Systèmes Linéaires Continus et Commandes

Bonjour, dans cette première vidéo de PCSI, nous allons traiter du chapitre d'introduction aux asservissements des systèmes linéaires continu invariants. Ce grand chapitre nous intéressera plusieurs semaines. Nous allons aujourd'hui nous intéresser à l'introduction à la commande des systèmes asservis. Et nous pourrons ensuite étudier les réponses des systèmes linéaires continu invariants en étudiant dans un premier temps la réponse temporelle, premier ordre, deuxième ordre, puis nous parlerons d'identification expérimentale. Dans une deuxième partie, au mois de décembre ou janvier, nous traiterons les réponses fréquentielles de ces systèmes asservis. Dans le cadre de l'année de PCSI, ceci s'insère de la manière suivante. Nous avons démarré l'année par l'étude des systèmes, l'ingénierie système, en apportant des éléments normalisés, graphiques, diagrammes 6ML permettant de présenter, d'analyser et d'étudier les performances globales des systèmes quelconques. Nous démarrons maintenant le chapitre des asservissements pour traiter des systèmes asservis et ce qui nous permettra de justifier ensuite la nécessité d'étudier la cinématique et la statique des systèmes de solides. qui suivront par la suite, afin de pouvoir caractériser le comportement de certains sous-systèmes de systèmes asservis. Enfin, à la fin de l'année, nous nous intéresserons aux systèmes logiques et aux systèmes à événements discrets. Donc, démarrons sur l'introduction à la commande des systèmes asservis. Voici ici quelques exemples de systèmes de commande. Nous mettrons en évidence certaines caractéristiques. En particulier, nous distinguerons des systèmes non automatiques, de systèmes... automatique sans intervention humaine et nous distinguerons les systèmes continu des systèmes séquentiels. Le réfrigérateur. Quel est l'objectif d'un réfrigérateur ? C'est de maintenir des aliments qui sont à l'intérieur au frais, donc de réguler une température à l'intérieur de l'enceinte. On est donc ici sur un système automatique, il n'y a pas d'intervention humaine, si ce n'est bien évidemment des réglages préalables. sur quelques interfaces, et un système pour lequel la grandeur asservie, qui est la température, le champ de température, pour être plus précis, à l'intérieur du frigo, est une grandeur continue. On a donc un système continu. L'objectif... de l'asservissement en température réalisé dans un réfrigérateur, c'est bien évidemment de combattre les perturbations qui sont liées à l'ouverture de la porte et donc la perte, l'apport pardon de chaleur et l'éventuel apport d'aliments plus chauds qui vont nécessiter d'être refroidis. Une pelleteuse est un système semi-automatique puisque suivant les configurations, l'être humain va plus ou moins apporter d'énergie, mais cette pelleteuse-là est a priori un système automatique puisque l'être humain ne fournit aucune énergie, juste des informations de commande. La grandeur véhiculée est plutôt du type séquentiel puisque l'on va pelleter ou non pelleter. dans les trois systèmes fusée avion bateau nous avons des asservissements de cap des asservissements de suivi de trajectoire des asservissements de trajectoire de vol pour l'avion donc nous sommes ici sur des systèmes qu'on dira suiveurs dans le sens où l'objectif est de faire en sorte que le cap suivi la trajectoire suivi soit parfaitement égal à celle qui est souhaité commander en entrée en consigne ce sont donc des systèmes automatiques le système de pilote automatique d'avion l'indique bien par son nom. Le suivi de trajectoire d'Ariane est bien évidemment automatique, sans intervention humaine. Et le suivi de cap d'un bateau d'un navire peut être automatisé. On est ici sur des grandeurs continues puisque la grandeur à servi, c'est le cap, la direction du bateau qui est une fonction continue du temps. L'objectif de ces trois systèmes, c'est de combattre les perturbations qui vont s'exercer sur le système. Dans un cas, des perturbations liées au vent, au courant marin, aux vagues. Dans un autre cas, les perturbations liées au vent, au courant aérodynamique. Et dans le troisième cas, pour la fusée, de la même manière, les perturbations qui peuvent être liées à des différences atmosphériques de pression et donc de vent. Enfin, le dernier système présent ici, un portail de... métro et lui par contre un système séquentiel puisqu'il va fonctionner par séquence par intermittence le système est bien évidemment automatique il va détecter et autoriser un passage à un client lorsque ce client aura validé son titre de transport Alors, venons donc ici au détail des hypothèses des systèmes linéaires continu invariants. Commençons par la définition de ce que c'est qu'un système continu. De la manière en vision systémique, un système de commande peut être vu avec comme fonction principale de commander. Et pour ce faire, on a donc un flux de matière d'œuvre entrante. qui est associé à une commande et le flux de matière d'oeuvre sortante est un flux de matière commandé. Nous ce qui nous intéressera plus particulièrement c'est la vision schéma bloc pour ces asservissements, pour lequel on va considérer que le système de commande a une entrée, une commande, et a une sortie qui est une grandeur qui va être pilotée et qui va être l'entrée d'un nouveau sous-système. Ce qui est important comme hypothèse de départ pour l'étude des systèmes linéaires continu invariants, c'est qu'on se place dans le cadre de l'hypothèse du principe de causalité. On va considérer que tout effet a une cause et que les mêmes causes dans les mêmes conditions produisent les mêmes effets. Sinon, ce serait très compliqué de mathématiser le comportement de système ne respectant pas le principe de causalité. Ainsi, le système est régi par une loi entre l'entrée et la sortie, un rapport entre l'entrée et la sortie. L'objectif va être de caractériser le système ou les sous-systèmes. par des équations temporelles reliant entrée et sortie l'objectif d'un système à service et que la grandeur de sortie qui est à forte énergie revenons pensons à la pelleteuse pensons à la fusée pour se déplacer pour mouvoir ces choses là il faut une énergie entre guillemets énorme et elle est pilotée la commande qui, elle, est à faible énergie et donc va pouvoir être mise en œuvre très facilement par l'être humain sans pénibilité. Donc voilà l'intérêt du système asservi. Une autre hypothèse des systèmes linéaires continu invariants, c'est l'invariance. Qu'est-ce que l'invariance ? Un système est invariant lorsque son comportement ne dépend pas du temps. Pour