Principio Fundamental de la Física

Este video trata de una sencilla regla en la que se basa toda la física, todos los principios desde la mecánica clásica al electromagnetismo, de la teoría cuántica a la relatividad general, hasta la formación básica de la materia, las partículas fundamentales. Todo se puede reemplazar por esta sola regla. Parece que nos acercamos a un territorio tétrico. Nos acercamos a un territorio tétrico, exacto, y estoy de acuerdo. De hecho, puede explicar el comportamiento de la vida misma. Creo que estoy atrapado en una mentalidad clásica donde para mí el panorama local, la forma de pensar el universo con una ecuación diferencial, es realmente lo que está pasando. Pero me temo que lo entendí totalmente al revés. Y todo empieza con un sencillo problema. Si quieres deslizar una masa del punto A al punto B, ¿Qué forma de rampa va a hacer que llegue más rápido? Esto se conoce como el problema del descenso más rápido. Por sentido común podrías decir el camino más corto. Una recta de A a B. Pero si curvas la recta un poco al inicio, la masa alcanza una velocidad mayor más pronto. Y aunque la distancia que recorre es un poco más larga, viaja más rápido y le gana a la línea recta. La pregunta entonces es... qué forma ofrece el balance perfecto entre aceleración y longitud de la ruta para minimizar el tiempo de recorrido. Según Galileo, era el arco de una circunferencia. Demostró que era más rápido que cualquier polígono. ¿Pero es el más rápido? Casi 60 años después, en junio de 1696, Johann Bernoulli propuso este problema como un reto para los mejores matemáticos del mundo. Sobre todo porque era un presumido y quería demostrarles que era mejor que ellos. Les dio seis meses para obtener una solución, pero no llegaba ninguna. Gottfried Leibniz, un amigo de Bernoulli, lo convenció de extender el tiempo de entrega para darles oportunidad a los extranjeros. Yo creo que esto iba dirigido a Newton porque todos pensaban que él era el mejor. Y Johan habría querido mostrar que él era mejor que Newton. Él ya no era un matemático activo físico, trabajaba como guardián de la Casa de Moneda, una alta posición gubernamental. Y el 29 de enero de 1697, Newton regresó a casa después de una larga jornada y encontró una carta de Bernoulli en el buzón. Enojado, escribió, No me gusta que un extranjero me importune o me provoque sobre temas matemáticos. Pero el problema era muy tentador. Así que Newton le dedicó el resto del día y la noche. Y a las cuatro de la mañana encontró una solución, lo que a Bernoulli le había tomado dos semanas. Newton entregó su solución a la revista Philosophical Transactions. Les mandó la solución, pero no la firmó. Y, supuestamente, cuando Johann Bernoulli vio la solución, dijo, se reconoce a León por sus garras. Como en, ok, no necesitas firmar, Newton, yo sé que fuiste tú, ¿quién más iba a llegar a esa solución? Y aunque en general Newton superaba a Bernoulli, en este caso, la solución de Bernoulli, de hecho, opacó a la de Newton. Puedo entender por qué Johann Bernoulli quiso retar a todos, y es que llegó a una muy ingeniosa, incluso diría, bastante creativa y hermosa solución. Para llegar a ella se inspiró en un problema que enfrentaron los antiguos filósofos. ¿Cómo viaja la luz de un lugar a otro? Esto se preguntaba Herón de Alejandría en el siglo I de la Era Común. Se dio cuenta de que en un solo medio, como el aire, la luz siempre sigue el camino más corto. Consecuencia de esto es que cuando la luz se refleja, por ejemplo, en un lago, el ángulo de incidencia siempre es igual al ángulo de reflexión. Cualquier otro camino entre los puntos de inicio y final serían más largos. Pero cuando la luz pasa de un medio a otro, como del aire al agua, se curva de manera peculiar, se refracta, y no sigue el camino más corto. Si alguna vez has dejado caer algo al fondo de una piscina, y lo buscas por el agua, y bajas la mano para tomarlo, no necesariamente está donde creías, porque la luz se desvía de la superficie plana. Entonces, ¿cuál es el principio rector aquí? Durante los siguientes 1.600 años, la gente fue comprendiendo poco a poco que el seno del ángulo de incidencia dividido entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante, n, que depende de la naturaleza de ambos ángulos. medios. Esta se dio a conocer como Ley de Snell, pero nadie sabía por qué funcionaba, hasta 1657. En este punto entra en escena otro gran matemático, que es Pierre de Fermat. De día era juez, y de noche llegaba a casa, convivía con su esposa e hijos, y luego hacía lo que más le gustaba, que era jugar con matemáticas. Principalmente, trabajaba en matemáticas puras. Pero en un punto le interesó la pregunta de ¿por qué la luz obedecía a este principio de refracción? Y pensó que tal vez era donde Alejandría iba en la ruta correcta. Pero no es la distancia la que se minimiza, sino el tiempo. Pero probar esto para la refracción era difícil. Tendría que tratar con todas las rutas que tomaría la luz, variando el punto que interseca con el límite, y calcular el tiempo para cada uno. y luego mostrar que la luz toma la ruta en la que el tiempo total de recorrido es menor. No sabía cómo resolverlo y le preocupaba que aunque pudiera resolverlo iba a ser complicado, así que decidió no hacerlo. Creo que la verdad no le interesaba tanto la física. Pero de cualquier modo, los años pasaron y se empezó a interesar en esto cinco años después, y lo intentó resolver, y luego lo resolvió, y demostró que la ley de Snell de hecho aparece como el camino corto de la luz. En esa circunstancia de moverse de un medio con una velocidad de luz a otro con otra velocidad. Y esa constante n es igual a la velocidad de la luz en el primer medio dividida entre la velocidad de la luz en el segundo medio, lo que permite reescribir la ley de Snell así. Y digo esto, te voy a leer esta pequeña cita porque me encanta. Dijo que este es el cálculo más extraordinario, más imprevisto y el más feliz de toda su vida. Por eso es buena física. Si usas el principio del tiempo mínimo, puedes explicar todo lo que se sabía sobre la luz en la época de Fermat. Es la primera vez, hasta donde sé, que alguien demuestra que la naturaleza obedece a un principio de optimización. La naturaleza hace lo mejor posible. En este caso, la luz hace el menor tiempo posible. Bernoulli conocía el principio de Fermat del tiempo mínimo. y pensó que podía usarlo para resolver el problema del descenso más rápido. Convirtió el problema de mecánica sobre una partícula que se desliza por una rampa a un problema sobre óptica. En lugar de una masa que se acelera por la gravedad, imaginó un rayo de luz que iría cada vez más rápido a medida que se adentrara en medios con capas cada vez menos densas. Si las capas se hacen cada vez más delgadas, donde la ley de Snell se cumple en cada interfaz, Finalmente, se obtendrá una curva continua. Ahora la pregunta es, ¿cómo debe cambiar la velocidad de la luz de una capa a la otra de manera que modele con precisión un objeto que cae? Se puede intentar resolver el problema pensando que si la partícula debe caer de A a B, va a tomar energía cinética, va cada vez más rápido