Hola, en esta segunda sesión del curso de Fundamentos de Geometría, vamos a estudiar lo que la mayoría conoce como el primer criterio de congruencia de triángulos o criterio lado-ángulo-lado. Esto en los elementos de Euclides lo determinan como un teorema, aunque mucha gente lo da como si fuera simplemente otro postulado. Es cierto, podría ponerse como un postulado, sin embargo, basados en lo anterior, ellos pueden justificar este teorema. ¿Qué nos dice el teorema? Que si tenemos dos triángulos con dos lados respectivamente iguales e igual el ángulo comprendido por los lados iguales, entonces el tercer lado, que aquí llamamos la base, De los triángulos también serán respectivamente iguales y los otros ángulos restantes serán iguales entre sí y los dos triángulos serán iguales. Entonces, ¿qué hacemos? Pues consideramos dos triángulos, ABC, D y F, y suponemos que AB coincide con DE, que AC coincide con DF, y que el ángulo comprendido por los lados iguales, es decir, el ángulo en el vértice A, coincide con el ángulo en el vértice D, es decir, el ángulo BAC es igual al ángulo EDF. Entonces afirmamos que el tercer lado, aquí el lado que nos falta por comparar, es el que va de BAC, va a coincidir con el lado que va de E a F. Los triángulos serán iguales y en particular los ángulos que nos falta por comparar también serán iguales entre sí, es decir, el ángulo en el vértice B será igual al ángulo en el vértice E y el ángulo en el vértice C coincidirá con el ángulo en el vértice E. ¿Cuál es la idea de esta demostración? La idea de la demostración es la siguiente. Entonces supongamos que tenemos el triángulo, a este lado se llama A, en este punto es A, no es B. Vamos a ver, entonces este se llama A, no se llama B. Entonces vamos a suponer... que tenemos el lado AB igual al lado DE, que aquí lo hemos marcado en una línea, el lado AC igual al lado DF, y vamos a suponer también que el ángulo CAB o BAC, no me importa la orientación, que es el que estamos marcando así, coincide con el ángulo FDE o EDF, igual no me interesa la orientación, lo estamos marcando aquí. Entonces lo que afirmamos es que el lado BC que no tiene marca coincide con el lado EF, que el ángulo DEF coincide con el ángulo ABC, y que el ángulo EFD coincide con el ángulo BCA. Muy bien, entonces la idea básica es lo siguiente. Entonces ya sabemos que si tenemos un segmento, digamos el AB, y un punto arbitrario D, podemos trazar por... de un segmento de longitud igual a la B. Y de igual manera por el punto D, podemos trazar un segmento de longitud igual a la C. Entonces básicamente estamos pensando que estamos moviendo, como si fuera un fantasmita, nuestra figura hasta aquí. De manera que este lado que estamos indicando aquí con el cursor, coincida con este lado no tiene por qué coincidir aún con el de e pero ya quisimos que estos dos sean iguales pues sabemos que entonces este segmento que marcó aquí girando lo en la dirección apropiada puedo hacer que coincida con él mientras que haciendo también un giro, podemos hacer que este otro segmento, que es el AC, que es un poquito más largo, coincida con el DF. Y casualmente el ángulo por el que movemos va a ser exactamente... el mismo. ¿Ok? Entonces, la idea es que ya que tenemos este segmento, lo movemos para que coincida acá. Si no fuera así, si yo tuviera un segmento libre, por ejemplo, algo que se viera por decir algo, así, ¿no? entonces esta sería una línea y esta sería otra línea, pero si esta línea que obtuve al trazar un segmento igual al AB, por el punto D y girarlo para que su extremo coincida con E, si estas dos líneas rectas fueran diferentes, tendrían dos líneas rectas que circundan una misma región, lo cual no es posible. Entonces al llevar el segmento AB al punto D y girarlo para que coincida el punto B de aquí con E, pues el segmento AB trasladado, deberá coincidir con el segmento BE. Bueno, de igual manera, el segmento AC lo podemos llevar al punto D. Y entonces aquí obtenemos este nuevo punto. Y girando, como están. ambos tienen la misma longitud, entonces yo los puedo girar un determinado ángulo para que el segmento A'C', que es el que obtuve al trasladar al punto D, coincida con el punto F. Y de igual manera, si yo tuviese... Que al girarlo, el extremo D y el F coincidieran. pero hubiera un punto que no estuviera aquí, entonces tendría yo dos segmentos de línea recta que circundan una región, lo cual es imposible. Entonces podemos llevar el segmento AB para que coincida precisamente con el DE y el AC para que coincida precisamente con el DF. Y entonces... Como este ángulo CAB coincide con el FDE, pues este ángulo y este ángulo son iguales. Entonces, la recta BC afirmamos que también va a dar sobre la recta F, ya que