ce faire, le système admet une certaine entrée temporelle, une certaine sortie temporelle. Si je choisis comme système un ressort, son comportement ne va pas dépendre du temps. Vous connaissez la loi classique pour laquelle on peut modéliser linéairement un ressort en disant que l'effort, par exemple en sortie, va être proportionnel, par le coefficient de proportionnalité qu'on appelle la raideur, à l'écrasement du ressort. Donc cette loi-là, que je viens d'énoncer, correspond à une loi a priori invariante, dans le sens où si on étudie le ressort sans qu'il vieillisse trop, s'il est en élastomère, la raideur va être constante au cours du temps. Par contre, vous connaissez bien évidemment un contre-exemple bien particulier, le débit des données sur Internet est quelque chose de complètement non invariant au cours du temps. Parfois ça va vite, parfois ça ne va pas vite, on ne le maîtrise en plus même pas forcément. Encore l'hypothèse maintenant de système continu. Qu'est-ce qu'un système continu ? Un système continu est un système pour lequel l'entrée et la sortie sont des grandeurs continues du temps. Les systèmes continus s'opposent donc au système échantillonné ou autrement appelé discret que vous étudierez plus tard en école d'ingénieur, où les grandeurs sont connues en un nombre fini de points, ce qui est le cas de tous les signaux numérisés. Alors des exemples de systèmes continus, un thermomètre, les grandeurs d'entrée, sortie, température, sont fonction du temps. Un contre-exemple un petit peu rigolo, qui vous intéressera probablement très prochainement, c'est le classement aux écoles d'ingénieurs. Vous avez une place et pas une autre. Et puis les signaux traités par ordinateur. Ce qui fait que le cadre de ce cours que l'on étudie cette année et l'année prochaine, les systèmes linéaires continu et invariant, nous permet d'étudier les asservissements continus. Donc... de manière, on va le voir, relativement facile et accessible. En école d'ingénieur, vous pourrez traiter des cas plus compliqués, mais beaucoup plus réels, des signaux échantillonnés. Enfin, dernière hypothèse, qu'est-ce qu'un système linéaire ? On l'a déjà un petit peu rencontré, on en a parlé pendant l'illustration intuitive sur le régulateur. un système est linéaire s'il satisfait au théorème de superposition, c'est-à-dire si pour le même système, une entrée E1 donne une sortie S1, une entrée E2 donne une sortie S2, toute combinaison linéaire d'entrées donne la même combinaison linéaire des sorties associées. Les combinaisons linéaires, vous verrez ça en étudiant les espaces vectoriels en maths très prochainement. Si je multiplie l'entrée par une constante que j'ajoute à l'autre entrée par une autre constante, je garde les mêmes constantes et la même somme avec les sorties correspondantes aux entrées étudiées. Exemple de système linéaire, on revient sur le ressort. La raideur k du ressort est un coefficient de proportionnalité reliant l'écrasement ici noté x et l'effort extérieur appliqué par le ressort. On est ici sur une loi linéaire. Un contre-exemple est clairement le débit d'un robinet qu'en fonction de son angle d'ouverture. Pour une pression donnée, il y a non-linéarité. Quelques exemples... Non, pardon. On commence dans un premier temps avant de regarder quelques exemples de non-linéarité dans la diapo suivante. Regardons ce que ça donne. Un système linéaire, c'est ce que l'on va trouver ici sur ce petit graphique. de gauche c'est à dire que si j'ai tracé en abscisse l'entrée et en ordonnée la sortie que j'ai donc la sortie en fonction de l'entrée ici j'ai un comportement linéaire, j'ai une droite si je multiplie l'entrée par 2, si je multiplie l'entrée, la noire, par 2, je tombe sur bleu, la sortie vaut 2 fois la sortie qu'il y avait en noir, et ainsi de suite si je multiplie par 3. Donc j'ai un coefficient de proportionnalité entre l'entrée et la sortie. Ici au milieu, j'ai un comportement non linéaire. La courbe caractéristique entrée-sortie, sortie en fonction de l'entrée, n'est pas une droite, et donc vous voyez si là, x1, noir, vaut, on va dire, 2 échelles, si je multiplie par 2 que je tombe sur bleu, et bien là, je n'ai pas multiplié par 2. de la sortie. Et pareil, en allant sur vert en multipliant par 3. Le système est non linéaire. Je ne peux donc pas utiliser pour un système tel que celui-ci, a priori, les résultats du cours du cadre dans lequel on va s'insérer et que l'on va développer prochainement. Pour pouvoir arriver à traiter des modélisations simples et obtenir des résultats, nous pourrons, comme on l'en a déjà parlé sur l'illustration régulateur de vitesse, nous pourrons linéariser le fonctionnement autour d'un point de fonctionnement par le comportement linéaire tangent. Pour ce faire, l'approximation sera valable dans une zone d'approximation. qui va dépendre de la manière dont la courbe est chahutée. Et tout ça, je vous renvoie à vos cours de maths que vous aurez prochainement sur les développements limités, par exemple. Donc il est possible de linéariser la réponse d'un système non linéaire, mais quand même entre guillemets gentil, par linéarisation du comportement tangent au point de fonctionnement. Quelques non-linéarités remarquables et classiques. Il y en a globalement trois. La saturation. Lors d'une saturation, le comportement est linéaire pour une certaine valeur d'entrée inférieure à une certaine valeur. Et au-delà d'une valeur d'entrée, il y a saturation, autrement dit, la sortie n'évolue plus et devient constante maximale. C'est le cas de butées mécaniques, par exemple si l'on représente le jeu en fonction de l'effort appliqué. Donc c'est le cas aussi de l'aimantation, comme vous le verrez en cours de physique prochainement, et c'est le cas de l'alimentation en tension d'un moteur électrique. La tension d'alimentation d'un moteur électrique ne peut pas être égale à des milliers de volts. Les effets de seuil sont une autre non-linéarité classique et importante à connaître. C'est-à-dire que la sortie n'évolue qu'à partir d'une certaine valeur de l'entrée. Et ensuite, on peut considérer éventuellement qu'on a un comportement linéaire. C'est le cas par exemple du frottement. Dans le cas du frottement, on va avoir... Dans le cas de certaines modélisations, il est possible que... L'effort au contact frottant normal. L'effort au contact tangentiel n'existe qu'à partir d'une certaine valeur d'effort normal. On verra ce comportement de frottement en effort tangentiel et effort normal au niveau du contact relié par un coefficient de frottement et par un modèle non linéaire