Verkettungen an sich verstehen, weil wir müssen diese identifizieren können, um zu wissen, dass wir die Kettenregel überhaupt anwenden wollen. Zunächst einmal schauen wir uns an, was eine Verkettung oder auch Komposition von Funktionen ist. ist.
Und zwar schreiben wir das allgemein als F, wenn F jetzt eine Verkettung ist, nämlich von G Kringel H, also eine Verkettung von G und H. Dabei ist das eigentlich von rechts nach links zu lesen, denn erst wird H ausgeführt und dann G. Aber das schauen wir uns jetzt mal an einem kleinen Beispiel an.
Und zwar, wir haben ein paar Studierende, wir haben ein paar Hochschulen und ein paar Bundesländer. Und die zugehörige Funktion H wäre jetzt, dass die Studierenden ihren Hochschulen zugeordnet werden. Das ist Anna W. Christ in den Aarhus.
Bernd und Erik besuchen die Hochschule Coburg und Daniela besucht die Hochschule Ansbach. Die beiden Hochschulen sind jetzt einfach zufällig ausgewählt. die Hochschulen über G weise ich denen in ihrem Bundesland zu, wo die sind.
Also die Horst ist natürlich in MV und Ansbach und Coburg liegen beide in Bayern. Das heißt jetzt, die Funktionen, die wir uns anschauen, die wir verketten, sind einmal die Funktion H, das heißt, da werden Studierende ihrer Hochschule zugeordnet und die Funktion G, da werden die Hochschulen dem Bundesland zugeordnet. Und die Verkettung ist natürlich dann so, dass letztlich die Studierenden dem Bundesland zugeordnet werden.
Das heißt also, die Funktion F, angewendet auf Chris beispielsweise, läuft das dann durch, nämlich von, das erste ist das Innere. Wir gucken uns an, was passiert mit Chris. Chris wird auf die Host abgebildet, wird er zugeordnet, der Host.
Das heißt, H von Chris ist Host und danach muss noch G angewendet werden und die Host wird ja MV zugeordnet, das heißt, insgesamt wird Chris MV zugeordnet. Dabei ist jetzt auch zu beachten, das sieht man ja auch sehr deutlich, dass wir auf Start- und Zielraum achten müssen, wenn wir Verkettungen durchführen wollen. Denn wenn die nicht passen, geht das nicht. So könnte ich jetzt hier zum Beispiel es nicht umdrehen zu h-Kringel g, denn dann müsste ich ja sagen können, was h von mv ist, wenn ich das umdrehe, weil ich ja schließlich, wenn ich h-Kringel g betrachte, erst g ausführen würde.
Sagen wir mal zum Beispiel, g würde Host auf mv werfen, aber dann müsste ich ja anschließend irgendwie h wieder sagen, was soll denn h von mv sein. Das gibt es überhaupt nicht, denn mv ist kein Student. Also...
Muss man aufpassen, dass Start- und Zielraum passen, sonst kann ich eine Komposition gar nicht bilden. Okay, schauen wir uns ein paar mathematische Beispiele noch an. Wir haben die reellen Funktionen e hoch x und Sinus x. Und wenn wir uns jetzt eine Verkettung anschauen, das heißt also g Kringel h jetzt ganz einfach, dann würden wir ja zunächst einmal h ausführen. Das heißt also, wir haben den Sinus und anschließend stecken wir das in die e-Funktion rein.
Das heißt, wir haben E hoch Sinus. von x. Das ist auch kein Problem, denn der Sinus, der ist ja eine Funktion, die, da kann ich alle reellen Zahlen für x einsetzen. Ich bekomme dann zwar nur Zahlen zwischen minus 1 und 1 raus, das ist kein Problem, die darf ich ja auch in die Funktion einsetzen.