si no fuera así, pues tendríamos la recta que obtuvimos de mover AB sobre la DE, la AC sobre la DF, entonces llevamos B al punto E, C al punto F, pero si estas dos rectas no coincidieran, tendríamos que dos rectas circundan una región, lo cual contradice una de nuestras nociones comunes, dos rectas no circundan una región, y por lo tanto, la recta BC al realizar este proceso fue a dar sobre la recta EF, pero al haber hecho eso, pues tenemos que el ángulo, tenemos que los dos triángulos coinciden, el que obtenemos el EDF y el que obtuvimos al mover el ABC, pero... si esto pasó, pues en particular el ángulo ABC coincide con el DEF, y el ángulo BCA coincide con el ángulo FD, y por ende los triángulos son iguales. Entonces, si se fijan, este es un razonamiento donde igual este triángulo lo pudimos haber obtenido de este lado, o reflejado con respecto a alguno de los lados, el razonamiento es el mismo. Estamos llevando el segmento AB sobre este segmento, el segmento AC sobre este segmento, estos ángulos coinciden, el segmento AC iría a dar sobre este otro, y por ende, al tener estas situaciones, estos triángulos deberían... de coincidir, entonces no me importa en qué parte del plano ubicamos todo esto, sabemos que los podemos mover a donde nosotros querramos. y tendríamos nuestro criterio de congruencia. Bueno, esta fue la idea, pero ahora hay que escribirlo, porque una cosa, dijimos, es lo que vemos, y otra cosa es demostrarlo, y la demostración requiere escribir. Bueno, entonces procedemos a escribir la demostración del criterio de congruencia lado-ángulo-lado. Entonces tenemos nuestra hipótesis, tenemos los triángulos ABC, D y F, de manera que el lado AB coincida con el lado DE. el ángulo AC coincida con, el lado AC coincida con el lado DF, y el ángulo BAC coincida con el ángulo EDF. Entonces lo que estamos afirmando es que el lado BC, que es el que se llamó base en el enunciado del teorema, coincide con el lado EF, el ángulo CBA coincide con el ángulo CED, Y el ángulo BCA coincide con el ángulo EFD. Entonces, ¿qué nos dice? Pues la idea de lo anterior es que podemos llevar el triángulo ABC y colocarlo sobre el DEF, de manera que el segmento AB quede sobre el DE y el AC quede sobre el DEF. ¿Ok? así es como va, no queda sobre el, entonces el AB sobre el DE, y como esta apertura es la misma, también vamos a poder llevar el AC sobre el DF. Bueno, ya que aplicamos el punto B sobre el punto E y el punto C, sobre el punto F, entonces la base BC deberá coincidir con la base F, ya que de no ser así, como dijimos hace un momento, tendría dos líneas rectas que van del punto E al punto F. Pero el hecho de que dos líneas rectas no circunden región, nos dice no solamente que hay una línea recta entre dos puntos, nos dice además que esa línea recta es única. ¿Ok? Y esta es la noción común número 9. Dos líneas rectas no circundan región. Por ende, el segmento BC va a dar sobre el segmento EF. Y así los triángulos coinciden, el ángulo CBA que aquí ha indicado con rojo coincide con el FED, también indicado en rojo, y el ángulo BCA, indicado en color negro, coincide con el ángulo FD, indicado en color negro. Pero eso es precisamente aquello que esperábamos demostrar. Esta ya no fue una construcción, esta ya fue una deducción, es una demostración. entonces ustedes tienen que justificar por qué pueden llevar un triángulo sobre el otro, que básicamente ya dijimos que es por este punto, puedo trazar un segmento de longitud igual a esta, y luego girarlo hasta que coincida con E, por este punto puedo trazar un segmento de longitud igual a la C, y moverlo a que coincide con F, y entonces como este ángulo y este ángulo coinciden, pues... básicamente me está diciendo que puedo llevar este triángulo sobre este otro. Entonces ustedes escriben los detallitos, ya saben. Bueno. Como consecuencia de este teorema, que es nuestro primer criterio de congruencia, lado-ángulo-lado, podemos demostrar que en los triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales. Y no sólo eso, si alargamos los lados del triángulo isósceles, los ángulos situados por debajo de la base también serán iguales entre sí. Entonces recuerden que solamente hemos definido isósceles, como un triángulo que tiene dos lados iguales. No dijimos dos lados iguales y dos ángulos iguales, solamente dijimos dos lados iguales. Este teorema nos afirma que los ángulos en la base también serán iguales. Entonces, ¿qué nos dice este teorema? Pues considera un triángulo isósceles ABC, de manera que los lados que parten de A, que son el AB y el AC, sean iguales. vamos a prolongar AB hasta un punto D, obteniendo el segmento BD, y la recta AC hasta un punto E, obteniendo el segmento CE. Entonces lo que afirmamos