La trasformata di Fourier è forse una delle intuizioni più profonde mai pensate. Sfortunatamente però il significato è sepolto in queste equazioni. In questo video cercheremo però di svelarne i segreti più nascosti. Tutto nel mondo può essere descritto in termini di onde. La luce...
I suoni, i fluidi, i terremoti, le onde elettromagnetiche... Esiste un principio universale scoperto da Fourier nei primi anni dell'Ottocento secondo cui una qualsiasi onda si può scomporre come la somma di infinite sinusoidi. La trasformata di Fourier è in grado di scomporre una funzione ed estrarre tutte le sue sinusoidi.
il suo spettro. È come dire che dal frullato ci dà la ricetta. Ci sono alcuni fenomeni di tipo ripetitivo. Per questi fenomeni esiste la serie di Fourier, che è la versione discreta della trasformata. Il termine periodico significa che lo schema degli spostamenti fisici dell'oggetto in vibrazione, diciamo, il pattern si ripete esattamente dopo un certo tempo caratteristico chiamato periodo, cioè il periodo è un tempo, oltre il quale il segnale si ripresenta di nuovo per come era all'inizio.
Se facciamo scivolare il grafico di una funzione periodica esattamente di un periodo T Il risultato, il suo aspetto, rimarrà immutato. Queste funzioni periodiche vengono chiamate anche le funzioni circolari perché si possono rappresentare su un cerchio di lunghezza pari al periodo. Ad esempio, seno e coseno sono di periodo 2π. Ma oltre alle vibrazioni fondamentali, noi dobbiamo poter descrivere vibrazioni di un qualunque periodo, da cui si ottiene la serie di Fourier, che è un'espressione molto... interessante, vedete, si presenta come una sommatoria per k che va da 1 a infinito di queste combinazioni di seni e coseni pesati da questi due coefficienti αk e βk che sono proprio i coefficienti di Fourier che mi danno informazioni su quanto è presente la componente il termine seno e quanto è presente il termine coseno in quella decomposizione della funzione.
Come esempio possiamo partire da una funzione treno di impulsi. Un treno di impulsi è una funzione ripetitiva nel tempo che ha la forma, vedete nel nostro esempio, di un'onda quadra tra 0 ed 1. Se noi proviamo a calcolare la serie di Fourier di questa onda quadra, ci accorgiamo che il primo termine, α con 0, è un mezzo. Aggiungendo il termine successivo diverso da 0, il primo termine ondulatorio diverso da 0, β1 seno 2πt su t grande. si ottiene una funzione che somiglia a quella di partenza, però ancora è molto diversa, perché è un seno sostanzialmente traslato in alto di 1. Continuando ad aggiungere questi termini della serie di Fourier, vedete già con sette termini la funzione approssimatrice comincia ad avere un aspetto simile a quello dell'onda qua. Si intuisce che la serie è una combinazione lineare di seni e coseni.
pesati da αk e βk, che sono i coefficienti di Fourier. Questi coefficienti di Fourier hanno la seguente espressione, scoperta da Fourier, e sono degli integrali. Vedete, il primo coefficiente di Fourier, α con 0, che è pari ad 1 su t grande, integrale da 0 a t grande di g di t in dt, è il valore medio della funzione.
cioè quel valore che tendenzialmente dovrebbe rappresentare in linea di massima il comportamento della funzione di partenza. Poi abbiamo αk, che è un integrale, questa volta, di 2 fratto t grande, da 0 a t grande, di g di t per coseno di 2πk t su t grande in dt, e poi βk, lo stesso integrale, però questa volta all'interno c'è il seno, moltiplicato per la funzione. Questi integrali sono particolarmente interessanti perché all'interno dell'integranda c'è il prodotto della funzione per coseno e per seno. Ora, la trasformata di Fourier.
vale per qualsiasi funzione, non periodica, senza patologie. La trasformata di Fourier prende una funzione nel tempo, in generale, e restituisce una funzione nel dominio delle frequenze o delle pulsazioni. L'espressione della trasformata di Fourier è una trasformata integrale, perché questa volta stiamo... passando da un mondo discreto a un mondo continuo. La trasformata di Fourier si presenta in questo modo.
È un integrale da meno infinito a più infinito e la funzione che prende in input, la g, viene moltiplicata per un oggetto esponenziale puramente immaginario. E alla meno j omega t. Nella nostra definizione forse l'unica cosa un po'ambigua è proprio questo esponenziale. Questo esponenziale è sostanzialmente l'oggetto più importante della trasformata perché racchiude all'interno tutta l'informazione circa al fenomeno ondulatorio. La trasformata di Fourier.
