in questa terza lezione sui triangoli vi presenterò alcune proprietà fondamentali enunciate sotto forma di teoremi relative ai triangoli questo ci darà modo tra l'altro di capire l'importanza dei criteri di congruenza e abbiamo studiato la volta scorsa il primo teorema ha detto teorema degli angoli interni afferma che se due triangoli hanno due angoli congruenti per esempio la copia cf e la coppia a e allora hanno anche il terzo angolo congruente per cui dovrà essere anche l'angolo b congruente all'angolo di in altre parole questo ci dice che noti due angoli di un triangolo il terzo determinato automaticamente la dimostrazione del teorema degli angoli interni è piuttosto semplice presi due triangoli sappiamo che essi hanno due angoli c ed f a ed e congruenti pertanto le ipotesi sono l'angolo a congruente all'angolo e l'angolo ci congruente all'angolo rap si vuole dimostrare che tesi l'angolo b è congruente all'angolo di dunque ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo e 180 gradi allora per il triangolo di sinistra risulta che l'angolo b si calcola prendendo il totale 180 gradi e da questo si toglie la somma delle ampiezze dell'angolo a e dell'angolo c analogamente per il triangolo di destra l'angolo di si calcola togliendo dal totale la somma dell'angolo e più l'angolo è in questo modo abbiamo che b è congruente a di perché sono differenza di angoli congruenti entrambi si ottengono prendendo 180 e togliendo una somma di angoli che sono tra di loro congruenti questo primo teorema che è un teorema che ricorrerà nelle successive dimostrazioni che vedremo ed è molto importante tenerlo presente passò quindi ad analizzare le proprietà dei triangoli isoscele ricordo che nel corso della prima lezione ho presentato la classificazione dei triangoli e tra questi ho definito il triangolo isoscele come un triangolo con due lati e due angoli congruenti ad un'attenta analisi ci accorgiamo dunque che un triangolo isoscele possiede due caratteristiche la prima caratteristica è avere una copia di lahti congruenti la seconda caratteristica è avere una copia di angoli congruenti e a prima vista ci accorgiamo come queste due caratteristiche in effetti potrebbero essere del tutto slegate ovvero ci chiediamo è possibile costruire dei triangoli che hanno due lati congruenti ma tutti gli angoli diversi è possibile costruire dei triangoli con due angoli congruenti e tutti i lati diversi per rispondere a questa domanda vediamo proprio le proprietà dei triangoli sociali la prima è contenuta nel cosiddetto teorema del triangolo isoscele che afferma se un triangolo a due lati congruenti per esempio nel triangolo abc i lati ac e bici congruenti allora anche due angoli congruenti quindi l'avere due lati implica automaticamente avere anche due angoli congruenti analogamente esiste l'inverso del teorema del triangolo isoscele che afferma se un triangolo a due angoli congruenti quindi si parte dal presupposto contrario allora avrà anche due lati congruenti questi due teoremi insieme stabiliscono come la proprietà di un triangolo di avere due lati congruenti sia strettamente correlata al fatto di avere due angoli congruenti se si verifica la prima situazione cioè due angoli congruenti allora si deve verificare anche l'altra e viceversa vi mostro cui di seguito una possibile dimostrazione proprio dell'inverso del teorema del triangolo isoscele bene dato un triangolo l'ipotesi del teorema è costituita dal sapere che due angoli sono congruenti per esempio l'angolo a e l'angolo b mentre la tesi ciò che si vuole dimostrare è la congruenza dei due lati ac e bici a tale scopo tracciamo l'altezza ch del triangolo isoscele consideriamo questo punto i due triangoli che si vengono a formare in cui è diviso il triangolo di partenza abc che sono c h a in rosso e chb evidenziato in blu essi se osserviamo attentamente anno l'angolo in h retto quindi si tratta di due triangoli rettangoli e questo è vero perché ch e altezza del triangolo isoscele inoltre per ipotesi sappiamo che l'angolo con vertice a e congruente all'angolo con vertice b per cui questi due triangoli hanno due angoli congruenti e per il teorema che abbiamo visto all'inizio deve essere anche che il terzo angolo è congruente questo terzo angolo è l'angolino piccolino in alto con vertice c eccolo qui i due angolini evidenziati in blu pertanto se io considero i due triangoli ch e chb per il secondo criterio di isometria essi sono congruenti infatti possiedono ch in comune e quindi ch è chiaramente un lato che è congruente in entrambi l'angolo a caretto e l'angolo con vertice ci congruente quindi hanno un lato e i due angoli ad esso adiacente congruenti quindi il secondo criterio di geometria ci garantisce proprio la congruenza dei due triangoli ch e ch in particolare possiamo concludere che i lati corrispondenti a c e cibi in questi due triangolini sono tra di loro congruenti che è esattamente la tesi che volevamo dimostrare dunque ricapitolando abbiamo visto che se un triangolo a due lati congruenti allora a due