Übersicht zur Aussagenlogik und ihren Konzepten

Starten wir eben in dieses erste Kapitel und zwar mit Aussagenlogik. Also das erste Kapitel hier wird sich in einem Unterkapitel zuerst mal um Aussagenlogik drehen. Und warum wird Aussagenlogik für uns eine ganz wichtige Grundlage sein? Ja, schlussendlich, was wollen wir? Wir wollen mit mathematischen Methoden, mit logischen Schlussfolgerungen, entscheiden, ob eine Aussage, wo wir erstmal sagen müssen, was das ist, wahr oder falsch ist. Darum dreht sich alles, was wir jetzt machen werden. Und dazu müssen wir uns aber erst einmal darauf einigen, was verstehen wir unter einer logischen Aussage. Und darunter verstehen wir Folgendes. Also eine Aussage oder auch genauer logische Aussage ist zunächst ein Satz. Und das ist jetzt sehr allgemein gegriffen. Ein umgangssprachlicher Satz, so wie das Wetter ist schön. könnte man sagen, wäre das eine logische Aussage, ja dann, wenn Folgendes zutrifft, und zwar, wenn sich entscheiden lässt, nur dann ist es eine Aussage, und zwar, möchte ich betonen, sinnvoll entscheiden lässt, ob sich darum um eine wahre Aussage oder um eine falsche Aussage handelt. Das heißt also, es ist jeder Satz, für den Folgendes zutrifft, es lässt sich eindeutig entscheiden, ob dieser wahr oder falsch ist, und zwar in einer sinnvollen Art und Weise. Und diese beiden Möglichkeiten, wahr und falsch, die nennt man also Wahrheitswerte. Und es muss eindeutig zuordnenbar sein, der Wahrheitswert wahr oder falsch, nichts dazwischen. Also es gibt nur wahr und falsch, sehr dichoton und nichts, wie gesagt, dazwischen. Beachten Sie, dass sich diese Sätze, diese logischen Aussagen teilweise von der Umgangssprache doch deutlich unterscheiden. Also wenn Ihnen ein Politiker irgendeine Aussage präsentiert, dann ist es teilweise schwierig zu sagen, ob das wahr oder falsch ist und teilweise lässt sich das sogar nicht sinnvoll entscheiden, oder? Das heißt, deswegen beachten Sie die Aussagen, die wir uns immer anschauen, dass sie ganz klar sind, sinnvoll klar sind, ob das eine wahre oder eben eine falsche Aussage ist. Zumindest entscheiden lassen muss es sich theoretisch. Es wirklich zu entscheiden kann oft sehr schwierig sein. Gut, wollen wir uns Beispiele anschauen. Ein erstes Beispiel, und seien Sie nicht verwirrt von diesem Dreieck, das ist bei mir nur so ein Bullet Point. Erstes Beispiel könnte folgender, eventuell folgende Aussage sein, Sie sagen mir dann, ob es eine ist. Und zwar, das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl Sie wissen alle, was die natürlichen Zahlen sind. Das sind die, die Sie zum Zählen verwenden, die Sie da so quasi auf den Fingern haben. Also, nochmal, das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist gerade. Also, nochmal, was sind die natürlichen Zahlen? Bei mir beginnen die immer bei 1, Sie können die auch bei 0 beginnen lassen, das ist nicht so tragisch. Und dann sind die zum Zählen 1, 2, 3, 4 und so weiter und so fort. Und ich behaupte das Quadrat, das heißt, wenn ich eine Solche Zahlen mit sich selber multiplizieren. Einer ungeraden natürlichen Zahl ist gerade. Was sagen Sie zu dieser Aussage? Gibt es da Meinungen dazu? Also vielleicht mal da vorne. Falsch! Sie haben alles richtig gemacht. Warum hat er alles richtig gemacht? Eine Frage gestellt, mir genau eine Antwort gegeben. Super! Es gibt ein Analysis 1 Skript, was in der Studie übergeblieben ist. Also ich hoffe, Sie haben nur ganz klar. Gut, also wunderbar. Genau, das ist eine falsche Aussage. Also, und falls Sie schon eins haben, vielleicht hat heute jemand Geburtstag, also es ist sehr wahrscheinlich, dass heute wer Geburtstag hat. Also, warum ist es falsch? Also die Antwort hier vom Herrn Vorn war, es ist eine falsche Aussage. Was muss man denn zuerst überlegen? Bevor ich mir überlege, ob es falsch ist. Ist es überhaupt eine Aussage? Ja, es lässt sich sinnvoll entscheiden, ob es wahr oder falsch ist. Eigentlich müssen wir es beweisen. Wir werden später sehen, ja es ist falsch. Wir können aber auch ein Gegenbeispiel angeben. Wem fällt 1 ein? Wie bitte? 3 zum Quadrat. Ja, warum? Das gibt 9. Also wir sehen, 3 ist definitiv eine ungerade natürliche Zahl. Das Quadrat ist 9, aber das ist auch ungerade. Das hier ist eine falsche Aussage. Also Sie sehen schon, wenn der Tag lang ist, kann man viel Falsches hinschreiben und zu entscheiden, ob es wahr oder falsch ist, ist aber teilweise eben nicht so einfach. Gut, in dem Fall war es jetzt nicht sehr schwierig. Was sagen Sie zur folgenden Aussage? Vielleicht Aussage. Und zwar, es gibt keine rationale Zeit. Rationale Zahlen sind die Bruchzahlen, die kennen Sie auch aus der Schule, 7 Drittel und so Zeug. Also es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat, schon wieder ein Quadrat, gleich 2 ist. Das soll Ist heißen. Übrigens, wenn Sie was nicht lesen können, dürfen Sie auch schreien. Ist erstens das hier eine Aussage? Das ist das erste, was wir klären müssen. Gibt es Meinungen? Also da sollte man sinnvoll entscheiden können, ob es wahr oder falsch ist. Ist es einfach, das zu entscheiden für Sie gerade? Wer weiß es denn? Da vorne vielleicht? Genau, genau das Richtige angesprochen. Wenn wir also eine rationale Zahl suchen, die quadriert, eben 2 ergibt, bedeutet das, man zieht die Wurzel. Da wissen wir noch nicht so ganz genau, was das ist, aber... Im Prinzip wissen Sie es schon aus der Schule. Und da haben Sie sich ja auch schon gehört, die Wurzel aus 2 ist irrational. Also sprich, wir können keine rationale Zahl finden, sodass das Quadrat gleich 2 ist. Das heißt also, das hier ist eine wahre Aussage. Die werden wir übrigens heute noch beweisen, spätestens morgen. War übrigens schon den alten Griechen bekannt, so 500 vor Christus. Das heißt, neu ist es nicht gerade. Also, das ist eine wahre Aussage. Gut, dazu also später. Und genauso die Aussage werden wir uns später auch noch anschauen, naja, vielleicht da eher mit ungerade. Was sagen Sie zu folgendem Satz? Und zwar, dieser Satz ist falsch. Gibt es Meinungen dazu? Ja, vielleicht da oben. Okay, dann ganz da oben. Keine Aussage. Ja, warum ist es keine? Ja, man kann mal schnell sagen. Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist er falsch. Wenn er aber falsch ist, dann ist er wahr. Das heißt, es lässt sich nicht in eindeutiger Weise ein Wahrheitswert zuordnen. Damit ist es keine logische Aussage. Also, das ist keine Aussage. Und ganz ehrlich, mit sowas wollen wir uns auch nicht beschäftigen. Also gut, das was Sie sehen ist, man kann Sätze formulieren und wenn man dann sinnvoll entscheiden kann, ob dieser Satz wahr oder falsch ist, dann spricht man von einer sogenannten... logischen Aussage. Das nächste, was wir jetzt halt doch irgendwann tun möchten, ist nicht jedes Mal hinschreiben zu müssen, Anführungszeichen Satz und dann Anführungszeichen oben, sondern wir möchten auch sinnvolle Namen vergeben. Und das, was wir dazu tun, ist, dass wir eine Definition einführen, und zwar genauer, was es bedeutet, etwas zu definieren. Und zwar, was jetzt gemacht werden soll, ist, wir starten mit einem Objekt A. Da können Sie sich irgendwas darunter vorstellen. Vielleicht bei uns wird es meistens so sein, dass das ein mathematisches Objekt ist. Aber im Prinzip ist es egal. Also irgendein Objekt, stellen Sie sich vor, und jetzt ist es so, dieses Objekt A, das will ich jetzt nicht mehr A nennen, oder vielleicht auch weiterhin A nennen, ich will ihm aber auch einen neuen Namen geben, und zwar soll das B sein. Das heißt also, B soll eine neue Bezeichnung sein, und zwar für A. Und bitte beachten Sie diese Doppelpunkte hier. B wird definiert als A, das heißt also man wählt die Bezeichnung B für das bestehende Objekt A. Und das ist eine sogenannte Definition. Ja, was ist hier die Sprechweise dafür? Also die Sprechweise lautet wie folgt. Man sagt dann eben B steht für A. Was sich gerade unglaublich überraschen wird, denke ich mir. Oder man kann auch sagen, B ist definitionsgemäß gleich A. Also ist definitionsgemäß gleich A. Und jetzt will ich Ihnen dazu also auch das ein oder andere Beispiel geben. Was könnten wir definieren? Ich habe Ihnen schon gesagt, wenn man da jetzt jedes Mal diese ganzen langen logischen Aussagen da hinschreiben müssen, so als Satz formuliert, das ist mühsam. Denen wollen wir einen Namen geben. Zum Beispiel sagen wir, Groß A soll eine logische Aussage sein und das heißt, A wird definiert als die Aussage 97 ist eine Printzahl. Ja, eine Aussage ist es sicher, ich kann entscheiden, ob es wahr oder falsch ist, theoretisch zumindest. Ja, praktisch, wahr oder falsch. Gut, müssen Sie es jetzt nicht wissen, Sie sind ja kein Computer. Aber es ist so, das ist eine wahre Aussage. Also A ist wahre Aussage. Und natürlich ist A hier diese Aussage, und zwar also jene, die ich jetzt mit A bezeichnet habe. Also Sie sehen schon, das ist ein bisschen praktischer. Ich muss da nicht jedes Mal den ganzen Satz wieder hinschreiben. Ich möchte Sie auch gleich warnen. Definieren kann man viel, wenn der Tag lang ist. Ob es sinnhaft in irgendeiner Form ist, das ist die andere Frage. Sie können auch, wenn Sie möchten, sagen wir so, Sie sind vielleicht mit Ihrem Namen nicht mehr zufrieden. Und sagen wir mal, also Ihr Name ist Chantal und Sie möchten sich in Zukunft aber Kevin nennen. Das kann man definieren, warum nicht? Also, man... Bezeichnet in Zukunft dann also Chantal als Kevin, ob sie damit glücklich ist oder nicht, das müsste man sich dann selber fragen, je nach Person. Aber prinzipiell sehen Sie, definieren kann man alles. Und wie gesagt, ob Definitionen sinnvoll sind, im Kontext oder nicht, das ergibt sich dann erst. Bitte seien Sie ein bisschen sparsam und denken Sie nach, wenn Sie Doppelpunkt ist, gleichschreiben. Also verwechseln Sie das nicht mit Gleichheit, wir werden später sehen, Gleichheit von Zahlen, Gleichheit von Mengen und so weiter und so fort. Wenn eine Definition hier getroffen wird, das kann ihnen niemand verbieten aber man kann sie ihnen ans herz legen manche definitionen nicht zu treffen die vielleicht gut also das ist einmal hier eine definition und wir haben jetzt also gesehen wir haben aussagen zum einen wir können jetzt aussagen sozusagen abkürzen bezeichnen und das nächste was man jetzt machen möchten ist aus bestehenden aussagen neue aussagen zu basteln also stellen sie sich vor richtig so ein zeugkasten prinzip Sie haben da also so jede Menge Aussagen drin und möchten da neue Aussagen zusammenstöpseln. Und was man hier eben tun ist, Aussagen zu bilden. Ja und wenn wir eine Aussage erstmal aus einer bestehenden bilden möchten, dann brauchen wir erstmal eine bestehende Aussage. Und dazu schreibt der gemeine Mathematiker die gemeine Mathematikerin, er nicht gemein im Sinn von fies, sondern so herkömmlich. Es sei a eine Aussage. Und darunter können Sie sich jede beliebige Aussage vorstellen. Das soll also hier stellvertretend für, wie gesagt, jede Aussage, die nur erdenkbar ist, eben sein. Und es sei a eine Aussage liegt eben diese Eigenschaft fest, dass es sich um eine Aussage handelt. Also dieses sei hier, das ist da, was üblich verwendet wird. Und das erste, was wir uns anschauen möchten, ist Ja, wie verneint man so eine Aussage? Also das, was wir uns anschauen, ist die sogenannte Negation. Man spricht hier nicht A oder auch non A. Und das ist also, wie gesagt, die sogenannte Negation. Oder wenn Sie es mehr deutsch haben möchten, Verneinung. Also mehr deutsch-deutsch. Gut, jetzt schreibe ich Ihnen einfach ein Symbol hin, das sagt noch gar nichts. Ich sage Ihnen auch, wie man dazu spricht. Also wie gesagt, nicht A oder nun A. Das ist hier die Sprechweise dazu. Jetzt muss ich Ihnen aber schon mal sagen, was das überhaupt bedeutet. Wie ist diese Aussage eben zu verstehen? Das, was ich Ihnen da ans Herz legen würde, ist, dass Sie sich mit solchen Wahrheitstabellen in Bezug auf Aussagen anfreunden, um schnell zu verstehen, wie eben neue Aussagen gebildet werden. Also das hier nennt man eine Wahrheitstafel oder auch Tabelle. Und zwar, warum kann man so eben jetzt neue Aussagen generieren? Na ganz einfach, A ist eine logische Aussage, hat daher nur welche Wahrheitswerte? Wahr oder falsch. Mehr gibt es nicht. Und bei einer Aussage kommt es auch darauf an, ob sie wahr oder falsch ist. Sagen wir was anderes, ist jetzt da nicht entscheidend. Und entsprechend können wir eine neue Aussage jetzt eben so definieren. Wir können einfach sagen, wenn A jetzt den Wahrheitswert wahr haben wird, Na, was wird wohl die Verneinung im umgangssprachlichen Sinn, wenn man daran denkt, für ein Wahrheitswert haben sollen? Natürlich falsch. Das heißt, die Verneinung dreht gerade die Wahrheitswerte um. Wenn die Aussage A wahr ist, dann steht also hier danach eine falsche Aussage. Wenn sie falsch ist, dann eine wahre. Die Wahrheitswerte werden also einfach miteinander vertauscht. Die werden ins Gegenteil umgekehrt. Also, das hier ist eben die sogenannte Verneinung. Jetzt kommen wir... zu weiteren Beispielen von solchen Bildungen von neuen Aussagen und dazu braucht man aber noch eine weitere Aussage. Das heißt, es sei B eine weitere Aussage und da wieder, das kann jede beliebige Aussage sein, das kann auch A sein. Also alles zugelassen. Wir haben jetzt also zwei Aussagen A und B und die wollen wir jetzt auch miteinander verknüpfen Die ersten zwei Verknüpfungsmöglichkeiten, die ich Ihnen da vorstelle, das ist zum einen A und B. Also Sie sehen, da macht man also so eine Hackele. Also A, Entschuldigung, das ist falsch, A oder B, wollte ich sagen. Hoppala. Also das ist hier die erste, die wir betrachten. Und da können Sie sich gleich merken, dieses Hackerle da, das kommt vom lateinischen vel. Und wer Latein von Ihnen gehabt hat, weiß vielleicht, was das bedeutet. Das bedeutet oder. Also, man spricht hier dazu a oder b. Und umgangssprachlich ist Ihnen sofort klar, was das bedeuten soll. Wir werden uns natürlich gleich anschauen, was wirklich die Wahrheitswerte dieser Aussage sein sollen. Man spricht hier von der sogenannten Disjunktion oder manche nennen das also auch Adjunktion. Warum gibt es hier zwei Bezeichnungen? Manche unterscheiden hier sogar, möchte ich Sie ein bisschen vorwarnen. Und zwar dieses Oder da, das ist nicht das sich ausschließende Oder. Das heißt, das hier ist zu verstehen als Und-Oder. Also und, oder. Na, wenn es so ein oder gibt, dann wird es eben auch ein und geben. Und dazu dreht man einfach also dieses V auf