appelé modèle de Coulomb. On verra ça en statique des systèmes de solide en fin d'année. Donc là, un seuil, parce qu'au-delà d'une certaine valeur, valeur seuil d'entrée, la sortie évolue. Et puis d'autres non-linéarités comme les phénomènes d'hystérésis pour lesquels il y a un sens de parcours de la loi entrée-sortie et on va avoir une charge et une décharge par exemple sur une courbe qui ne vont pas passer par les mêmes points. Autrement dit, on va avoir finalement bien souvent l'air à l'intérieur de la courbe correspond à une dissipation d'énergie. Vous verrez ça éventuellement un peu plus tard dans l'étude de certains matériaux type élastomère. Certains jeux mécaniques peuvent aussi se représenter de cette manière-là. Donc ces non-linarités d'esthérésie, il y a aussi les questions d'aimantation que vous verrez en physique. Cette notion d'hystérésie, vous l'aborderez une de ces deux prochaines années en physique et éventuellement vous l'étudierez plus profondément dans certains domaines en école d'ingénieur. Parlons maintenant, apportons encore un petit peu de vocabulaire pour l'étude de ces systèmes linéaires continu invariants et parlons de commandes en chaîne directe. Un système fonctionne en chaîne directe s'il n'y a pas de contrôle sur la manière dont la commande a été exécutée. Autrement dit, vous voyez là, tout est en chaîne, de la commande jusqu'à la sortie. Il va y avoir correction du système, amplification du signal de consigne, passage dans le processus, on va dire mécanique, et la grandeur de sortie, de manière théorique, va évoluer. Le système est en chaîne directe ici car je n'ai aucune mesure de la sortie. pour commander de manière plus efficace et plus intelligente le système donc commande en chaine directe commande en boucle ouverte Exemple vis-à-vis de notre illustration intuitive traitée la semaine passée, c'est le cas d'une voiture conduite non automatiquement, même si en vrai l'être humain fait un retour de boucle fermée. Et l'exemple de la machine à laver, qui bien qu'elle soit en automatique, ne va pas vérifier s'il reste des tâches à un endroit sur un bout de linge ou pas. Donc on met du linge dans une machine, on met en route, on met de la lessive, on met en route un programme choisi. Ensuite, tout se fait automatiquement. Et à la sortie, c'est à l'être humain de regarder s'il reste des tâches sur lesquelles travailler particulièrement ou pas. Autre mot de vocabulaire important dont on a déjà parlé, mais qu'il est important de bien fixer, une perturbation. Une perturbation est une autre cause que l'entrée principale de consigne agissant sur le système. C'est donc une grandeur d'entrée, mais elle n'est pas contrôlée. Donc, dans le cas d'un fonctionnement en chaîne directe, la perturbation s'applique essentiellement sur le processus, et c'est ce qui justifie la nécessité d'asservissement et de commande en boucle fermée, comme on le verra dans le transparent suivant. Des exemples de perturbations, des dérives dues aux roues ou au vent latéral dans le cas de la voiture et de l'asservissement en vitesse de la voiture, les vagues dans le cas d'un maintien de câble de voilier, le vent et les perturbations... en termes de pression atmosphérique pour un engin aérospatial, et puis des tâches ou du linge difficile pour la machine à laver, qui vont finalement parfois ressortir, qu'on va parfois retrouver en sortie, on va parfois retrouver une influence des perturbations. en sortie. Donc pour contrer ces perturbations qui ne sont absolument pas maîtrisées par l'homme, il est fondamental dans la plupart des applications d'asservir le système et donc de passer en commande en boucle fermée. Un système fonctionne en boucle fermée si une mesure de la sortie est réalisée afin de la comparer à la consigne et d'agir sur le système en conséquence. On a donc la nécessité de la consigne. d'introduire un ou des capteurs mesurant des effets du processus sur la sortie pour en tenir compte et comparer à la commande et ensuite décider de comment commander au niveau du processus. Et donc, quand on a servi un système de cette manière-là, on s'attend à avoir des exigences en termes de précision, en termes de rapidité, en termes de stabilité, comme on l'a déjà énoncé et mis en évidence sur l'illustration intuitive du régulateur de vitesse. Et c'est ce que l'on se propose de faire en sciences de l'ingénieur, c'est de valider des solutions techniques en vérifiant qu'elles respectent les niveaux de performance du cahier des charges, en particulier sur ces critères. Alors, ces critères... Comment les énoncer de manière scientifique et rigoureuse ? Nous allons voir maintenant, pour terminer cette vidéo, comment quantifier ces performances. Parlons tout d'abord de la précision d'un système asservi. La précision va être définie par l'écart entre la réponse permanente à un échelon et la valeur de consigne. Donc ça c'est important, c'est à prendre par cœur. La précision est... caractérisé par l'écart entre la réponse permanente et la consigne, bien souvent échelon. Donc on va envoyer une consigne constante qu'on appelle échelon, c'est-à-dire une valeur à partir d'un temps t égale 0 constante, et on va regarder l'évolution de la sortie de notre système. Premier cas, courbe à gauche, le système est précis. Pourquoi ? Parce que l'écart en régime permanent entre l'entrée et la sortie est nul. La consigne est ce créneau, cette valeur constante autant t égale 0. La sortie évolue au fur et à mesure du temps, et au bout d'un certain temps, à converger vers la consigne, l'erreur est nulle. Système de droite, le système est non précis. Il subsiste un écart en régime permanent entre la consigne et la réponse du système. On peut donc quantifier la précision par la mesure de cet écart et l'exprimer en pourcentage de la valeur finale. Ici, on aurait quelque chose comme 20% d'erreur. Parlons de la rapidité d'un système asservi. De la même manière, il faut connaître, il faut savoir, que la rapidité est définie par le temps nécessaire pour que l'écart entre la réponse à un échelon et la valeur à convergence soit inférieur à 5%. C'est ce que l'on appelle le temps de l'échange. de réponse à 5%. J'envoie une entrée constante dans le système, un échelon. Je regarde la sortie. Système de gauche. Le temps de réponse à 5% du système vaut à peu près 3,8 secondes. C'est-à-dire que... J'identifie la valeur à convergence de la sortie. Je trace la bande des plus ou moins 5% de la valeur finale. Et mon temps de réponse à 5% est le temps à partir du début de la réponse, de l'envoi de l'entrée, au-delà duquel le