L'insiemistica è una parte della matematica che ha un notevole peso, soprattutto negli ultimi due secoli, all'interno della disciplina. In questa lezione ci occuperemo dei primi rudimenti legati all'insiemistica, ovvero alle operazioni che si possono fare tra insiemi. Daremo sempre per scontato alcune nozioni legate all'insieme stesso, ovvero una collezione di oggetti che condivide determinate caratteristiche comuni.
Questa collezione di oggetti viene individuata all'interno di un contesto più ampio che indicheremo come insieme universo. Pertanto all'interno dell'insieme universo contenente un certo tipo di oggetti individueremo degli insiemi, dei sotto insiemi diversi che conterranno elementi dell'universo accomunati da una certa caratteristica. Le operazioni che andremo ad affrontare saranno nell'ordine il complementare di un insieme l'unione di due insiemi, l'intersezione di due insiemi e la differenza insiemistica tra due insiemi.
Il complementare di A è quell'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A. Nel caso rappresentato in figura, noi possiamo notare che gli elementi che non appartengono ad A sono tutti quelli che si trovano al di fuori del diagramma che rappresenta l'insieme A stesso pertanto quando lo andiamo a raffigurare graficamente ecco che ci troviamo di fronte a questa rappresentazione ovvero l'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A in questo caso si noti che essendo B completamente disgiunto dall'insieme A è completamente contenuto nel complementare di A La cosa è reciproca nel momento stesso in cui consideriamo il complementare di B. Se tuttavia andiamo a considerare gli insiemi A e B come parzialmente sovrapposti, quindi con un'intersezione non vuota, ecco che non tutto A appartiene al complementare di B o, considerando il complementare di A, non tutto l'insieme B è contenuto nel complementare di A. Una situazione leggermente diversa si ha nel momento stesso in cui gli insiemi A e B risultano uno sotto insieme dell'altro. In questo caso A è sotto insieme di B e quando consideriamo il suo complementare otteniamo che una parte dell'insieme B, quella diversa da A, appartiene al complementare di A.
Se invece consideriamo il complementare di B, essendo A un suo sotto insieme, viene completamente escluso dal complementare di B stesso. L'unione tra due insiemi contiene tutti quegli elementi dell'universo che appartengono all'insieme A oppure all'insieme B. Nel caso in cui i due insiemi siano disgiunti, ritroviamo che la rappresentazione grafica andrà a colorare entrambi gli insiemi presi in considerazione.
Tuttavia, se i due insiemi sono parzialmente sovrapposti, cioè con un'intersezione non vuota, la parte in comune, la parte corrispondente agli elementi che stanno in entrambi gli insiemi, verrà semplicemente considerata una volta sola, non ci dovrà essere la ripetizione degli elementi in comune tra A e B. Nel caso in cui andiamo a considerare invece A come sotto insieme di B, quindi già contenuto all'interno dell'insieme B notiamo che l'unione di questi due insiemi andrà a coincidere con l'insieme B stesso l'intersezione di due insiemi contiene tutti quegli elementi dell'universo che appartengano sia al primo insieme che al secondo insieme B ovvero tutti quegli elementi che sono condivisi da entrambi gli insiemi Se gli insiemi sono disgiunti, il diagramma che rappresenta l'intersezione di essi non sarà altro che il diagramma vuoto, poiché essi non hanno alcun elemento in comune. Non comparirà nessuna parte colorata nel nostro universo ad indicare l'intersezione di A e B.
Ciò non è vero nel momento stesso in cui i due insiemi si sovrappongono parzialmente. La parte di sovrapposizione sarà quella contenente gli elementi dell'intersezione di A con B. Ancor più particolare è il caso in cui A sia un sottoinsieme di B, sia completamente contenuto nell'insieme B.
In questo caso, andando ad intersecare A con B, andiamo ad individuare tutti e soli gli elementi di A, non uno di più. non uno di meno il complementare di A è quell'insieme di tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A nel caso rappresentato in figura noi possiamo notare che gli elementi che non appartengono ad A sono tutti quelli che si trovano al di fuori del diagramma che rappresenta l'insieme A stesso pertanto quando lo andiamo a raffigurare graficamente ecco che ci troviamo di fronte a questa rappresentazione ovvero gli insiemi di tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A in questo caso si noti che essendo B completamente disgiunto dall'insieme A è completamente contenuto nel complementare di A la cosa è reciproca nel momento stesso in cui consideriamo il complementare di B se tuttavia andiamo a considerare gli insiemi A e B come parzialmente sovrapposti, quindi con un'intersezione non vuota, ecco che non tutto A appartiene al complementare di B o, considerando il complementare di A, non tutto l'insieme B è contenuto nel complementare di A. Una situazione leggermente diversa si ha nel momento stesso in cui gli insiemi A e B risultano uno sotto insieme dell'altro.
In questo caso A è sotto insieme di B. e quando consideriamo il suo complementare otteniamo che una parte dell'insieme B quella diversa da A appartiene al complementare di A se invece consideriamo il complementare di B essendo A un sosseto insieme viene completamente escluso dal complementare di B stesso