es que los ángulos en las bases, en los vértices, B y C son iguales, es decir, el ángulo ABC coincide con el ángulo ACB, y los ángulos debajo de la base, que son el CBD y el BCE, son iguales entre sí. Y para esto vamos a usar el criterio de congruencia lado-ángulo-lado demostrado anteriormente. Entonces vamos a dar primero la idea y después pasamos a hacer la demostración. Entonces para esto volvemos a trabajar con geogebra. Bueno, entonces consideremos nuestro triángulo isósceles ABC, de manera que el lado AB y el lado AC sean iguales. Entonces estamos afirmando que el ángulo CBA... y el ángulo BCA son iguales, y que si prolongamos el lado AB hasta un punto D, y el AC hasta un punto E, vamos a prolongarlos poquito, ya los prolongué, AB hasta D, y AC hasta E, entonces todos estos me quedaron alineaditos, Y no solo puedo prolongarlos, puedo pedir que la longitud de BD y la de CE coincida. Entonces lo que estamos afirmando también es el que el ángulo DBC y el ángulo ECB son iguales en 300. Estos de arriba son iguales y estos de abajo. son iguales. Entonces vamos a demostrar primero que los de abajo son iguales y después vamos a ver que también los de arriba son iguales. Entonces vamos a suponer por un momento que prolongamos BD, bueno prolongar, AB, hasta un punto E y a C, que es hasta un punto D y aquí abajo es hasta un punto E, de manera que BD y CE sean iguales. Esta es una parte importante de lo que estamos suponiendo. ¿Ok? Bueno, entonces ya que tenemos esto, entonces como dos puntos distintos determinan un segmento de recta, lo que podemos hacer ahora es lo siguiente. Entonces vamos a, aquí los segmentos, tomar el segmento que pasa por D y por C, y vamos a tomar el segmento que pasa por B y por E. Entonces, fíjense ahora que tenemos dos triángulos. Bueno, tenemos varios triángulos, pero en particular tenemos el triángulo ADC y tenemos el triángulo... A, E, B. Entonces, si ustedes se fijan en este triángulo ADC y en el triángulo AEB, pues el lado AD y el lado AE son iguales por construcción porque el lado AD es lo mismo que AB más BD. Por hipótesis AB coincide con AC y por construcción BD coincide con CE. Entonces ya tenemos que el AD coincide con el AE. Por hipótesis también el AB coincide... con el AC. Entonces ya tenemos que estos dos triángulos tienen iguales respectivamente dos lados, pero también tienen igual al ángulo BAE, que es lo mismo que el ángulo BAC, y el ángulo BAC es lo mismo que el ángulo CAB, y ese es lo mismo que el ángulo... CAD. Entonces el ángulo CAD coincide con el ángulo BAE. Pero entonces, por el criterio de congruencia lado-ángulo-lado, pues tenemos que el triángulo ADC coincide con el triángulo ADC, coincide con el triángulo A. E, B. Pero si ellos coinciden, sus ángulos son respectivamente iguales. Es decir, este ángulo coincide con este. Y, bueno, este coincide con el mismo. Y este otro ángulo, vamos a ponerle dos rayitas, coincide con este. otro ángulo, ¿sí? Entonces ahorita, pues me va a bastar con que estos dos ángulos sean iguales para la siguiente comparación. Entonces en nuestra siguiente comparación vamos a considerar el triángulo BCD y vamos a considerar el triángulo B. E, C. Entonces el B, D, C, perdón, B, C, D, y el C, B, E. Si quiero usar la misma notación. Entonces, por construcción, B, D coincide con C, E. por el criterio lado-ángulo-lado, este triángulo y este otro son iguales. En particular sus bases que son BE y CD son iguales, ¿ok? Entonces ya tenemos que este lado coincide con este. Y también tenemos que este otro lado... coincide con este, y tienen en común el ángulo BDC igual al ángulo BEC. Pero entonces de nuevo por el criterio de congruencia lado-ángulo-lado, que es nuestro criterio de más 4, tenemos que el triángulo BDC es congruente con el triángulo CBE. Así que para congruentes dije que iba a usar este símbolo. Pero si los triángulos son congruentes, pues sus lados correspondientes, las bases, que en este caso es BC, es igual a BC, que ya lo sabíamos, pero también nos dice que este ángulo y este ángulo coinciden, y que este chiquito de aquí... coincide con este chiquito de acá, ¿ok? El que me sirve es este. Porque esto ya nos está diciendo que los ángulos por debajo de la base son iguales entre sí. Entonces aquí ya concluimos, por lo tanto, que el ángulo CBE... coincide con el ángulo BCD. ¡Ah, qué bonito! Los ángulos de la base son iguales. Pero fíjense ustedes que si consideran ustedes la recta AD, entonces BC es una línea levantada sobre la recta AD, ¿sí? Entonces BC... Es una recta. Déjenme borrar lo anterior. Sobre la AD. Y también sobre la AE. ¡Ay, qué bonito! ¿Por qué? Porque sabemos que el ángulo ABC más el ángulo CBD, es lo mismo por hallarse sobre una línea recta, que