den Kopf und spricht dazu A und B. Und das nennt man eben Konjunktion. Ja, wieder vom Lateinischen, Konjungere. Das ist vielleicht ein Verb, das Sie mal da gehört haben. Heißt verbinden. Da werden eben hier Aussagen verbunden. Jetzt, wenn ich Ihnen das so hinschreibe, habe ich noch gar nichts gemacht eigentlich. Ich habe Ihnen eine schöne Symbole hingemalt, das bringt Ihnen nichts. Was wir uns jetzt anschauen wollen, ist, wie diese neun zusammengebastelten Aussagen definiert sind. Und dazu schreiben wir uns jetzt alle möglichen Wahrheitswerte der Aussagen A und B in Kombination hin. Gut, A kann was sein? A kann nur wahr oder falsch sein. Und das heißt, wenn wir es mit allen Wahrheitswerten von B kombinieren wollen, die ja auch nur zwei sind, Schreiben wir uns da also hin, wahr, wahr, falsch, falsch. Gut, B zudem kann also was sein? Na, wahr oder falsch. Diese Möglichkeiten gibt es dann also, wenn A wahr ist. Oder wenn A falsch ist, na dann kann natürlich B immer noch wahr oder ebenfalls falsch sein. Das sind also alle vier Möglichkeiten, die es gibt. Und anhand dieser vier Möglichkeiten werden wir jetzt also uns überlegen, was es heißen soll, dass A oder B eben wahr bzw. falsch ist. Sind Sie schon gelangweilt, weil Sie es schon vorsagen? Na, ist aber gut. Also, fangen wir vielleicht an mit A oder B. Na, wenn das zum Umgangssprachlichen passen soll und wie gesagt nicht das ausschließende Oder ist, was würden Sie vermuten? Na, sobald eine der beiden Aussagen wahr ist, ja ist auch diese Aussage wahr. Das heißt also, wir brauchen eigentlich nur schauen, wo tritt überall wahr auf? Ja, da, da, da. Da gibt es nur falsch. Das heißt also, das ist wahr im Fall, dass beide wahr sind. Sobald eine der beiden... Aussagen war es, ist das hier eine wahre Aussage, diese Disjunktion. Und schlussendlich nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Was anderes gibt es nicht. Und damit ist diese Aussage definiert. Die Aussage A und B, wie sieht es mit der aus? Wann sollte denn die wohl wahr sein? Nur dann, wenn. Gut, das heißt, wir brauchen jetzt nur durchforsten, wo überall etwas Falsches auftritt. In den letzten drei Zeilen, wenn beide Aussagen wahr sind. dann soll natürlich diese Verknüpfung auch wahr sein und ansonsten jeweils falsch. Gut, jetzt haben wir schon neue Aussagen kennengelernt, die man also zusammenstöpselt aus bestehenden. Und vielleicht hierzu kann ich noch kurz erwähnen, also und und oder, die nennt man Jungtoren, diese Symbole. Schon wieder dein Jungere verbinden, die verbinden Aussagen miteinander und heißen eben dementsprechend Jungtoren. Gibt es soweit von Ihrer Seite mal Fragen? Na gut, jetzt haben wir also relativ einfache Aussagen zusammengebastelt. Eine Frage? Nicht überzeugt? Also ich würde empfehlen, wenn Ihnen das Spanisch vorkommt, dann nehmen Sie einfach zwei Aussagen der Umgangssprache. Sie können natürlich auch irgend so etwas nehmen wie, N ist eine ungerade Zahl, dann überlegen Sie eine andere Aussage dazu und dann probieren Sie die zu verknüpfen. Dann sollte Ihnen das korrekt vorkommen. Ansonsten haben wir einen Fehler gemacht. Das kann auch sein. Gut, wir kommen also jetzt zu einer nächsten wichtigen Verknüpfung und das ist die sogenannte Implikation. Eine ganz, ganz wichtige... Eine wichtige Methodik der Mathematik ist die der logischen Schlussfolgerung und die basiert eben auf der sogenannten Implikation. Und das ist auch hier wieder eine verbundene Aussage und man schreibt A Pfeil B und sprechen dazu tut man aus A folgt B. Und jetzt machen wir eine Definition. Das soll nur hier eine Bezeichnung sein für eine verknüpfte Aussage, und zwar nicht A oder B. Gut, was ich gemacht habe ist, rechts habe ich eine Aussage hingeschrieben, und zwar nicht A. Bitte beachten Sie dieses non bindet stärker. Sie können sich da eine Klammer dazu denken. Zuerst wird nicht A verneint und dann mit dem Oder verknüpft mit B. Und das gibt eine Aussage. Und diese Aussage nennen wir aus A folgt B. Eine Frage? Ja, das ist auch eine Schreibweise. Ist auch in Ordnung. Ist nur eine Schreibweise. Das können Sie so definieren. Also ist kein Problem. Also Schreibweisen gibt es viele eben. Da sieht man schon verschiedenste. Sie kennen sicher auch andere aus der Schule. Ist auch in Ordnung, wenn Sie das verwenden möchten. Solange Sie die anderen verstehen, ist es in Ordnung. Das ist immer wichtig. Gut, wir haben jetzt eine neue Aussage definiert und die nennt man Implikation. Und die wollen wir jetzt versuchen zu verstehen. Und am besten verstehen wir halt, wenn wir uns die Wahrheitswerte dazu anschauen. Und wir zeichnen schon wieder eine Wahrheitstafel. A, B. Wahr, wahr, falsch, falsch. Wahr, falsch, wahr, falsch. Und was wir bilden müssen, ist diese Verknüpfung. Und dann schreiben wir uns vielleicht, damit wir es ein bisschen einfacher haben, auch noch nun a dazu. Dazu müssen wir einfach nur a verneinen, also die Wahrheitsweite hier umkehren. Wenn a also wahr ist, dann ist nicht a falsch. Das heißt, wir haben hier falsch, falsch und dann war, war. Gut, was wir jetzt bilden, ist also diese Verknüpfung, die hier oben steht. Nicht a oder b. Und da legen wir jetzt einfach mal los. Was müssen wir denn einfach nur tun? Wir müssen diese beiden Aussagen miteinander vergleichen. Und was wissen wir denn beim Oder? Was müssen wir eigentlich nur suchen? Na, sobald einmal ein Wahr drinsteht, haben wir eh schon gewonnen, dann ist es wahr. Das heißt also, hier steht einmal wahr, damit ist es eine wahre Aussage. Hier steht falsch, falsch, Pech gehabt, dann ist es falsch. Und da steht also wahr, wahr und falsch, wahr, somit also mit Oder vergnügt, jeweils wahr. Gut, jetzt haben wir schon mal verstanden, was die Wahrheitswerte dieser Implikation angeht und jetzt wollen wir verstehen, was wir davon haben. Dazu betrachten wir zuerst mal diese ersten beiden Zeilen. Also wir schauen uns jetzt diese ersten beiden Zeilen an und jetzt nehmen wir folgendes an. Stellen Sie sich vor, Sie starten mit einer Aussage A. Das heißt, Sie nehmen an, A ist wahr. Was heißt, Sie nehmen das an? Sehr oft ist es so, dass Sie aus einer Aussage etwas anderes herleiten wollen. Das heißt, Sie nehmen prinzipiell einmal an, dass Ihre Grundaussage korrekt ist. Und das entspricht dem, dass wir annehmen, A ist wahr. Und wenn ich jetzt zeigen kann, dass auch diese Implikation hier wahr ist, also das hier ist ja ein und dasselbe wie aus A folgt B, ist ja nur anders hingeschrieben, so haben wir es definiert. Und wenn ich jetzt auch noch zeigen kann, Dass aus A folgt B wahr ist, kann ich dann etwas über den Wahrheitswert von B schlussfolgern. Also ich glaube, ich kann. A ist wahr. Das könnte auch noch hier zutreffen. Jetzt haben wir aber noch zusätzlich, dass die Implikation wahr ist. Was ist die einzige Möglichkeit für B? Muss A wahr sein, weil sonst wäre die Implikation falsch. Das heißt, wenn ich zeigen kann, dass A wahr ist und zeigen kann, dass die Implikation wahr ist, meistens nimmt man das hier übrigens eben an, dann weiß ich automatisch auch, B ist wahr. Und das hier ist eine ganz wichtige Erkenntnis und deswegen ist diese Implikation eine so wichtige Aussage, weil wenn ich eben... eine Annahme habe, also und die Implikation