Nicht immer interessiert man sich für die Gleichheit von zwei Termen, sondern mitunter auch eben, wann ist der eine kleiner als der andere. Ich habe Anwendungsbezüge, denen ich interessiert bin. Wann ist etwas kleiner als ein gewisser Wert beispielsweise? Kosten überstiegen oder wann wird zum Beispiel ein Sicherheitsbereich überschritten. Und dafür muss ich mir eine entsprechende Ungleichung anschauen.
Dafür gibt es eine wichtige Regel bei den Ungleichungen, die abweicht von dem normalen Verhalten mit Gleichungen. Und die zentrale Regel ist, wenn ich die Ungleichung multipliziere oder dividiere, was im Grunde auf das Gleiche hinausläuft, mit einer negativen Zahl, dann muss ich das Zeichen in der Ungleichung umdrehen. Das heißt also, wenn ich kleiner gleich habe, wird es dann zu größer gleich.
Oder wenn ich größer habe, wird es dann entsprechend zu kleiner. Ein Beispiel, ein Negativbeispiel, warum das eigentlich notwendig ist, nehmen wir mal Folgendes an. Wir wissen, dass minus 3 kleiner als minus 2 ist. Das ist korrekt.
Und wenn ich mathematisch richtig handele, muss aus etwas... was Wahrem auch immer etwas Wahres folgern. So, ich habe eine wahre Aussage und wenn ich die Ungleichung jetzt mit minus 1, also mit einer negativen Zahl multipliziere und nicht das Ungleichheitszeichen umdrehe, dann erhalte ich, dass auf einmal 3 kleiner als 2 ist. 2 ist, was eine falsche Aussage ist.
Hätte ich das Zeichen umgedreht, wäre die Aussage richtig gewesen. Man kann sich das auch so vorstellen, wir arbeiten erst auf der einen Seite gewissermaßen vom Zahlenstrahl im negativen Bereich und danach wegen dem Multiplizieren mit dem negativen Zahl wechseln wir mit dem Blick in die andere Richtung und dann müssen wir entsprechend auch das Ungleichheitszeichen umdrehen. Gut, das ist die zentrale Regel, die muss man sich bei Ungleichungen merken. Ansonsten ist das Verfahren.
fahren sehr ähnlich dazu, wie ich mit Gleichungen umgehe. Schauen wir uns mal ein korrektes Beispiel jetzt zu einer linearen Ungleichung an. Und zwar haben wir minus 2x plus 1 soll größer gleich minus 3 sein. Das wollen wir jetzt gerne nach x auflösen.
Zunächst einmal gehen wir ganz normal vor. Solange wir nicht mit der negativen Zahl multiplizieren und dividieren, brauchen wir nicht zweiter Beachten. Also packe ich mal die Zahl rüber, die plus 1 auf die andere Seite, erhalten wir dann 2x ist größer gleich minus.
minus 4. Jetzt muss ich aber, um nach x aufzulösen, durch minus 2 teilen oder mal minus ein Halbrechnen, wäre dasselbe. Das heißt, ich muss aufpassen, das Ungleichheitszeichen dreht sich um und ich erhalte x ist kleiner gleich 2. Als Lösungsmenge haben wir also den Bereich von minus und endlich bis 2, sprich jede Zahl, die kleiner gleich 2 ist, würde diese Ungleichung da oben erfüllen. Soweit zu den Linearen, das sind die ganz einfachen Ungleichungen. Schauen wir uns nun noch die quadratischen Ungleichungen an.
Die sind ein bisschen aufwendiger. Hier ist die Linearfaktorisierung ein unglaublich nützliches Werkzeug. Das haben wir ja schon kennengelernt.
kennengelernt. Schauen wir uns folgendes Beispiel an. x² plus x minus 2 soll größer gleich 0 sein.
Ich kann ja das Quadratische immer so umstellen, dass ich dieser Gestalt habe. Also wenn ich jetzt zum Beispiel hier noch irgendwie 5 oder irgendwas auf der Seite hätte, würde ich es halt alles rüberpacken. sodass ich immer diese Gestalt habe, dass auf der einen Seite da die 0 ist.
Dann kann ich die folgenden Sachen einfach immer genau analog verwenden. Wir starten wie üblich beim Linearfaktorisieren damit, dass wir die Nullstellen bestimmen. Das können Sie gerne selbst noch einmal zu Hause machen.
