالتالي في المجال هذا تعني 3 إلى 4 ره موجب إذن قولوا ماذا؟ قولوا لدينا لدينا F ل X ره أكبر تماما من 0 على المجال المعطى من 3 إلى 4 الآن لماذا نفعل هذا؟ نحقق بالدلرهاموجبة إذن دلرهاموجبة معناها ماذا؟ معناها منحنها على هذا المجال فوق محور الفواصل المطلوب منها هو حساب مساحة هذا الحيز المحدد بالمنحنة CF من الأعلى محور الفواصل من الأسفل المستقيمين ذوي المعادلتين X يسوي 3 و X يسوي 4 قلنا لما تكون الدلة موجبة هذه المساحة هي نفسها تكامل الدلة على هذا المجال إذن نقول A تساوي ماذا؟ تساوي التكامل من 3 ربعة لدلة F لX DX ملاحظة مهمة جدا لو لم تكن دلة موجبة على هذا المجال ما هو العمل؟ يعني عدنا حالتين أخريتين تقدر تكون الدلة ماذا؟ تقدر تكون الدلة على سبيل المثال سالبة إذا نمحيه هذه المعلومات تقدر تكون الدلة ماذا؟ سالبة إذن لو كانت الدلة سالبة لازم تعلموه جميع الحالات لو كانت الدلة على المجال المعطى سالبة ما هو العمل؟ لاحظ الآن المطلوب منك هي حساب حساب هذه المساحة المساحة هذه في هذا الحالة المتقوص ستكون الدلة سالبة ستكون التكامل بالنسبة للدلة FDX من 3 إلى 4 ولكن تضربها في السالب لماذا؟ لأن التكامل سيخرج لنا سالب نضربه في الناقص حتى يصبح موجباً لأن المساحة هي مقدار فيزياء وليس قد تكون سالبة الآن هناك حالة ثالثة وأخيرة لو كانت دلة على المجال المعطى من 3 إلى 4 مثلاً كانت موجبة ثم أصبحت سالبة كما تلاحظ هنا مثلا إذا هذا هو 3 هذا هو 4 ما هو العمل؟ هنا لازم نحسبه مساحتين لازم نحسبه المساحة الأولى نشوف القيمة اللي تنعدم فيها مثلا نقول تنعدم على سبيل المثال عند القيمة 3.5 اللي هي 7 على 2 ما تهم مناشر المهم أنها تنعدم نعادم عند قيمة في هذا المجال نشوف القيمة اللي تنعادم عندها ونحسب كل مساحة على حدة هذه مثلا نسميها المساحة A1 وهذه نسميها المساحة A2 الآن نحسب المساحة A1 وحدها وA2 وحدها صحة A1 وش هي بما أن الدالة موجبة معناها رح تكون هي نفسها التكامل من 3 ل 3.5 اللي هي 7 على 2 F ل X و تحسبها عادي كما نحسبها في المساح ثانيا تحسب المساحة A2 بما أنها سالبة معناها هي التكامل من 7 على 2 هذه المساحة تبدأ من 7 على 2 الربعة A3XDX بما أنها سالبة تضربها في الناقص لكي تقوم بموجبة تحسب المساحة الأولى على الحدة و المساحة الثانية على حدة المساحة الإجمالية هي جمع المساحتين فقط إذا نرجع لحالتنا بما أنها موجبة قلنا إذن هي نفسها تكامل الدلة ممتاز الآن المطلوب منها هو ماذا؟ التكامل هو دائما فرق الصورتين بواسطة الدلة الأصلية بين ثلاثة وربعة صح ركز معنا جيدا الآن بش نحسبوا هذا التكامل لازم نجيبوا الدلة الأصلية لهذه الدلة إذن كيف نحصل على هذا المجال؟ لدينا من أجل كل X ينتمي إلى هذا المجال 3 أربعاً نقتصره لهذا المجال الذي همنا نحب أن نحصل على عبارة الدل الأصلية لهذه الدل صحيح؟ ركز معنا جيداً الدل الأفن تعالى هي جمع دلتين إذاً نحن نحب أن نحصل على الدل الأصلية للدل الأولى على حدة والدل الأصلية للدل الثانية على حدة صحيح؟ بخصوص 1 على X نقص 2 هذه من المفروض راه تذكرنا بالشكل تحت الدرس وهو E فتحة على E لأنه مكتوبة دالة في المقام واشتقاقها في البصل E فتحة على E وش قلنا؟ قلنا دالتها الأصلية هي LN E وإذا كانت E تقدر تكون سالبة ديروا قيمة مطلقة إذن دالة الأصلية ل1 على X ناقص 2 مش هي؟ هي LN القيمة المطلقة لE E وش هي في هذا الحالة؟ هي X ناقص 2 الآن القيمة المطلقة هل؟ لازم نديروها في هذا الحالة؟ لا لأنه المجرها من 3 إلى 4 و X ناقص 2 تكون موجبة في هذا المجال وبالتالي القيمة المطلقة هنا مع ذا احتخام كيف باش نتحقق بالإرانة الصحيح؟ نعاود ونشتقوا هذه الدلة هل تبدلنا هذه الدلة؟ نعم نفسها تماما لأنه راه من الشكل LN E اشتقاقها هو E فتحة على E إذن X ناقص 2 في البسط واشتقاقها 1 في البسط إذا نرجعه كما كنا صحيح، عينا الدالة الأصلية لهذه الدالة الأولى الآن ما هو المطلوب منها؟ هو تعيين الدالة الأصلية لألان إكس الدالة الأصلية لألان إكس في الحقيقة ما نقدرش نعرفوها مباشرة لازم نكون حاسبينها بتكامل بالتجزئة وهو على كل حال راطلب مننا حسابها في الجزء الأول هي دالة أصلية لهذه الدالة تنعدم عند ثلاثة وإحنا في التكامل تكفينا أي دالة أصلية تنعدم عند ثلاثة أو متنعدمش عند ثلاثة المهم لازم ندير له أصلية إذن دل الأصلية لألان التي تنعلم عندها 3 هي x ألان x ناقص x ناقص 3 ألان 3 زائد 3 الآن السؤال لو كان ما أعطاناك السؤال في الأول تعين دل الأصلية المطلوب مننا نقوم بهذا العمل يعني نعين الدل الأصلية صح المطلوب مننا الآن هو ماذا هو حساب فقط فرق الصورتين بواسطة هذه الدلة نعوذه بربعة ناقص نعوذه بثلاثة هذا مكان إذا نعوذ معنا في هذه الدلة بربعة إذا ألان ربعة ناقص اثنين اللي هي ماذا؟ اللي هي ألان اثنين زيد عوذ معنا بربعة عندك ربعة ألان ربعة إذا عدنا ربعة ألان ربعة زيد نعوذه بماذا؟ عدنا ناقص ثلاثة ألان ثلاثة عوذنا هنا بناقص ربعة إذا تولينا ناقص ربعة زائد ثلاثة وهي ناقص واحد إذا عوضنا في هذه الدلة فقط بأربعة الآن ركز معنا جيدا رح نعوض في هذه الدلة الآن بثلاثة إذا انتبه مليح رح نعوض في هذه الدلة بثلاثة وندير ناقص لأنه قلنا فرق الصورتين صح عوضنا بثلاثة آلام ثلاثة ناقص اثنين وش هي هي آلام واحد إذا عوضنا فيها أهنا اللي يكون ذكي الدلة اللي بقعت ما يعوضش فيها بثلاثة لأنه على باله بالنتيجة شح راح تخرج نتيجة راح تخرج ما راح تخرج صفر لأنه هذه الدلة هي اسمها الدلة الأصلية الألان التي تنعادم عند ثلاثة صح احنا ندير وحنا معلقنا عشان نعوضه بثلاثة إذا نعوضه بثلاثة ثلاثة ألان ثلاثة ناقص ثلاثة ناقص 3 ألن 3 زائد 3 إذن هذه الدلة الثانية عوضنا فيها بألن 3 صحة 3 ألن 3 تروح مع ناقص 3 ألن 3 ناقص 3 تروح مع 3 صحة ألن 1 وش هي؟ ألن 1 هي صفر إذن هذه اللي عوضنا فيها كامل راحة بالصفر إذن وش بقات لنا؟ بقات لنا فقط هذا النتيجة لازم نبسطوها فقط إذا كان هناك تبسيط معين شوف على سبيل المثال تقدر طبيعة الحال ما تنتبهش تخليها هكذا ولكن في الحقيقة كائن بناتها تبصير وشي هو؟ ألان ربعة هذي كيفش نقدر نكتبها؟ ألان ربعة من خواص الألان نقدر نكتبها ألان ثنين في ثنين ألان ثنين أس ثنين هكذا ربعة نكتبها ثنين أس ثنين علاش؟ من خواص الألان نقدر نهبطه ثنين هذي تتضرب في ربعة إذا أنتوا تقوليننا ألان ثنين زي ثنين في الربعة معناها ثمينية ألان ماذا؟ ألان ثنين ناقص ثلاثة ألان ثنين ثلاثة ناقص واحد الآن علشان دوري في هكذا لأنه فقط نقدروا ألان ثنين مع ألان ثنين نقدروا نزيدهم بصلوم ألان ثنين تزيد لها ثمانية ألان ثنين إذن هتوليك تسعة ألان ثنين ناقص ثلاثة ألان ثلاثة الكل ناقص واحد بطبيعة الحال أيضاً وش كنا قادرين نديره كنا قادرين نلموهم جميعاً ونلموه فقط بالخواس تاعل ألان يعني ربعة هذه تطلع كأس وناقص تطلع كأس ونقوم بعمل خواص الألان إذاً نستطيع أن نضع 9 كأس ثلاثة هذين نضع كأس ونوظف خواص الألان على كل حد ما نطالبنا بنتيجة معينة معناها نستطيع أن نكتفي بأي نتيجة إذاً هنا كيف ستستطيع أن تكتبها؟ إذاً ألان 9 هذه تستطيع أن تضع كأس تقول لي 2 أس 9 وثلاثة هذه أيضاً تستطيع أن تضع كأس الآن ماذا ستقول لي؟ ستقول لي ألان 2 أس 9 تحسبها بالألة حاسبة عادي إذاً ألان 2 أس 9 على 3 أس 3 تحسبها بالألحاسيبة الكل ناقص 1 أقول مرة أخرى بما أنه ما طالبش بنتيجة معينة إذا نقدر مثلا بعد مدرة هذا التبسيط الأول نقدر نحبس نقدر نوصل لهذه النتيجة ولكن الآن ما تنساش هو طلب مننا ماذا حساب المساحة انتبه معنا جيدا والمساحة عندها وحدة حاول تفهم لي هذا الموضوع جيدا بخصوص الوحدة لدينا ثلاث حالات ممكنة الحالة الأولى أنه لا نتحدث في المعلم عن الوحدة لا نتحدث عن طول الوحدة يقول لنا معلم متعامل متجانس أو يجي لا نذكر بالطول إيه يسوي 1 سم أو ما شحال يسوي إذن في هذه الحالة بما أنه لا نتحدث عن الوحدة وش نكتب؟ نكتب إيه آه فقط وحدة المساح إذن هذه الحالة الأولى أنه لم يكن وحدة الحالة الثانية لو كان يعرف لي الوحدة بصح يقول لي معلم متعامد ومتجانس طول الوحدة هو 1 سنتيمتر على محور فواصد 1 سنتيمتر على محور تراتيب يعني يقولي طويلة الشعاع E تساوي طويلة الشعاع G ويساوياني 1 سنتيمتر هنا وحدة المساحة دائما هي الجيدة انتحاض إذن 1 في 1 وبالتالي وحدة المساحة هي 1 سنتيمتر مربع يعني تكتب هذا المقدار لوصلت وفي مرصد الوحدة تكتب سنتيمتر مربع هنا حالة أخرى يقدر يكون المعلم غير متجانس متعامد ولكنه غير متجانس مثلا طول تح هذا ثنين سنتيمتر والطول تح هذا ثلاثة سنتيمتر أو يقدر يكون متجانس ولكن طول موش واحد واحد على سبيل المثال ثنين ثنين هنا ما هي وحدة المساحة ما تروح نتيجة اللي خرجت لك وتكتب سنتيمتر مربع هذا خطأ دائما تضرب الوحدتين في بعضهم تخرج لك وحدة المساحة 2 في 2 إذن 4 4 سنتيمتر مربع يعني النتيجة هذه اللي خرجت لنا ونضربوها في ربعة وتصبح 4 في هذه النتيجة سنتيمتر مربع لو كان غير متجانس 2 في 3 نفس الأمر تضرب 2 في 3 تخرج لك 6 سنتيمتر مربع يعني النتيجة اللي خرجت لازم نضربوها في وحدة المساحة باش تولي إذن هذا هو التمرين الأول في وحدة الذواء الأصلي وحساب تكاملين أديناه من الباكالوريا مستوى الصعوبة ما هوش صعب جدا في المتناول سهل بالنسبة للجميع ولكن أهم حاجة فهمنا الكثير من الحالات لما تكون دلا موجبة دلا سالبة دلا تغير إشارتها كيفاش نحسب المساحات وأيضا أعطينا كلام مهم جدا يتعلق بوحدة المساحة عندما تكون معطات عندما يكون المعلم متعامد ومتجانس عندما يكون المعلم غير متعامد غير متجانس عفوا يكون متعامد ولكنه غير متجانس وأيضا حكينا لما ما يعطيناش أصلا وحدة كيفاش نعبره على وحدة المساحات إذن هذا هو التمريد أتمنى أنكم استفدتم منه أتمنى أنكم فهمتم الفكرة تاو نتلقى إن شاء الله في فرصة قادمة وسلام عليكم