el ángulo ACB, más el ángulo BCE. Pero el ángulo BCE... Acabamos de decir, C, B, aquí debe ser C, B, D. C, B, D son los que estoy marcando. Los otros también que eran los chiquitos, pero el que me interesa son los de debajo. El ángulo C, B, D es igual al ángulo B, C, E. O es C, B, ¿sí? Pero como este ángulo. CBD y este coinciden, pues concluimos que los ángulos sobre la base, que son el ABC y el ACB, son iguales. Entonces ya tenemos que este... y este son iguales. Entonces los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Entonces en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí. Bueno, ahorita sí ya hicimos un poquito más de descripción, pero pues hay que escribir toda, toda, toda, toda nuestra demostración. Procedemos a continuación. Bueno, entonces tenemos nuestro triángulo isósceles ABC con AB y AC, dos lados iguales. Entonces vamos a prolongar. la recta AB hasta un punto D, la recta AC hasta un punto E, y sobre estos segmentos B, D y C vamos a tomar puntos F y G, de manera que BF y CG sean exactamente iguales. Entonces, trazamos los segmentos FC. y BG, según describimos hace un momento, y tenemos por un lado este triángulo, y por el otro, este otro triángulo que quedó en verde. Pero por el teorema 4 del libro 1 de los elementos, como tenemos dos lados iguales, a saber el AF igual al AG y el AB igual al AC, y el ángulo BAG igual al CAF, puesto que toda cosa es igual a ella misma, y el ángulo es solamente la apertura que hay entre las dos líneas y no la longitud que tengan los segmentos, pues tenemos que el triángulo que tenía en azul y este que tengo en verde, son iguales, es decir, el AFC y el AVG son respectivamente iguales uno al otro. Pero si estos son iguales, pues en particular el ángulo AFC y el ángulo AGB coinciden, ¿ok? Y aquí los estamos marcando en color azul a los ángulos que coincidan. pero no solamente ellos coinciden, sino que también el lado CF y el lado BG son iguales entre sí, porque son las bases correspondientes a los triángulos que están dados en el inciso 3. Pero por hipótesis BF es igual a CG. Por construcción, el ángulo BFC es igual al CGB, FC es igual al lado BG, es decir, el triángulo, y aquí estamos marcando con rayitas, y el otro triángulo que quedó aquí en azulito, que son el BFC y el CGB, son iguales uno al otro. Pero si ellos son iguales, pues en particular, tenemos que los ángulos que aquí estoy marcando en rojo, los ángulos bajo la base, que son el FBC y el BCG, son iguales entre sí, pero sabemos que al estar levantada la recta BC sobre la AF, estos ángulos suman... suman dos rectos, es decir, son ángulos suplementarios. Y también al estar BC levantada sobre AG, pues tenemos que el ángulo ACB y el ángulo BCG suman dos rectos, es decir, son ángulos suplementarios. Más cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Y si de ambos lados de una igualdad restamos cosas iguales, iguales... los restos siguen siendo iguales, como esperábamos demostrar. Entonces, pues de nuevo ustedes tienen que justificar por escrito todas estas cosas que hemos ido mencionando. Por ejemplo, aquí es el postulado 2 que me permite prolongar un segmento de rectas con punto dado. Por la propiedad de densidad, que son nociones comunes, entre b y d puedo tomar un punto f y luego con centro en a y por f trazar un arco de línea. y a este punto donde corta a la recta prolongada todo lo que sea necesario a E, tocarle en un punto G. ¿Por qué? Porque el punto E pudo haber quedado aquí, pues la sigo prolongando hasta que llegue al punto G. Entonces ya tengo BF igual a CG, ya que AF y AG eran iguales. Nos seguimos usando las nociones comunes. Entonces ustedes tienen que ir llenando todos esos detallitos. Es un buen ejercicio para empezar. a hacer demostraciones. Como consecuencia de este teorema tenemos el siguiente colorado. Todo triángulo equilátero es equiangular. Ya dijimos que por definición isósceles significa dos lados iguales y el tercero desigual. Pero el argumento que hicimos en esta parte, pues me daba lo mismo si mi triángulo era... ¿O no era equilátero? Vamos a ver. Entonces. Sí. Ah, no quiero esta pantalla. Quiero la otra. Quiero la otra. Vamos a bajar esto un poquito. tuviera un triángulo equilátero, vamos a alejarnos un poquito más, fíjense que el argumento, si este lado coincide con este, pues es exactamente el mismo que hicimos para los triángulos isósceles, estos ángulos deben coincidir y por ende estos dos deberán ser iguales, y si ahora hacemos el argumento con respecto a este lado y este lado, si estos dos... son iguales, este ángulo y este ángulo también deberán ser iguales. Es decir, en los triángulos equiláteros, sus tres ángulos son iguales entre sí. Los triángulos equiláteros son