Relación de Equivalencia

Introducción

• Se discutirá sobre relaciones de equivalencia en matemáticas.
• Diferencia entre relación de orden y relación de equivalencia.

Relación

• Definición: Conexión entre elementos de un conjunto.
• Puede ser dentro del mismo conjunto o entre conjuntos diferentes.

Relación de Equivalencia

• Determina qué elementos son equivalentes o iguales dentro de un conjunto.
• Usa símbolos como =, ≡, ≈.

Propiedades

• Reflexiva: Todo elemento es equivalente a sí mismo.
  • Ejemplo: 2 es igual a 2.
• Simétrica: Si un elemento es equivalente a otro, entonces el segundo es equivalente al primero.
  • Ejemplo: Si 2 ≡ 2, entonces 2 ≡ 2.
• Transitiva: Si un elemento es equivalente a un segundo, y este segundo a un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero.
  • Ejemplo: Si A ≡ 1 y 1 ≡ α, entonces A ≡ α.

Clase de Equivalencia

• Definición: Subconjunto de todos los elementos equivalentes a un elemento específico.
  • Se denota como C_e.
  • Para un elemento x, contiene todos los elementos y tal que x y y son equivalentes.
• Conjunto Cociente: Conjunto de todas las clases de equivalencia bajo una relación específica.
  • Se denota como A / ~.

Ejemplo

• Conjunto: {A, B, C, D}
• x = 2
• A, C, D son equivalentes a 2.
• Clase de equivalencia de x = {A, C, D}.

Conclusión

• Importancia de las relaciones de equivalencia en diversas estructuras algebraicas.
• Necesidad de revisar los conceptos fundamentales para una mejor comprensión.

Recomendación

• Ver vídeos anteriores sobre relaciones y símbolos usados para mejor contexto.