Also die Verkettung ist durchaus erlaubt. Das Ganze ist, wie man auch jetzt direkt sieht, nicht kommutativ, die Verkettung als Operation. Also, Sie kennen ja zum Beispiel Addition und Multiplikation, da dürfen Sie miteinander tauschen, a plus b ist dasselbe wie b plus a.
bei der Komplexität. Komposition gilt das nicht, jedenfalls nicht im Allgemeinen. Wenn wir das nämlich jetzt mal umdrehen und wir betrachten h von g von x, dann müssten wir erst e hoch x ausführen und danach setzen wir das in den Sinus ein.
Und e hoch Sinus x und Sinus von e hoch x, das ist wohl nicht das Gleiche. Ein anderes Beispiel, so wie wir es eigentlich mehr bei der Kettenregel brauchen, wir bekommen eine Funktion und müssen identifizieren, dass es sich um eine Verkettung handelt. Der ln von 3x² plus 2x plus 1 ist...
ist offensichtlich eine Verkettung, denn hier wurde das Polynom 3x² plus 2x plus 1 in den ln eingesteckt. Das heißt ln ist die äußere Funktion und das Polynom ist die innere Funktion. Das müssen wir erkennen können, dann können wir ganz einfach die Kettenregel anwenden.
Die Kettenregel besagt, wenn wir eine Verkettung f von x gleich g von h von x haben, dann können wir das Ganze einfach ableiten. Und zwar, man muss zunächst einmal die äußere Funktion ableiten, lässt die innere drinnen, ganz normal, ohne sie zu verändern. Und dann kommt das Wichtige nochmal, man multipliziert mit der Ableitung des Inneren nach. Die Regel können wir hier im Vorkurs nicht beweisen, das werden wir dann gegebenenfalls in Mathe 1 machen. Aber wir können sie anwenden.
Und zwar nehmen wir mal das Beispiel Sinus von 3x²-2x±1. Sie können ja auch gerne selber mit unserem Beispiel mit dem ln mal üben. Aber jetzt gucken wir uns mal das mit dem Sinus an. Und zwar müssen wir zunächst einmal in der Defizit...
Die äußere Funktion ist die innere Funktion. Das passiert normalerweise im Kopf, das würden Sie normalerweise nicht aufschreiben, sondern jetzt nur zu Übungszwecken. Sie sehen, die äußere Funktion ist der Sinus, die innere Funktion ist 3x²-2x±1.
Und jetzt brauchen wir noch für unsere Regelung... In der Regel brauchen wir auch die Ableitung, das heißt Ableitung vom Sinus, also von der Äußeren ist der Cosinus und die Ableitung der Inneren ist 6x-2. Jetzt können wir die Regel anwenden. Wir schreiben die Ableitung der Äußeren hin, Cosinus, setzen die Innere unverändert ein. und multiplizieren dann noch mit der Ableitung der Inneren.
Und das war es dann. Beachten Sie, dass Sie normalerweise alles immer in Klammern setzen sollten, weil sonst würden Sie hier sofort Fehler machen, wenn Sie jetzt hier keine Klammer setzen, hätten Sie ja nur 6x mal den Cosinus und nicht 6x minus 2, das würde natürlich sofort Fehler verursachen. Lassen Sie die Sachen am besten immer in Klammern, lieber mal eine Klammer zu viel als zu wenig.
Ein anderes Beispiel, wir haben die Funktion e hoch Wurzel von x haben wir als äußere Funktion die E-Funktion, die beim Ableiten sich nicht ändert. Und als Innere haben wir die Wurzel. Und die Wurzel abgeleitet ist 1 durch 2 mal die Wurzel. Und wenn wir jetzt die Funktion f ableiten wollen, äußere Funktion abgeleitet, na gut, tut sich jetzt hier nicht viel, Innere lassen wir wie gehabt, mal die Ableitung des Inneren, also 1 durch 2 Wurzel x noch dran multipliziert.