a medida de que se desliza por la rampa y va convirtiendo la pérdida de energía potencial en energía cinética. Si escribes la conservación de energía de esa relación, Vas a encontrar que la velocidad que alcanza la partícula en cualquier momento, habiendo caído a una distancia, digamos, y, su velocidad al cuadrado va a ser proporcional a y, la altura desde la parte más alta. La velocidad va como la raíz cuadrada de y. Y eso es como decir, imagina que la luz se mueve de modo que, en lugar de tener una velocidad constante, su velocidad es proporcional a la distancia desde la parte superior. Bueno, ampliemos la imagen y veamos una sola interfase. Podemos insertar nuestra expresión para la velocidad de la luz en cada capa en la ley de Snell. Vamos a encontrar que el seno del primer ángulo, dividido entre la raíz cuadrada de y de la primera capa, es igual que el seno del segundo ángulo, dividido entre la raíz cuadrada de y de la segunda capa. Y aquí está la clave. La ley de Snell también se sostiene en la siguiente capa, y ahí el ángulo entrante es simplemente θ2. Así que esto también es igual al seno del tercer ángulo dividido entre la raíz cuadrada de Y3. Y lo mismo sucede en la siguiente capa y así sucesivamente. En otras palabras, la razón debe ser igual a alguna constante, llamémosla K. Y cuenta la historia que Bernoulli reconoció de inmediato esta ecuación como la ecuación de una cicloide, que es la trayectoria trazada por un punto fijado al borde de una rueda que gira. También se le conoce como curva vacristócrona, que en griego significa el tiempo más corto. Y la extraordinaria solución es que la forma más rápida de ir de A a B es seguir el arco de una cicloide, no un círculo, sino una forma llamada cicloide. Esta curva tiene además otra propiedad sorprendente. Sin importar desde dónde suelte la masa, siempre va a llegar al final al mismo tiempo. Por esta razón, también se le conoce como la curva tautócrona, griego para mismo tiempo. Al encontrar esta solución, Bernoulli escribió, de este modo resolví de una sola vez dos problemas importantes, uno óptico y uno mecánico, y logré más de lo que les exigía a los demás. Demostré que los dos problemas tomados de campos totalmente distintos de las matemáticas, tienen la misma naturaleza. Pero Bernoulli no sospechaba que esto era algo más grande. Unos 40 años después, uno de sus estudiantes, Pierre-Louis de Mapportui, también estudió el comportamiento de la luz y las partículas, y se dio cuenta de que hay casos en que ambas se comportan de manera similar. Esto lo puso a pensar, y si el principio de Fermat del tiempo mínimo no fuera el más fundamental, Es decir, ¿por qué la naturaleza se preocuparía de minimizar el tiempo? Tal vez se haya estado minimizando una cantidad más fundacional, una que no solo gobierna la luz, sino también las partículas. Así, en la década de 1740 propuso una nueva cantidad que llamó acción, que es masa por velocidad por distancia. Su hilo de pensamientos fue algo como esto. Entre más lejos viaja algo, la acción es mayor. Entre más rápido vaya, la acción es mayor. Y si es una partícula, entonces entre más masa tenga, mayor es la acción. Si la trayectoria tiene múltiples segmentos, entonces la acción total es la suma de la masa por la velocidad por la distancia de cada segmento. Para ver este principio en acción, este es un excelente ejemplo, sin fricciones ni pérdidas. Imagina que una pelota de 0.5 kilogramos rueda por el piso 6 metros a 3 metros por segundo. Eso serían 9 unidades de acción. Si la pelota rebota y viaja otros 6 metros a 3 metros por segundo, la acción de todo el viaje es 9 más 9, o 18 unidades de acción. Lo que afirmaba Mapportui era que todas las trayectorias posibles en las que la pelota rebota en la pared, el camino que va a seguir es el que minimiza la acción. En 1744 escribió, esta acción es el verdadero costo de la naturaleza. y logra hacerlo lo más pequeño posible. ¿Y cuál fue la respuesta a la idea revolucionaria de Maportui? Lo atacaron y se burlaron de él. Uno de sus amigos de toda la vida, un físico llamado Samuel Cunning, escribió No solo tu principio está mal, además se lo robaste a Leibniz. Voltaire, que solía ser amigo cercano de Maportui, lo acusó de plagiario, mal físico, estúpido y todo lo que se le pudo ocurrir. De hecho, escribió un panfleto de 32 páginas solo para burlarse de él. Por supuesto, esto pudo haberse debido en parte por los rumores de que el amante de Voltaire tenía un romance con Maportui. Pero no todos lo atacaron. Algunos solo lo ignoraron. Maportui, he consumido mucha matemática y física en mi vida y creo que esta es la primera vez que oigo que lo mencionan. No recibe mucha atención. Todo esto fue muy estresante para Maportui. quien estaba llegando al final de su vida, y sobre todo porque pensó que el principio de la mínima acción sería por lo que iba a ser recordado, que sería su legado. Pero ahora lo atacaban, se burlaban, lo ridiculizaban y lo ignoraban. Desafortunadamente este trato estaba en parte justificado, porque Mapurtuy sacó su principio como... por arte de magia. No había una razón obvia de por qué la naturaleza se preocuparía por masa, por velocidad, por distancia, ni siquiera de por qué esa cantidad debería minimizarse, y matemáticamente el principio de la acción mínima tampoco era riguroso. Pero hubo un hombre que lo defendió vehementemente. Y este hombre era Lennart Euler. Lo primero que hizo Euler fue reemplazar la suma con una integral. Así se podía calcular la acción mientras la velocidad o la dirección cambiaban continuamente. Y usó esto para encontrar la trayectoria de una partícula alrededor de una masa central como la órbita de un planeta alrededor de una estrella. Resolver esto significaba que de cada trayectoria posible entre dos puntos, tendría que encontrar aquella en la que la acción fuera la menor. Esto es similar al problema que Fermat intentaba resolver, solo que ahora, en lugar de cambiar una variable, tendría que variar todos los puntos posibles en la trayectoria que son infinitos. Es innecesario decir que fue una tarea ardua. Las matemáticas no habían desarrollado las herramientas necesarias para abordar problemas así. Por fortuna, Euler inventó un nuevo método. Era burdo y requería tiempo, pero funcionaba. Mediante este proceso, se dio cuenta de que el principio de mínima acción solo funciona si la energía total se conserva, y es la misma para todas las trayectorias consideradas. Maportui no se dio cuenta de que estas dos condiciones eran necesarias, así que Euler mejoró el rigor matemático del principio. Encontró dos condiciones adicionales, y aportó un ejemplo específico de su funcionamiento. Euler no solo era un excelente e impresionantemente poderoso matemático, parece que además era un buen tipo. Hasta donde sabemos, era muy generoso. Aún puedes leer a Euler y de verdad entenderlo. Te ayuda, es empático. Él era, pues, como tú, amigo, que trata de explicar cosas. Pero Euler aún estaba lejos de una demostración general. Para eso había que esperar a otro matemático legendario, Joseph Louis Lagrange. Joseph Louis Lagrange era un chico tímido de 19 años, mayormente autodidacta, pero