Dobrý den, přátelé! Přeji vám krásné, zasněžené ráno. Dneska si budeme povídat o logaritmech. Proč o logaritmech? Protože logaritmy, jako dost často, mám takový pocit, že způsobují trošku lidem problémy.
Je to taková záhadná věc a moc se o tom, jako lidi to moc nemají rádi. Tak si tomu dneska pokusíme spolu trošku přijít na kloup. Tak. Když jsem byl na střední škole, tak nás jeden náš profesor, který jsme vůbec neměli rádi, nutil opakovat jednu větu, takovou jednu formulku, furt dokola a dokola a dokola a dokola. A my si tu formulku za chvilku napíšeme, jsme ho za to nenáviděli.
A dneska jsem už strašně vděčnej, protože kdykoliv zapomínu, jak mám spočítat logaritmus, tak si spojím na tu formulku a tu větu jednu. A však... Všechno je hnedka úplně jasný.
Takže co to je logaritmus? Já to napíšu takhle. Y, takže jako funkce, Y rovná se logaritmus o základu A z nějakého čísla X.
Zmna. Je to jak asi funkce, která má nějaký základ A, dělá míst čísla X a výsledek je Y. Takže ono, abych...
Logaritmus je číslo, na které musíme umocnit základ. Abychom dostali číslo logaritmované. Tak, ještě jednou, jo, mluvám se, že to je takový to.
Logaritmus je číslo, na které musíme umocnit základ. abychom dostali číslo logaritmované. To znamená logaritmus od základu a z x, nebo je to i y, to znamená, to je to logaritmus je číslo, to je to y. na které musíme umocnit základ, to je to A, základ A, abychom dostali číslo logaritmované, neboli to X.
Takže když chci dostat X a základ, musím umocnit na ten logaritmus, to znamená na to Y. Tak. Čili, když třeba mám za rukou vypočítat logaritmus o základu 2 z 8, tak si říkám, dobře, tak výsledek, ten logaritmus je číslo, na které já musím umocnit ten základ, to znamená tu dvojku, abych dostal osmičku. To znamená, 2 na něco je 8. A si kám si 2 na kolik? 2 na 3 je 8, takže ten logaritmus bude 3. Já si to píšu tak, že logaritmus o západu 2 z 8 je 3, protože 2 na třetí je 8. Jo?
Jiný příklad. Logaritmus o základu jedna polovina ze šestnácti jo? Je A teď, kolik? Na kolik já to musím umocnit jednu polovinu, abych dostal 16?
No, to už může být složitější, ale je to na minus čtvrtou. Proč na minus čtvrtou? No, protože jedna polovina na minus čtvrtou je, že když mějí na něco na minus, tak se mi ten tlomek otočí.
Zná to je dvě na čtvrtou a to je šestnáct. Jo? Takže jakýmhle způsobem já přemýšlím o tom logaritmu. Nakoliká to musím umocnit ten základ, abych dostal to logaritmované číslo?
A to je ten výsledek. Tak. Teď si to tady hrda trošku smáznu a udělám to tak, Uděláme si tady nějaké příklady. Budu to psát trošku menší, dětstvený, to sem toho vejde víc. Takže, pojďme si dát třeba logaritmus o základu 3 z...
81. Tak, na kolikátou musím umocnit trojku, abych dostal 81? No, 3 na druhou je 9, 3 na třetí je 27, 3 na čtvrtou je 81. Trojku musím umocnit na čtvrtou, aby dostal 81. Proto je logaritmus o základu 3 z 81 rovný 4. Jo, protože 3 na čtvrtou je 81. Další logaritmus o základu 5 z jedné dvaceti pětiny. Jo, je kolik? Zase ptám se, na kolikáto musím umocnit pětku, abych dostal... 1,25.
Když pětku umocním na druhou, dostanu 25. Když pětku umocním na mínus druhou, dostanu 1,25. Takže logaritmus o základu 5 z 1,25 je mínus 2. A poslední logaritmus o základu...... Tak a ne, dáme si jednou logaritmus z tisíce rovná se tak.
Najednou tady nemám základ, že jo? Tak, co to znamená? Když tady není základ, tak to znamená, že ten základ je deset, že to je takzvaný dekadický logaritmus, jo?
Máme si tak kusivu... takže budeme říkat speciálně nějaký logaritmy. Ale když tady ten logaritmus není, tak je to jako kdyby tam byla desítka, tak já si ji sem napíšu. A na kolik já tu musím umocnit deset desítků, abych dostal tisíc? No na třetí.
Ne? 10 x 10 je 100 x 10 je 1000. Takže ten výsledek je 3. Protože 10 na třetí je 1000. Jo? Tak. Teď si ukážeme ještě nějaký malinko složitější logaritmy. A...
