Ciao ragazzi, in questo video proseguiamo il discorso sulle frazioni algebriche che abbiamo cominciato nel video precedente della playlist, dando un'occhiata alle operazioni che possiamo fare con loro. Cominciamo innanzitutto occupandoci della somma e della sottrazione. E qui l'idea è che la somma e la sottrazione di frazioni algebriche funzionano sostanzialmente in maniera molto simile alla somma e alla sottrazione tra frazioni a cui tutti siamo abituati fin dalla scuola media. Giusto per fare un esempio e rispolverare la questione, supponiamo che ci chiedano di calcolare 6 settimi meno un sesto più 5 ventunesimi. Che cosa dobbiamo fare a questo punto?
Beh, innanzitutto conviene scomporre i denominatori. E una volta che disponiamo della scomposizione in fattori primi dei tre denominatori, possiamo determinare il loro minimo comune multiplo, che nel nostro esempio è 42. A questo punto si trasforma ciascuna delle tre frazioni in una frazione equivalente avente per denominatore proprio il minimo comune multiplo, cioè nel nostro caso 42. E quindi vedete che il 6 settimi diventa 36 quarantaduesimi. Questo 1 sesto che c'era qui diventa 7 quarantaduesimi.
e questo 5 ventunesimi che avevamo in fondo diventa 10 quarantaduesimi. E una volta che tutte e tre le frazioni hanno lo stesso denominatore, non resta che sommare oppure sottrarre, a seconda dei casi, al numeratore. E alla fine, nel nostro esempio, si conclude che il risultato è 39 quarantaduesimi. Volendo, si può infine dare un'occhiata alla scomposizione in fattori primi del numeratore e del denominatore per verificare se compare qualche fattore in comune che possiamo a questo punto semplificare. Nel nostro esempio vedete sia il numeratore che il denominatore sono multipli di 3 e quindi possiamo dividerli entrambi per 3 ottenendo quindi la frazione ridotta ai minimi termini, nel nostro esempio 13 quattordicesimi.
Appurato questo supponiamo che ci chiedano di semplificare il più possibile l'espressione che vedete qui, in cui compaiono sia una somma che una sottrazione di frazioni algebriche. Per farlo, procedendo in maniera simile a quello che abbiamo visto poco fa, la prima cosa da fare è scomporre i denominatori e quindi l'x quadro meno 2x meno 63 che abbiamo come denominatore della terza frazione possiamo riscrivercelo come x più 7 per x meno 9. Come infatti abbiamo visto nel dettaglio nei video dedicati alle scomposizioni, per scomporre un trinomio di secondo grado come questo, dobbiamo cercare due numeri che hanno come prodotto il termine noto, che nel nostro caso è meno 63, e come somma meno 2, ovvero il coefficiente del termine di primo grado. E se ci pensate un attimo, questi due numeri sono 7 e meno 9, da cui la scomposizione.
A questo punto, esattamente come abbiamo fatto prima per le frazioni che avevano numeri al denominatore, ci conviene determinare il minimo comune multiplo dei nostri denominatori. E per farlo, prendiamo tutti i fattori che compaiono in almeno uno dei denominatori, una sola volta con l'esponente più grande disponibile. Dando un'occhiata ai nostri denominatori, vedete che i fattori che abbiamo sono solo due, cioè questo x più 7 e questo x meno 9. E qui vedete ce li ritroviamo entrambi.
Dunque come denominatore comune possiamo prendere x più 7 per x meno 9. A questo punto si tratta di riscriversi queste tre frazioni sotto forma di frazioni equivalenti a 20 tutte per denominatore x più 7 per x meno 9. E per capire come si può fare questa operazione diamo un attimo un'occhiata all'esempio precedente. Vedete che qui abbiamo 42 diviso 7 che fa 6 che va moltiplicato per quello che c'era sopra che in questo caso è un altro 6. Poi abbiamo un 42 diviso 6 che fa 7 e questo 7 va moltiplicato per l'1 che c'era sopra. Dunque ecco questo 7 per 1. E infine abbiamo 42 diviso 21 che fa 2 e questo 2 lo dobbiamo moltiplicare per il 5 che c'era sopra.
Ed ecco perché qui ho scritto 2 per 5. Similmente nel nostro esempio con le frazioni algebriche avremo x più 7 per x meno 9 che va diviso per x più 7. e il risultato naturalmente x meno 9, cioè il fattore che manca. E questo risultato lo dobbiamo moltiplicare per quello che c'era al numeratore della frazione, ovvero 2x meno 5. Dunque otteniamo questo primo prodotto qui. Passando alla seconda frazione, si tratterà di fare x più 7 per x meno 9 diviso x meno 9, e quindi questa volta ci resta x più 7, e questo x più 7 lo dobbiamo moltiplicare per il numeratore della seconda frazione.