système ne sort plus de la bande des plus ou moins 5% fois la valeur finale. Donc ici, 3,8 secondes. Système de droite. On a un système qui va osciller, dépasser avant de se stabiliser. pour converger, je trace la valeur finale à convergence, je trace la bande des plus ou moins 5% et je regarde le temps au-delà duquel le système n'en sort plus de ces plus ou moins 5% de la valeur finale. Ici, environ 6,3 secondes. On a donc caractérisé, quantifié la rapidité de chacun de ces deux systèmes. Et on peut dire que celui de droite est plus lent à converger. que celui de gauche. Notez, soit dit en passant, que chacun des deux systèmes n'est pas précis. La valeur à convergence de la sortie n'est pas celle de la consigne. C'est important de le noter au passage vis-à-vis du critère précédent. Un autre critère important est celui de la présence ou non, l'acceptation ou non de dépassement pour un système asservi. Un système présente des dépassements lorsque la réponse à une sollicitation de type échelon dépasse la valeur à convergence avant de converger. Donc ça, il faut savoir le définir, comme tous les critères, il faut savoir les définir et les quantifier. Donc, système de gauche, il n'y a pas de dépassement. La réponse, croix. jusqu'à atteindre sa valeur à convergence. La réponse n'a jamais dépassé la valeur à convergence de la sortie. Remarque en passant, ce système est toujours non précis. Ce système à droite est encore non précis, il y a une erreur en régime permanent. Je regarde la valeur à convergence et je me rends compte qu'il y a eu des dépassements. Ce système a donc dépassé et le premier dépassement vaut à peu près 40% de la valeur finale. On peut le quantifier. Bien évidemment, suivant les systèmes asservis, un ingénieur acceptera ou non, en termes d'exigence, qu'il y ait des dépassements ou pas. Par exemple, pour reprendre un exemple de centrale nucléaire type CEA, du type de celles développées par le CEA. Quand on a un crayon de combustible à venir déposer avec un bras de robot dans l'enceinte et que par exemple on est en train de changer un crayon de combustible au bord de l'enceinte bétonnée, donc à la périphérie du rayon, si jamais on a un dépassement en terme d'asservissement en précision de positionnement du bras, on risque de venir taper le crayon de combustible sur l'enceinte en béton, ce qui devrait a priori ne pas être souhaitable dans les exigences du système. Enfin, dernière performance, la stabilité d'un système asservi. La stabilité est la capacité du système à converger vers une valeur constante. Donc toujours une entrée constante, je regarde la sortie. Système de gauche, la sortie converge, le système est stable. Système du milieu, la sortie est purement oscillante, on appelle ça un système quasi stable et dans la plupart des applications ingénieurs, on ne le considérera pas stable. système de droite la réponse divergent elle ne converge pas vers une valeur constante le Le système est instable. Notons quand même sur ce système de gauche stable qu'il est imprécis. Il reste une erreur en régime permanent. Donc la stabilité, capacité à converger vers une valeur constante. Bien évidemment, à la base d'un système asservi, on va demander une stabilité. Tout l'objet du cours de première, mais surtout de deuxième année, va être de quantifier quelques éléments de stabilité en introduisant des marges de stabilité, puisque entre un système... stable et un autre qui oscillera plus longtemps par exemple que celui-ci, peut-être qu'il y en a un qu'on acceptera et pas l'autre. En revanche, les systèmes instables, clairement, on n'en voudra jamais. Encore deux petits mots de vocabulaire. On va distinguer un système à service régulateur d'un système à service suiveur. Un système à service régulateur est tel que la valeur de consigne est constante. Bien évidemment, on essaie de compenser les effets des perturbations. Exemple, le pilote automatique de pétrolier. Un système à service suiveur. Dans ce cas, la valeur de consigne évolue avec le temps. Il s'agit de suivre la consigne. Exemple, le suivi de trajectoire sur Ariane. Merci. D'autres exemples, un système régulateur, un château d'eau qui va maintenir une pression dans un système de distribution d'eau. L'entrée est constante ou constante par morceau, c'est la hauteur d'eau. Le système suiveur, pardon, un télescope est un système suiveur. L'entrée est fonction du temps. Si on crée un asservissement pour automatiser le suivi d'une étoile tout au long de quelques heures pendant la nuit, Comme il y a des mouvements célestes, il faut déplacer les axes du télescope par rapport au référentiel terrestre galiléen. Et donc, on a un suivi d'étoiles à faire. L'entrée est une fonction du temps. Bien souvent, sur le télescope, on aura l'azimuth et l'élevation, deux axes à recaler. Pour terminer, parlons d'équations de comportement. On a étudié des systèmes, on dit qu'il y avait une entrée et une sortie, que l'objectif c'était d'avoir une équation différentielle reliant l'entrée et la sortie. Le comportement des systèmes monovariables linéaires, continu, invariants, peut être représenté par une équation différentielle de ce type-là. un certain nombre de sommes de constantes fois des dérivés de sortie égale un certain nombre de constantes fois les dérivés des entrées. Pour assurer le principe de causalité, il nous faut n plus petit que d, c'est-à-dire l'ordre maximal des dérivés d'entrée plus petit que l'ordre maximal des dérivés de sortie, sinon il n'y a pas unicité de la solution et on n'est plus dans le principe de causalité et on aura du mal à étudier des réponses si elles ne sont pas uniques. Voilà donc comment se caractérise le système. C'est ce que l'on a déjà fait sur l'illustration régulateur de vitesse pour le bloc voiture. On avait une équation différentielle du comportement, équation différentielle d'ordre 1, ici elle est d'ordre quelconque, une entrée temporelle, une sortie temporelle, et mon système est caractérisé par une équation différentielle qui me relie le comportement entrée-sortie. Comment faire pour s'en sortir ? Résoudre des équations différentielles, vous ne savez pas faire, encore moins quand elles sont d'ordre élevé. 2, 3, 4, 5, 6. L'outil adapté pour manipuler ces équations de comportement est celui que l'on verra dans la prochaine vidéo qui est appelé Transformer de la place qui est à la base des quelques petites simulations que je vous ai montrées sous SciLab à la fin de l'illustration du régulateur de vitesse. Voilà qui clôt cette première vidéo sur les hypothèses des systèmes linéaires continu invariants.