a pesar de su edad, trabajaba con la vanguardia de las matemáticas, incluyendo el nuevo método de Euler. En 1754 compartió sus resultados con Euler, quien respondió que Lagrange había exaltado la teoría hasta la cumbre de la perfección, lo que le causaba la mayor de las alegrías. Pero además de ser matemáticos de primer nivel, los dos tenían otra cosa en común. Ambos eran grandes defensores del principio de la mínima acción. Y unos cinco años más tarde, justo un año después de la muerte de Mapportui, Legrange logró aportar una demostración general. ¿Hay alguna forma intuitiva de pensar en la acción? Es que creo que hay una forma intuitiva de pensar en la fuerza y una más o menos intuitiva de pensar en la energía. ¿Pero hay una forma intuitiva de pensar en la acción? No lo sé, voy a ver tu serie para aprender. Espero que tú des con ella porque no tengo una buena impresión de la acción. Quiero explicar la demostración de Lagrange, pero no quiero hacerlo de la forma en que lo hizo él. Más bien, vamos a hacerlo en tres pasos. Primero explicaré el enfoque general al que llegaron Euler y Lagrange. Luego vamos a reescribir el principio en su forma moderna. Y finalmente, aplicaremos estas matemáticas a un ejemplo sencillo para demostrar cómo funciona. Primero, el enfoque general. Si hay infinitas trayectorias posibles, ¿cómo se encuentra aquella con la mínima acción? Bueno, Euler y Lagrange vieron que se puede hacer de manera similar a cómo encuentras el mínimo de una función. En ese caso, la derivada se iguala a cero. Y donde la pendiente es horizontal, debe estar el mínimo. Si das un pasito a la izquierda o a la derecha, el valor de la función básicamente no cambia. Y de igual forma, si tienes la trayectoria de mínima acción y fueras a cambiarla un poco, digamos agregando un bache aquí o aplanando por acá, imagina que estamos agregando una pequeña función eta a la trayectoria de mínima acción. Entonces la acción básicamente no cambiaría, porque estamos en este punto muy especial, la trayectoria de mínima acción. Le agregas un poquito a la trayectoria mínima, pero la acción sigue siendo la misma. Si esa es la trayectoria mínima con la mínima acción, entonces cualquier otra trayectoria debe tener más acción. Aquí la réplica es que todo esto es el primer orden. Si estás buscando términos lineales que sean proporcionales a eta, la desviación en el primer orden, la diferencia en acción va a ser cero. Esto se puede imaginar como, supongamos que estás al fondo de un tazón, en el mínimo, y das un pasito y lo llamamos paso eta. Si ese cambio fuera proporcional a eta, tal vez aumentarías de este lado, pero disminuirías de este lado y este ya no sería un mínimo. Entonces, el coeficiente de eta tiene que ser cero, pero como estás en un mínimo, es como una parábola, así que puede ser proporcional a eta al cuadrado o potencialmente algún término de orden superior. Así que hay una mínima desviación en la acción, pero no es proporcional a eta, por lo que, en primer orden, el cambio de acción entre la trayectoria óptima y una de prueba es de cero. Entonces lo que se puede escribir es que la acción de la trayectoria de prueba menos la acción de la trayectoria real es igual a cero en el primer orden. Esta es una forma compacta de escribir el principio de mínima acción y es el enfoque general que se usa para resolver estos problemas. Con esto en mente, vamos a reescribir el principio en su forma moderna, comenzando con la acción de Mapportui, que es la suma de la masa por la velocidad por la distancia. Pero Euler cambió esto a una integral, así que es la integral de la masa por la velocidad integrada en la distancia. La velocidad es igual a ds sobre dt, que podemos reacomodar para obtener ds igual a b dt. Y si lo sustituimos, tenemos una integral de mv al cuadrado en el tiempo. Pero, momento, eso es el doble de energía cinética. Y como señaló Euler, la energía total se debe conservar. La energía total es la cinética más la potencial. Entonces podemos reescribir esto como t es igual a e menos b, y sustituyendo en la segunda t resulta que la variación de t más e menos b integrada en el tiempo es igual a cero. Ahora podemos dividir esta integral en dos, y como la energía es constante, podemos integrar este término en el tiempo para obtener esto, y podemos simplificarlo aún más. Como en una derivada normal, podemos escribir la variación de E por T como E por la variación de T más T por la variación de E. Pero recordemos que como descubrió Euler, la energía de distintas trayectorias debe ser la misma, así que la variación entre ellas es cero, y este término se elimina. Si reacomodamos esto así... Entonces encontramos que la variación de esta integral es igual a menos la energía por la variación del tiempo. Esto se parece mucho a otro principio de minimización, si solo esto fuera igual a cero. Pero podemos volverlo cero si solo consideramos las trayectorias con el mismo tiempo de recorrido. Si hacemos eso, entonces ya no hay variación en tiempo, y este término se elimina. Y encontramos que el principio de Mappertui ha cambiado de forma. donde ahora la variación de la energía cinética menos la energía potencial integrada en el tiempo es igual a cero. T menos B, energía cinética menos energía potencial. Y después integras eso a lo largo de una trayectoria que está recorriendo de A a B y luego lo integras con respecto al tiempo. Es todo muy extraño y, sin embargo, resulta ser que eso es lo que hay que integrar. Esto es un poco raro. Empezamos con masa por velocidad integrada en la distancia y ahora tenemos la energía cinética menos la energía potencial integrada en el tiempo. Y de alguna manera ambas son formas de escribir el principio de mínima acción. Pero también significa que esta integral de aquí, T menos B integradas en el tiempo, es otra forma de escribir la acción. La primera persona que escribió el principio de mínima acción así fue William Rowan Hamilton en 1834 y al hacerlo logró que el principio llevara su nombre. Así que el principio de acción mínima que escribimos como la integral de L de T, donde L es Lagrangiano, la T menos B, la cinética menos la energía potencial, no la llaman principio de Lagrange, sino principio de Hamilton. Así que supongo que Hamilton se basa en Lagrange en este sentido. El principio de Hamilton es la forma moderna de escribir el principio de la mínima acción y la forma que se encuentra en casi todos los libros de física. En parte es porque el principio de Hamilton nos dice cómo se mueven los objetos de un punto a otro. en lugar de solo darnos la forma de la trayectoria. Otras dos diferencias importantes entre ambos principios es que la acción ahora es una integral en el tiempo en lugar de en el espacio, y una consecuencia es que con el principio de Hamilton ahora se necesita un punto de inicio y uno de final, y también un tiempo inicial y uno final. La tercera es que con el principio de Mapportui se necesita mantener igual la energía de distintas trayectorias, pero el tiempo puede variar, mientras que con el principio de Hamilton las energías pueden variar pero el tiempo tiene que ser el mismo entre trayectorias. Ahora