Ed ecco quindi questo secondo prodotto qui. Mentre per quanto riguarda la terza frazione, dobbiamo fare x più 7 per x meno 9 diviso x più 7 per x meno 9, il che naturalmente fa 1, e poi moltiplicare quest'uno per il numeratore della frazione. Solo che ovviamente moltiplicare per 1 è inutile, quindi ci ritroviamo esattamente il numeratore della frazione. Arrivati a questo punto, esattamente come accadeva nell'esempio precedente, non ci resta che svolgere i prodotti al numeratore e poi eseguire la somma e la differenza. E se lo facciamo, si conclude che il risultato è la frazione che vedete qui sotto, ovvero x quadrato meno 18x più 81 diviso x più 7 per x meno 9. Per cercare di semplificarla, ci conviene scomporre anche il suo numeratore, che vedete è il quadrato di x meno 9. E a questo punto, se semplifico l'x meno 9 che ho al denominatore con uno dei due fattori x meno 9 che ho al numeratore, concludo che il risultato è la frazione algebrica x meno 9 diviso x più 7. E quindi, come vedete, i passaggi che abbiamo fatto sono sostanzialmente molto simili a quelli che abbiamo fatto nell'esempio precedente, che riguardava invece frazioni come quelle con cui siamo abituati a lavorare fino dalle medie.
Prima di chiudere l'esercizio, mi raccomando... è sempre opportuno, quando si lavora con le frazioni algebriche, dare un'occhiata alle condizioni di esistenza. E quindi nel nostro esempio dobbiamo chiederci per quali valori di x la frazione algebrica che abbiamo ottenuto alla fine è effettivamente equivalente all'espressione che avevamo all'inizio.
Se diamo un'occhiata ai nostri denominatori, vedete che le condizioni da imporre sono x diverso da meno 7, valore per cui si annullano il denominatore della prima e della terza frazione, e x diverso da 9. valore che annulla invece il denominatore della seconda e della terza frazione. Dunque la frazione che abbiamo ottenuto e l'espressione di partenza sono equivalenti per x diverso da meno 7 e per x diverso da 9. Ed equivalenti, ricordo, significa che se andassimo a sostituire al posto della variabile x un numero qui oppure alla fine, otterremmo come risultato lo stesso numero. E questo è vero per qualunque numero noi mettiamo al posto della variabile x. tranne meno 7 e 9. Appurato questo, diamo adesso un'occhiata alla moltiplicazione. E vedete che innanzitutto vi ho riportato come prima un esempio numerico svolto.
Come vedete, per eseguire questa moltiplicazione mi sono scomposto i miei denominatori e i miei numeratori e poi sono andato a vedere se c'era qualche fattore in comune tra uno dei termini al numeratore e uno dei termini al denominatore. Ad esempio, vedete, qui avevo un 3 e qui sotto un 3 alla seconda. E quindi ho semplificato il 3 con il quadrato e quindi mi è rimasto un 3 di sotto. Similmente questo 4 che mi ero riscritto come 2 alla seconda l'ho semplificato con il 2 alla terza che avevo al numeratore della seconda frazione e naturalmente 2 alla terza diviso 2 alla seconda fa 2. Di conseguenza il risultato che ottengo alla fine è 2 terzi.
Naturalmente nel caso di numeratori e denominatori così piccoli uno di solito non sta neanche a scrivere la scomposizione in fattori ed esegue direttamente a mente i calcoli, giungendo quindi alla soluzione 2 terzi senza scrivere questo step intermedio. Ma ci tenevo a lasciarvelo per farvi vedere che adesso, con le frazioni algebriche, si segue sostanzialmente la stessa strategia. Supponiamo infatti che ci venga chiesto di moltiplicare queste due frazioni algebriche.
Come possiamo procedere? Beh allora innanzitutto, esattamente come abbiamo visto poco fa... procediamo a scomporre i numeratori e i denominatori.
E quindi abbiamo un x quadro meno 2x più 1 che diventa x meno 1 al quadrato, un x quadro meno 4 che è una differenza di quadrati e che ci possiamo riscrivere come x meno 2 per x più 2, un x quadro più 3x più 2 che è un trinomio di secondo grado che si scompone come x più 1 per x più 2 e al denominatore un x quadro meno x in cui possiamo raccogliere una x ottenendo come risultato x che moltiplica x meno 1. A questo punto, vedete, possiamo semplificare l'x meno 1 che abbiamo qui sotto con il quadrato qui sopra, perché qui è come se avessimo due fattori x meno 1, no? E poi possiamo semplificare l'x più 2 che c'era al numeratore della seconda frazione con l'x più 2 che avevamo al denominatore della prima. E quindi possiamo concludere che la frazione che otteniamo come risultato è quella che vedete qui. Volendo, possiamo a questo punto svolgere i prodotti al numeratore e al denominatore ed iscriverci la frazione in questa forma equivalente qui.
Ma non è che la cosa sia strettamente necessaria. Quello che invece è assolutamente opportuno fare sono le condizioni di esistenza. E dando un'occhiata ai denominatori, che abbiamo scomposto in questo modo qui, possiamo concludere che le condizioni da imporre sono x diverso da più o meno 2, che sarebbero i due valori che annullano il denominatore della prima frazione, e x diverso da 0 e da 1, che sono invece i valori che annullano il denominatore della seconda frazione. Come vedete quindi, al di là delle condizioni di esistenza, la moltiplicazione tra frazioni algebriche si fa sostanzialmente allo stesso modo della moltiplicazione tra frazioni a cui siamo tutti abituati fino dalla scuola media. Detto questo ragazzi, io per il momento ho terminato.
Concluderemo il discorso sulle frazioni algebriche nel prossimo video dove parleremo di divisione, elevamento a potenza e vedremo alcune cose a cui bisogna assolutamente stare attenti. Come sempre, se trovate utili queste lezioni ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarmi su Facebook ed Instagram e se non l'avete già fatto iscrivetevi al canale dove presto arriveranno moltissimi altri video.