Lezione 3: Proprietà fondamentali dei Triangoli

Teorema degli Angoli Interni

• Enunciato: Se due triangoli hanno due angoli congruenti, allora anche il terzo angolo è congruente.
• Dimostrazione:
  • Somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
  • Se due angoli sono congruenti, il terzo angolo si ottiene sottraendo la somma dei due angoli noti da 180°.
  • Quindi, il terzo angolo deve essere congruente.

Proprietà dei Triangoli Isoscele

• Definizione: Un triangolo isoscele ha due lati e due angoli congruenti.
• Teorema del Triangolo Isoscele:
  • Se un triangolo ha due lati congruenti, allora ha anche due angoli congruenti.
  • Inverso: Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora ha anche due lati congruenti.
  • Quindi, avere due lati congruenti implica avere due angoli congruenti e viceversa.
• Dimostrazione dell'inverso:
  • Tracciamo l'altezza del triangolo isoscele.
  • Si formano due triangoli rettangoli aventi due angoli congruenti.
  • Per il secondo criterio di isometria, i due triangoli sono congruenti.
  • Da ciò si deduce che i lati corrispondenti sono congruenti.
• Conclusione: Non esistono triangoli isosceli con due lati congruenti e tutti gli angoli diversi, né con due angoli congruenti e tutti i lati diversi.
• Proprietà aggiuntiva: La bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana.

Proprietà dei Triangoli Equilateri

• Definizione: Un triangolo equilatero ha tre lati e tre angoli congruenti.
• Teorema del Triangolo Equilatero:
  • Un triangolo ha tutti i lati congruenti se e solo se ha tutti gli angoli congruenti.
  • Corollario dei teoremi sui triangoli isosceli.
• Teorema sulla Bisettrice:
  • In un triangolo equilatero, ogni bisettrice di un angolo è anche altezza e mediana.

Disuguaglianze nei Triangoli

• Teorema dell'Angolo Esterno:
  • Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti.
  • L'angolo esterno è congruente alla somma degli altri due angoli interni.
• Relazione Angolo-Lato:
  • In un triangolo non equilatero, al lato maggiore si oppone l'angolo maggiore.
• Disuguaglianza Triangolare:
  • Un lato di un triangolo è minore della somma degli altri due.
  • Disuguaglianza triangolare inversa: un lato di un triangolo è maggiore della differenza degli altri due.
  • Il percorso più breve tra due punti è la linea retta che li unisce.