Ahora vamos a hablar sobre el teorema de Green. El teorema de Green básicamente es para integrales de línea sobre campos vectoriales en los que se integra sobre una curva que es cerrada. Entonces ven que dice que la C es una curva regular, parte por parte, cerrada simple, y R es la región que consta de C y su interior, es decir, tenemos una curva cerrada, tenemos una curva que es cerrada, y... Esa curva es C y su región R es la región que acota la curva. Entonces, cuando utilicemos esta notación de que tenemos una integral y esta notación que tenemos por aquí, significa que es una integral sobre una curva que es cerrada y que está recorrida en el sentido positivo.
Recuerden que el sentido positivo es el contrario a manecillas del reloj. Entonces es una curva que está recorrida en ese sentido. Entonces, el teorema Green permite convertir la integral de líneas sobre el campo vectorial. m de x más n de y en una integral doble sobre la región que acota la curva de la derivada parcial de n con respecto a x menos la derivada parcial de m con respecto a y.
Entonces, un ejemplo. Aplicar el teorema de Green para evaluar la integral. Recuerden que este va a ser m, este va a ser n.
Donde c es la curva cerrada que consta en la gráfica de y igual a x a la 2, y igual a 2x entre los puntos 0,0 y 2,4. Entonces lo que hacemos es, aquí está dibujada la curva, entonces... la curva x2 que es la parábola que va por aquí y la recta y igual 2x entonces vean que aquí en 2 nos daría 4 que es el punto de intersección y en 0 es el otro punto de intersección esa integral sobre la curva c de 5xy de x más x3 de y va a ser lo mismo que la integral sobre la región r que la región r se va a referir a esta región que acota la curva sobre la región R, de la derivada parcial de n con respecto a x, que es la derivada parcial de este con respecto a x, es 3x a la 2 menos la derivada parcial de m con respecto a y, que la de m con respecto a y sería 5x de a.
Y como esa región está cotada por la parábola, vamos a tener que la integral es una integral doble, que va la x va de 0 a 2, la y está entre la parábola y la curva 2x. y es 3x a la 2 menos 5x de y de x, al integrar eso tendremos la integral de 0 a 2, eso nos da x3 menos 5x2 sobre 2, perdón es con respecto a y, entonces nos daría 3x a la 2y menos 5xy, y hay que evaluarlo en 2x y en x a la 2, al evaluar eso vean que tenemos, al evaluar en 2x nos daría la integral de 0 a 2, al evaluar en 2x nos daría 4x a la 2 por 3 da 12x2y al evaluar en x nos daría 6x a la 3 en 2x menos 10x a la 2 al evaluarlo en x2 recordemos que la y lo que se evalúa nos daría 3x a la 4 más, perdón, era evaluado en 2x al evaluarlo en x2 nos daría 6x a la 4, men, más, sería y, y 5x a la 3, se nos quedaría de esa forma, que eso es la integral de 0 a 2, de 11x3 menos 10x2 menos 6x4, me está faltando ahí el dx, revisa uno de nuevo, al evaluarlo en 2x aquí nos daría 6x a la 3, y aquí nos daría 10x a la 2, al evaluarlo en x2 nos daría 6x a la 4, Perdón, aquí era un error, vamos a revisar de nuevo, era 3x a la 4, ahí vamos a revisar porque ese valor en x2 es 3x a la 4, entonces aquí es 3x a la 4, y ahí 5x a la 3 sería más, 5 son 11, menos 10x a la 2, menos 3x a la 4 de x. Y ahí sería que integremos 11x a la 4 sobre 4, menos 10x a la 3 entre 3. menos 3x a la 5 entre 5 y hay que evaluarlo en 2 y en 0, ustedes realizan ahí la evaluación para obtener el resultado.