Tak. Ale pořád ta otázka zní, pokud počítám logaritmus o nějakém základu, tak ta otázka pořád zní, nakoliká to musím umocnit ten základ. abych dostal to číslo logaritmované.
Tak, co kdybych tady třeba napsal? Logaritmus po základu 2 z odmocniny z 8. Jo? Tak, na kolikátor musím umocnit dvojku, abych dostal odmocniny z 8? Jo?
V podstatě já si to tady můžu napsat, že vlastně 2 na x to... 2 na y je odmocnina z 8. A co to je odmocnina z 8? To je 2 na 3, z toho odmocnina má to celé na 1 polovinu.
Takže to je 2 na 3 poloviny. Takže 2 na y je 2 na 3 poloviny, to znamená, že to y jsou 3 poloviny. A už je 3 poloviny.
Protože 2 na 3 poloviny je 2 odmocnina z 2 na 3. Já vím, že jsem ještě nenatáčel žádný video na práci s odmocninová odmocnina, mám to v úmyslu. Nicméně obecně žijí taková vsuvka. A ta odmocnina z x na b je x na b lomeno a. Já doufám, že je to přečtení.
Mocninu nahoru, odmocninu do září. Můžu takhle psát. Kvapsu.
Takový vzoreček na počítání odmocnina. A moc. Takže mažu.
Takže takovým způsobem. Čili když já si nevím radej, jak spočítat ten logaritmus, tak můžu využít tohoto vztahu. Že a na y, to znamená a na ten výsledek, na ten logaritmus, je rovný tomu x.
Exponentialní rovnici. Jo? A vím, že jsem exponencialní rovnici taky ještě nenatáčel, ale nebojte se, natočím je. Jo?
A právě jsem si říkal, že ty logaritmy jako trápí lidi trošku víc, takže jsem nejdřív natočil logaritmy. Exponentiali by měli nátočit. a nasledovat v zápětí. Tak, dobře.
Takže tohle je o těch logaritmech základ, nebo jak se počítají. Já si tady tu magickou formulu... Logaritmus je číslo, na které musíme umocnit základ, abychom dostali číslo logaritmované.
Já si ji tady schovám, pořád ji budu používat. Přátelé ani nevíte, jaký noční můj ryby mi způsobila. Nicméně, mě museli stokrát opisovat do sešitu a tak. Ale evidentně to zafungovalo a dneska si k tomu vracím.
Takže to asi zase nebylo až tak úplně blbě. Ráda že nás to takhle konu tělno. Jak je to s těma základama?
Často vidíte jen log x. Logaritmus x. Tak přátelé, tohle znamená, že je to ten dekadický logaritmus.
Dekadický znamená o základu 10. To znamená, ten základ je 10. Vysokoškoláci velmi často potkávají... Ln. Co to je Ln? To je takzvaný přirozený logaritmus, nebo logaritmus o základu e. A co je toto e?
e je Eulerovo číslo a jeho hodnota je přibližně 2,71. Až někdy nebudu mít co dělat a nebudou další témata, které bych chtěl... tak natočím něco o L. To je strašně zajímavé číslo, je to jedno z nejdůležitějších čísel matematiky společně s číslem pi a s číslem třeba 0. Ohromně zajímavé číslo, má, že se tým dívám, velmi zajímavá historie a má velmi zajímavé vlastnosti, jako hluboké matematické vlastnosti.
Má nekonečný desetinej rozvoj a... Není to jítom základ až tak podstatný, nicméně když uvidíte někde ln x, tak to znamená, že to je přirozený logaritmus a vlastně tím základem je číslo e. No a všechny ostatní logaritmy se už musí samozřejmě psát. Jo?
Tak. Jako všechny jiný ty základy. Dobře.
Teď si povíme něco o těch základech. To znamená, jaký ten základ... ten logaritmus může mít.
To Ačko musí být vždycky větší než 0 a to Ačko musí být různé od 1. Proč to tak je? No, protože já tvrdím, že A na Y je X a jak si budeme ukazovat tu exponenciáli, tak exponenciální funkce je definovaná, když to Ačko je kladné. Jo, a Pokud by náhodou byla jednička, tak jedna na cokoli je pořád jedna. Takže to bychom se nikam nedostali. To by bylo v podstatě, kdyby ten logaritmus měl...
To by nemělo řešení. Kdyby tady byla jednička, tak jediná možnost, kterou bychom se mohli dát, by byla jedna na cokoli jedna. Takže jen jedničku bychom tam mohli dát. A proč se tam nesmí dávat záporné čísla, proč to A musí být kladné?
No, protože představte si, že bychom tady měli minus jednu polovinu, jo, a chtěli bychom to umocnit třeba na jednu polovinu, jo, to znamená, že bychom vlastně chtěli odmocňovat, že jo. a zákonní čísla nejdou odmocňovat. Respektive nejdou v reálných čísech.
