Overview
In dieser Vorlesung wurde das Konzept der Verkettung (Komposition) von Funktionen eingeführt sowie deren Bedeutung für die Anwendung der Kettenregel bei der Ableitung erläutert. Außerdem wurde gezeigt, wie die Kettenregel sogar zur Herleitung der Quotientenregel genutzt werden kann.
Verkettung von Funktionen
- Verkettung (Komposition) von Funktionen bedeutet, das Ergebnis einer Funktion als Eingabe einer anderen zu verwenden.
- Schreibweise: ( F = G \circ H ) bedeutet, zuerst wird ( H ) angewendet, dann ( G ).
- Start- und Zielmengen der Funktionen müssen zusammenpassen, sonst ist die Verkettung nicht möglich.
- Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ: ( G \circ H \neq H \circ G ).
- Beispiel: ( \sin(e^x) ) ist nicht das Gleiche wie ( e^{\sin(x)} ).
Identifikation von Verkettungen
- Wichtige Voraussetzung für die Anwendung der Kettenregel ist das Erkennen einer Verkettung.
- Beispiel: ( \ln(3x^2 + 2x + 1) ) ist Verkettung von äußerer Funktion ( \ln(x) ) und innerer Funktion ( 3x^2 + 2x + 1 ).
Die Kettenregel
- Die Kettenregel erlaubt das Ableiten von verketteten Funktionen.
- Ist ( f(x) = g(h(x)) ), dann gilt: ( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) ).
- Vorgehen: Äußere Funktion ableiten (innere Funktion bleibt erhalten), dann mit Ableitung der inneren multiplizieren.
- Immer Klammern setzen, um Rechenfehler zu vermeiden.
Beispiele zur Kettenregel
- Ableitung von ( \sin(3x^2-2x+1) ):
Äußere Funktion: ( \sin ) → Ableitung: ( \cos ),
Innere Funktion: ( 3x^2-2x+1 ) → Ableitung: ( 6x-2 ),
Gesamtableitung: ( \cos(3x^2-2x+1) \cdot (6x-2) ).
- Ableitung von ( e^{\sqrt{x}} ):
Äußere Funktion: ( e^x ), Innere Funktion: ( \sqrt{x} ),
Gesamtableitung: ( e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} ).
Herleitung der Quotientenregel mit Kettenregel
- Quotientenregel: ( (g/h)' = \frac{g' h - g h'}{h^2} ).
- Bruch umschreiben als Produkt: ( g(x) \cdot [h(x)]^{-1} ).
- Produktregel und Kettenregel anwenden auf ( h(x)^{-1} ): Ableitung ist ( -h'(x)/[h(x)]^2 ).
- Zusammenfassen führt zur bekannten Form der Quotientenregel.
Key Terms & Definitions
- Verkettung (Komposition) — Anwendung einer Funktion auf das Ergebnis einer anderen.
- Kettenregel — Regel zur Ableitung von verketteten Funktionen: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
- Äußere/innere Funktion — Bei Verkettung bildet die innere Funktion den ersten Schritt, die äußere den zweiten.
- Quotientenregel — Ableitungsregel für Funktionen in Quotientenform.
Action Items / Next Steps
- Eigenständiges Üben der Kettenregel anhand von Beispielen wie ( \ln(3x^2 + 2x + 1) ).
- Mathe 1: Beweis der Kettenregel nacharbeiten.
- Weitere Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel) wiederholen.