que tenemos nuestro enfoque general y la forma moderna de escribir el principio, vamos a aplicarlo a un ejemplo sencillo para ver cómo funciona. Digamos que lanzo esta pelota directamente hacia arriba. Va de un punto de inicio a un punto final distinto en un tiempo determinado. Ahora, si llamamos a la altura de la pelota Y de T, podemos entonces trazar estos dos puntos así. Y luego podemos imaginar una infinidad de posibles trayectorias que podrían conectar estos dos puntos. Unas van más alto, otras más bajo, otras tienen ondas, otras no. La única condición es que todas las trayectorias deben tener los mismos puntos de inicio y fin en el mismo tiempo transcurrido entre ellos. Para encontrar la trayectoria real procedemos como antes. Imaginamos que esta es la trayectoria real Y de T, la que tiene la mínima acción. Y luego imaginamos que hacemos unas pequeñas variaciones, como subir un poco por aquí, bajar por acá y así, haciendo pequeños cambios en cada paso del tiempo que vamos a llamar eta de t. Cuando sumas y y eta, obtienes esta nueva trayectoria de prueba, llamémosla q de t. Y como las variaciones son menores, la diferencia en la acción entre estas dos trayectorias es cero. La siguiente tarea es resolver esta ecuación. Así que calculamos la acción para cada trayectoria. Para esto necesitamos las energías cinética y potencial de cada una y las escribimos como una función de y y eta. Sustituyendo, obtenemos que la diferencia en las acciones es igual a esto. Pero esperen, la primera integral es la acción de la trayectoria real, así que estas integrales se cancelan y nos quedamos solo con esto. m por dy sobre dt por d eta sobre dt menos eta por la derivada de la potencial integrada en el tiempo es igual a cero. Podemos volver a escribir esto usando integración por partes. Esto nos permite reemplazar este término con este otro. Y si lo integramos ahí, ahora tenemos una función que cuando se multiplica por eta y se integra en el tiempo, tiene que ser igual a cero. Pero como eta puede ser cualquier cosa, esto es solo verdadero si esta parte es cero. Así que lo que descubrimos es que la acción es mínima para la trayectoria que satisface esta curiosa ecuación diferencial. Puede parecer complicada, pero no lo es. Menos la derivada de la potencial es simplemente la fuerza. Y la segunda derivada de la altura, bueno, es simplemente aceleración. Así que si acomodamos esto, encontramos que la trayectoria que satisface el principio de mínima acción es aquella que cumple F igual a MA. En otras palabras, el principio de mínima acción es equivalente a la segunda ley de Newton. Pero no se limita solo a la mecánica. El principio de Fermat del tiempo mínimo resultó no ser más que un caso especial del principio de la mínima acción. Con sólo este principio podrías de pronto describir cualquier cosa, desde la luz que se refleja y refracta, hasta el vaivén del péndulo de un reloj, o los planetas que orbitan el Sol y las estrellas que orbitan el centro de la galaxia. Los que antes se consideraban campos totalmente separados de la física, ahora se unificaban bajo una regla sencilla. La variación de la acción es cero. Después de que Euler supo de la demostración de Lagrange, le escribió ¿Qué satisfecho estaría el señor Mappertui si aún viviera y pudiera ver su principio de mínima acción aplicado al más alto grado de dignidad de que es susceptible? Con la demostración de Lagrange, ahora tenemos dos formas de resolver cualquier problema de mecánica. Se pueden usar fuerzas y vectores o se pueden usar energías y escalares. Parece que el principio de la mínima acción es demasiado complicado, demasiado innecesario. ¿Quién lo usaría cuando se puede usar la segunda ley de Newton, que es facilísima? Las opciones son usar todo esto o empezar con F igual a MA y llegas al mismo resultado. ¿Por qué usar el principio de mínima acción? Bueno, y es que Euler y Lagrange idearon una forma de hacer todo esto de una manera súper sencilla. Si esta es la acción, entonces T-B se conoce como el Legrandiano. Vamos a reemplazar todo lo que hicimos antes con el Legrandiano. Se puede ver que el principio de la mínima acción funciona siempre que se satisfaga esta ecuación diferencial. Ahora, lo que hay que hacer si quieres resolver un problema de mecánica es simplemente escribir las energías cinética y potencial y sustituirlas en esta ecuación y listo. Y eso se vuelve muy poderoso. Me acuerdo de pensar, con fuerzas es difícil de tener la respuesta correcta, puedes hacerlo si eres bueno, y la gente que es buena en mecánica lo hace. Pero con el enfoque lagrangiano, tienes una máquina que aplica el principio de mínima acción, y obtienes la ecuación adecuada para el movimiento y no tienes que ser un buen físico. Eso es con lo que me quedo. Como matemático puedo hacer física gracias a Lagrange y a Euler. Y no solo funciona en una dimensión. Si tienes más dimensiones, solo hay que resolver la ecuación de Euler-Legrange para cada coordenada. Otra cosa excelente es que se pueden usar extraños sistemas de coordenadas que podrían ser más adecuadas para el problema. Si estuvieras haciendo un problema con algo que gira, sería mejor usar coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. Y esto daría las ecuaciones de movimiento adecuadas en coordenadas polares, que de nuevo, podría ser difícil de hacer con vectores. Como el péndulo doble. Intentar resolver esto usando fuerzas es extremadamente difícil, porque mientras se balancea un péndulo, le ofrece un punto de unión al péndulo que cuelga debajo. Entonces, ese péndulo está en un marco de referencia de movimiento mientras se balancea. Es un trabajo muy molesto escribir la F igual a MA adecuada para un péndulo doble, pero si la escribes con energía cinética y potencial, es bastante fácil. Justo así fue como hicimos esta simulación. Hay que hacer una nota al margen sobre el principio de mínima acción, porque el nombre es un poco engañoso. Aunque normalmente nos referimos a este principio como el principio de la mínima acción, tal vez sea bueno añadir una advertencia de que a veces no es necesariamente la mínima, como ocurre en cálculo, cuando estableces una derivada en cero no es una garantía que vas a obtener el mínimo de una función. El principio de la mínima acción más adecuadamente debería ser el principio de la acción estacionaria, según el cual las leyes del movimiento surgen de la exigencia de un punto estacionario lo que equivale a esta condición de poner a cero una cierta derivada y, a partir de ahí, obtener la ecuación Euler-Lagrange. Muy frecuentemente se trata del mínimo, pero no siempre. Pero la acción es mucho más fundamental que la mecánica clásica. A principios del siglo XX, La acción apareció como pieza clave de una solución a uno de los mayores problemas en la física atómica de la época, la catástrofe ultravioleta. Da un poco de miedo que este descubrimiento que puso todo en marcha hacia la teoría cuántica introdujera a la acción, no a la energía, no a la fuerza, a la acción. Te da una idea, sí. Pero eso, y mucho más, tendrá que esperar a otro video. Así que no olviden suscribirse para recibir una notificación cuando salga.