Da wir das schon gemacht haben, überspringe ich es jetzt hier. Und zwar kommen die Nullstellen 1 und minus 2 raus. Damit können wir x² plus x-2 linear faktorisieren zu x-1 mal x-2, also x-1. plus 2. Jetzt sollten wir beachten, es geht ja darum, dass wir einen Ausdruck uns anschauen und fragen, wann ist der positiv? Wann ist der größer gleich 0?
Und ein Produkt, das ist ja das, was wir uns jetzt gleich angucken, aus zwei Faktoren kann nur in zwei Fällen positiv sein, nämlich wenn beide Faktoren Faktoren entweder positiv sind oder beide Faktoren sind negativ. Ich erinnere nochmal an die Tabelle mit den Vorzeichen. Es kann nur ein positiver Fall auf den Produkt, wenn eben beide positiv oder beide negativ sind.
Damit können wir jetzt auch die Aufgabe lösen. Und zwar, wir haben x² plus x minus 2 ist größer gleich 0 als Aufgabe. Nach der Linearfaktorisierung ist das Äquivalent zu x minus 1 mal x plus 2 ist größer gleich 0. Einfach nur das eingesetzt aus unserer Linearfaktorisierung.
Und jetzt benutzen wir, dass wir wissen, dass es nur möglich ist, dass dieses Produkt positiv ist, wenn beide Faktoren positiv sind. das ist dieser Teil hier, x minus 1 größer gleich 0 und x plus 2 ist größer gleich 0. Oder ich erhalte auch dann eine korrekte Lösung. wenn beide negativ sind, das heißt x minus 1, der eine Faktor, kleiner gleich 0 und x plus 2 ist kleiner gleich 0. Beide positiv oder beide negativ.
Nun, das sind jetzt einfache lineare Ungleichungen, die löse ich sofort auf, indem ich die 1 bzw. 2 rüberziehe und dann erfahre ich, in dem einen Fall muss x größer gleich 1 und x größer gleich minus 2 sein. Schauen wir uns zunächst einmal das kurz nochmal auf dem Zahlenstrahl an.
Falls Sie damit noch etwas Schwierigkeiten haben, bietet es sich immer an, solche Zahlenstrahle aufzuzeichnen und dann anzuzeigen, wie sieht das eigentlich aus, was ich da vorliegen habe. Nun, einerseits soll das x größer gleich 1 sein, also alles rechts von der 1 und gleichzeitig soll es aber auch größer gleich minus 2 sein. Das ist natürlich dann nur gemeinsam möglich, wenn das x größer gleich 1 ist.
Das ist der Schnitt gewissermaßen von den beiden Mengen. Hier soll x kleiner gleich 1 sein und x soll kleiner gleich minus 2 sein. Das ist nur dann möglich, wenn ich mit x kleiner als minus 2 bin.
Nur dann erfülle ich beide Ungleichungen gleichzeitig. Damit erhalte ich einmal aus dem Teil die Lösungsmenge minus unendlich bis minus 2. Alles kleiner gleich minus 2. Und ich erhalte von dem hier den Bereich alles größer gleich 1, also 1 bis unendlich. Das heißt, beide Bereiche bieten mir...
Lösungen für unsere quadratische Ungleichung. Das Ganze kann man sich auch noch schön anschaulich anschauen, in diesem Fall, und zwar dieses x² plus x minus 2, wenn ich das mal als eine Funktion ansehe, als eine Parabel, dann ist das eine nach oben geöffnete Parabel. Wo genau jetzt dieser Scheitelpunkt ist, interessiert mich jetzt gar nicht. Interessant ist nur, ich habe zwei Nullstellen, die sind mir ja bekannt, durch die Linearfaktorisierung, die zeichne ich hier ein, und weil ich durch das Vorzeichen hier sehe, dass hier nach oben geöffnet ist, muss muss der Bereich links von der minus 2 positiv sein und der Bereich rechts von der 1 positiv. Und das entspricht ja genau unserem Lösungsbereich hier.
Einmal das hier ist der hier und 1 bis und endlich ist ja genau dieser hier. So könnte man das auch grafisch lösen, wenn man möchte. Allerdings kann es auch etwas komplizierter werden, dass das nicht immer so einfach so umsetzbar ist. Deswegen ist es ganz gut, wenn man sich mit diesen, ich sehe jetzt mal Fallunterscheidungen, ein bisschen beschäftigt hat.