Overview
Die Vorlesung behandelt den Umgang mit Ungleichungen, insbesondere das Lösen linearer und quadratischer Ungleichungen und wichtige Regeln im Vergleich zu Gleichungen.
Ungleichungen und zentrale Regeln
- Ungleichungen geben an, wann ein Ausdruck kleiner oder größer als ein anderer ist.
- Zentrale Regel: Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.
- Beispiel: Aus "-3 < -2" wird durch Multiplikation mit -1 die Ungleichung "3 > 2".
Lösen linearer Ungleichungen
- Vorgehen ist ähnlich wie bei Gleichungen, solange nicht mit negativen Zahlen multipliziert/dividiert wird.
- Beispiel: ( -2x + 1 \geq -3 ) wird umgestellt zu ( x \leq 2 ).
- Lösungsmenge: Alle ( x \leq 2 ), also ( (-\infty, 2] ).
Quadratische Ungleichungen
- Zuerst das quadratische Polynom so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht.
- Linearfaktorisierung: ( x^2 + x - 2 ) wird zu ( (x-1)(x+2) ).
- Nullstellen bestimmen: ( x = 1 ), ( x = -2 ).
Lösung quadratischer Ungleichungen
- Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder beide negativ sind.
- Fall 1: Beide positiv ⇒ ( x \geq 1 ) und ( x \geq -2 ), also ( x \geq 1 ).
- Fall 2: Beide negativ ⇒ ( x \leq 1 ) und ( x \leq -2 ), also ( x \leq -2 ).
- Gesamtlösung: ( (-\infty, -2] \cup [1, \infty) ).
Grafische Veranschaulichung
- Parabel ( x^2 + x - 2 ) ist nach oben geöffnet, hat Nullstellen bei -2 und 1.
- Positive Werte für ( x < -2 ) und ( x > 1 ), was die Lösungsmenge bestätigt.
Key Terms & Definitions
- Ungleichung — Aussage über die Größenordnung zweier Terme (weniger/größer als).
- Linearfaktorisierung — Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren.
- Nullstelle — Wert, bei dem der Funktionswert Null ist.
Action Items / Next Steps
- Üben Sie das Lösen von Ungleichungen mit eigenen Beispielen.
- Zeichnen Sie zur Veranschaulichung Zahlenstrahle und Funktionsgraphen für weitere Aufgaben.