È come uno scanner che prende una funzione, scansiona, fa uno sweep di tutte le frequenze e ci dice quali frequenze e in che misura concorrono a formare quel segnale di partenza, lo spettro. Sapendo che la pulsazione ω è uguale a 2πf o uguale anche a 2πt, La trasformata di Fourier si può anche esprimere come l'integrale da meno infinito a più infinito di g di t per e alla meno j due pi greco f t di t, come anche l'integrale da meno infinito a più infinito di g di t e alla meno j due pi greco su t grande t di t. Sono espressioni analoghe della stessa trasformata di Fourier. Chiaramente questa trasformata di Fourier è la trasformata diretta, cioè quella che prende una funzione nel dominio del tempo, un segnale tempo variante, e ne restituisce una funzione, immagine, nel dominio della frequenza, lo spettro. Come possiamo passare dallo spettro di nuovo al segnale di partenza?
Attraverso l'antitrasformata di Fourier, che è definita allo stesso modo della trasformata, però con la differenza che ad esponente dell'esponenziale non c'è il meno. E inoltre l'integrale ovviamente è calcolato nel dominio delle frequenze o delle pulsazioni. La funzione di partenza a tempo variante e il suo spettro costituiscono quella che è chiamata una coppia di Fourier, funzione trasformata. Chiaramente le proprietà della trasformata di Fourier sono le proprietà standard delle trasformate, la linearità, gli shift temporali in frequenza. la combinazione lineare, l'omogeneità.
Ora, la domanda importante è questa. Come può l'integrale di Fourier estrarre dalla funzione di partenza il suo spettro? Cioè, come fa quest'integrale a darci in uscita tutte le frequenze che costituiscono una funzione?
Semplicemente osservando la definizione. Partiamo dall'integrale di Fourier, l'integrale della meno infinita più infinito di g di t per e alla meno j omega t di t. Dalla formula di Eulero, che ricorderete tutti è questa qui, rho e alla iθ uguale cosθ più i senθ, cioè mette in relazione un esponenziale puramente immaginario con le componenti trigonometriche seno e coseno, l'integrale di Fourier lo possiamo scomporre in due integrali, uno nel coseno, integrale da meno infinito a più infinito di g di t cos omega t di t, e l'altro nel seno, meno j, integrale da meno infinito a più infinito g di t seno di omega t di t.
Cioè, la trasformata di Fourier diventa un numero complesso. I prodotti della funzione g di t in ingresso per coseno di omega t e per seno di omega t. danno una misura della correlazione che c'è tra il seno e la funzione ed il coseno e la funzione.
Cioè, quei prodotti mi dicono sostanzialmente quanto è presente una componente cosinusoidale nella funzione quanto è presente una componente sinusoidale nella funzione. Ovviamente poi gli integrali fanno una somma e quella somma, ovviamente è un integrale perché stiamo parlando di una somma nel continuo, la somma mi dà tutti i contributi su tutte le frequenze. Ora osservate che questa trasformata di Fourier è un numero complesso.
Essendo un numero complesso possiamo rappresentarlo nella forma rettangolare su un triangolo rettangolo dove i cateti sono proprio la parte immaginaria. e la parte reale della trasformata. Variando la frequenza cambierà naturalmente la struttura di questo triangolo e cambierà anche il modulo della trasformata e cambierà l'angolo. Cioè facendo variare omega noi andremo a generare il diagramma delle ampiezze, il modulo della trasformata di Fourier, che mi dà l'informazione rispetto a quanto una certa frequenza è presente nella funzione.
E poi avremo il diagramma delle fasi, che mette a confronto le parti reali e immaginarie della nostra trasformata di P. Per capire tutto questo, proviamo con un esempio. Prendiamo la funzione box, la funzione finestra, impulso quadro, tra definita sull'asse... da meno t mezzi a t mezzi di altezza 1 proviamo a calcolare la trasformata di Fourier.
Allora, la trasformata di Fourier di questa funzione chiaramente sarà l'integrale da meno infinito a più infinito di g di t e alla meno g omega t di t. Questo sarà uguale all'integrale da meno t mezzi a t mezzi e alla meno g omega t di t perché ovviamente ci stiamo restringendo dal singolo impulso. Questo sarà uguale a... 1 su meno j omega è alla meno j pi greco meno è alla j pi greco uguale, facendo i calcoli per farla breve, la funzione seno cardinale.
Questa funzione qui, che naturalmente è una funzione pari, che oscilla un picco nell'origine per la frequenza nulla e poi si estingue verso l'esterno. Ora cerchiamo di dare una spiegazione del perché. La trasformata di Fourier della funzione impulso quadro è proprio la funzione seno cardinale, sinc.
Questo perché, supponendo ad esempio di considerare una pulsazione pari a 3, quando l'integrale di Fourier fa la scansione, quindi moltiplica la funzione per ciascuna sinusoide o cosinusoide di frequenza che man mano va a crescere, Nel caso di frequenza uguale a 3, vedete nel grafico, nel nostro esempio, succede che questi integrali vanno a valutare l'area che sta sotto al grafico della funzione. La parte in coseno mi darà un valore positivo, ad esempio 0,82. La parte in seno mi darà un valore nullo, perché le due aree, per come è disposta la funzione nella scatola, si annulleranno.