Creo que estoy atrapado en una mentalidad clásica donde para mí el panorama local, la forma de pensar el universo con una ecuación diferencial, es realmente lo que está pasando. Pero me temo que lo entendí totalmente al revés. Y todo empieza con un sencillo problema.

Si quieres deslizar una masa del punto A al punto B, ¿Qué forma de rampa va a hacer que llegue más rápido? Esto se conoce como el problema del descenso más rápido. Por sentido común podrías decir el camino más corto. Una recta de A a B. Pero si curvas la recta un poco al inicio, la masa alcanza una velocidad mayor más pronto.

Y aunque la distancia que recorre es un poco más larga, viaja más rápido y le gana a la línea recta. La pregunta entonces es... qué forma ofrece el balance perfecto entre aceleración y longitud de la ruta para minimizar el tiempo de recorrido. Según Galileo, era el arco de una circunferencia.

Demostró que era más rápido que cualquier polígono. ¿Pero es el más rápido? Casi 60 años después, en junio de 1696, Johann Bernoulli propuso este problema como un reto para los mejores matemáticos del mundo. Sobre todo porque era un presumido y quería demostrarles que era mejor que ellos. Les dio seis meses para obtener una solución, pero no llegaba ninguna.

Gottfried Leibniz, un amigo de Bernoulli, lo convenció de extender el tiempo de entrega para darles oportunidad a los extranjeros. Yo creo que esto iba dirigido a Newton porque todos pensaban que él era el mejor. Y Johan habría querido mostrar que él era mejor que Newton. Él ya no era un matemático activo físico, trabajaba como guardián de la Casa de Moneda, una alta posición gubernamental. Y el 29 de enero de 1697, Newton regresó a casa después de una larga jornada y encontró una carta de Bernoulli en el buzón.

Enojado, escribió, No me gusta que un extranjero me importune o me provoque sobre temas matemáticos. Pero el problema era muy tentador. Así que Newton le dedicó el resto del día y la noche.

Y a las cuatro de la mañana encontró una solución, lo que a Bernoulli le había tomado dos semanas. Newton entregó su solución a la revista Philosophical Transactions. Les mandó la solución, pero no la firmó.

Y, supuestamente, cuando Johann Bernoulli vio la solución, dijo, se reconoce a León por sus garras. Como en, ok, no necesitas firmar, Newton, yo sé que fuiste tú, ¿quién más iba a llegar a esa solución? Y aunque en general Newton superaba a Bernoulli, en este caso, la solución de Bernoulli, de hecho, opacó a la de Newton. Puedo entender por qué Johann Bernoulli quiso retar a todos, y es que llegó a una muy ingeniosa, incluso diría, bastante creativa y hermosa solución.

Para llegar a ella se inspiró en un problema que enfrentaron los antiguos filósofos. ¿Cómo viaja la luz de un lugar a otro? Esto se preguntaba Herón de Alejandría en el siglo I de la Era Común. Se dio cuenta de que en un solo medio, como el aire, la luz siempre sigue el camino más corto. Consecuencia de esto es que cuando la luz se refleja, por ejemplo, en un lago, el ángulo de incidencia siempre es igual al ángulo de reflexión.

Cualquier otro camino entre los puntos de inicio y final serían más largos. Pero cuando la luz pasa de un medio a otro, como del aire al agua, se curva de manera peculiar, se refracta, y no sigue el camino más corto. Si alguna vez has dejado caer algo al fondo de una piscina, y lo buscas por el agua, y bajas la mano para tomarlo, no necesariamente está donde creías, porque la luz se desvía de la superficie plana.

Entonces, ¿cuál es el principio rector aquí? Durante los siguientes 1.600 años, la gente fue comprendiendo poco a poco que el seno del ángulo de incidencia dividido entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante, n, que depende de la naturaleza de ambos ángulos. medios. Esta se dio a conocer como Ley de Snell, pero nadie sabía por qué funcionaba, hasta 1657. En este punto entra en escena otro gran matemático, que es Pierre de Fermat. De día era juez, y de noche llegaba a casa, convivía con su esposa e hijos, y luego hacía lo que más le gustaba, que era jugar con matemáticas.

Principalmente, trabajaba en matemáticas puras. Pero en un punto le interesó la pregunta de ¿por qué la luz obedecía a este principio de refracción? Y pensó que tal vez era donde Alejandría iba en la ruta correcta.

Pero no es la distancia la que se minimiza, sino el tiempo. Pero probar esto para la refracción era difícil. Tendría que tratar con todas las rutas que tomaría la luz, variando el punto que interseca con el límite, y calcular el tiempo para cada uno. y luego mostrar que la luz toma la ruta en la que el tiempo total de recorrido es menor. No sabía cómo resolverlo y le preocupaba que aunque pudiera resolverlo iba a ser complicado, así que decidió no hacerlo.

Creo que la verdad no le interesaba tanto la física. Pero de cualquier modo, los años pasaron y se empezó a interesar en esto cinco años después, y lo intentó resolver, y luego lo resolvió, y demostró que la ley de Snell de hecho aparece como el camino corto de la luz. En esa circunstancia de moverse de un medio con una velocidad de luz a otro con otra velocidad.

Y esa constante n es igual a la velocidad de la luz en el primer medio dividida entre la velocidad de la luz en el segundo medio, lo que permite reescribir la ley de Snell así. Y digo esto, te voy a leer esta pequeña cita porque me encanta. Dijo que este es el cálculo más extraordinario, más imprevisto y el más feliz de toda su vida.

Por eso es buena física. Si usas el principio del tiempo mínimo, puedes explicar todo lo que se sabía sobre la luz en la época de Fermat. Es la primera vez, hasta donde sé, que alguien demuestra que la naturaleza obedece a un principio de optimización.

La naturaleza hace lo mejor posible. En este caso, la luz hace el menor tiempo posible. Bernoulli conocía el principio de Fermat del tiempo mínimo.

y pensó que podía usarlo para resolver el problema del descenso más rápido. Convirtió el problema de mecánica sobre una partícula que se desliza por una rampa a un problema sobre óptica. En lugar de una masa que se acelera por la gravedad, imaginó un rayo de luz que iría cada vez más rápido a medida que se adentrara en medios con capas cada vez menos densas. Si las capas se hacen cada vez más delgadas, donde la ley de Snell se cumple en cada interfaz, Finalmente, se obtendrá una curva continua. Ahora la pregunta es, ¿cómo debe cambiar la velocidad de la luz de una capa a la otra de manera que modele con precisión un objeto que cae?

