Hola amigos de la ciencia y la tecnología, bienvenidos a Ingeniosos, el canal donde resolvemos problemas básicos de física, mecánica, electricidad o matemáticas de nivel de carrera y bachillerato. En el vídeo de hoy vamos a explicar cómo calcular las reacciones y leyes de esfuerzo y cómo dibujar los diagramas de vigas isostáticas con cargas puntuales y distribuidas, por lo que veremos los dos casos simples iniciales para afianzar el método, resolviendo después una viga de mayor complejidad. Empecemos.
Cuando se habla de calcular una viga nos referimos a... obtener los esfuerzos a los que está sometida en todos los puntos de la misma, para que sirvan de información para escoger después un perfil que los soporte y también para obtener los giros y deformaciones de la viga. Los esfuerzos en una viga en el plano son tres.
El esfuerzo axil, que es el generado por las fuerzas aplicadas en la dirección del eje de la viga, que crea tensiones normales y causa el alargamiento o acortamiento de la misma. El esfuerzo cortante, que es generado por las fuerzas en la dirección perpendicular al eje de la viga y crea tensiones tangenciales. Y por último tenemos el momento flector, que genera la flexión de la viga y está relacionado con la dirección de las cargas y su punto de aplicación. Antes de analizar una viga isoestática, tenemos que ver qué significa el concepto de isoestaticidad. En el plano tenemos tres ecuaciones estáticas, balance de fuerzas horizontal y vertical y balance de momentos.
Por lo tanto, una viga es isoestática si tiene restringido tres movimientos. Si existieran más restricciones, no dispondríamos de ecuaciones para obtenerlas y se trataría de una viga hiperestática. Os dejo un enlace al cálculo de este tipo de vigas.
Empecemos con el caso más simple. Una viga apoyada con una carga puntual. Esta viga es isostática, ya que el apoyo fijo en A restringe dos movimientos, mientras que la delizadera en B únicamente restringe el desplazamiento vertical, permitiéndolo horizontal.
Total, tres reacciones que son incógnitas. Lo primero que tenemos que hacer es el balance estático global, planteando las ecuaciones. En primer lugar, las fuerzas horizontales, tomando como sentido positivo hacia la derecha.
como sólo está la reacción r a x la igualamos a cero ahora las fuerzas verticales tomando como positivo el sentido ascendente tenemos la reacción r a y más la reacción en b menos la carga p todo igualado a cero por último hacemos el balance de momentos en un punto por ejemplo en el punto a ya que así las reacciones en a no generan momento porque su distancia es cero tomamos como sentido de giro positivo el antihorario así tenemos la reacción en b por la distancia l menos la carga P por la distancia A. De esta tercera ecuación ya podemos despejar RB y ahora sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos RAI. Si operamos sacando factor común la P y realizamos la operación del paréntesis vemos que la expresión de RAI es simétrica a la de RB, cambiando la distancia A por la B.
Ahora vamos a obtener los esfuerzos en la viga. Para ello la iremos partiendo en tramos dependiendo de las discontinuidades que encontremos. y con ello me refiero a apoyos intermedios o cargas. En este caso tendremos dos partes según la posición de la carga P.
En el primer tramo, justo antes de P, tendremos la reacción RAI únicamente. Siempre llamaremos X a la distancia entre el origen y el final del tramo, ya que así nuestras leyes van siempre referidas a la posición de la viga desde el origen. Como no hay cargas horizontales, no hay fuerza axil.
Para el cortante miramos fuerzas verticales. y en este caso tenemos el sentido positivo la reacción del apoyo. Por último, para el momento hay que multiplicar las fuerzas verticales por la distancia al final del tramo. En esta ocasión tenemos la reacción por la distancia x.
Una forma de comprobación es ver que si derivamos el momento respecto a x nos resulta la expresión del cortante. Pasamos al tramo siguiente, por lo que cortamos antes de llegar a b. Axil no tenemos ya que no hay cargas horizontales.
El cortante ahora es la reacción en a menos la carga P, que da como resultado el valor contrario a RB, lo cual nos sirve de comprobación para ver que si está bien. Por último, el momento flector es la reacción en A por X menos la carga P por X menos A. Podéis ver que si X es igual a L, el momento es 0, como debe ser al tratarse de un apoyo articulado, por lo que sí está bien hecho.