Entonces vean que el teorema Green es muy simple, si se usa el teorema Green para evaluar la integral, vemos que este es m y este es n y nos dan una elipse, recordemos que vamos a cortar aquí la región, esa integral va a ser igual a la integral doble sobre la región r, que la región r se refiere a esta región que tenemos aquí, de la derivada parcial de n con respecto a x, vamos a revisarlo, menos la derivada parcial de n con respecto a x que es 2x menos la derivada parcial de m con respecto a y que sería también 2x Pero vean que esto me da cero, entonces la integral de cero es cero. Entonces ahí no tenemos que hacer mucho en ese ejercicio. El teorema de Green nos sirve para también determinar el área que está acotada por una curva.
Entonces, si tenemos una curva cerrada... La integral sobre la curva C es la integral, el área que está acotada por la curva C. Se puede calcular de tres formas diferentes. La integral sobre la curva C de x de y, o menos la integral sobre la curva C de y de x, o un medio la integral sobre la curva C de x de y menos y de x. Entonces nos piden aquí calcular el área que está acotada por esta elipse.
¿Ven qué? Estas dos integrales se ven de forma más simple. Hagamos esta, por ejemplo. ¿Qué pasaría si queremos hacer esa integral? Entonces, ¿ven que si queremos hacer la integral sobre la curva C?
Si queremos calcular el área, vamos a ver lo que pasa. La integral sobre la curva C de x de y. ¿Ven que la curva C?
Eso nos daría, solo tendremos el m. Entonces, si utilizamos el teorema de Green, nos daría... nos daría bueno, creo que va a ser más fácil de parametrizar de esta forma, veamos lo que pasa la curva C vamos a parametrizarla para parametrizar esta curva recordemos que nos da que x es igual a cos de t, y es igual a b sen de t pero vean que si hacemos eso la integral sobre la curva C recuerden que eso significa que el t está entre 0 y 2pi porque es una elipse completa entonces nos daría la integral de 0 a 2pi de x, que x es a por cos de t, por la derivada de x, que la derivada de x, ¿cuál sería ahí? La derivada de x, entonces sería a menos a por sen de t, así, notaría.
Ven que eso nos da la integral de 0 a 2pi de menos a cuadrado por cos de t por sen de t, de t. Y eso notaría. Vamos a sacar un menos a cuadrado y voy a dividir entre 2 para poner aquí 2 cos de t por sen de t.
Y la integral de 2 cos de t, recuerden que 2 cos de t sería menos a cuadrado, la integral de 0 a 2 pi de a cuadrado medio. 2 cos de t es sen de 2t, y al integrar nos daría menos a cuadrado medios. Vamos a cuadrarlo a medios por la integral de sen, que es menos cos de 2t sobre 2. Menos cos de 2t sobre 2. y eso al evaluarlo nos daría a cuadrado, eso hay que evaluarlo en 2pi y en 0, a cuadrado cos de 2t sobre 4, y evaluado en 2pi y en 0, y ahí lo evaluamos. Sin embargo, si lo hacemos de esta forma, con un medio x de y menos y de x, nos va a dar una forma más simple, porque vean que x por dy sería, x por dy sería, Vean que si lo hacemos con x por dy, llegamos a la otra forma, entonces, para que vean que es más simple. Perdón, es aquí, integral sobre la curva c, el área es la integral sobre la curva c de x por dy.
menos y por dx, vean lo que pasa ahí, porque se hace más simple, recordemos que x era a por cot de t y y era a por sen de t, entonces vean, recordemos que eso nos daría la integral de 0 a 2pi de x, x por dy, x es a por cot de t y la derivada de y es a por cot de t, menos y que es a por sen de t por la derivada de x que es menos a. por cnt y todo eso va por dt pero vean que eso nos daría la integral de 0 a 2 pi de a cuadrado por cos cuadrado de t más a cuadrado por c cuadrado de t y vean que eso nos da al sacar el a cuadrado nos queda cos cuadrado más c cuadrado y cos cuadrado más c cuadrado es 1 vamos a integrar eso Daría a cuadrado por 2pi, porque eso daría t igualado en 2pi y en 0, a cuadrado por 2pi. Y la integral sale mucho más simple que la integral anterior, entonces no siempre que sea más simple significa que lo es.