equiangulares, ¿ok? Y esta es una consecuencia inmediata del teorema anterior. Bueno. De acuerdo con Thomas Heth, página 251, el teorema anterior también se conoce como el Pons Asinorum, que significa en nuestro idioma el puente de los astos. Entonces, la anécdota es, una interpretación sugiere que esto es probablemente debido al diagrama usado por Euclides en la demostración del resultado, que parece la cabeza de un burrito con sus... orejitas. Y otros dicen que es por el hecho de que es el primer resultado que requiere una... demostración muy formal, muy trabajada, donde se aplica recursivamente un criterio de congruencia. Entonces el criterio de congruencia fue la primera que fue en demostración estricta, no construcción. Y este es el primero que hace uso de todo lo que se está llevando. Entonces muchos dicen que por eso era el puente de los asmos, porque había gente que no podía distinguir que hay triángulos que sí son isósceles y otros que no son isósceles. Inclusive Euclides tenía dentro de sus obras Un libro que se encuentra ya perdido, pero está en las anécdotas, que contenía falacias. Esto es una serie de argumentos matemáticos que aparentemente estaban bien estructurados, pero tenían errores. Y entonces una de esas falacias era todos los triángulos son isósceles. Y por cierto, se las voy a poner de ejercicio. Ok, bueno, vamos a continuar con nuestro siguiente teorema. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro. Es decir, si en un triángulo tenemos dos ángulos iguales, nuestro triángulo necesariamente es isósceles. Entonces, ¿cómo va nuestro teorema? Entonces, ahora empecemos con un triángulo ABC, donde el ángulo ABC y el ángulo ACB son iguales. ¿Qué afirmamos? Pues que el lado opuesto al ángulo ABC, que es el lado AC, y el lado opuesto al ángulo ACB, que es el lado AB, son iguales entre sí. Entonces, vamos a ver cómo se demuestra este resultado. Bueno, entonces dibujemos un triángulo ABC donde el ángulo ABC y el ángulo ACB, que aquí estamos marcando, sean iguales. Lo que afirmamos es que el lado AC y el lado AB son iguales entre sí. Y este resultado lo vamos a demostrar por contradicción. Vamos a tratar de contradecir lo que tenemos anteriormente. Entonces supongamos que el lado AB y el lado AC, opuestos a los ángulos iguales, no son iguales. ¿Ok? Entonces por el principio de tricotomía sabemos que si tenemos dos magnitudes, se cumple... una y solamente una de las siguientes condiciones. AB es igual a AC, AB es mayor que AC o AB es menor que AC. Entonces, como AB y AC no coinciden, pues significa que AB es menor que AC, o bien, AB es mayor que AC. cualquiera de estos dos argumentos nos va a permitir llegar a nuestra contradicción. Muy bien, ¿qué pasa si AB fuera más pequeño, si este segmento fuera más pequeño que este otro? Bueno, pues significa que sobre el segmento AC... sobre el segmento AC, yo podría encontrar por aquí un punto, de manera, este punto lo puedo yo llamar D, o como quiera, de manera que esta longitud y esta otra fueran iguales. ¿Ok? Pero entonces, ¿qué pasaría? Entonces, si yo trazo... el segmento de línea que va del punto B al punto D, pues yo ya tendría que CD, AB y BD son iguales. Pero si estos son iguales, significa que este lado y este lado al ser iguales implica que este ángulo, que es el ACB o lo que es lo mismo el BCD, coincide con el ángulo CBD por ser el triángulo BDC isósceles. ¡Ay! Pero fíjense, al estar D sobre el segmento AC, El ángulo CBD es estrictamente menor que el ángulo CBA, pero por hipótesis el ángulo CBA es igual al ángulo BCA, que por construcción es el ángulo CBD, lo cual es absurdo. Como que esto hay que escribirlo, ¿no? Entonces veamos pues cómo escribimos. Entonces supongamos que tenemos nuestro triángulo isósceles ABC y que el ángulo en el vértice B, que es el ABC, y el ángulo en el vértice C, que es el ACB, coinciden. Y vamos a suponer que la tesis es falsa. Es decir, que AB no coincide con AC. queremos llegar a una contradicción. Entonces ya sabemos que si no coinciden, uno tiene que ser mayor que el otro. Entonces en este caso vamos a suponer que AC es menor que AB, el otro caso se hace exactamente igual. Entonces y del lado mayor que es el AB, restamos el DB igual al... AC, que es el menor, y trazamos la recta CD. Entonces tenemos que el lado DB y el lado AC, por construcción, son iguales. Y sabemos que el lado BC es común y que... también el ángulo ABC y el ACB son iguales. Entonces, ¿qué tenemos? Por lado, ángulo, lado, el triángulo DBC y el triángulo ACB deberán ser iguales entre sí. Es decir, el triángulo menor... debe coincidir con el triángulo mayor. Pero el todo siempre es mayor que la parte, esa es otra de las nociones comunes. Entonces estamos contradiciendo