zeige, dann ist automatisch auch eben die Aussage B wahr. Das kann nicht anders sein. Ja, wieder ein Wort der Warnung. Wir schauen uns vielleicht jetzt da noch die letzten beiden Zeilen an. Wenn Sie mit einer falschen Aussage starten, also gedanklich nehmen wir mal an, A wäre falsch. Sie zeigen jetzt trotzdem die Richtigkeit dieser Implikation. Also aus A folgt B, nämlich es ist wahr. Was kann ich dann über den Wahrheitswert von B folgern? Also die Frage ist hier, ist B wahr oder falsch? Kann ich das entscheiden nur aufgrund dieser Information? A ist als falsch vorausgesetzt. Lässt diese beiden Möglichkeiten. Ich habe zwar gezeigt, dass die Implikation korrekt ist, lässt aber für B immer noch beide Möglichkeiten. Heißt auf gut Deutsch, wenn Sie mit einer falschen Aussage starten, dann können Sie alles beweisen. Und zwar, das kann wahr oder falsch sein. Also bitte beachten Sie, wenn man nicht mit einer wahren Aussage startet, dann kann es also so sein, sprich man startet mit einer falschen, dass also alles geschlussfolgert werden kann, im Sinne von es kann wahr oder falsch sein. Wenn ich aber mit einer wahren Aussage starte, die Richtigkeit der Implikation zeige, dann ist der Schluss zulässig, dass B wahr ist. Und das ist eben hier eine ganz, ganz wichtige Beobachtung. Was das auch noch zum Anlass gibt, ist eine Sprechweise. Und zwar, falls die Implikation wahr ist, dann sagt man zwei Dinge. Und zwar das erste ist, dass man sagt, A ist hinreichend für B. Und auf der anderen Seite sagt man dann, B ist notwendig und zwar für A. Warum machen diese beiden Begrifflichkeiten Sinn? Schauen wir es uns an. Wenn aus A folgt B war es, wo sind wir denn dann unterwegs? Dann sind nur mehr diese drei hier zulässig, und zwar diese drei Optionen. Wenn ich jetzt aber eben zeigen will, was denn, dass B war es, was genügt es denn dann zu zeigen? Das haben wir gerade eben besprochen. Dann genügt es zu zeigen, dass A wahr ist. Insofern ist A hinreichend. Wenn ich A zeigen kann, sprich A als wahr bestätigen kann, dann kann ich aufgrund dieser Wahrheit der Implikation auch folgendes B wahr. Und dann sagt man eben, A ist hinreichend für B. Das ist hier die Sprechweise. So, jetzt drehen wir also sozusagen das Spielchen um. Wie sieht es jetzt aus, wenn man eben hier Notwendigkeit Da näher betrachten diesen Begriff. Also B ist notwendig für A. Und wir nehmen wieder an, dass also diese Implikation hier gilt. Na ja, schauen wir uns wieder, überlegen wir wieder, was wir eigentlich sozusagen schlussfolgern möchten. Wir möchten schlussfolgern, dass also eben hier A gilt. Und wenn man sich das jetzt also genauer anschaut, wir sind wieder in diesen drei Zeilen hier. Wir wollen schlussfolgern, dass A gilt. Was muss dann aber für B gelten? Also A muss gelten. Das ist unser Ziel. Wann ist das nur zulässig? Oder wann ist das nur möglich? Was muss dann automatisch für B gelten? Sonst kann A gar nicht gelten. Schauen Sie mal hin. Wenn also jetzt nur diese drei Zeilen hier zulässig sind und B falsch ist, was passiert? Sie sehen, Sie können also nur Schlussfolgern, also dass eben A korrekt ist. Wenn Sie also... für B die Wahrheit annehmen, weil ansonsten ist die Schlussfolgerung nicht mehr möglich. Und das ist also ganz eine wichtige Betrachtung dieser beiden Zeilen hier. Und Sie sollten sich also merken, vor allem diese blaue Zeile, das werden wir nämlich gleich sehen, ist die Grundlage für den direkten Beweis. Und Sie sollten sich aber auch noch einmal merken, dass aus einer falschen Aussage nur eine falsche gefolgert werden kann. Und bitte merken Sie sich auch diese beiden Begriffe hier, mit denen werden Sie nur oft bombardiert werden. Also was heißt, dass etwas hinreichend ist und was heißt, dass etwas notwendig ist. Na gut, damit wollen wir jetzt aber auch wirklich zu Beispielen kommen, und zwar eben Beispiele im Sinne von Beweistechniken. Und die erste Beweistechnik, die steht im Prinzip jetzt schon hier. Und zwar ist es das sogenannte direkte Beweis. Und warum steht die Grundlage gerade hier drüben? Na, weil es so ist, wenn Sie etwas beweisen möchten. einen Satz, dann haben Sie meistens eine Annahme, eine Voraussetzung. Und diese Annahme... Die können wir also A nennen und wenn ich sage, die Annahme ist A, dann bedeutet das einfach nur, dass ich voraussetze, deswegen nennt man es auch Voraussetzung, dass A wahr ist. Also gut, wir nehmen über die Aussage A an, dass sie wahr ist und das, was wir dann machen, ist aufgrund von logischen Schlussfolgerungen. Ja, was zu tun? Die Implikation als wahr zu erkennen. Das heißt also, aus A folgt B. Darüber zeigen wir, dass das eine wahre Aussage ist. Nun, was sehen wir da drüben? Ich nenne also das, was da steht, mal Stern. Aufgrund von Stern muss dann automatisch was gelten. Ja, B muss wahr sein. Also noch einmal, das ist hier eine Beweistechnik, die das liefert. Also was wir jetzt haben, ist eine Konklusion. Und die Konklusio ist eben, B muss dann wahr sein. Das ist eigentlich das, was wir zeigen möchten. Wir möchten zeigen, B ist wahr. Was wir da zu tun ist, wir nehmen A als wahr an, zeigen die Implikation und dann kriegen wir das also sozusagen geschenkt. Beispiel dazu. Das war jetzt also ein sehr theoretischer Aufbau und jetzt wollen wir konkret in ein Beispiel für den direkten Beweis hinein starten. Also direkter Beweis, was wollen wir zeigen? Im Prinzip wollen wir die Aussage, die ich Ihnen ganz zu Beginn hingeschrieben habe, in einer korrekten Form zeigen. Wir wollen folgenden Satz beweisen. Also wir beweisen folgenden Satz, und zwar das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl. ist ungerade. Also zu Beginn der Vorlesung habe ich es Ihnen mit am Ende gerade hingeschrieben, da wurde sofort erkannt, das kann keine wahre Aussage sein. Aber ich behaupte, so wie es da steht, das ist wahr. Was meine ich denn, wenn ich hier sage, wir beweisen? Ich will zeigen, dass das eine wahre Aussage ist. Also wenn man sagt, man will etwas beweisen, will man einfach nur zeigen, es handelt sich um eine wahre Aussage. Gut, wie ist der Aufbau? In diesem Satz steckt eigentlich einiges versteckt drin. Was ist denn das Erste, was versteckt drin steckt? Eine Annahme. Und zwar eine Annahme über eine natürliche Zahl, und zwar, dass diese ungerade ist. Das ist hier die erste Aussage, die Sie herausfiltern müssen. Also es gibt hier eine Annahme. Und zwar die Annahme, die hier drin steckt, ist... Dass wir also mal zugrunde gelegt haben, eine natürliche Zahl, die ungerade ist, und der wollen wir jetzt einen Namen geben. Und da schreiben wir uns einfach hin, es sei n, so nennen wir also jetzt diese ungerade natürliche Zahl, eine ungerade natürliche Zahl. Darf ich natürlich mit Nattpunkt abkürzen? Danke. Was ist jetzt die zu beweisende Aussage? Was soll die Konklusion sein? Was ist zu beweisen? Zu zeigen kann man sagen. Was ist das jetzt? Da gibt es einen Vorschlag. Genau, und diese Zahl, die heißt n. Also n zum Quadrat, das Quadrat von n, das ist also auch ungerade. Das ist das, was wir zeigen wollen. Also, das ist sozusagen jetzt der Fahrplan und meistens schreibt man also einen mathematischen Satz auch so hin. Man stellt also sicher, was sind die Voraussetzungen, was sind die Annahmen und