Teorema de Green

Definición

• El teorema de Green se aplica a integrales de línea sobre campos vectoriales con curvas cerradas.
• C: curva regular, cerrada y simple.
• R: región que incluye a C y su interior.
• La integral se realiza en sentido positivo (anti-horario).

Fórmula

• Transforma la integral de línea sobre un campo vectorial ( \int_C (Mdx + Ndy) ) en una integral doble ( \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dA ).

Ejemplo

• Curva cerrada: parábola ( y = x^2 ) y línea ( y = 2x ) entre ((0,0)) y ((2,4)).
• Integral sobre ( C ): ( \int_C (5xy dx + x^3 dy) ).
• Región ( R ) acotada por la parábola y la línea.
• Integral doble: ( \iint_R (3x^2 - 5x) dA ).
• Cálculo implica evaluar sobre límites de integración dados por las curvas.

Áreas Acotadas

• Determinación del área acotada por una curva cerrada:
  • ( \int_C xdy ), ( -\int_C ydx ), ( \frac{1}{2} \int_C (xdy - ydx) ).
• Ejemplo de elipse:
  • Parametrización: ( x = a\cos(t), y = b\sin(t) ).
  • Integral: ( \int_0^{2\pi} a^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t)) dt = a^2 \cdot 2\pi ).

Generalización a Regiones con Huecos

• Curvas ( C_1 ) y ( C_2 ): regulares, cerradas, simples y no se cortan.
• Relación entre integrales: ( \int_{C_1} (Mdx + Ndy) + \int_{C_2} (Mdx + Ndy) = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dA ).
• Ejemplo de demostración:
  • Se deriva utilizando la regla del cociente y se demuestra que la integral sobre ( C_1 ) es igual a la integral sobre ( C_2 ).

Conclusión

• El teorema de Green simplifica la evaluación de integrales de línea al convertirlas en integrales dobles.
• Es útil para calcular áreas y se puede aplicar en regiones con huecos.