una de las nociones comunes. Y fíjense, simplemente usamos lado, ángulo, lado. Lado, ángulo, lado, para usar... o para llegar a nuestra contradicción. Entonces llegamos a un absurdo. ¿De dónde viene el absurdo? De suponer que un lado es mayor que el otro. Pero si un lado no puede ser mayor que el otro, necesariamente los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales entre sí. Es decir, Es equivalente a decir que un triángulo es isósceles, a decir que tiene dos ángulos iguales. Bueno, igual tenemos un colorario que nos dice que si tenemos un triángulo con sus tres ángulos iguales, pues este triángulo deberá ser equilátero. ¿Por qué? Porque entonces los lados opuestos a los ángulos iguales deben ser iguales entre sí, por lo tanto los tres lados deben ser iguales. Entonces este colorario es consecuencia de nuestra reducción al absurdo. Nuestro siguiente teorema nos dice, dos rectas respectivamente iguales a otras dos, con los mismos extremos en el mismo lado de una misma recta, no se juntan en dos puntos distintos. Estamos preparando otra vez el camino hacia otro criterio de congruencia. Bueno, entonces vamos a tomar una recta que es A, B. Entonces vamos a suponer que tenemos las rectas AD y DB respectivamente iguales en magnitud a las rectas AC y CB. Y quedan determinadas por puntos diferentes que son C y D, teniendo tales rectas los mismos extremos del mismo lado que de AB. Recuerden que una noción común que dijimos que... Euclides no denuncia, pero supone verdadera, es que una recta, si la prolongas indefinidamente, te separa el plano en dos partes. Entonces estamos suponiendo que de estas dos partes que nos separa el plano, pues los dos dibujos los estamos haciendo exactamente del mismo lado. Entonces lo que estamos afirmando es que los puntos C y D necesariamente son el mismo. Y nos vamos a basar. en los seis teoremas anteriores que llevamos. Bueno, entonces construyase sobre el segmento AB y sobre la misma recta las rectas AD, aquí tengo AD y BD, respectivamente iguales a la AC y a la BC. Entonces... AD es igual a AC, y también nos están diciendo que BD es igual a BC. Y entonces lo que estamos afirmando es que el punto C y el punto D deben coincidir. De nuevo vamos por reducción al absurdo. Supongamos que C y D no coinciden. Entonces si C y D no coinciden al ser dos puntos distintos, pues podemos trazar un segmento de recta que los una. ¿Ok? Entonces aquí ya trazamos el segmento CD. Ah, muy bien. Pero AC y AD son iguales. Ajá. Y si estas dos son iguales... El triángulo CAD es un triángulo isósceles y por lo tanto los ángulos de la base, que son el DCA y el CDA, son iguales entre sí. Bueno, pero de igual manera este ángulo, perdón, este lado BC y este lado BD también son iguales uno al otro. Entonces... AD igual a C, BC igual a BD, entonces aquí tengo un triángulo isósceles, aquí tengo otro triángulo isósceles, por ende ambos son equiangulares, ¿ok? Entonces ya tenemos aquí el ángulo ACD igual al ángulo CD. Ah, ok, perdón. Si dos triángulos son isósceles, los ángulos de la base coinciden. Aquí ya coincidió este ángulo con este otro. Pero también tenemos que con respecto a este otro triángulo de CB que es isósceles, este ángulo también coincide con... que es el CDB, coincide con el ángulo de CB. Pero fíjense, este ángulo que es el CDA es solamente una parte del ángulo CDB. Y entonces el mayor resulta ser... Entonces este era igual a este. pero éste es mayor que éste y éste es menor que él mismo, te salgo es al mismo tiempo mayor y menor que sí mismo. Volvemos a llegar a un absurdo. ¿De dónde proviene el absurdo? Pues de suponer que estos segmentos se estaban cortando en dos puntos distintos. Ah, entonces... bajo ciertas condiciones si yo puedo unir los segmentos las longitudes de los segmentos nos están determinando un único triángulo entonces este es el paso previo a demostrar el teorema de congruencia lado lado, lado suponer que no era posible tenemos que el menor es igual al mayor Lo cual es, ¿ok? Bueno, entonces ya estamos contradiciendo nuestros resultados previos. entonces si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y también la base igual, es decir, si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los ángulos comprendidos por los lados iguales resultarán ser respectivamente iguales. Entonces consideren los triángulos ABC y DEF de manera que AB y DE coincidan. AC y DF coincidan y BC y EF coincidan. Entonces afirmamos entonces que los dos triángulos son iguales y en particular el ángulo en A coincide con el ángulo en D. el ángulo en B con el ángulo en E, y el ángulo en C con el ángulo en F. Entonces aquí está. Consideremos nuestros dos triángulos, el ABC y el D. EF y estamos suponiendo que AB es