was ist dann schlussendlich die Aussage. Und wenn man die Aussage hinschreibt, dann will man natürlich damit sagen, dass das eine wahre Aussage ist. Meistens schreibt man dann gilt oder sowas in der Richtung. Na gut, jetzt wollen wir das aber auch beweisen. Und wenn ich also da jetzt etwas beweise, dann mache ich das kenntlich, indem ich Beweis schreibe. Unglaubliche Idee, oder? Also, ich kürze es ab mit BEW-Punkt, also für Beweis. Und das heißt, wir starten jetzt und zwar durch, indem wir jetzt beginnen, zuerst einmal klar zu machen, dass wir die Annahme als gegeben hinnehmen. Da sage ich gleich dazu, manchmal ist es so, dass also diese Annahmen, die hier getroffen werden, im Beweis nicht nochmal wiederholt werden. Um das aber deutlich zu machen, dass wir jetzt annehmen. Dass die Annahme gilt, schreibe ich es immer mal hin. Ihr weiß, das ist ein bisschen redundant, aber machen wir es. Wir nehmen wirklich an, dass wir eine natürliche Zahl haben, die wir mit n bezeichnen, die ungerade ist. Also es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Natürliche Zahl. Und das, was wir uns jetzt hier mal anschauen können, ist, ich behaupte, Ein Fall, den können wir vielleicht gleich von Anfang an abhaken, dann kriegen wir auch mal ein Gefühl dafür, warum es stimmen könnte. Wie sieht es denn in dem Fall n gleich 1 aus? Ja, was langweiliges haben Sie wahrscheinlich selten im Leben angeschaut. Also es ist so, n² ist in diesem Fall ist 1 und das ist sowas von noch immer ungerade. Also da gibt es einen Haken dahinter. Und jetzt haben wir aber eine Möglichkeit und zwar die Möglichkeit, die wir jetzt also hier erschlossen haben ist, Wir können gleich schon annehmen, n wäre größer als 1. Und übrigens, also 0 ist bei mir sowieso nicht drin, ist aber auch nicht ungerade. Und das ist sozusagen also hier der Startpunkt. Und das nächste, was also hier zur Betrachtung herangezogen werden müsste, wäre 3, oder? Die nächste ungerade Zahl. Das heißt, wir können annehmen und tun das auch, dass diese natürliche Zahl echt größer als 1 ist. Also wenn man sozusagen gleich schon mal was abgehackt hat, dann kann man im weiteren Verlauf auch gleich annehmen, dass eben dieser Fall nicht mehr betrachtet werden muss und wir starten sozusagen hier ab n gleich 3, 5, 7 und so weiter und so fort. Wenn jetzt n eine ungerade natürliche Zahl ist, wie kann ich denn die dann hinschreiben? Was macht denn eine ungerade Zahl aus? Da gibt es einen Vorschlag. Ja, also der Vorschlag ist, mit der Hilfe einer weiteren Größe, ich würde sagen, einer natürlichen Zahl hinzuschreiben. Und zwar in welcher Form? Eine natürliche Zahl macht das aus, dass sie eine gerade, und zwar eine ungerade natürliche Zahl macht es aus, dass sie also eine natürliche Zahl mal 2 plus 1 ist. Also sprich, eine gerade plus 1 dazu. Was können wir also wählen? und zwar sogar in eindeutiger Weise, wähle eine natürliche Zahl, k, ihr könnt die auch Hans nennen, das ist nicht entscheidend, aber ich würde ihm immer empfehlen, Bezeichnungen sinnvoll zu wählen, sodass wir uns gegenseitig halt noch verstehen. Also wähle eine natürliche Zahl k mit der Eigenschaft, dass n sich schreiben lässt als 2k plus 1. Und das kann ich immer machen. Das wissen Sie aus der Schule, oder? Weil, wie schon eben gesagt wurde, jede ungerade Zahl kann ich schreiben als das Zweifache einer anderen natürlichen Zahl plus 1. Gut, was bringt es? Na, das hier können wir jetzt wo einsetzen. Und zwar wo denn? Na, wir wollen uns ja anschauen, was das Quadrat gibt. Das heißt, wir setzen jetzt also in die Quadratbildung ein. Dann gilt folgendes. n² setzen wir ein für n2k plus 1. Das wird also hier quadriert. Ja, und wie Sie das ausquadrieren, wissen Sie natürlich alle. Also das ist 4k² plus 4k¹. Und was will jetzt darüber gezeigt werden? Ja, wir wollen jetzt zeigen, dass es sich hier wieder um eine ungerade Zahl handelt. Und ich behaupte, in der Darstellung sieht man es schon fast. Was sehe ich denn hier? Das hier ist eine gerade Zahl. Warum? Was macht eine gerade Zahl aus? Ja, dass sie 2 als Teiler hat. Und das kann ich aber hier rausheben. 2 kann ich rausheben. Das ist 2 mal 2k² plus 2k. Und jetzt ist es ganz, ganz klar, dass das gerade ist. Ich meine, da oben war es im Prinzip auch schon klar. Aber da gibt es jetzt gar keinen Zweifel dran mehr. Das ist eine gerade Zahl. Es wird noch 1 dazu gezählt. Gerade Zahl plus 1 gibt es. eine ungerade Zahl. Also ist es ungerade. Ja, und damit ist die Aussage aber bewiesen. Warum? Wir haben gezeigt, wenn wir annehmen, dass es sich bei n um eine ungerade Zahl handelt, dann ist auch das Quadrat ungerade. Also schreiben wir es nochmal hin. Also, was haben wir gezeigt? Wir haben gezeigt, n² ist ungerade. Ja, und wenn Sie es bis 27 durchprobiert hätten, hätten Sie es auch schon geglaubt. Jetzt stimmt es aber wirklich. Für jede natürliche Zahl, die ungerade ist. Und das ist natürlich schon von einem ganz anderen Kaliber. Wie sieht es eigentlich aus? Vorlesungspause ist erwünscht. Also wir machen für gewöhnlich eine Viertelstunde und das heißt nach dieser Uhr bis 17.30 Uhr nach. Auf die Sekunde. Berufsfelder und das Studium. Das ist verpflichtend für Bachelorstudierende der technischen Mathematik. Sie sind aber alle ganz herzlich eingeladen, falls Sie heute Abend noch nichts vorhaben sollten. gerne wissen möchten, zum Beispiel also was hat Mathematik mit Wetter zu tun, das was Sie da sehen hat irgendwas mit Niederschlag zu tun, ja warum es vielleicht im Sommer so oft geregnet hat. Dann können Sie also sich da ein bisschen näher informieren, über was wir auch reden werden und zwar das werde ich zu einem Teil machen, wie jeweils vier Bachelor-, Master-und PhD-Studierende aus unserem Institut dann eben heute 18.15 Uhr bis 20 Uhr im Hörsaal F, also sind Sie alle herzlich eingeladen und zack! in dem Fall, dass Sie sich für Anwendungsfelder der Mathematik interessieren. Na gut, dann machen wir wieder weiter mit der Vorlesung. Wir sind jetzt also stehen geblieben bei einer ersten Beweisform und einem Beispiel, dem direkten Beweis. Und das, was wir jetzt aber als nächstes unbedingt auch brauchen, ist eine Möglichkeit, Aussagen als gleichwertig bezeichnen zu können. Und wie können wir also Aussagen als gleichwertig bezeichnen? Na, indem wir jetzt sagen, was Äquivalenz bedeutet. Also... Zurück erinnert, es sind immer noch A und B zwei Aussagen. Also A und B sind zwei Aussagen. Dann definieren wir folgendes. Wir schreiben also A und man spricht dazu genau dann, wenn B, als die Aussage aus A folgt B und aus B folgt A. sollte Ihnen irgendwie logisch vorkommen, inwiefern, naja, wenn aus A B folgt und aus B A folgt, dann sollten die irgendwie gleichwertig sein. Und wir wollen uns jetzt anschauen, was diese Äquivalenz eben ausmacht, und so nennt man also diese logische Aussage, Äquivalenz. Und nochmal zur Sprechweise, also A genau dann, wenn B. So spricht man dazu. Sie können sich an ein gilt dazu denken. A gilt genau dann, wenn B gilt. Und das legt schon irgendwie nahe, dass die Wahrheitswerte dieser Aussagen übereinstimmen sollten. Und wie werden wir das überprüfen? Mit einer Wahrheitstabelle. Ja, langweilig, aber wahr. Starten wir wieder mit der Aussage A. Wahr, wahr, falsch, falsch. Und