Einführung in Ganzrationale Funktionen

Definition

• Ganzrationale Funktionen sind oft als Polynome bekannt.
• Sie bestehen aus Termen mit variablen Potenzen (Exponenten).
• Beispielhafte Funktionen: ( f(x) ), ( g(x) ), ( h(x) ).

Struktur einer Ganzrationalen Funktion

Allgemeine Form

• ( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 )
• ( x ) ist die Variable.
• Die Exponenten ( n, n-1, ..., 1, 0 ) sind natürliche Zahlen.
• Die Koeffizienten ( a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 ) sind reelle Zahlen.

Wichtige Begriffe

• Koeffizienten: Vorfaktoren vor den ( x )-Potenztermen (können positiv, negativ, oder irrational sein).
• Grad der Funktion: Höchster Exponent in der Funktion.

Beispiele für Koeffizienten und Grade

• Beispiel: ( f(x) = 5x^5 + 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 4x + 2 )
  • Grad: 5 (höchster Exponent)
  • Koeffizienten: 5, 2, -3, 1, -4, 2
• Beispiel: ( g(x) = \pi x^3 - 12x^2 + 14.3x - 10 )
  • Grad: 3
  • Koeffizienten: ( \pi, -12, 14.3, -10 )
• Beispiel: ( h(x) = 2x^5 - x^3 + 2 )
  • Grad: 5
  • Koeffizienten: 2, 0, -1, 0, 0, 2

Besondere Hinweise

• Ein Koeffizient kann 0 sein, aber der größte Exponent darf nicht mit einem Koeffizienten von 0 verbunden sein.
• Wenn der Exponent im Nenner steht oder ein Bruch bzw. negative Zahl ist, handelt es sich nicht um eine ganzrationale Funktion.

Nicht-Beispiele

• ( x ) als Exponent: nicht erlaubt.
• ( x ) unter einer Wurzel oder als negativer Exponent: nicht erlaubt.

Zusammenfassung

• Ganzrationale Funktionen bestehen aus Potenzen von ( x ) mit natürlichen Exponenten.
• Koeffizienten sind reelle Zahlen, können auch negativ und irrational sein.
• Der Grad einer Funktion bestimmt sich durch den höchsten Exponenten.
• Wichtig für das Verständnis ist, dass keine negativen oder gebrochenen Exponenten erlaubt sind.