Et nous pourrons ensuite étudier les réponses des systèmes linéaires continu invariants en étudiant dans un premier temps la réponse temporelle, premier ordre, deuxième ordre, puis nous parlerons d'identification expérimentale. Dans une deuxième partie, au mois de décembre ou janvier, nous traiterons les réponses fréquentielles de ces systèmes asservis. Dans le cadre de l'année de PCSI, ceci s'insère de la manière suivante.

Nous avons démarré l'année par l'étude des systèmes, l'ingénierie système, en apportant des éléments normalisés, graphiques, diagrammes 6ML permettant de présenter, d'analyser et d'étudier les performances globales des systèmes quelconques. Nous démarrons maintenant le chapitre des asservissements pour traiter des systèmes asservis et ce qui nous permettra de justifier ensuite la nécessité d'étudier la cinématique et la statique des systèmes de solides. qui suivront par la suite, afin de pouvoir caractériser le comportement de certains sous-systèmes de systèmes asservis. Enfin, à la fin de l'année, nous nous intéresserons aux systèmes logiques et aux systèmes à événements discrets. Donc, démarrons sur l'introduction à la commande des systèmes asservis.

Voici ici quelques exemples de systèmes de commande. Nous mettrons en évidence certaines caractéristiques. En particulier, nous distinguerons des systèmes non automatiques, de systèmes... automatique sans intervention humaine et nous distinguerons les systèmes continu des systèmes séquentiels. Le réfrigérateur.

Quel est l'objectif d'un réfrigérateur ? C'est de maintenir des aliments qui sont à l'intérieur au frais, donc de réguler une température à l'intérieur de l'enceinte. On est donc ici sur un système automatique, il n'y a pas d'intervention humaine, si ce n'est bien évidemment des réglages préalables.

sur quelques interfaces, et un système pour lequel la grandeur asservie, qui est la température, le champ de température, pour être plus précis, à l'intérieur du frigo, est une grandeur continue. On a donc un système continu. L'objectif... de l'asservissement en température réalisé dans un réfrigérateur, c'est bien évidemment de combattre les perturbations qui sont liées à l'ouverture de la porte et donc la perte, l'apport pardon de chaleur et l'éventuel apport d'aliments plus chauds qui vont nécessiter d'être refroidis. Une pelleteuse est un système semi-automatique puisque suivant les configurations, l'être humain va plus ou moins apporter d'énergie, mais cette pelleteuse-là est a priori un système automatique puisque l'être humain ne fournit aucune énergie, juste des informations de commande.

La grandeur véhiculée est plutôt du type séquentiel puisque l'on va pelleter ou non pelleter. dans les trois systèmes fusée avion bateau nous avons des asservissements de cap des asservissements de suivi de trajectoire des asservissements de trajectoire de vol pour l'avion donc nous sommes ici sur des systèmes qu'on dira suiveurs dans le sens où l'objectif est de faire en sorte que le cap suivi la trajectoire suivi soit parfaitement égal à celle qui est souhaité commander en entrée en consigne ce sont donc des systèmes automatiques le système de pilote automatique d'avion l'indique bien par son nom. Le suivi de trajectoire d'Ariane est bien évidemment automatique, sans intervention humaine.

Et le suivi de cap d'un bateau d'un navire peut être automatisé. On est ici sur des grandeurs continues puisque la grandeur à servi, c'est le cap, la direction du bateau qui est une fonction continue du temps. L'objectif de ces trois systèmes, c'est de combattre les perturbations qui vont s'exercer sur le système. Dans un cas, des perturbations liées au vent, au courant marin, aux vagues. Dans un autre cas, les perturbations liées au vent, au courant aérodynamique.

Et dans le troisième cas, pour la fusée, de la même manière, les perturbations qui peuvent être liées à des différences atmosphériques de pression et donc de vent. Enfin, le dernier système présent ici, un portail de... métro et lui par contre un système séquentiel puisqu'il va fonctionner par séquence par intermittence le système est bien évidemment automatique il va détecter et autoriser un passage à un client lorsque ce client aura validé son titre de transport Alors, venons donc ici au détail des hypothèses des systèmes linéaires continu invariants. Commençons par la définition de ce que c'est qu'un système continu. De la manière en vision systémique, un système de commande peut être vu avec comme fonction principale de commander.

Et pour ce faire, on a donc un flux de matière d'œuvre entrante. qui est associé à une commande et le flux de matière d'oeuvre sortante est un flux de matière commandé. Nous ce qui nous intéressera plus particulièrement c'est la vision schéma bloc pour ces asservissements, pour lequel on va considérer que le système de commande a une entrée, une commande, et a une sortie qui est une grandeur qui va être pilotée et qui va être l'entrée d'un nouveau sous-système. Ce qui est important comme hypothèse de départ pour l'étude des systèmes linéaires continu invariants, c'est qu'on se place dans le cadre de l'hypothèse du principe de causalité. On va considérer que tout effet a une cause et que les mêmes causes dans les mêmes conditions produisent les mêmes effets.

Sinon, ce serait très compliqué de mathématiser le comportement de système ne respectant pas le principe de causalité. Ainsi, le système est régi par une loi entre l'entrée et la sortie, un rapport entre l'entrée et la sortie. L'objectif va être de caractériser le système ou les sous-systèmes.

par des équations temporelles reliant entrée et sortie l'objectif d'un système à service et que la grandeur de sortie qui est à forte énergie revenons pensons à la pelleteuse pensons à la fusée pour se déplacer pour mouvoir ces choses là il faut une énergie entre guillemets énorme et elle est pilotée la commande qui, elle, est à faible énergie et donc va pouvoir être mise en œuvre très facilement par l'être humain sans pénibilité. Donc voilà l'intérêt du système asservi. Une autre hypothèse des systèmes linéaires continu invariants, c'est l'invariance. Qu'est-ce que l'invariance ?

Un système est invariant lorsque son comportement ne dépend pas du temps. Pour ce faire, le système admet une certaine entrée temporelle, une certaine sortie temporelle. Si je choisis comme système un ressort, son comportement ne va pas dépendre du temps.