Auch wenn wir jetzt nicht die Kettenregel herleiten können, So hatte ich ja auch schon... auch schon angekündigt bei der Quotientenregel, dass wir die zumindest herleiten können, wenn wir die Kettenregel haben. Und das wollen wir mal machen, damit man nämlich auch sieht, wir können auch manchmal die Quotientenregel umgehen, weil die ist relativ anstrengend und manchmal kann man aber auch stattdessen einfach die Kettenregel benutzen und dann ist die Rechnerei weniger aufwendig.
Schauen wir uns das mal an dem Beweis an. Und zwar die Quotientenregel war ja, wenn ich g durch h habe, dann ist die Ableitung g' mal h minus Vielen Dank. h' durch h².
Und zunächst einmal müssen wir natürlich irgendwie gucken, dass wir daraus eine Verkettung oder darin eine Verkettung erkennen, dass wir die Kettenregel verwenden können. Und wenn ich die Funktion hier mal anders schreibe, nämlich den Bruch kann ich hier auch schreiben als g von x mal h von x hoch minus 1. Sie sehen wieder, wenn man mit Potenzen und dergleichen umgehen kann, können wir auch das Umschreiben und andere Regeln verwenden und uns dadurch das Leben auch mal leichter machen, gegebenenfalls. und Und hier sehen wir jetzt, dass es sich um eine Verkettung handelt, nämlich h von x wurde eingesetzt in die Funktion x hoch minus 1. Das heißt, wir brauchen später natürlich die Ableitung der äußeren Funktion, x hoch minus 1. Und das können wir aber ganz leicht ableiten, minus 1 nach vorne und oben ein abziehen, gibt also minus x hoch minus 2. Jetzt können wir schon mal dieses hoch minus 2, dieses Quadrat, da können wir schon mal erahnen, wie also dieses hoch 2 da in den Nenner kommen wird.
Okay, schauen wir uns also an. Also mal die Ableitung an. Wir nehmen uns die Funktion g von x mal h von x hoch minus 1 und leiten sie jetzt ab.
Dazu müssen wir einmal natürlich die Produktregel verwenden. Das ist natürlich auch mal ein Produkt. Deswegen kommt ja auch so ungefähr die Produktregel im Zähler drin vor.
Und darin müssen wir eine Verkettung anwenden. Machen wir das mal. Also erstmal Produktregel. Produktregel bedeutet, das erste ableiten, das zweite lassen, wie es ist.
plus das erste Lassen, wie es ist, mal die Ableitung. So, für die Ableitung des zweiten müssen wir jetzt Kettenregel verwenden. Und Kettenregel bedeutet ja, wir leiten das Äußere ab, also kommt ein Minus nach vorne und der innere Teil bleibt wie er ist, aber jetzt hoch minus 2. Und dann müssen wir noch das Innere nachmultiplizieren, abgeleitet, und das Innere abgeleitet ist einfach H'.
So, das müssen wir jetzt eigentlich nur noch ein bisschen zusammenfassen und dann haben wir die Regel da stehen. Ich schreibe das wieder in Brüche um, das heißt wir haben g' mal 1 durch h von x. Jetzt kommt dieses Minus nach draußen. Jetzt sehen wir auch, warum da oben nicht die Produktregel am Zähler steht.
Also nicht ganz, sondern mit einem Minus. Minus, weil die durch diese Geschichte hier reinkommt, das Minus. So, das heißt, wir haben Minus g von x mal 1 durch h Quadrat mal h Strich. Damit wir die Sachen jetzt wieder zusammen auf einen Bruch kriegen können, erweitere ich den Ausdruck.
Ausdruck mit h von x, damit ich dann auch hier ein h von x zum Quadrat stehen habe und dadurch erhalte ich dann g' mal h minus g mal h' durch h Quadrat. Und damit konnten wir dann über Kettenregel und Produktregel natürlich dann die Quotientenregel herleiten und können eben auch sehen, dass wir die Kettenregel auch bei Quotienten mitunter benutzen können. Das wäre vorher ein bisschen Übung zu sehen, wann ist was leichter, wann renne ich lieber die Quotientenregel an und wann hilft mir eher die Kettenregel schneller ans Ziel zu bringen.
Vielen Dank.