Fundamentos de Geometría - Criterios de Congruencia y Teoremas

Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Concepto

• Teorema: Dos triángulos con dos lados y el ángulo comprendido iguales son congruentes.
• Implica: El tercer lado y los otros ángulos son también iguales.

Demostración

• Considere dos triángulos ABC y DEF.
• Supongamos:
  • AB = DE
  • AC = DF
  • ∠BAC = ∠EDF
• Afirmamos: BC = EF y los triángulos serán congruentes.
• Utilizamos desplazamientos y giros en el plano para coincidir triángulos.
• Justificación visual y geométrica.

Ejemplo

• Triángulo ABC, AB = DE, AC = DF, y ∠BAC = ∠EDF.
• Trasladamos segmentos coincidiendo AB sobre DE y AC sobre DF.
• Resulta en que BC debe coincidir con EF.
• Los ángulos opuestos se demuestran iguales debido a la congruencia de los triángulos.
• Aplica principios como el teorema de la unicidad de líneas rectas entre puntos.

Triángulos Isósceles y Propiedades

Propiedad de Ángulos Iguales

• Teorema: En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.
• Extensión: Al prolongar los lados, los ángulos bajo la base también serán iguales.

Demostración

• Considere el triángulo isósceles ABC con AB = AC.
• Prolongue AB y AC hasta D y E respectivamente para formar segmentos extra BD y CE de igual longitud.
• Utiliza congruencia LAL para triángulos prolongados demostrando
  • CBA ≅ BCA
  • CBD ≅ BCE.

Ejemplo

• Prolongaciones sobre segmentos y formaciones de triángulos adicionales para visualización de igualdades angulares.
• Utiliza propiedades de segmentos y ángulos complementarios sobre rectas prolongadas.

Triángulos Equiláteros y Proporciones

• Corolario: Triángulo equilátero es también equiángulo.

Congruencia de Triángulos por Tres Lados (LLL)

Concepto

• Triángulos con tres lados iguales son congruentes.

Demostración

• Suponga AB = DE, AC = DF, y BC = EF.
• Llevamos segmentos y giros para demostrar igualdad.
• Uso de unicidad para puntos definidos en segmentos.

Bisectrices y Segmentos

Bisectriz de un Ángulo

• Teorema: Dividir un ángulo en dos partes iguales mediante una bisectriz.
• Método:
  • Marcar puntos sobre segmentos y trazar círculos de igual radio.
  • Construir triángulo equilátero relevante para determinar bisectriz.
  • Utilizar congruencia LLL para demostrar igualdad de ángulos.

Bisectriz de un Segmento

• Teorema: Dividir un segmento en dos partes iguales.
• Método:
  • Construir triángulo equilátero sobre el segmento.
  • Bisectar el ángulo opuesto y encontrar punto medio mediante recta auxiliar.

Aplicación de Principios

• Principios comunes de Euclides como unicidad de rectas y congruencia de triángulos aplicados en cada teorema.
• Ejercicios de demostraciones paso a paso involucrando postulados y nociones básicas.