Se puede intentar resolver el problema pensando que si la partícula debe caer de A a B, va a tomar energía cinética, va cada vez más rápido a medida de que se desliza por la rampa y va convirtiendo la pérdida de energía potencial en energía cinética. Si escribes la conservación de energía de esa relación, Vas a encontrar que la velocidad que alcanza la partícula en cualquier momento, habiendo caído a una distancia, digamos, y, su velocidad al cuadrado va a ser proporcional a y, la altura desde la parte más alta. La velocidad va como la raíz cuadrada de y. Y eso es como decir, imagina que la luz se mueve de modo que, en lugar de tener una velocidad constante, su velocidad es proporcional a la distancia desde la parte superior.

Bueno, ampliemos la imagen y veamos una sola interfase. Podemos insertar nuestra expresión para la velocidad de la luz en cada capa en la ley de Snell. Vamos a encontrar que el seno del primer ángulo, dividido entre la raíz cuadrada de y de la primera capa, es igual que el seno del segundo ángulo, dividido entre la raíz cuadrada de y de la segunda capa.

Y aquí está la clave. La ley de Snell también se sostiene en la siguiente capa, y ahí el ángulo entrante es simplemente θ2. Así que esto también es igual al seno del tercer ángulo dividido entre la raíz cuadrada de Y3.

Y lo mismo sucede en la siguiente capa y así sucesivamente. En otras palabras, la razón debe ser igual a alguna constante, llamémosla K. Y cuenta la historia que Bernoulli reconoció de inmediato esta ecuación como la ecuación de una cicloide, que es la trayectoria trazada por un punto fijado al borde de una rueda que gira. También se le conoce como curva vacristócrona, que en griego significa el tiempo más corto.

Y la extraordinaria solución es que la forma más rápida de ir de A a B es seguir el arco de una cicloide, no un círculo, sino una forma llamada cicloide. Esta curva tiene además otra propiedad sorprendente. Sin importar desde dónde suelte la masa, siempre va a llegar al final al mismo tiempo. Por esta razón, también se le conoce como la curva tautócrona, griego para mismo tiempo. Al encontrar esta solución, Bernoulli escribió, de este modo resolví de una sola vez dos problemas importantes, uno óptico y uno mecánico, y logré más de lo que les exigía a los demás.

Demostré que los dos problemas tomados de campos totalmente distintos de las matemáticas, tienen la misma naturaleza. Pero Bernoulli no sospechaba que esto era algo más grande. Unos 40 años después, uno de sus estudiantes, Pierre-Louis de Mapportui, también estudió el comportamiento de la luz y las partículas, y se dio cuenta de que hay casos en que ambas se comportan de manera similar. Esto lo puso a pensar, y si el principio de Fermat del tiempo mínimo no fuera el más fundamental, Es decir, ¿por qué la naturaleza se preocuparía de minimizar el tiempo?

Tal vez se haya estado minimizando una cantidad más fundacional, una que no solo gobierna la luz, sino también las partículas. Así, en la década de 1740 propuso una nueva cantidad que llamó acción, que es masa por velocidad por distancia. Su hilo de pensamientos fue algo como esto. Entre más lejos viaja algo, la acción es mayor. Entre más rápido vaya, la acción es mayor.

Y si es una partícula, entonces entre más masa tenga, mayor es la acción. Si la trayectoria tiene múltiples segmentos, entonces la acción total es la suma de la masa por la velocidad por la distancia de cada segmento. Para ver este principio en acción, este es un excelente ejemplo, sin fricciones ni pérdidas.

Imagina que una pelota de 0.5 kilogramos rueda por el piso 6 metros a 3 metros por segundo. Eso serían 9 unidades de acción. Si la pelota rebota y viaja otros 6 metros a 3 metros por segundo, la acción de todo el viaje es 9 más 9, o 18 unidades de acción.

Lo que afirmaba Mapportui era que todas las trayectorias posibles en las que la pelota rebota en la pared, el camino que va a seguir es el que minimiza la acción. En 1744 escribió, esta acción es el verdadero costo de la naturaleza. y logra hacerlo lo más pequeño posible.

¿Y cuál fue la respuesta a la idea revolucionaria de Maportui? Lo atacaron y se burlaron de él. Uno de sus amigos de toda la vida, un físico llamado Samuel Cunning, escribió No solo tu principio está mal, además se lo robaste a Leibniz.

Voltaire, que solía ser amigo cercano de Maportui, lo acusó de plagiario, mal físico, estúpido y todo lo que se le pudo ocurrir. De hecho, escribió un panfleto de 32 páginas solo para burlarse de él. Por supuesto, esto pudo haberse debido en parte por los rumores de que el amante de Voltaire tenía un romance con Maportui.

Pero no todos lo atacaron. Algunos solo lo ignoraron. Maportui, he consumido mucha matemática y física en mi vida y creo que esta es la primera vez que oigo que lo mencionan.

No recibe mucha atención. Todo esto fue muy estresante para Maportui. quien estaba llegando al final de su vida, y sobre todo porque pensó que el principio de la mínima acción sería por lo que iba a ser recordado, que sería su legado. Pero ahora lo atacaban, se burlaban, lo ridiculizaban y lo ignoraban.

Desafortunadamente este trato estaba en parte justificado, porque Mapurtuy sacó su principio como... por arte de magia. No había una razón obvia de por qué la naturaleza se preocuparía por masa, por velocidad, por distancia, ni siquiera de por qué esa cantidad debería minimizarse, y matemáticamente el principio de la acción mínima tampoco era riguroso. Pero hubo un hombre que lo defendió vehementemente. Y este hombre era Lennart Euler.

Lo primero que hizo Euler fue reemplazar la suma con una integral. Así se podía calcular la acción mientras la velocidad o la dirección cambiaban continuamente. Y usó esto para encontrar la trayectoria de una partícula alrededor de una masa central como la órbita de un planeta alrededor de una estrella.

Resolver esto significaba que de cada trayectoria posible entre dos puntos, tendría que encontrar aquella en la que la acción fuera la menor. Esto es similar al problema que Fermat intentaba resolver, solo que ahora, en lugar de cambiar una variable, tendría que variar todos los puntos posibles en la trayectoria que son infinitos. Es innecesario decir que fue una tarea ardua. Las matemáticas no habían desarrollado las herramientas necesarias para abordar problemas así. Por fortuna, Euler inventó un nuevo método.

Era burdo y requería tiempo, pero funcionaba. Mediante este proceso, se dio cuenta de que el principio de mínima acción solo funciona si la energía total se conserva, y es la misma para todas las trayectorias consideradas. Maportui no se dio cuenta de que estas dos condiciones eran necesarias, así que Euler mejoró el rigor matemático del principio.

Encontró dos condiciones adicionales, y aportó un ejemplo específico de su funcionamiento. Euler no solo era un excelente e impresionantemente poderoso matemático, parece que además era un buen tipo. Hasta donde sabemos, era muy generoso.

Aún puedes leer a Euler y de verdad entenderlo. Te ayuda, es empático. Él era, pues, como tú, amigo, que trata de explicar cosas.