angoli congruenti viceversa se un triangolo a due angoli congruenti allora anche due lati congruenti e quindi possiamo scrivere che un triangolo a due lati congruenti se solo se a due angoli congruenti tale affermazione esprime come abbiamo già detto il forte legame che esiste nei triangoli tra l'avere due lati congruenti e due angoli congruenti in altre parole se un triangolo a due lati congruenti per forza dovrà avere anche due angoli congruenti e viceversa quindi in sostanza non esistono triangoli con due lati congruenti e tutti gli angoli diversi o con due angoli congruenti e tutti i lati diversi perché se ci sono durati congruenti ci devono essere anche i due angoli congruenti e viceversa se ci sono due angoli con ci devono essere due lati congrui questo risponde alla domanda che ci siamo posti all'inizio nella classificazione dei triangoli quando abbiamo definito il triangolo isoscele dicendo che è un triangolo con due lati due angoli congruenti bene queste due caratteristiche due lati congruenti due angoli congruenti sono strettamente legate non esiste una senza l'altra e viceversa la dimostrazione appena fatta è possibile rendersi immediatamente conto della verità di un ulteriore proprietà dei triangoli isoscele che se un triangolo isoscele allora la bisettrice dell'angolo al vertice e anche altezza e mediana disegnando infatti l'altezza rispetto all'angolo al vertice ch abbiamo osservato come si vengono a determinare due triangoli ch e chb in rosso e in blu che sappiamo essere congruenti in particolare essi hanno i due angoli di vertice ci congruenti quindi l'altezza relativa all'angolo al vertice è anche direttrice di tale angolo e viceversa la bisettrice sarà anche altezza inoltre h è congruente ad h b essendo i due triangolini quello rosso quello blu congruenti tra di loro per cui l'altezza è anche mediana e viceversa la mediana sarà anche altezza le proprietà fin qui viste per i triangoli sociali vengono ereditate tutte anche dei triangoli equilateri che sono particolari triangolo isoscele con non solo due lati ma addirittura tre lati e triangoli congruenti pertanto abbiamo il teorema del triangolo equilatero un triangolo a tutti i lati congruenti se e solo se a tutti gli angoli congruenti questo teorema è un diretto corollario dei due teoremi sui triangoli sociali che abbiamo appena visto e ci informa che c'è un forte legame una forte correlazione nei triangoli tra l'avere relati congruenti e tre angoli congruenti queste due caratteristiche convivono se non c'è una non c'è l'altra se c'è una c'è anche l'altra la caratteristica che viene ereditata dai triangoli equilateri è il teorema sulla bisettrice del triangolo equilatero anch'esso un corollario del teorema sulla bisettrice dei triangoli isoscele tale teorema afferma che se un triangolo equilatero allora ogni visit reach e di un angolo e anche altezze mediana il ragionamento è del tutto analogo a quello fatto per i triangoli so se li si tratta di disegnare l'altezza questa altezza noi sappiamo essere appunto mediana e bisettrice in più avendo i triangoli equilateri tre angoli congruenti posso ripetere tale ragionamento per tutte e tre le altezze e quindi dedurre il teorema della bisettrice del triangolo equilatero chiudo questa video lezione presentando quattro disuguaglianze fondamentali legati ai triangoli la prima è il cosiddetto teorema dell'angolo esterno il quale afferma che in un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti adesso com'è possibile notare dalla figura in altre parole l'angolo esterno è in rosso ed è maggiore sia dell'angolo interno in giallo che ha vertice ci sia quello in grigio che ha vertice in a di più si può addirittura dimostrare che tale angolo esterno coincide con la somma degli altri due quindi non è solo maggiore ma è addirittura congruente con la somma degli altri due la seconda disuguaglianza esprime la relazione fra angolo maggiore e lato maggiore ovvero in ogni triangolo non equilatero a lato maggiore si oppone angolo maggiore come possiamo notare dalla figura infatti opposto all'angolo maggiore che l'angolo ottusa evidenziato in rosso vi è il lato maggiore il lato più lungo infine vi sono la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza triangolare inversa ovvero in ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due è maggiore della loro differenza la prima delle due disuguaglianze che viene presentata ac minore di abi più bici è la cosiddetta disuguaglianza triangolare mentre la seconda è la disuguaglianza triangolare inversa essa esprime ancora una volta il fatto che la strada più breve per andare da un punto a un punto c è costituita dal segmento che li unisce qualunque altro percorso sarà più lungo questo concetto lo abbiamo già visto in occasione della seconda lezione sulla geometria nella quale abbiamo definito il concetto di distanza quindi in sostanza disuguaglianza triangolare esprime un concetto ovvio ovvero che se voglio andare da un punto a ovunque ci devo compiere un tratto rettilineo e non una spezzata