Vous connaissez la loi classique pour laquelle on peut modéliser linéairement un ressort en disant que l'effort, par exemple en sortie, va être proportionnel, par le coefficient de proportionnalité qu'on appelle la raideur, à l'écrasement du ressort. Donc cette loi-là, que je viens d'énoncer, correspond à une loi a priori invariante, dans le sens où si on étudie le ressort sans qu'il vieillisse trop, s'il est en élastomère, la raideur va être constante au cours du temps. Par contre, vous connaissez bien évidemment un contre-exemple bien particulier, le débit des données sur Internet est quelque chose de complètement non invariant au cours du temps.

Parfois ça va vite, parfois ça ne va pas vite, on ne le maîtrise en plus même pas forcément. Encore l'hypothèse maintenant de système continu. Qu'est-ce qu'un système continu ? Un système continu est un système pour lequel l'entrée et la sortie sont des grandeurs continues du temps.

Les systèmes continus s'opposent donc au système échantillonné ou autrement appelé discret que vous étudierez plus tard en école d'ingénieur, où les grandeurs sont connues en un nombre fini de points, ce qui est le cas de tous les signaux numérisés. Alors des exemples de systèmes continus, un thermomètre, les grandeurs d'entrée, sortie, température, sont fonction du temps. Un contre-exemple un petit peu rigolo, qui vous intéressera probablement très prochainement, c'est le classement aux écoles d'ingénieurs. Vous avez une place et pas une autre. Et puis les signaux traités par ordinateur.

Ce qui fait que le cadre de ce cours que l'on étudie cette année et l'année prochaine, les systèmes linéaires continu et invariant, nous permet d'étudier les asservissements continus. Donc... de manière, on va le voir, relativement facile et accessible.

En école d'ingénieur, vous pourrez traiter des cas plus compliqués, mais beaucoup plus réels, des signaux échantillonnés. Enfin, dernière hypothèse, qu'est-ce qu'un système linéaire ? On l'a déjà un petit peu rencontré, on en a parlé pendant l'illustration intuitive sur le régulateur. un système est linéaire s'il satisfait au théorème de superposition, c'est-à-dire si pour le même système, une entrée E1 donne une sortie S1, une entrée E2 donne une sortie S2, toute combinaison linéaire d'entrées donne la même combinaison linéaire des sorties associées. Les combinaisons linéaires, vous verrez ça en étudiant les espaces vectoriels en maths très prochainement.

Si je multiplie l'entrée par une constante que j'ajoute à l'autre entrée par une autre constante, je garde les mêmes constantes et la même somme avec les sorties correspondantes aux entrées étudiées. Exemple de système linéaire, on revient sur le ressort. La raideur k du ressort est un coefficient de proportionnalité reliant l'écrasement ici noté x et l'effort extérieur appliqué par le ressort.

On est ici sur une loi linéaire. Un contre-exemple est clairement le débit d'un robinet qu'en fonction de son angle d'ouverture. Pour une pression donnée, il y a non-linéarité. Quelques exemples... Non, pardon.

On commence dans un premier temps avant de regarder quelques exemples de non-linéarité dans la diapo suivante. Regardons ce que ça donne. Un système linéaire, c'est ce que l'on va trouver ici sur ce petit graphique. de gauche c'est à dire que si j'ai tracé en abscisse l'entrée et en ordonnée la sortie que j'ai donc la sortie en fonction de l'entrée ici j'ai un comportement linéaire, j'ai une droite si je multiplie l'entrée par 2, si je multiplie l'entrée, la noire, par 2, je tombe sur bleu, la sortie vaut 2 fois la sortie qu'il y avait en noir, et ainsi de suite si je multiplie par 3. Donc j'ai un coefficient de proportionnalité entre l'entrée et la sortie. Ici au milieu, j'ai un comportement non linéaire.

La courbe caractéristique entrée-sortie, sortie en fonction de l'entrée, n'est pas une droite, et donc vous voyez si là, x1, noir, vaut, on va dire, 2 échelles, si je multiplie par 2 que je tombe sur bleu, et bien là, je n'ai pas multiplié par 2. de la sortie. Et pareil, en allant sur vert en multipliant par 3. Le système est non linéaire. Je ne peux donc pas utiliser pour un système tel que celui-ci, a priori, les résultats du cours du cadre dans lequel on va s'insérer et que l'on va développer prochainement.

Pour pouvoir arriver à traiter des modélisations simples et obtenir des résultats, nous pourrons, comme on l'en a déjà parlé sur l'illustration régulateur de vitesse, nous pourrons linéariser le fonctionnement autour d'un point de fonctionnement par le comportement linéaire tangent. Pour ce faire, l'approximation sera valable dans une zone d'approximation. qui va dépendre de la manière dont la courbe est chahutée. Et tout ça, je vous renvoie à vos cours de maths que vous aurez prochainement sur les développements limités, par exemple. Donc il est possible de linéariser la réponse d'un système non linéaire, mais quand même entre guillemets gentil, par linéarisation du comportement tangent au point de fonctionnement.

Quelques non-linéarités remarquables et classiques. Il y en a globalement trois. La saturation. Lors d'une saturation, le comportement est linéaire pour une certaine valeur d'entrée inférieure à une certaine valeur. Et au-delà d'une valeur d'entrée, il y a saturation, autrement dit, la sortie n'évolue plus et devient constante maximale.

C'est le cas de butées mécaniques, par exemple si l'on représente le jeu en fonction de l'effort appliqué. Donc c'est le cas aussi de l'aimantation, comme vous le verrez en cours de physique prochainement, et c'est le cas de l'alimentation en tension d'un moteur électrique. La tension d'alimentation d'un moteur électrique ne peut pas être égale à des milliers de volts.

Les effets de seuil sont une autre non-linéarité classique et importante à connaître. C'est-à-dire que la sortie n'évolue qu'à partir d'une certaine valeur de l'entrée. Et ensuite, on peut considérer éventuellement qu'on a un comportement linéaire.

C'est le cas par exemple du frottement. Dans le cas du frottement, on va avoir... Dans le cas de certaines modélisations, il est possible que... L'effort au contact frottant normal.

L'effort au contact tangentiel n'existe qu'à partir d'une certaine valeur d'effort normal. On verra ce comportement de frottement en effort tangentiel et effort normal au niveau du contact relié par un coefficient de frottement et par un modèle non linéaire appelé modèle de Coulomb. On verra ça en statique des systèmes de solide en fin d'année.