B ist also wieder wahr, falsch, wahr, falsch. Gut, wir brauchen... Zwei Aussagen. Die erste Aussage ist, aus A folgt B. Da erinnern wir uns zurück, wie man hier verknüpft. Na, wann ist also die Implikation korrekt? Man sollte eher überlegen, wann ist sie falsch? Ist man schneller? Na, nur dann, wenn wir in dieser Zeile sind. Aus was Falschem kann man alles folgern. Das heißt also, das ist immer wahr. Aus was Wahn nur was Wahn. Und da kriegen wir sozusagen ein Problem. Das heißt also, hier falsch, sonst überall wahr. Upsi. Wie sieht es aus mit der Aussage und zwar aus B folgt A. Was müssen wir nur da suchen gehen? Die einzige Möglichkeit, dass das schief geht, ist in dieser Zeile. Warum? Weil eben hier das, was links steht, in dem Fall das B, wahr ist, aber das, was gefolgert wird, falsch ist, geht nicht. Das heißt, hier haben wir wahr, wahr, falsch, wahr. Und jetzt wollen wir also diese Aussagen irgendwie fernverknüpfen. Na, genauso wie es da oben steht. Wie sieht es also dann aus mit A, genau dann, wenn B, mit dieser Äquivalenz. Na, die wird verknüpft mit einem UND. Und wann ist ein UND wahr? Also eine Konjunktion wahr. Wenn natürlich beide Aussagen wahr sind, so ist es. Und wo ist das hier der Fall? Da und da. Da gibt es also jeweils ein Falsch. Das heißt also da... Sieht nicht gut aus mit dem Wahrheitswert. Ja, nicht gut, falsch ist halt. Und in den äußeren Fällen ist es also wahr. Das heißt, wir sehen, was die Äquivalenz ausmacht. Zwei Aussagen sind genau dann äquivalent. Hören Sie schon, ich sage genau dann, wenn, obwohl ich es gerade erst definiert habe. Na gut. Also sie sind eben dann äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Und das sieht man eben an dieser Stelle. Falsch, falsch, wahr, wahr. Also entscheidend hier ist... Beide Aussagen haben denselben Wahrheitswert, nur dann ist also diese Äquivalenz wahr, ansonsten ist sie falsch. Man kann das auch wie folgt noch sehen, und da muss ich also diese Tabelle vielleicht doch noch etwas ergänzen und über die Teilung der Tafel hinausschießen. Schauen wir uns die Aussage an, A und B oder nicht A und nicht B. Wie sieht es hier mit den Wahrheitswerten aus? Na ja, überlegen wir es uns. Wenn A und B wahr sind, dann ist sicher A und B wahr. Mit dem Oder verknüpft, brauchen wir da hinten gar nicht mehr schauen, und zwar ist es auf jeden Fall wahr. Wie sieht es also in der zweiten Zeile aus? Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist sicher die Konjunktion falsch. Brauchen wir schon gar nicht mehr schauen, die ist sicher falsch. Das heißt, hier hinten müssen wir weiter schauen. Wenn aber A wahr ist und B falsch, dann drehen sich hier die Wahrheitswerte um und wir haben wieder keine zwei... gleichen Wahrheitswerte, sprich, das muss also falsch werden. Gut, wie sieht es in den anderen Fällen aus? Da müssen sozusagen nur A und B vertauschen. Auch hier gibt es falsch. Und wie sieht es im letzten Fall aus? Wenn A und B beide falsch sind, dann ist auch die Konjunktion falsch. Okay, macht aber nichts, weil hier wird mit einem Oder verknüpft und hier hinten, nicht A ist dann wahr, nicht B ist wahr und damit auch die Konjunktion wahr. Das heißt, wir sehen... Das hier hat genau dieselben Wahrheitswerte, ist damit eine äquivalente Aussage. Wir hätten die Äquivalenz auch so definieren können. Sie sehen, entscheidend ist, entweder sind beide Aussagen wahr oder beide Aussagen sind falsch und das kommt nur einmal hier zum Vorschein, indem man also diese Äquivalenz so hinschreibt. Na gut, wir schauen uns vielleicht jetzt das ein oder andere Beispiel an zu solchen äquivalenten Aussagen. Und das erste Beispiel, was wir hier also nennen könnten, das sind die sogenannten De Morgan'schen Regeln. Und das hat also nichts mit Alkohol zu tun, bitte. Also De Morgan war ein englischer Mathematiker und wir formulieren das jetzt also hier als Satz und geben dem den Namen De Morgan'sche Regeln genauer für Aussagen. Und was wir hier gegeben haben, Ein Satz, ein mathematischer, der hat nämlich immer zuerst Annahmen, Voraussetzungen, das sind wieder zwei Aussagen. Da deutlichkeithalber schreibe ich Sinn. Es seien A und B zwei Aussagen. Und ich behaupte, dass dann folgende Äquivalenzen gelten. Also wir schreiben einfach, dann gilt, unter diesen Voraussetzungen hier oben gilt, Doppelpunkt, zwei Dinge. Und zwar, wenn sie... Die Konjunktion A und B, wenn Sie die verneinen möchten, die Negation davon bilden, dann können Sie ja Folgendes tun, also eine äquivalente Aussage dazu ist, dass Sie jede einzelne Aussage hier verneinen, also nicht A, nicht B, und hier mit einem Oder verknüpfen. Also auf gut Deutsch kann man auch so sagen, wenn man also das Non anwendet auf eine Konjunktion, dann werden die einzelnen Aussagen eben verneint und aus dem Dachl wird da so ein umgedrehtes Ding, so ein V. Also der Punkt ist, der Jungtor, der dreht sich um und die Aussagen werden verneint. Und bitte beachten Sie da, wieder zuerst wird verneint, dann wird also hier die Aussage verbunden, die beiden Aussagen. Genau das gleiche gilt, ja fast das gleiche, bloß halt vertauscht, gilt für oder, also für die Disjunktion, nicht A oder B. Das hier ist äquivalent zur Aussage nicht A und nicht B. Und das hier sind also zwei erste demorgensche Regeln, die ich Ihnen hier also präsentiere. Und das sind also die typischen für Aussagen. Und die wollen wir auch beweisen. Gut, eine davon werden wir beweisen, machen wir vielleicht die erste. Die zweite, die überlassen wir uns für die Übungen. Und zwar genauer die Übungen am Freitag. Da gibt es bereits ein Übungsblatt, was Sie auf der Homepage finden, die ich Ihnen zu Beginn der Vorlesung genannt habe. Das Übungsblatt können Sie gerne schon ein bisschen vorbereiten. Prinzipiell wird es definitiv im Pro-Seminar mit Ihnen gemeinsam bearbeitet oder in der SL. Also Sie müssen jetzt keine Angst haben, dass Sie da schon alles tiptop vorrechnen müssen. Also keine Sorge, das wird mit Ihnen dort erarbeitet. Wenn Sie was vorbereitet haben, umso besser. Also mehr zu tun als verlangt ist nicht verboten. Ist ja nicht so klar. Es gibt Umgebungen, da ist es schlecht. Beweisen wir die erste Aussage. Und zwar machen wir das, indem wir uns einfach wieder eine Wahrheitstabelle hinmalen. Also schauen wir uns A an, B an und das machen wir. Das machen wir jetzt wirklich zügig. A war wahr, falsch, falsch. B war falsch. Schnell gibt es keine schönen Ws. Also war falsch, war falsch. Und jetzt gibt es zwei Aussagen, die wir zudem brauchen. Und zwar welche? Nicht A und nicht B. Die müssen wir nämlich dann noch verknüpfen. Also schreiben wir uns hin, nicht A und nicht B. Und geht schon wieder dahin. Also nicht A, Wahrheitswert wird umgedreht. Falsch, falsch, wahr. war und bei B wird es genauso umgedreht auf falsch, war, falsch, war. Was gilt es jetzt also alles zu bilden? Es gibt zwei Dinge zu bilden, zum einen mal hier die linke Seite und die rechte Seite. Warum? Denn ich muss zeigen, dass die Wahrheitswerte immer übereinstimmen, dann habe ich die Äquivalenz gezeigt. Äquivalenz bedeutet, Wahrheitswerte sind immer gleich. Und deswegen schreiben wir uns die Wahrheitswerte in allen Fällen hin. Zuerst mal für nicht A und B. Jetzt ist die Frage, ob wir