Pero Euler aún estaba lejos de una demostración general. Para eso había que esperar a otro matemático legendario, Joseph Louis Lagrange. Joseph Louis Lagrange era un chico tímido de 19 años, mayormente autodidacta, pero a pesar de su edad, trabajaba con la vanguardia de las matemáticas, incluyendo el nuevo método de Euler.

En 1754 compartió sus resultados con Euler, quien respondió que Lagrange había exaltado la teoría hasta la cumbre de la perfección, lo que le causaba la mayor de las alegrías. Pero además de ser matemáticos de primer nivel, los dos tenían otra cosa en común. Ambos eran grandes defensores del principio de la mínima acción. Y unos cinco años más tarde, justo un año después de la muerte de Mapportui, Legrange logró aportar una demostración general.

¿Hay alguna forma intuitiva de pensar en la acción? Es que creo que hay una forma intuitiva de pensar en la fuerza y una más o menos intuitiva de pensar en la energía. ¿Pero hay una forma intuitiva de pensar en la acción? No lo sé, voy a ver tu serie para aprender.

Espero que tú des con ella porque no tengo una buena impresión de la acción. Quiero explicar la demostración de Lagrange, pero no quiero hacerlo de la forma en que lo hizo él. Más bien, vamos a hacerlo en tres pasos. Primero explicaré el enfoque general al que llegaron Euler y Lagrange. Luego vamos a reescribir el principio en su forma moderna.

Y finalmente, aplicaremos estas matemáticas a un ejemplo sencillo para demostrar cómo funciona. Primero, el enfoque general. Si hay infinitas trayectorias posibles, ¿cómo se encuentra aquella con la mínima acción?

Bueno, Euler y Lagrange vieron que se puede hacer de manera similar a cómo encuentras el mínimo de una función. En ese caso, la derivada se iguala a cero. Y donde la pendiente es horizontal, debe estar el mínimo.

Si das un pasito a la izquierda o a la derecha, el valor de la función básicamente no cambia. Y de igual forma, si tienes la trayectoria de mínima acción y fueras a cambiarla un poco, digamos agregando un bache aquí o aplanando por acá, imagina que estamos agregando una pequeña función eta a la trayectoria de mínima acción. Entonces la acción básicamente no cambiaría, porque estamos en este punto muy especial, la trayectoria de mínima acción.

Le agregas un poquito a la trayectoria mínima, pero la acción sigue siendo la misma. Si esa es la trayectoria mínima con la mínima acción, entonces cualquier otra trayectoria debe tener más acción. Aquí la réplica es que todo esto es el primer orden.

Si estás buscando términos lineales que sean proporcionales a eta, la desviación en el primer orden, la diferencia en acción va a ser cero. Esto se puede imaginar como, supongamos que estás al fondo de un tazón, en el mínimo, y das un pasito y lo llamamos paso eta. Si ese cambio fuera proporcional a eta, tal vez aumentarías de este lado, pero disminuirías de este lado y este ya no sería un mínimo. Entonces, el coeficiente de eta tiene que ser cero, pero como estás en un mínimo, es como una parábola, así que puede ser proporcional a eta al cuadrado o potencialmente algún término de orden superior. Así que hay una mínima desviación en la acción, pero no es proporcional a eta, por lo que, en primer orden, el cambio de acción entre la trayectoria óptima y una de prueba es de cero.

Entonces lo que se puede escribir es que la acción de la trayectoria de prueba menos la acción de la trayectoria real es igual a cero en el primer orden. Esta es una forma compacta de escribir el principio de mínima acción y es el enfoque general que se usa para resolver estos problemas. Con esto en mente, vamos a reescribir el principio en su forma moderna, comenzando con la acción de Mapportui, que es la suma de la masa por la velocidad por la distancia.

Pero Euler cambió esto a una integral, así que es la integral de la masa por la velocidad integrada en la distancia. La velocidad es igual a ds sobre dt, que podemos reacomodar para obtener ds igual a b dt. Y si lo sustituimos, tenemos una integral de mv al cuadrado en el tiempo.

Pero, momento, eso es el doble de energía cinética. Y como señaló Euler, la energía total se debe conservar. La energía total es la cinética más la potencial. Entonces podemos reescribir esto como t es igual a e menos b, y sustituyendo en la segunda t resulta que la variación de t más e menos b integrada en el tiempo es igual a cero. Ahora podemos dividir esta integral en dos, y como la energía es constante, podemos integrar este término en el tiempo para obtener esto, y podemos simplificarlo aún más.

Como en una derivada normal, podemos escribir la variación de E por T como E por la variación de T más T por la variación de E. Pero recordemos que como descubrió Euler, la energía de distintas trayectorias debe ser la misma, así que la variación entre ellas es cero, y este término se elimina. Si reacomodamos esto así...

Entonces encontramos que la variación de esta integral es igual a menos la energía por la variación del tiempo. Esto se parece mucho a otro principio de minimización, si solo esto fuera igual a cero. Pero podemos volverlo cero si solo consideramos las trayectorias con el mismo tiempo de recorrido. Si hacemos eso, entonces ya no hay variación en tiempo, y este término se elimina. Y encontramos que el principio de Mappertui ha cambiado de forma.

donde ahora la variación de la energía cinética menos la energía potencial integrada en el tiempo es igual a cero. T menos B, energía cinética menos energía potencial. Y después integras eso a lo largo de una trayectoria que está recorriendo de A a B y luego lo integras con respecto al tiempo.

Es todo muy extraño y, sin embargo, resulta ser que eso es lo que hay que integrar. Esto es un poco raro. Empezamos con masa por velocidad integrada en la distancia y ahora tenemos la energía cinética menos la energía potencial integrada en el tiempo. Y de alguna manera ambas son formas de escribir el principio de mínima acción.

Pero también significa que esta integral de aquí, T menos B integradas en el tiempo, es otra forma de escribir la acción. La primera persona que escribió el principio de mínima acción así fue William Rowan Hamilton en 1834 y al hacerlo logró que el principio llevara su nombre. Así que el principio de acción mínima que escribimos como la integral de L de T, donde L es Lagrangiano, la T menos B, la cinética menos la energía potencial, no la llaman principio de Lagrange, sino principio de Hamilton.

Así que supongo que Hamilton se basa en Lagrange en este sentido. El principio de Hamilton es la forma moderna de escribir el principio de la mínima acción y la forma que se encuentra en casi todos los libros de física. En parte es porque el principio de Hamilton nos dice cómo se mueven los objetos de un punto a otro.

en lugar de solo darnos la forma de la trayectoria. Otras dos diferencias importantes entre ambos principios es que la acción ahora es una integral en el tiempo en lugar de en el espacio, y una consecuencia es que con el principio de Hamilton ahora se necesita un punto de inicio y uno de final, y también un tiempo inicial y uno final. La tercera es que con el principio de Mapportui se necesita mantener igual la energía de distintas trayectorias, pero el tiempo puede variar, mientras que con el principio de Hamilton las energías pueden variar pero el tiempo tiene que ser el mismo entre trayectorias. Ahora que tenemos nuestro enfoque general y la forma moderna de escribir el principio, vamos a aplicarlo a un ejemplo sencillo para ver cómo funciona.