igual a DE, que BC es igual a EF y que AC es igual a DEF. Entonces, ¿qué podemos hacer? Pues podemos llevar, como hicimos antes, el lado AC. para que vaya sobre E, y el lado AC para que tenga un vértice sobre F. Ok, pero AB y DE coinciden. Si llevamos este AB, sobre un segmento EG, de manera que G no coincida con D, pues tampoco AC va a coincidir con DF. Entonces tendremos una situación de este estilo, donde este lado coincide con este, este de aquí que es el DF coincide con el GD, pero... este y este tienen la misma longitud, este y este tienen la misma longitud. Pero el teorema anterior me está diciendo que entonces estos lados no se pueden unir en puntos distintos del plano. Entonces G y D deben coincidir, ¿ok? Entonces estos dos triángulos... son iguales, y si los triángulos son iguales porque g y d coinciden, pues tenemos que el ángulo BAC coincide con el EDF, el CBA coincide con el FED, y que el ACB coincide con el DFE. Y al ser los dos triángulos iguales sus lados e iguales sus ángulos correspondientes, los dos triángulos son iguales entre sí. Entonces ya tenemos nuestro segundo criterio de congruencia de triángulos. Ah, vamos a hablar de bisectriz. No confundir bisectriz con bisectriz. ¿Ok? Muy bien. Nuestro siguiente teorema es el teorema de la bisectriz, no biseptriz. El teorema de la bisectriz nos dice dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado. Entonces, ¿qué hacemos? Consideramos el ángulo BAC y queremos dividirlo en dos partes iguales. Para esto, pues vamos a utilizar los criterios. de congruencia y las construcciones que hemos realizado en los teoremas anteriores, desde luego nuestras nociones comunes y nuestras definiciones. Muy bien, entonces veamos con GeoGebra cómo se hace y después procedemos a escribirlo. Tenemos los segmentos ABAC formándonos aquí un ángulo. que es el que llamamos BAC, y queremos dividir este ángulo, esta región, la queremos dividir en dos partes iguales. Entonces, ¿qué vamos a hacer? Bueno, entonces sobre alguno de estos segmentos, pues vamos a marcar un punto, ¿de acuerdo? Entonces ya marcamos aquí un punto. y con centro en A, y por este punto, pues podremos trazar un círculo y ver en dónde intersecta este círculo a la recta determinada por los puntos A y C. Entonces ya tenemos este punto donde se intersecta. Entonces aquí tenemos un punto D y aquí tenemos un punto E. Entonces ya no necesitamos este objeto. Vamos a ponerle propiedades para poder esconder este objeto y que me muestre los nombres de estos puntos que son respectivamente. D y E. Entonces sabemos que dados dos puntos distintos en el plano, podemos considerar, postulado 1, el segmento de recta que pasa por el punto D y el punto E. Y sobre un segmento dado, sabemos que es posible construir un triángulo equilátero, entonces un polígono regular de tres lados. Entonces ya nos quedó aquí nuestro triángulo DE. Y aquí F, me quedó doble. Ok, DEF, no quiero el punto G. Ok, entonces aquí ya tenemos nuestro triángulo equilátero DEF. Ahora, para considerar la bisectriz, pues vamos a tomar el segmento que va del punto A al punto F. Y lo que afirmamos es que este segmento... de recta, dividen dos partes iguales a el ángulo BAC. Y nos interesa saber por qué sucede esto. Bueno, entonces afirmamos que la recta AF biseca el ángulo BAC. ¿Y entonces qué significa esto? Pues esto significa que el ángulo B a F más el ángulo F a C es igual al ángulo B a C y que el ángulo B a F es igual al ángulo... F, AC. Bueno, ¿cómo podemos ver esto? Ok, es fácil. Por construcción, AE y AD coinciden, puesto que son radios del círculo con centro en A y que pasa por el punto D. Ok, entonces este es por construcción. Al ser radios del mismo círculo. Ahora bien, por ser DEF un triángulo equilátero, que el teorema 1 nos permite construirlo, pues tenemos que DEF y DE son lados iguales, entonces ya tenemos este lado igual a este. Tenemos este lado. igual a este de acá. Lo puedo marcar de distinta forma. Este lado de aquí es igual a este lado de acá. Ah, pero fíjense que el lado AF es un lado común. Entonces tenemos dos triángulos, a saber, el triángulo AEF, y el triángulo ADF con sus tres lados respectivamente iguales. Entonces por el criterio de congruencia de triángulos lado, lado, lado, que por cierto en nuestro teorema anterior estos dos triángulos son congruentes, pero si estos dos triángulos son congruentes, sus ángulos correspondientes, los que están comprendidos entre lados iguales, son iguales entre sí. Es decir, el ángulo CAF y el ángulo DAF son iguales entre sí. ¡Ah, qué bueno! Entonces ya tenemos que el BAF y el F. el BAF y el FAC, son iguales entre sí, que es lo que acabamos de indicar en este momento. Pero por construcción, el ángulo BAF más el FAC