Donc là, un seuil, parce qu'au-delà d'une certaine valeur, valeur seuil d'entrée, la sortie évolue. Et puis d'autres non-linéarités comme les phénomènes d'hystérésis pour lesquels il y a un sens de parcours de la loi entrée-sortie et on va avoir une charge et une décharge par exemple sur une courbe qui ne vont pas passer par les mêmes points. Autrement dit, on va avoir finalement bien souvent l'air à l'intérieur de la courbe correspond à une dissipation d'énergie.

Vous verrez ça éventuellement un peu plus tard dans l'étude de certains matériaux type élastomère. Certains jeux mécaniques peuvent aussi se représenter de cette manière-là. Donc ces non-linarités d'esthérésie, il y a aussi les questions d'aimantation que vous verrez en physique. Cette notion d'hystérésie, vous l'aborderez une de ces deux prochaines années en physique et éventuellement vous l'étudierez plus profondément dans certains domaines en école d'ingénieur.

Parlons maintenant, apportons encore un petit peu de vocabulaire pour l'étude de ces systèmes linéaires continu invariants et parlons de commandes en chaîne directe. Un système fonctionne en chaîne directe s'il n'y a pas de contrôle sur la manière dont la commande a été exécutée. Autrement dit, vous voyez là, tout est en chaîne, de la commande jusqu'à la sortie.

Il va y avoir correction du système, amplification du signal de consigne, passage dans le processus, on va dire mécanique, et la grandeur de sortie, de manière théorique, va évoluer. Le système est en chaîne directe ici car je n'ai aucune mesure de la sortie. pour commander de manière plus efficace et plus intelligente le système donc commande en chaine directe commande en boucle ouverte Exemple vis-à-vis de notre illustration intuitive traitée la semaine passée, c'est le cas d'une voiture conduite non automatiquement, même si en vrai l'être humain fait un retour de boucle fermée.

Et l'exemple de la machine à laver, qui bien qu'elle soit en automatique, ne va pas vérifier s'il reste des tâches à un endroit sur un bout de linge ou pas. Donc on met du linge dans une machine, on met en route, on met de la lessive, on met en route un programme choisi. Ensuite, tout se fait automatiquement. Et à la sortie, c'est à l'être humain de regarder s'il reste des tâches sur lesquelles travailler particulièrement ou pas. Autre mot de vocabulaire important dont on a déjà parlé, mais qu'il est important de bien fixer, une perturbation.

Une perturbation est une autre cause que l'entrée principale de consigne agissant sur le système. C'est donc une grandeur d'entrée, mais elle n'est pas contrôlée. Donc, dans le cas d'un fonctionnement en chaîne directe, la perturbation s'applique essentiellement sur le processus, et c'est ce qui justifie la nécessité d'asservissement et de commande en boucle fermée, comme on le verra dans le transparent suivant.

Des exemples de perturbations, des dérives dues aux roues ou au vent latéral dans le cas de la voiture et de l'asservissement en vitesse de la voiture, les vagues dans le cas d'un maintien de câble de voilier, le vent et les perturbations... en termes de pression atmosphérique pour un engin aérospatial, et puis des tâches ou du linge difficile pour la machine à laver, qui vont finalement parfois ressortir, qu'on va parfois retrouver en sortie, on va parfois retrouver une influence des perturbations. en sortie.

Donc pour contrer ces perturbations qui ne sont absolument pas maîtrisées par l'homme, il est fondamental dans la plupart des applications d'asservir le système et donc de passer en commande en boucle fermée. Un système fonctionne en boucle fermée si une mesure de la sortie est réalisée afin de la comparer à la consigne et d'agir sur le système en conséquence. On a donc la nécessité de la consigne.

d'introduire un ou des capteurs mesurant des effets du processus sur la sortie pour en tenir compte et comparer à la commande et ensuite décider de comment commander au niveau du processus. Et donc, quand on a servi un système de cette manière-là, on s'attend à avoir des exigences en termes de précision, en termes de rapidité, en termes de stabilité, comme on l'a déjà énoncé et mis en évidence sur l'illustration intuitive du régulateur de vitesse. Et c'est ce que l'on se propose de faire en sciences de l'ingénieur, c'est de valider des solutions techniques en vérifiant qu'elles respectent les niveaux de performance du cahier des charges, en particulier sur ces critères.

Alors, ces critères... Comment les énoncer de manière scientifique et rigoureuse ? Nous allons voir maintenant, pour terminer cette vidéo, comment quantifier ces performances.

Parlons tout d'abord de la précision d'un système asservi. La précision va être définie par l'écart entre la réponse permanente à un échelon et la valeur de consigne. Donc ça c'est important, c'est à prendre par cœur. La précision est...

caractérisé par l'écart entre la réponse permanente et la consigne, bien souvent échelon. Donc on va envoyer une consigne constante qu'on appelle échelon, c'est-à-dire une valeur à partir d'un temps t égale 0 constante, et on va regarder l'évolution de la sortie de notre système. Premier cas, courbe à gauche, le système est précis.

Pourquoi ? Parce que l'écart en régime permanent entre l'entrée et la sortie est nul. La consigne est ce créneau, cette valeur constante autant t égale 0. La sortie évolue au fur et à mesure du temps, et au bout d'un certain temps, à converger vers la consigne, l'erreur est nulle. Système de droite, le système est non précis. Il subsiste un écart en régime permanent entre la consigne et la réponse du système.

On peut donc quantifier la précision par la mesure de cet écart et l'exprimer en pourcentage de la valeur finale. Ici, on aurait quelque chose comme 20% d'erreur. Parlons de la rapidité d'un système asservi. De la même manière, il faut connaître, il faut savoir, que la rapidité est définie par le temps nécessaire pour que l'écart entre la réponse à un échelon et la valeur à convergence soit inférieur à 5%.

C'est ce que l'on appelle le temps de l'échange. de réponse à 5%. J'envoie une entrée constante dans le système, un échelon. Je regarde la sortie.

Système de gauche. Le temps de réponse à 5% du système vaut à peu près 3,8 secondes. C'est-à-dire que...

J'identifie la valeur à convergence de la sortie. Je trace la bande des plus ou moins 5% de la valeur finale. Et mon temps de réponse à 5% est le temps à partir du début de la réponse, de l'envoi de l'entrée, au-delà duquel le système ne sort plus de la bande des plus ou moins 5% fois la valeur finale.