A my se pohybujeme v reálných čísech. Takže proto je tady tohleto omezení na ten rozděl. Jak vypadá graf logaritmů? Já už si tu formálu zmažu, ještě jednou něco páchnu.
Logaritmus je číslo, na které musíme umocnit základ, abychom dostali číslo logaritmované. Někam si ji napište. A když nebudete vidět kudy kam, tak taky použijte. Tak, jak vypadá graf logaritmu? No, já bych tady mohl načetnout hnedka ten graf, jo, ale radši pojďme si to, pojďme si to, jako ukázat, pojďme si to...
Když chci vědět graf nějakých funkce, nejlepší je, když si nakreslím tabulku hodnot, vypočítám si pár bodů a ten graf si nadšetnu. Já si budu chtít kreslit graf funkce. logaritmus o základu 2 z x. Napíšu si x, napíšu si logaritmus o základu 2 z x a jdu si spočítat nějaké hodnoty.
1, 2, 4, 8, 1,5, 1,4, 1,8. Tak, logaritmus o základu 2 z 1. Na kolikátor musím umocnit dvojku, abych dostal jedna? Na nultou.
Na kolikátor musím umocnit dvojku, abych dostal dvojku? Na prvou. Na kolikátor musím umocnit dvojku, abych dostal štěstku? Na druhou. Na třetí.
Jednu polovinu dostanu jako dvě na mínus prvou, mínus druhou, mínus třetí. Tak, čili můžu si tady kreslit to nějakým způsobem ten graf, že jo. Tak, koukám, že tužka už taky asi dopisuje, vzborně.
Tak, jednička, dvojka, čtyřka, osmička. A co jsem to chtěl? 1, 2, 3, minus 1, minus 2, minus 3. Tak, v bodě 1 máme hodnotu 0, takže tady je budík.
V bodě 2 máme hodnotu 1. Takže tady je bodík. V bodě 4 máme hodnotu 2, takže tady je bodík. V bodě 8 máme hodnotu 3, takže tady je bodík. V bodě 1 polovina máme hodnotu minus 1, v bodě 1 čtvrtina máme hodnotu minus 2, 1 osmina minus 3. Takže jak vypadá ten gráf, já si na to stručím, tak se mi to překreslí. Tak, ten graf vypadá tímhle svým způsobem.
Tady nám stoupá jako do nekonečna, jednak tak do nekonečna, jednak i nahoru do nekonečna, ale je to velmi pomalu rostoucí funkce. se nám klesá hodnotově do mínus nekonečná a co se týče xů, pořád se nám přibližuje k nule, ale nikdy to nedosahne nuly. Logaritmus, když se budeme bavit o definičním oboru logaritmu, tak definiční obor logaritmu je od 0 do nekonečna. Bez té 0. To znamená, nikdy se mi to nedotkne té osy x.
Protože zkuste si říct, kdybych chtěl tam dávat 0, na kolikátou musím umocnit základ a abych dostal, řekněme dvojku, na kolikátou musím umocnit dvojku, abych dostal 0. Jo? To se mi nikdy nepodaří. Proto ten logaritmus není v nule definován a v záporných číslech samozřejmě také ne.
Protože proč? Kdybych si řekl, na polikáto musím umocnit dvojku, abych dostal minus dva. Tak vy víte, že dvě na cokoliv je přece hlavné číslo. Takže nikdy nemůžu dostat záporný.
Minus dvě třeba. Tak. Takže takovýmto způsobem vypadá graf logaritmu. A tenhle logaritmus je roztoucí, protože ten základ byl dvě.
Ten základ je větší než nula. Jo, teda co to kecám, větší než jedna samozřejmě. Jo, větší než jedna. Když je základ logaritmu větší než jedna, tak ten logaritmus je roztoucí.
Kdybychom si udělali úplně stejnou tabulku pro logaritmus o základu jedna polovina, tak by ten logaritmus měl... by byl graf klesající a vypadal by úplně obráceně. A ten logaritmus, já ho tady nakreslím, snad mi tady vyjde prostor.
Hejdl by asi měl tu jedničku a vypadal by nějak takhle. Zhruba. Plus minus autobus.
Zkrátka byl by klesající. Přátelé, každý logaritmus, o jakémkoliv základě, Prochází bodem 1,0. Tímhle bodem na ose x vždycky prochází dítničko. Tak, čili víme jak logaritmus vypadá, víme jak se spočítá, víme jaký může být ten základ, známe definiční obor, a dále by to asi chtělo si říct nějaké věci o tom, jak se s těma logaritmama počítá, nějaký pravidlí dokáže, nějaké vztahy, vzorečky a tak dále.
ale to už nadspůj do toho dalšího videa. Takže přátelé, mějte se hezky a u dalšího videa se vidím. Naschledanou.
A protože tady dneska nemám svůj kameramanku, tak si to musím vypnout sám.