hallo herzlich willkommen zur Videoreihe zu ganzrationalen Funktionen wir wollen jetzt heute erstmal definieren was ist eigentlich eine ganzrationale Funktion du siehst hier schon ein paar und hier haben wir mal iPhone x wir haben einmal g von x und wir haben immer h von X das 3 sind alles ganz rationale Funktion und du wirst bestimmt schon ein Muster erkennen denn wir haben hier zum Beispiel ein X ein X ein X ein xnx über ein extra dabei hier auch xxx hier auch x und X und was du dann noch sehen solltest ist das hier quasi die oben die Exponenten absteigen sind wichtig bei x hoch nichts oben könnten wir uns noch eine eins oben denken dann x hoch eins das gleiche wie x ne wenn wir x einmal mit sich selbst multiplizieren bekommen wir x hier wäre im Prinzip auch noch ein X mit x hoch 0 und x^0 weißt du auch x^0 ist gleich 1 das heißt wir hätten hier einfach nur mal eins das heißt da können wir das x hoch 0 weglassen wichtig ist jetzt dass wir im Prinzip im hier quasi immer das X haben in grün dann haben wir hier quasi den Exponenten der ist eine natürliche Zahl UPS natürliche Zahl das heißt hier von fünf abwärts und was wir dann noch haben vor der Zahl vor dem X haben wir quasi immer einen sogenannten Koeffizienten der mal mehr oder weniger sichtbar ist hier haben wir quasi die Koeffizienten QF effizienten fifizienten das sind im Prinzip die Vorfaktoren was du hier immer siehst ist quasi plus 4 plus 2 minus 3 hier haben wir die 1 versteckt hier die -4 da die 2 und hier unten ist es im Prinzip ähnlich da haben wir auch bei G hoch 3 hoch 2 hoch 1 hoch 0 und wir haben dann hier auf wieder den Vorfaktoren das heißt hier haben wir vor Faktor PI hier haben wir vor Faktor - 12 Faktor 14.3 und hier haben wir vor Faktor quasi - 10 und hier beim letzten auch wieder zwei hier im Prinzip minus 1 und dann hätten wir hier noch die zwei du siehst quasi es gibt ein Muster und das sieht wie folgt aus jetzt kommt ein komplizierter Ausdruck das ist aber gar nicht so schlimm ich erkläre den einmal wir haben im Prinzip hier genau das musste was wir haben wir haben hier irgendwie ein alle x wieder die x sind hier wieder mit drinne und zwar habe ich ein paar ausgelassen das heißt wir haben zuerst AMX hoch n + am -1x^n-1 und dann sind die so ein paar Lücken bis es quasis unten erreicht und bei N fangen wir irgendwo zum Beispiel an zum Beispiel bei 5 dann hätten wir hier zum Beispiel A5 x^5 + a4x^4 + A3 x hoch 3 also ganz schwierig bis wir dann quasi hier landen bei a2x^2 + A1 x plus A0 und da siehst du jetzt auch schon wieder wir haben quasi ähm bei unserem Markierung hier oben auch wieder die Exponenten die haben wir hier quasi auch hier haben wir die xse und du siehst jetzt schon wir haben auch die Koeffizienten wieder hier die sind auch wieder mit dabei und die sind im Prinzip ganz wichtig weil wir müssen auf eine ein paar Sachen acht geben denn es kann zum Beispiel sein dass du die Koeffizienten angeben musst also hier wäre beim ersten gucken uns mal dieses Beispiel an wer A5 warum auch warum A5 weil hier der größte Exponent der ist 5 das heißt das hier ist auf jeden Fall A5 das heißt wir haben hier vier A4 ist da wo x hoch 4 steht also hier also da das wäre dann zwei auch drei wäre minus drei A4 wird Lars ich gehe hier falsche Richtung A2 ist gleich 1 A1 = -4 und 0 ist gleich 2 und hier hätten wissen Prinzip bin ich das hier wäre A3 das hier wäre A2 und das hier wäre A3 und das hier 1 A0 und jetzt denkst du hier beim letzten da ist ja ein bisschen was falsch gelaufen da sind irgendwie zu viele Lücken aber das ist gar nicht das Problem ist es kann auch sein dass man ein Faktor 0 sein kann das heißt wir hatten hier A5 ist gleich zwei dann haben wir A4 = 0 denn a dann Null mal x hoch 4 ergibt gleich 0 dann haben wir A3 = - 1 Art 2 ist auch gleich Null und A1 ist gleich Null und A0 ist gleich zwei das hier ist 0 0 das hier ist der zusammen mit dem -1 A3 und das hier hatten wir A5 und jetzt kommt noch eine wichtige Sache und das ist der sogenannte Grad einer Funktion der sogenannte Grad ich schreibe den hier mal mit hin der Grat ist einfach der höchste Exponent der Grad ist quasi der höchste Exponent höchster Exponent und da sagt man immer wenn der höchste exponente zum Beispiel hier bei F für F wäre der Grad der Grad von F im Prinzip 5 der Grad von G wer in dem Fall 3 und der Grad von H während dem Fall auch 5 und dann ist es ganz wichtig dass natürlich der größte Exponenten nicht nur sein darf das heißt wenn wir jetzt hier A5 haben dann ist natürlich dieser Exponent vor der x^5 nicht 0 das ist im Prinzip was sind exponentierte Funktion manchmal wird er gerade noch gesagt das ist der gerade n das ist die Frage genau endlich wieder hier oder da das ist quasi immer der höchste Exponent wir wollen mal kurz ein paar Beispiel angucken wo wir quasi keine ganzrationale Funktion haben und das siehst Du zum Beispiel hier rechts ähm da steht x oben im Exponenten das ist verboten das darf nicht sein hier steht x in der Wurzel das heißt es wäre im Prinzip nichts hoch einhalb wenn man nach dem potenzregeln geht darf auch nicht sein weil die Exponenten ja einen natürliche Zahl sein müssen und was sie auch ist noch eins durch x wäre zum Beispiel x hoch -1 ist das hier das gleiche das gleiche wäre auch für X Quadrat ist gleich x hoch -2 auch da ist x wieder keinen natürliche Zahl weil x muss größer gleich Null sein also haben wir hier ganz rationale Funktion wichtig als Koeffizienten darf alle stehen da dürfen negative Zahlen stehen also nur als Vorfaktoren dürfen negative Zahlen stehen da dürfen positive Zahlen stehen da dürfen Wurzeln stehen da dürfen irrationale Zahlen stehen also reelle Zahlen also alle reellen Zahlen dürfen da stehen gut soweit erstmal