Finalmente, podemos dibujar los diagramas, corroborando todo lo que hemos dicho. Normalmente se dibujan los valores positivos por debajo del eje y los negativos por encima. Pasemos ahora a una viga con carga distribuida. Empezamos igual, haciendo el balance estático global.
La ecuación horizontal es similar al caso anterior al no haber cargas horizontales. Para la ecuación vertical tenemos en positivo las reacciones R a i y R b y en negativo la carga distribuida por su longitud. Para el caso de la ecuación de momentos en A, tenemos la reacción R b por L, que gira en sentido antihorario.
menos la carga distribuida por su longitud, que es L, que gira en sentido horario por la distancia de su centro de gravedad al punto A. Como el centro de gravedad está en la mitad, la distancia es L medios. Resolviendo el sistema, obtenemos las reacciones RAI y RB, que son idénticas e iguales a la mitad de la carga total.
Para obtener las leyes en este caso, solo tenemos un tramo, ya que no hay discontinuidades, por lo que dibujamos la viga cortada antes de B. El axil es nulo al no tener cargas horizontales. Para el cortante, tenemos la reacción RAI positiva, menos la carga que hemos acumulado, que es q por la distancia x.
Para el momento flector, tenemos en positivo la reacción r a y por la distancia x hasta el final del tramo, menos el momento generado por la carga acumulada, que es q por x por la distancia final, que será x medios, ya que el centro de gravedad está en la mitad. Si dibujamos los diagramas, vemos como el cortante es igual al valor de las reacciones en los extremos, mientras que el momento es nulo, siendo máximo en el centro. Vistos estos dos casos simples, vamos ahora con una viga más compleja, pero antes dejadme que os recuerde que tenéis muchos vídeos de vigas en el canal sobre giros y deformaciones, pórticos, dimensionamiento y más cosas. Aquí la tenemos.
Pues empezamos igual, con el balance estático global. En la ecuación horizontal solo está la reacción RAx. En la ecuación vertical tenemos las reacciones en positivo, menos la carga de 5 kN y la carga de 10 kN partido metro por la distancia total de 2 metros.
Para el balance de momentos en A, en sentido antihorario gira la reacción RB por 6 y en sentido negativo tenemos la carga de 5 kN por su distancia al punto A, que es 2, y la carga distribuida, que es 10 kN partido metro por 2 metros, por la distancia de su centro de gravedad al punto A, que será 5 metros. Resolviendo el sistema obtenemos RB y RAI. A continuación observamos que tenemos tres tramos para la definición de las leyes de esfuerzo.
El primer tramo lo cortamos antes de la carga de 5 kN, por lo que únicamente tenemos la reacción Rai. De esta manera, el axil es 0 y el cortante es igual a la reacción. El momento será la reacción Rai por la distancia X hasta la final del tramo. El segundo tramo lo cortamos antes de llegar a la carga distribuida, por lo que añadimos la carga puntual.
El axil es nuevamente nulo, al no tener fuerzas horizontales. Al cortante hay que añadir la reacción Rai que ya teníamos, la carga de 5 kN en negativo. Para el momento flector tenemos la reacción R a Y por la distancia X menos la carga de 5 kN por X menos 2. El último tramo lo cortamos antes de llegar a B, añadiendo una parte de carga distribuida. El axil es nulo otra vez y el cortante anterior añadimos la carga acumulada en negativo, que es 10 por X menos 4. Para el momento al final del tramo tendremos R a Y por X menos 5 kN por X menos 2 menos el momento generado por la carga distribuida.
Este es la carga acumulada, que es 10 por x menos 4, por la distancia del centro de gravedad al extremo final, que es x menos 4 partido por 2. Dibujando los diagramas, vemos como el cortante tiene el valor de las reacciones en A y B, siendo el momento nulo. Para terminar y como siempre, os dejo propuesta una viga isoestática para que obtengáis sus leyes de esfuerzo. Esto ha sido todo por hoy, muchas gracias por elegir el canal para seguir aprendiendo. podéis dejar cualquier pregunta en los comentarios o en la dirección de correo si queréis que resuelva algún otro tipo de ejercicio y estéis invitados a suscribiros. Gracias y recordad, en el saber nunca cabe la saciedad.
¡Hasta otra!