Il teorema di Gauss è un teorema che riguarda il flusso di campi vettoriali. In elettromagnetismo è importante perché viene applicato al campo elettrico e al campo magnetico. In questo video parliamo del teorema di Gauss per il campo elettrico. Questo teorema esprime la relazione tra il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa, detta anche superficie gaussiana, e la carica che è contenuta nella superficie. Quindi se consideriamo una qualsiasi superficie chiusa, Gauss ci dice che il flusso del campo elettrico attraverso quella superficie è uguale al rapporto tra la carica totale contenuta nella superficie e la costante dielettrica del vuoto.
La carica totale Q è la somma algebrica di tutte le cariche interne alla superficie. Questa legge è la legge fondamentale per lo studio dei campi elettrici. Facciamo qualche osservazione. Questa legge dice che il flusso del campo elettrico dipende dalla carica interna della superficie e che non dipende né dalla forma della superficie né da come è disposta la carica al suo interno. Prendiamo una carica positiva e la posizioniamo nel centro di una superficie sferica.
Il campo elettrico prodotto dalla carica sappiamo che è radiale. Come mostrano le linee di campo? In ogni punto della superficie... il campo è diretto verso l'esterno e il flusso attraverso questa superficie è determinato da tutte queste linee che la attraversano. Possiamo dire che il flusso del campo elettrico è proporzionale al numero di linee che attraversano la superficie.
Allora capiamo che se consideriamo la carica in un'altra posizione interna alla sfera, il flusso non cambia. Come non cambia se consideriamo una superficie diversa. Questo perché il numero delle linee di campo che attraversano queste superfici è sempre lo stesso.
Possiamo ora capire che il flusso del campo elettrico non dipende da come è disposta la carica all'interno della superficie e non dipende dalla forma della superficie. Gauss dice che il flusso dipende solo dalla carica interna. Se invece consideriamo una carica positiva esterna alla superficie chiusa, Osserviamo che ogni linea che entra nella superficie poi esce dalla stessa in un altro punto.
Questo vuol dire che il numero di linee che entrano nella superficie è uguale al numero di linee che escono dalla superficie. Ricordiamo che se le linee sono uscenti, il flusso è positivo. Se le linee sono entrati, allora il flusso è negativo. Quindi, siccome il numero di linee entranti è uguale al numero di linee uscenti, il flusso attraverso la superficie è nullo. Per questo motivo le cariche esterne alla superficie non contribuiscono al flusso attraverso questa superficie chiusa.
Il teorema di Gauss è molto utile per determinare i campi elettrici di distribuzione di carica con particolari simmetrie. Vediamo ora il caso più semplice, quindi il campo elettrico prodotto da una carica puntiforme e il campo elettrico prodotto da un piano infinito uniformemente carico. Consideriamo una carica Q positiva al centro di una superficie sferica di raggio R. Per calcolare il flusso del campo elettrico dividiamo la superficie in tante piccole regioni di area A in modo da poterle considerare piane.
Il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie, quindi parallelo al versore normale n, ovvero al vettore superficie A. Per ogni area si ha che il flusso del campo elettrico è il prodotto scalare tra il campo elettrico e il vettore superficie A. Siccome i due vettori sono paralleli il flusso è semplicemente uguale al prodotto dei due moduli. Il flusso attraverso la superficie sferica è la somma di tutti questi prodotti.
Il campo elettrico ha la stessa intensità su tutti i punti della superficie perché sono tutti equidistanti dalla carica quindi possiamo raccoglierlo. E la somma di tutte le aree è proprio la superficie della sfera, quindi 4π per il raggio al quadrato. Così abbiamo ottenuto l'espressione del flusso del campo elettrico attraverso questa superficie sferica.
Lo stesso risultato possiamo ottenerlo con la notazione integrale. Applichiamo ora il teorema di Gauss che dice che il flusso del campo elettrico attraverso la sfera è uguale al rapporto tra la carica interna Q fratto la costante dielettrica del vuoto. Sostituiamo l'espressione del flusso del campo elettrico che abbiamo appena ricavato e isoliamo il campo elettrico.
Abbiamo così trovato l'espressione del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme Q a distanza R. Calcoliamo il campo elettrico generato da un piano infinito uniformemente carico. Indichiamo con sigma la densità superficiale di carica del piano, ovvero la carica per unità di superficie. Per simmetria il campo deve essere perpendicolare al piano.
Se la densità superficiale di carica è positiva, le linee di campo sono uscenti dal piano. Mentre se la densità di carica è negativa, le linee del campo saranno uscenti. entranti nel piano.
Nel nostro esempio consideriamo una densità di carica positiva. Consideriamo poi una superficie cilindrica che attraversa perpendicolarmente il piano. Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie. Il flusso totale sarà la somma del flusso attraverso le due superfici circolari e del flusso attraverso la superficie laterale. Il campo è perpendicolare alle due superfici circolari, quindi è semplicemente uguale al prodotto del campo per il valore della superficie.
Mentre la superficie laterale è parallela alle linee di campo, quindi il flusso attraverso questa superficie è nullo. Quindi il flusso totale è uguale semplicemente a 2 per e per a. Applichiamo il teorema di Gauss. La carica interna alla superficie è la densità di carica per la superficie interna, che è uguale alle superfici circolari del cilindro.
Sostituiamo l'espressione del flusso che abbiamo appena calcolato, semplifichiamo l'area e isoliamo il campo elettrico. Abbiamo così trovato l'espressione del campo elettrico generato da un piano infinito uniformemente carico. Osserviamo che il campo generato da questo piano non dipende dalla distanza dal piano.
Utilizziamo questo risultato per calcolare il campo in un condensatore piano. Il condensatore è costituito da due piani con carica opposta. Se consideriamo un punto tra le due piastre, il campo elettrico sarà la somma dei campi elettrici generati dai due piani, che hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso. Il modulo del campo elettrico sarà uguale a due volte il campo elettrico generato da un singolo piano.
che è semplicemente la densità superficiale di carica fratto ε0. All'esterno del condensatore invece i due campi sono opposti, quindi il campo totale è nullo.