Donc ici, 3,8 secondes. Système de droite. On a un système qui va osciller, dépasser avant de se stabiliser. pour converger, je trace la valeur finale à convergence, je trace la bande des plus ou moins 5% et je regarde le temps au-delà duquel le système n'en sort plus de ces plus ou moins 5% de la valeur finale.

Ici, environ 6,3 secondes. On a donc caractérisé, quantifié la rapidité de chacun de ces deux systèmes. Et on peut dire que celui de droite est plus lent à converger.

que celui de gauche. Notez, soit dit en passant, que chacun des deux systèmes n'est pas précis. La valeur à convergence de la sortie n'est pas celle de la consigne. C'est important de le noter au passage vis-à-vis du critère précédent. Un autre critère important est celui de la présence ou non, l'acceptation ou non de dépassement pour un système asservi.

Un système présente des dépassements lorsque la réponse à une sollicitation de type échelon dépasse la valeur à convergence avant de converger. Donc ça, il faut savoir le définir, comme tous les critères, il faut savoir les définir et les quantifier. Donc, système de gauche, il n'y a pas de dépassement. La réponse, croix. jusqu'à atteindre sa valeur à convergence.

La réponse n'a jamais dépassé la valeur à convergence de la sortie. Remarque en passant, ce système est toujours non précis. Ce système à droite est encore non précis, il y a une erreur en régime permanent. Je regarde la valeur à convergence et je me rends compte qu'il y a eu des dépassements. Ce système a donc dépassé et le premier dépassement vaut à peu près 40% de la valeur finale.

On peut le quantifier. Bien évidemment, suivant les systèmes asservis, un ingénieur acceptera ou non, en termes d'exigence, qu'il y ait des dépassements ou pas. Par exemple, pour reprendre un exemple de centrale nucléaire type CEA, du type de celles développées par le CEA.

Quand on a un crayon de combustible à venir déposer avec un bras de robot dans l'enceinte et que par exemple on est en train de changer un crayon de combustible au bord de l'enceinte bétonnée, donc à la périphérie du rayon, si jamais on a un dépassement en terme d'asservissement en précision de positionnement du bras, on risque de venir taper le crayon de combustible sur l'enceinte en béton, ce qui devrait a priori ne pas être souhaitable dans les exigences du système. Enfin, dernière performance, la stabilité d'un système asservi. La stabilité est la capacité du système à converger vers une valeur constante. Donc toujours une entrée constante, je regarde la sortie. Système de gauche, la sortie converge, le système est stable.

Système du milieu, la sortie est purement oscillante, on appelle ça un système quasi stable et dans la plupart des applications ingénieurs, on ne le considérera pas stable. système de droite la réponse divergent elle ne converge pas vers une valeur constante le Le système est instable. Notons quand même sur ce système de gauche stable qu'il est imprécis. Il reste une erreur en régime permanent.

Donc la stabilité, capacité à converger vers une valeur constante. Bien évidemment, à la base d'un système asservi, on va demander une stabilité. Tout l'objet du cours de première, mais surtout de deuxième année, va être de quantifier quelques éléments de stabilité en introduisant des marges de stabilité, puisque entre un système...

stable et un autre qui oscillera plus longtemps par exemple que celui-ci, peut-être qu'il y en a un qu'on acceptera et pas l'autre. En revanche, les systèmes instables, clairement, on n'en voudra jamais. Encore deux petits mots de vocabulaire. On va distinguer un système à service régulateur d'un système à service suiveur.

Un système à service régulateur est tel que la valeur de consigne est constante. Bien évidemment, on essaie de compenser les effets des perturbations. Exemple, le pilote automatique de pétrolier. Un système à service suiveur. Dans ce cas, la valeur de consigne évolue avec le temps.

Il s'agit de suivre la consigne. Exemple, le suivi de trajectoire sur Ariane. Merci. D'autres exemples, un système régulateur, un château d'eau qui va maintenir une pression dans un système de distribution d'eau.

L'entrée est constante ou constante par morceau, c'est la hauteur d'eau. Le système suiveur, pardon, un télescope est un système suiveur. L'entrée est fonction du temps. Si on crée un asservissement pour automatiser le suivi d'une étoile tout au long de quelques heures pendant la nuit, Comme il y a des mouvements célestes, il faut déplacer les axes du télescope par rapport au référentiel terrestre galiléen.

Et donc, on a un suivi d'étoiles à faire. L'entrée est une fonction du temps. Bien souvent, sur le télescope, on aura l'azimuth et l'élevation, deux axes à recaler. Pour terminer, parlons d'équations de comportement.

On a étudié des systèmes, on dit qu'il y avait une entrée et une sortie, que l'objectif c'était d'avoir une équation différentielle reliant l'entrée et la sortie. Le comportement des systèmes monovariables linéaires, continu, invariants, peut être représenté par une équation différentielle de ce type-là. un certain nombre de sommes de constantes fois des dérivés de sortie égale un certain nombre de constantes fois les dérivés des entrées.

Pour assurer le principe de causalité, il nous faut n plus petit que d, c'est-à-dire l'ordre maximal des dérivés d'entrée plus petit que l'ordre maximal des dérivés de sortie, sinon il n'y a pas unicité de la solution et on n'est plus dans le principe de causalité et on aura du mal à étudier des réponses si elles ne sont pas uniques. Voilà donc comment se caractérise le système. C'est ce que l'on a déjà fait sur l'illustration régulateur de vitesse pour le bloc voiture. On avait une équation différentielle du comportement, équation différentielle d'ordre 1, ici elle est d'ordre quelconque, une entrée temporelle, une sortie temporelle, et mon système est caractérisé par une équation différentielle qui me relie le comportement entrée-sortie. Comment faire pour s'en sortir ?

Résoudre des équations différentielles, vous ne savez pas faire, encore moins quand elles sont d'ordre élevé. 2, 3, 4, 5, 6. L'outil adapté pour manipuler ces équations de comportement est celui que l'on verra dans la prochaine vidéo qui est appelé Transformer de la place qui est à la base des quelques petites simulations que je vous ai montrées sous SciLab à la fin de l'illustration du régulateur de vitesse. Voilà qui clôt cette première vidéo sur les hypothèses des systèmes linéaires continu invariants.

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