El teorema de Green también puede ser generalizado por regiones que tienen huecos. Entonces creo que tenemos una región que es una curva que es cerrada. y tiene un hueco, pero adentro es una curva cerrada. Entonces, ¿qué es lo que hacemos? Es recorrer la región, empezamos a recorrer esta curva en la dirección positiva, luego entramos en la misma dirección y aquí empezamos a recorrer en la dirección positiva, que en realidad es la dirección negativa de la curva.
Solo que se va recorriendo de esa forma. Entonces, también sirve la integral, esta curva de afuera, la ponemos la curva C1, La integral sobre la curva C1 de MDX más N de Y más la integral sobre la curva C2 de MDX de N de Y, aquí le ponemos más, porque este más significa que voy recorriendo en el sentido positivo ingresando desde esta curva, pero en realidad es el sentido negativo de la curva C2, pero también nos da la integral sobre la región R de NDX menos de MDY, por ejemplo. Veamos.
Se dan C1 y C2 dos curvas regulares parte por parte y cerradas simples que no se cortan y que tienen el origen y el cero como un punto interior. demostrar que en este caso si m es igual a menos y n es igual a esto entonces la integral sobre la curva c1 de m de x más n de y es igual a la integral sobre la curva c2 de m de x más n de y entonces vean lo que vamos a hacer, nosotros sabemos que la integral sobre la curva c1 de m de x más n de y más la integral sobre la curva c2 recorrida en el sentido positivo desde la curva c1 Es igual a la integral doble sobre la región R que sacó ahí, sobre la región R, de la área parcial de n con respecto a x menos la área parcial de m con respecto a y, ¿verdad? Eso es lo que tenemos, ¿sí? Ahora, la integral sobre la curva C1 de m de x más n de y, que era de y, menos la integral sobre la curva C2 de m de x más n de y, ¿verdad? Es igual a esto que tenemos aquí.
¿Por qué? Al recorrerla en el sentido positivo, recuerden que en el sentido positivo, entrando por la curva C1, es en realidad el sentido negativo de C2. Entonces, eso hace que cambie un signo por aquí.
Al final tenemos eso. Vamos a calcular esto. Vamos a calcular la derivada parcial de n con respecto a x, menos la derivada parcial de m con respecto a y.
¿Qué sería? La derivada parcial de n con respecto a x sería... Vamos a derivar eso.
¿Ven que eso es...? Al derivar eso nos daría... Menos y sobre x cuadrado más y Perdón, esa era la derivada parcial de n con respecto a x y yo derivé el m con respecto a x. Entonces hay un errorcillo por ahí, vamos a borrar.
La derivada parcial de n con respecto a x, hay que utilizar la regla del cociente, vean que es la derivada del de arriba que es x es 1, es 1, por el de abajo sin derivar, x a la 2 más y a la 2 menos x que es el de arriba. por el de abajo sin derivar, que es x cuadrado más y cuadrado, sobre el de abajo elevado a la 2, que es x elevado a la 2 más y elevado a la 2, menos la derivada parcial de m con respecto a y, sería algo parecido, se convierte en un más por esa y que está ahí, vamos a ponerla así, más y voy a derivarlo en positivo. El derribo de la derivada 2 es 1 por el de abajo sin derivar, x elevado a la 2 más y elevado a la 2, menos el derribo sin derivar y por el de abajo derivado, Aquí hay un error también. Aquí era el de abajo derivado.
No lo derive, que sería 2x. Y aquí el de abajo derivado con respecto a y sería por 2y. Sobre x a la 2 más y a la 2 elevado a la 2. Vean que eso nos daría. Básicamente arriba tenemos x a la 2 más abajo lo mismo, menos 2x2.
Más x a la 2 más y a la 2 menos 2y2 sobre. x a la 2 más y a la 2 elevado a la 2, pero esto es 0, porque x a la 2 más x a la 2 da 2x2, se considera como esto, y a la 2 más y a la 2 menos y es 0. Es decir que esta parte aquí me da 0, y si eso me da 0, si pasamos esto al otro lado, concluimos que la integral sobre la curva c1 de m de x más n de y es igual a la integral sobre la curva c2 de m de x más n de y, que es lo que nos pedían demostrar. Y esa es la forma en la que usamos el teorema de Kring.