Kapitel: Aussagenlogik

Bedeutung der Aussagenlogik

• Grundlage für mathematische Methoden und logische Schlussfolgerungen.
• Ziel: Entscheiden, ob eine Aussage wahr oder falsch ist.

Definition und Merkmale von Aussagen

• Logische Aussage: Ein Satz, der eindeutig und sinnvoll als wahr oder falsch klassifiziert werden kann.
• Wahrheitswerte: Nur "wahr" oder "falsch", nichts dazwischen.
• Beispiel: "Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist gerade." (Falsch)

Beispiele für logische Aussagen

• Keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist (wahre Aussage).
• Paradox: "Dieser Satz ist falsch." (Keine logische Aussage)

Definitionen einführen

• Benennung von Objekten mit neuen Namen, z.B. A als die Aussage "97 ist eine Primzahl".

Bildung neuer Aussagen

• Verneinung: "Nicht A" dreht den Wahrheitswert um.

Bindung von Aussagen

• Disjunktion (A oder B): Wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
• Konjunktion (A und B): Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Implikation

• A folgt B: Wahr, wenn nicht A oder B wahr ist.
• Hinreichend: Aus A folgt B.
• Notwendig: B ist notwendig für A.

Direktes Beweisen

• Beispiel: Beweis, dass das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ungerade ist.

Äquivalenz

• A genau dann, wenn B: Beide Aussagen haben denselben Wahrheitswert.

De Morgan'sche Regeln

• Verneinung von Konjunktion und Disjunktion:
  • Nicht (A und B) = Nicht A oder Nicht B
  • Nicht (A oder B) = Nicht A und Nicht B

Indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis

• Indirekter Beweis: Umkehren der Kausalität.
• Widerspruchsbeweis: Annahme des Gegenteils der zu beweisenden Aussage und Herbeiführung eines Widerspruchs.
• Beispiel: Beweis der Irrationalität von Wurzel aus 2.

Definition von Mengen

• Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten.
• Elemente: Objekte innerhalb einer Menge.

Diese Notizen bieten eine Übersicht über die grundlegenden Konzepte der Aussagenlogik, deren Anwendung in Beweisstrategien und die Einführung des Mengenbegriffs, welche in der Vorlesung behandelt wurden.