Trasformata di Fourier

Introduzione

• La trasformata di Fourier è una delle intuizioni più profonde.
• Descrive tutto nel mondo in termini di onde (luce, suoni, fluidi, terremoti, onde elettromagnetiche).

Principio Universale di Fourier

• Scoperto nei primi anni dell'Ottocento.
• Qualsiasi onda può essere scomposta in una somma di infinite sinusoidi.
• La trasformata di Fourier scompone una funzione per estrarre le sinusoidi (spettro).

Funzioni Periodiche e Serie di Fourier

• I fenomeni ripetitivi sono descritti dalla serie di Fourier (versione discreta della trasformata).
• Il periodo è il tempo dopo il quale il segnale si ripresenta.
• Funzioni circolari (seno e coseno) hanno periodo 2π.
• La serie di Fourier è una sommatoria di seni e coseni, pesati dai coefficienti αk e βk.

Coefficienti di Fourier

• Coefficienti di Fourier (αk, βk) forniscono informazioni sulla presenza di componenti seno e coseno.
• Esempio: analisi di una funzione onda quadra tramite la serie di Fourier.
• Coefficiente α con 0 è pari a 1/2; termini successivi avvicinano l'onda quadra.

Trasformata di Fourier

• Applicabile a qualsiasi funzione non periodica.
• Trasforma una funzione nel tempo in una funzione nel dominio delle frequenze.
• Espressa come un integrale da -∞ a +∞.
• Utilizza un esponenziale immaginario come parte centrale della trasformata.

Proprietà della Trasformata di Fourier

• Trasformata diretta: funzione nel dominio del tempo a spettro nel dominio della frequenza.
• Antitrasformata di Fourier restituisce il segnale di partenza dallo spettro.
• Proprietà standard: linearità, shift temporali, combinazione lineare, omogeneità.

Analisi dell'Integrale di Fourier

• L'integrale di Fourier si scompone in termini di coseno e seno.
• Trasformata di Fourier diventa un numero complesso che rappresenta la correlazione con le componenti sinusoidali.
• Variazione della frequenza cambia la struttura del triangolo rettangolo che lo rappresenta.

Esempio Pratico

• Funzione finestra (impulso quadro) calcifica la trasformata di Fourier.
• Risultato è la funzione seno cardinale (sinc).
• La scansione della funzione tramite le sinusoidi determina la presenza di frequenze.

Spazio Vettoriale

• Trasformata di Fourier e serie di Fourier come decomposizioni in uno spazio vettoriale.
• Utilizzo nell'algoritmo JPEG per costruire immagini digitali.

Trasformata Rapida (FFT)

• Algoritmo efficiente per il calcolo della trasformata di Fourier.
• Usato in vari settori: meccanica quantistica, circuiti, elaborazione dati, ecc.

Trasformata di Laplace

• La trasformata di Fourier è un caso particolare della trasformata di Laplace.
• La trasformata di Laplace analizza componenti esponenziali e ondulatorie.

Conclusione

• La trasformata di Fourier è fondamentale per analizzare onde e segnali in molti ambiti scientifici e ingegneristici.