Digamos que lanzo esta pelota directamente hacia arriba. Va de un punto de inicio a un punto final distinto en un tiempo determinado. Ahora, si llamamos a la altura de la pelota Y de T, podemos entonces trazar estos dos puntos así. Y luego podemos imaginar una infinidad de posibles trayectorias que podrían conectar estos dos puntos.

Unas van más alto, otras más bajo, otras tienen ondas, otras no. La única condición es que todas las trayectorias deben tener los mismos puntos de inicio y fin en el mismo tiempo transcurrido entre ellos. Para encontrar la trayectoria real procedemos como antes.

Imaginamos que esta es la trayectoria real Y de T, la que tiene la mínima acción. Y luego imaginamos que hacemos unas pequeñas variaciones, como subir un poco por aquí, bajar por acá y así, haciendo pequeños cambios en cada paso del tiempo que vamos a llamar eta de t. Cuando sumas y y eta, obtienes esta nueva trayectoria de prueba, llamémosla q de t. Y como las variaciones son menores, la diferencia en la acción entre estas dos trayectorias es cero. La siguiente tarea es resolver esta ecuación.

Así que calculamos la acción para cada trayectoria. Para esto necesitamos las energías cinética y potencial de cada una y las escribimos como una función de y y eta. Sustituyendo, obtenemos que la diferencia en las acciones es igual a esto. Pero esperen, la primera integral es la acción de la trayectoria real, así que estas integrales se cancelan y nos quedamos solo con esto. m por dy sobre dt por d eta sobre dt menos eta por la derivada de la potencial integrada en el tiempo es igual a cero.

Podemos volver a escribir esto usando integración por partes. Esto nos permite reemplazar este término con este otro. Y si lo integramos ahí, ahora tenemos una función que cuando se multiplica por eta y se integra en el tiempo, tiene que ser igual a cero. Pero como eta puede ser cualquier cosa, esto es solo verdadero si esta parte es cero. Así que lo que descubrimos es que la acción es mínima para la trayectoria que satisface esta curiosa ecuación diferencial.

Puede parecer complicada, pero no lo es. Menos la derivada de la potencial es simplemente la fuerza. Y la segunda derivada de la altura, bueno, es simplemente aceleración. Así que si acomodamos esto, encontramos que la trayectoria que satisface el principio de mínima acción es aquella que cumple F igual a MA.

En otras palabras, el principio de mínima acción es equivalente a la segunda ley de Newton. Pero no se limita solo a la mecánica. El principio de Fermat del tiempo mínimo resultó no ser más que un caso especial del principio de la mínima acción.

Con sólo este principio podrías de pronto describir cualquier cosa, desde la luz que se refleja y refracta, hasta el vaivén del péndulo de un reloj, o los planetas que orbitan el Sol y las estrellas que orbitan el centro de la galaxia. Los que antes se consideraban campos totalmente separados de la física, ahora se unificaban bajo una regla sencilla. La variación de la acción es cero.

Después de que Euler supo de la demostración de Lagrange, le escribió ¿Qué satisfecho estaría el señor Mappertui si aún viviera y pudiera ver su principio de mínima acción aplicado al más alto grado de dignidad de que es susceptible? Con la demostración de Lagrange, ahora tenemos dos formas de resolver cualquier problema de mecánica. Se pueden usar fuerzas y vectores o se pueden usar energías y escalares. Parece que el principio de la mínima acción es demasiado complicado, demasiado innecesario.

¿Quién lo usaría cuando se puede usar la segunda ley de Newton, que es facilísima? Las opciones son usar todo esto o empezar con F igual a MA y llegas al mismo resultado. ¿Por qué usar el principio de mínima acción? Bueno, y es que Euler y Lagrange idearon una forma de hacer todo esto de una manera súper sencilla. Si esta es la acción, entonces T-B se conoce como el Legrandiano.

Vamos a reemplazar todo lo que hicimos antes con el Legrandiano. Se puede ver que el principio de la mínima acción funciona siempre que se satisfaga esta ecuación diferencial. Ahora, lo que hay que hacer si quieres resolver un problema de mecánica es simplemente escribir las energías cinética y potencial y sustituirlas en esta ecuación y listo. Y eso se vuelve muy poderoso.

Me acuerdo de pensar, con fuerzas es difícil de tener la respuesta correcta, puedes hacerlo si eres bueno, y la gente que es buena en mecánica lo hace. Pero con el enfoque lagrangiano, tienes una máquina que aplica el principio de mínima acción, y obtienes la ecuación adecuada para el movimiento y no tienes que ser un buen físico. Eso es con lo que me quedo. Como matemático puedo hacer física gracias a Lagrange y a Euler.

Y no solo funciona en una dimensión. Si tienes más dimensiones, solo hay que resolver la ecuación de Euler-Legrange para cada coordenada. Otra cosa excelente es que se pueden usar extraños sistemas de coordenadas que podrían ser más adecuadas para el problema.

Si estuvieras haciendo un problema con algo que gira, sería mejor usar coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. Y esto daría las ecuaciones de movimiento adecuadas en coordenadas polares, que de nuevo, podría ser difícil de hacer con vectores. Como el péndulo doble.

Intentar resolver esto usando fuerzas es extremadamente difícil, porque mientras se balancea un péndulo, le ofrece un punto de unión al péndulo que cuelga debajo. Entonces, ese péndulo está en un marco de referencia de movimiento mientras se balancea. Es un trabajo muy molesto escribir la F igual a MA adecuada para un péndulo doble, pero si la escribes con energía cinética y potencial, es bastante fácil.

Justo así fue como hicimos esta simulación. Hay que hacer una nota al margen sobre el principio de mínima acción, porque el nombre es un poco engañoso. Aunque normalmente nos referimos a este principio como el principio de la mínima acción, tal vez sea bueno añadir una advertencia de que a veces no es necesariamente la mínima, como ocurre en cálculo, cuando estableces una derivada en cero no es una garantía que vas a obtener el mínimo de una función.

El principio de la mínima acción más adecuadamente debería ser el principio de la acción estacionaria, según el cual las leyes del movimiento surgen de la exigencia de un punto estacionario lo que equivale a esta condición de poner a cero una cierta derivada y, a partir de ahí, obtener la ecuación Euler-Lagrange. Muy frecuentemente se trata del mínimo, pero no siempre. Pero la acción es mucho más fundamental que la mecánica clásica.

A principios del siglo XX, La acción apareció como pieza clave de una solución a uno de los mayores problemas en la física atómica de la época, la catástrofe ultravioleta. Da un poco de miedo que este descubrimiento que puso todo en marcha hacia la teoría cuántica introdujera a la acción, no a la energía, no a la fuerza, a la acción. Te da una idea, sí. Pero eso, y mucho más, tendrá que esperar a otro video. Así que no olviden suscribirse para recibir una notificación cuando salga.

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