Questo valore, che poi sarà sommato in quadratura nella radice, perché dobbiamo calcolarne il modulo, sarà il valore della funzione, della trasformata, che coincide per ω uguale a 3. Facendo variare tutte le frequenze, tutti gli ω, la trasformata opera di nuovo questo conto su tutte le frequenze, inscatola le sinusoidi e le cosinusoidi dentro l'impulso e va a calcolare l'area. mette in quadratura i risultati e ci dà ogni punto, ogni immagine per ciascuna frequenza e costruisce il grafico della trasformata. Quando un'area è positiva vuol dire che quella componente spettrale, quella funzione, quella sinusoide è correlata al grafico di partenza, cioè incide, fa parte della funzione.
Quando l'area è negativa la correlazione è opposta. opposta. Quando l'area è nulla ovviamente non c'è contributo nella costruzione del segnale.
La trasformata di Fourier tratta apparentemente delle sinusoidi ad una dimensione, però questo è solo un'apparenza perché dalla formula di Euler noi abbiamo visto come due sinusoidi, o meglio una sinusoide ed una cosinusoide, possono generare un qualcosa di circolare. un esponenziale circolare, un esponenziale complesso, immaginario. Quindi è meglio parlare di sinusoidi complesse o funzioni circolari o addirittura delle spirali 3D perché un cerchio in uno spazio tridimensionale dimensionale può essere visto facendolo variare lungo la terza dimensione come una spirale circolare. E con le trasformate di Fourier si possono anche disegnare delle curve qualunque facendo variare la pulsazione, la velocità della spirale, il raggio e eventualmente il numero di spirali si possono costruire curve di qualsiasi tipo. Ovviamente tutto quanto può essere descritto da un punto di vista più avanzato.
Da un punto di vista degli spazi vettoriali, perché le trasformate di Fourier e le serie di Fourier sono delle decomposizioni in uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale di tipo a dimensione infinita, spazio di Hilbert funzionale, dove c'è una base di funzioni trigonometriche, che sono proprio i nostri seni e coseni, le cui combinazioni lineari, pesate con i coefficienti di Fourier, definiscono una generica funzione espressa come somma di segni e coseni nel nostro spazio vettoriale. Questa idea di spazio vettoriale per esempio viene impiegata nell'algoritmo JPEG. Quando si vuole costruire un'immagine digitale, un modo di farlo è quello di costruirla attraverso una combinazione lineare di immagini elementari, una base dello spazio delle matrici JPEG.
e pesate con dei relativi valori numerici, queste immagini combinate insieme formano l'immagine completa. La trasformata di Fourier, a partire dall'immagine finale, riesce ad estrarre i singoli ingredienti. Da un punto di vista applicativo, la trasformata di Fourier è qualcosa di veramente complesso da computare. Per questo è stata inventata la cosiddetta trasformata rapida.
Fast Fourier Transform, la FFT, che è un algoritmo che è implementato con un linguaggio di programmazione, ad esempio C++, Python, Java e così via, all'interno di computer, con una complessità molto inferiore rispetto all'algoritmo originale. Infatti gli usi sono innumerevoli, dalla meccanica quantistica alla risonanza, ai circuiti, l'elaborazione dei dati, il campionamento. l'equazione differenziale delle variate parziali, l'interferenza, l'acustica, le antenne, correnti superficiali e così via.
La trasformata di Fourier è correlata alla trasformata di Laplace, perché è facile mostrare che la trasformata di Fourier è la trasformata di Laplace ristretta sull'asse immaginario, perché la trasformata di Laplace ha una definizione molto nota. è definita come l'integrale da 0 a t grande, ad esempio, della nostra funzione g per e alla meno st, dove s è un numero complesso qualunque. Chiaramente, se noi ora esplicitiamo il nostro numero complesso s come α più jω, si scopre che nella trasformata di Laplace c'è la parte relativa alla trasformata di Fourier, quindi lo scanner per le sinusoidie, per le funzioni ondulatorie. E poi c'è una parte, l'esponenziale è alla meno alfa t, che sostanzialmente è lo scanner degli esponenziali. La trasformata di Laplace riesce, partendo da una funzione tempo variante, a capire se ci sono componenti esponenziali all'interno, se c'è un comportamento esponenziale e se c'è un comportamento ondulatorio.
La trasformata di Fourier invece non è sensibile. agli esponenziali, riesce a scansionare solo fenomeni ondulatori. Ogni qualvolta sentirete parlare di onde, dietro l'angolo ci sarà sempre una trasformata di Fourier.