es igual al ángulo BAC. Por lo tanto, la recta AF biseca al ángulo BAC. Entonces, bueno, pues esta es la idea de la demostración. Vamos a escribirla. Con una letra que sea legible. Bueno, entonces consideramos un ángulo BAC y nos piden dividirlo en dos partes iguales. Entonces aquí está nuestro ángulo pintado. Tomamos un punto arbitrario D en el segmento AB. y consideramos un punto E en AC que diste de A lo mismo que ADD, ¿sí? Entonces ya tomamos esta condición, ya que esto lo puedo llevar a D sobre el segmento AC. Ya tengo AD es igual a AE. Trazamos el segmento de recta DE y sobre DE construimos el triángulo equilátero DEF. Ya lo hicimos en esta parte. Ya que tenemos esto, trazamos el segmento de recta que pasa por A y por F. Y vemos que aquí se forman varios triángulos. Entonces nos fijamos en el triángulo ADF y en el triángulo AEF. Y entonces, por construcción, AD coincide con AE. DF coincide con FE y AF es lado común. Por el teorema anterior los triángulos azul y rojo que son el ADF y el AEF son iguales, pues en particular los ángulos correspondientes que son el DAF y el EAF serán iguales entre sí, pero su suma, el EAF más el FAD es igual al CAB, por lo tanto AF biseca por construcción. Al ángulo BAC. ¿Ok? Ya está el teorema de la bisectriz. ¿Qué vamos a hacer ahora? Pues vamos a bisecar un segmento. Entonces, dividir en dos partes iguales un segmento dado. Entonces nos dan un segmento y lo queremos dividir en dos partes iguales, es decir, deseamos obtener su punto medio. También es de los que todos me dicen, pues hágale así, hágale así, tras esta línea. Ok, nos piden hacer una construcción y lo que tenemos que hacer es justificar todos los pasos. Entonces consideremos un segmento de recta AB. Entonces deseamos encontrar un punto M de medio, de manera que AM sea lo mismo que MAB. Entonces, ¿cómo podemos hacer esto? Bueno, pues hemos trabajado con triángulos. Vamos a construir un triángulo. Pues el primer triángulo que se nos puede ocurrir construir, pues es un triángulo equilátero. Triángulo equilátero. sobre el segmento AB. Entonces, un triángulo con sus tres lados iguales. Entonces, ya dibujamos nuestro triángulo equilátero ABC. Bueno, ¿qué vamos a hacer ahora? El teorema anterior nos dijo que podemos dividir el ángulo ACB en dos partes iguales. entonces que eso se llama trazar la bisectriz, damos bisectar el ángulo ACB, entonces ya lo hicimos, consideramos esa línea recta, y nos fijamos en donde esta línea recta corta a la línea AB, entonces vemos donde esta corta a este segmento, A este segmento vamos a ponerle la letra D. Entonces, ¿qué afirmamos? Pues aquí estamos afirmando que AD es lo mismo que DB. Y como está este en la recta AB, pues AD y B son colineales. Entonces, esto es lo único que tendremos que verificar. ¿Pero qué tenemos? Bueno, sabemos que el triángulo por construcción... ABC es un triángulo equilátero, pero en un triángulo equilátero todos sus lados son iguales. Entonces este lado es igual a este, ¿de acuerdo? Por construcción la línea, entonces aquí tenemos AC igual a CB. Por construcción CB es... bisectriz del ángulo ACB. Entonces este ángulo de aquí, vamos a ponerle dos rayitas, coincide con este ángulo de aquí, y tenemos que CD es lado común. Pero si CD es lado común, pues significa que... El triángulo ACD y el triángulo BCD son congruentes porque tienen iguales dos lados, así como el ángulo comprendido entre los lados iguales. Este es el teorema 4, criterio de congruencia, lado, ángulo, lado. Pero si estos triángulos son iguales, también tenemos que son iguales los lados correspondientes, son iguales sus bases, entonces por lo tanto AD y DB son iguales y AD más DB es el segmento AB, entonces con esto hemos logrado obtener el punto medio de AB. Y es más, no solamente tendríamos eso, tendríamos además que este ángulo de aquí y este ángulo de aquí coinciden, pero al coincidir y estar ambos levantados sobre una misma línea recta, pues cada uno de ellos es un ángulo recto. Entonces ya ganamos eso. Entonces, escribamos. Construimos sobre el segmento AB el triángulo equilátero ABC. Dividimos, o sea, bisectamos el ángulo ACB por medio de la recta CD y pedimos que el punto de viva sobre AB. Entonces, al ser C de una bisectriz, pues tenemos que el ángulo ACD y el ángulo BCD coinciden. Pero por ser triángulo equilátero AC y BC son lados iguales, y CD es lado común, entonces por el criterio de congruencia lado-ángulo-lado, pues tenemos que el triángulo azul y el rojo, es decir, el ángulo ADC, el triángulo ADC y el triángulo BDC coinciden y por lo tanto AD y BD son iguales. Entonces construimos el punto que divide en dos partes iguales. un segmento dado. Entonces fue una construcción, esto es lo que esperábamos hacer.