das Gesinn in den Kopf schaffen, aber ich glaube, das geht schon. Wann sind A und B nur wahr? Ja, nur dann, wenn wir in der ersten Zeile sind, wenn beide wahr sind. Jetzt müssen wir es nur verneinen. Also noch einmal, nur in der ersten Zeile steht ein wahr. Verneint gibt es ein falsch. Sonst steht immer ein falsch, falsch, falsch. Verneint ein wahr, wahr, wahr. Klingt wie ein Hund. Gut. Wie sieht es jetzt aus auf der rechten Seite? Da müssen wir also verknüpfen, nicht A mit einem oder, mit nicht B. Und da brauchen wir jetzt einfach nur ablesen. Wann ist also dieses oder korrekt? Also eine wahre Aussage hier, diese Disjunktion. Ja dann, wenn wir hier irgendwo ein war finden, oder? Sobald also eine der beiden Aussagen war ist, ist die Disjunktion wahr. Das heißt, nur in der ersten Zeile hier kriegen wir falsch. In den allen darauffolgenden Zeilen, in diesen dreien, kriegen wir also den Wahrheitswert da. Genau das gleiche können Sie jetzt natürlich auch machen für diese zweite Aussage. Mit dieser Wahrheitsstapel ist diese erste Äquivalenz gezeigt. Wir sehen, dass die Wahrheitswerte hier übereinstimmen. Und damit sozusagen, achten dahinter, wir haben die Äquivalenz gezeigt. Das heißt also, wenn wir so eine unverknüpfte Aussage verneinen möchten, können wir die einzelnen Aussagen verneinen und dann mit oder verbinden. Auch etwas, was wir in den Übungen erarbeiten werden, ist eine weitere Äquivalenz. Und zwar eine, wo ich immer wieder erstaunt bin, die bis in höhere Semester zu Verwirrungen führt. Und deswegen würde ich sagen, ich schreibe es Ihnen hin. Hoffe, dass Sie es mir glauben und dann rechnen Sie es im Pro-Seminar wirklich selber nach. Und zwar gilt folgendes. Aus A folgt B. Die Implikation, diese hier, die ist äquivalent zu aus nicht B folgt nicht A. Aus der Deutlichkeit halber klammere ich das. Also diese Aussage, aus A folgt B, ist äquivalent dazu, dass aus Nicht B nicht A folgt. Wie würden Sie das beweisen? Wahrheitstafel, okay. Gut, Wahrheitstafel hinschreiben, beide Aussagen dann eben entsprechend der Wahrheitswerte aufschreiben und dann sehen, diese beiden haben stets die gleichen Wahrheitswerte, damit sind sie äquivalent. Und das also wird hier in der SL-Veranstaltung bzw. im Pro-Seminar am Freitag passieren. Es ist ihnen natürlich auch durchaus... Überlassen, das jetzt gleich dann demnächst schon zu üben, zum Beispiel nach der Vorlesung. Oder zuerst Mittagessen zu gehen, das ist auch okay. Aber das ist durchaus etwas, was Sie gleich schon mal probieren könnten. Wenn Sie das hinkriegen, dann haben Sie sicher schon viele von den Verknüpfungen von logischen Aussagen verstanden. Und was bringt jetzt das, was hier steht? In vielen Fällen kann man also hier in gewisser Art und Weise die Kausalität umkehren. Ich gebe Ihnen ein Beispiel. Und zwar ein Beispiel soll das folgende sein, wir hatten ja bereits so eine Aussage über das Quadrat von ungeraden natürlichen Zahlen. Und das, was ich jetzt hier formuliere, ist die Aussage, und zwar, dass, also so muss ich eigentlich genauer schreiben, ist das Quadrat, einer geraden natürlichen Zahl. Ist das Quadrat? Na, falsch. Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade, so ist diese auch gerade. Ja, und das ist ungeschickt. Das ist das, was ich zeigen möchte. Okay? Also ist das Quadrat einer... Wir haben hier natürlich eine Zahl gerade, so ist diese auch gerade. Und jetzt ist die Frage, ob das was mit dem zu tun hat, was wir bisher schon gezeigt haben. Was wir sehen werden ist, dass es auf diese Äquivalenz hier drauf ankommt. Und wie überlegen wir uns das jetzt? Na ja, zuerst einmal, es geht um eine natürliche Zahl. Das heißt, was wir annehmen ist hier, n ist eine natürliche Zahl. Also es sei n eine natürliche Zahl. Und jetzt überlegen wir uns eben, was die eine Aussage ist und was die andere Aussage sein soll. Also schauen wir, was hier steht. Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade? Das heißt, das ist das, mit dem man startet. Also A soll die Aussage sein, und zwar unter Anführungszeichen haben wir also hier die Aussage, dass n² gerade ist. Und was ist die Aussage B? Die Aussage b soll jetzt also sein, n ist gerade. Und was wollen wir zeigen? So wie es da oben steht, wir wollen zeigen, und ich schreibe hier zu zeigen, dass aus a b folgt. Und Sie können das jetzt auch anders hinschreiben. Sie können es kürzer hinschreiben, indem Sie den nicht immer vom Namen geben. Ja, wenn n² gerade ist, wenn wir es so wieder ersetzen, muss daraus folgen, die Anführungszeichen lassen wir dann natürlich weg. Das wollen wir zeigen, dass n gerade ist. Das ist das, was wir zeigen wollen. Was können wir dazu tun? Wir müssen diese Äquivalenz da oben bemühen. Aus a folgt b. Wenn wir das zeigen wollen, können wir stattdessen auch aus nicht b folgt nicht a zeigen. Dieser Äquivalenz gebe ich dem Namen Stern. Wir wissen also, aus a folgt b. Das ist äquivalent zu nicht A, so wie es da drüben also bei Stern steht, was man mit einer Wahrheitstabelle, wie gesagt, leicht verifiziert. Also aus nicht B folgt nicht A. Und jetzt übersetzen wir das wieder. Ich meine, was B und was A ist, wissen wir ja. Das ist also äquivalent dazu, dass, und ich setze jetzt hier nur ein, nicht, was ist die Aussage B? Ja, die Aussage B. steht da, n ist gerade, das muss verneint werden. Ich schreibe das der Deutlichkeit halber alles in Klammern. Also n gerade, diese Aussage muss verneint werden. Daraus folgt also nicht. Und da müssen wir also a verneinen und a ist die Aussage n² gerade. Soderla. Und eine Klammer noch zu. Das heißt, der berühmte Klammererhaltungssatz, die Klammern, die aufgehen, sollten auch wieder zugehen. Also das ist da gelungen. Und alles, was wir jetzt noch tun müssen, ist wir müssen dieses nicht auflösen und zwar semantisch auflösen das heißt, wenn eine natürliche Zahl gerade ist und ich diese Aussage verneine dann ist sie ungerade es gibt nichts anderes das heißt also hier muss stehen n ist ungerade und daraus folgt, sehen wir hier n² ungerade Deutlichkeit halber nochmal hier geklammert Was sagen Sie zu dieser Äquivalenz? Zu den Meinungen, Ideen dazu. Kommt das jemandem bekannt vor? Also, dass ihr alle durchgeschlafen habt, glaube ich euch nicht. Die Augen waren doch hin und wieder offen. Das haben wir schon gezeigt. Also, das haben wir bereits bewiesen. Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist auch ihr Quadrat, also n², ungerade. Das heißt, wir haben jetzt die ursprüngliche Aussage zurückgeführt. auf eine bereits bekannte. Wir haben gesehen, das ist äquivalent dazu, nichts mehr zu zeigen. Und diese Beweisform manchmal auch in der Art, die nennt man indirekter Beweis. Also in einer Ausprägung kann man hier von einem indirekten Beweis sprechen. Das heißt, man macht sich einfach nur diese Äquivalenz, die da oben steht, zu Nutzer. Man sieht also, dass man einfach eben durch Ausnützen dieses Umschreibens hier oben, das auf eine bereits bekannte, wahre Aussage. zurückführt und damit ist man fertig. Also haben wir diesen Satz bewiesen. Na gut, das war jetzt hier eine erste Möglichkeit, wie man also dieses Beweisprinzip einsetzt. Eine Frage auf der rechten Seite. Nein, eben das ist ganz, ganz kritisch. Also wenn man das vertauscht, dann ist das ganz was anderes. Also Achtung, das ist eben hier entscheidend, dass sich hier die Reihenfolge umdreht. Und das ist das, was ich am Anfang gesagt habe, das macht bis in hohe Semesterprobleme. Wenn Sie das dann nicht vertauschen, dann zeigen Sie ganz was anderes. Also das hat nichts miteinander zu tun, so primär. Also bitte Achtung, Achtung, die Reihenfolge dreht sich um, das ist entscheidend. Am besten Wahrheitstafel hinmalen, beide Fälle und Sie sehen sofort, natürlich stimmt nicht überein. Also ich bin recht zufrieden damit, aber ich habe auch keine hohen Ansprüche. Mir kommt es jetzt ganz korrekt vor. Gibt es sonst noch jemanden mit am Einwand? Nein, aber bitte, bei Unklarheiten nachfragen. Sehr gut, ich habe leider fast gut von mir mit. Okay, machen wir weiter. Jetzt ist es so, diese Äquivalenz da oben, die gibt uns noch eine andere Möglichkeit. Und zwar indirekter Beweis, man spricht hier manchmal auch von einem Widerspruchsbeweis. Also ein Widerspruchsbeweis. Und zwar die Idee ist hier die folgende. Die Idee ist, dass man diese Implikation hier oben zeigt, anstatt die ursprüngliche zu zeigen. Und das, was man hier zuerst trifft, ist eine sogenannte Widerspruchsannahme. Ja, das ist jetzt vielleicht nicht sonderlich günstig, dass man das Widerspruchsannahme nennt. Das ist einfach die Annahme, die man bei einem Widerspruchsbeweis trifft. Und zwar, was ist die? Ja, wir wollen das hier zeigen, anstatt diese Implikation zu zeigen. Ja, und was können wir da tun? Wir nehmen nicht B als wahr an und das ist hier die Widerspruchsannahme. Also man nimmt nicht B als wahr an, also eigentlich die zu zeigende Aussage nimmt man als falsch an. Das ist hier ein bisschen das Verrückte, oder? Man dreht das hier komplett um. Und dann... macht man wieder logische Schlussfolgerungen. Also logische Schlussfolgerungen, die sich wie zum Ausdruck bringen, ganz einfach, indem man diese Implikation hier zeigt. Man zeigt, dass nicht B folgt nicht A. Was kann ich denn dann schließen, wenn ich jetzt zeige, das hier ist auch eine wahre Aussage? Dann weiß ich, dass was gelten muss. Was kann ich jetzt über A sagen? Wenn ich gezeigt habe, nicht B ist wahr und diese Implikation, die hier unten steht, ist wahr, weiß ich, dass nicht A wahr sein muss. Sie können einfach nicht B und nicht A durch A und B ersetzen, wenn sie unsympathisch ist, oder durch C und D, oder durch Kevin und Chantal. Also das ist kein Punkt, da dürfen Sie sich nicht verwirren lassen, dass da jetzt sozusagen ein bisschen andere Aussagen dastehen, oder? Wir können da wieder folgen, wie wir das immer gemacht haben. und zwar einen Widerspruch. Einen Widerspruch zur ursprünglichen Annahme. Und zwar ist es so, wir gehen natürlich davon aus, wenn wir aus A folgt B zeigen möchten, dass A wahr ist. Wenn wir aber diese beiden Punkte hier zeigen können, ja dann folgen wir daraus, dass nicht A wahr sein muss. Ja was aber bedeutet, dass diese Widerspruchsannahme sicher nicht hat wahr sein können. Okay, das ist also hier was im Widerspruch beweist. drin steckt. Also wenn man das hier so dieser Reihenfolge nach zeigt und davon ausgeht, dass A ursprünglich wahr war, dann kommt man hier auf einen Widerspruch und schließt zurück, ja, dann muss B auch wahr gewesen sein. Theoretisches Beweisprinzip, Widerspruchsbeweis, jetzt also wieder in Action in einem Beispiel. Und zwar, wie gesagt, ein Beispiel, das also da schon 500 vor Christus bekannt war. Salopp könnte man es so formulieren, Wurzel aus zwei ist irrational. Übrigens ein kleiner Hinweis, also falls Sie das in einer verdonten Form nicht von mir hören möchten, geben Sie das einmal auf YouTube ein. Also da singt Ihnen jemand den Beweis vor. Also ich habe mir überlegt, ob ich es Ihnen in der Vorlesung vorspielen soll, und ich habe mir gedacht, das macht vielleicht zumindest bei der ersten Vorlesung keinen guten Eindruck. Hören Sie sich das vielleicht selber an. Gut, Wurzel aus 2 ist irrational, jetzt müssen wir genauer sagen, wie wir das hier formulieren. Was wir zeigen möchten, ist das folgende. Wir zeigen, es gibt keine rationale Zahl, also keine Bruchzahl. Und jetzt wollen wir halt die Eigenschaft von der beschreiben, deswegen geben wir ihr einen Namen, nennen wir sie x. Und zwar die Eigenschaft soll sein, x² ist gleich 2. Es gibt also keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist und das bedeutet mehr oder weniger, Wurzlaß 2 ist irrational. Okay, ja warum ist das was, was die alten Kirchen irgendwie schon ein bisschen stutzig gemacht hat? Uns heutzutage macht das nicht mehr sehr stutzig. Ein spannendes Objekt, das Einheitsquadrat. Die Seitenlängen, schöne natürliche Zahlen, 1, 1, 1, 1, also nichts Außergewöhnliches dran. Ja, die Diagonale, wissen Sie alle, was es gibt? Wurzelaufgaben. 2. Ja gut, wenn man noch nicht weiß, was das ist, dann nennt man es halt x. Und nach dem Satz von Pythagoras wissen wir, x² muss 2 sein. Und damit sieht man aber, wenn wir das jetzt zeigen können, dass diese Länge hier, die Diagonale im Einheitsquadrat, keine rationale Zahl ist. Und das hat den Griechen nicht gut gefallen. Es wurde damals dann schon der Beweis im Wesentlichen so aufgestellt, wie ich Ihnen jetzt den präsentiere, und zwar um so 400 v. Chr. von Euclid. Also wirklich nichts Neues, was ich Ihnen da jetzt zeige. Allerdings eins muss man dazu sagen, ich schreibe es vielleicht ein bisschen moderner auf als Euclid damals, der hat das noch sehr in Worte gefasst. Aber prinzipiell der Beweis, den Sie jetzt sehen, der ist 400 Jahre alt. Äh, vier. Super gerechnet, ich habe Ihnen schon versprochen, dass ich ein sehr guter Kopfrechner bin. Also der ist bereits seit 400 vor Christus bekannt, wollte ich sagen. So, naja, das war jetzt nicht einmal mehr gerettet. Aber gut, wir wollen das jetzt beweisen und beweisen wollen wir das mit Widerspruch. Widerspruch und wenn wir etwas mit Widerspruch beweisen, dann soll man das auch noch hinschreiben. Also Beweis mit Widerspruch am besten. Schreibt man es dazu, weil es jeder was gesagt ist und gemeint ist. So, und bei einem Beweis mit Widerspruch haben wir gesagt, flopp, linke Seite, zuerst ist eine Widerspruchsannahme zu treffen. Und was ist jetzt hier die Widerspruchsannahme? Übrigens, weil ich zu faul bin, immer Widerspruch auszuschreiben, schreiben Sie es übrigens bloß nicht mit E. Dann schreibe ich halt immer Pfeilannahme. Und zwar Blitzpfeildings, das steht also hier für Widerspruch. Die Widerspruchsannahme lautet hier wie folgt, und zwar die Aussage, die wir eigentlich zeigen möchten, die wird verneint. Also schauen Sie nochmal daher, nicht b muss wahr sein, wir wollen ja eben b zeigen und b ist gerade hier. Es gibt keine rationale Zahl x mit x² gleich 2. Ja, was ist die Verneinung davon? Es gibt halt eine. Also, es gibt eine und wir wollen der einen Namen geben, deswegen schreiben wir es sei x. Eine rationale Zahl und zwar mit der Eigenschaft, dass ihr Quadrat gleich 2 ist. Und das führt manchmal zu Verwirrungen. Ich nehme etwas an, von dem, wenn wir euch lieb glauben, ich ja eh schon weiß, aber im Prinzip könnte ich es ja noch nicht bewiesen haben, dass es wahr ist. Also Achtung, man muss hier wirklich das, was man zeigen will, verneinen und dann auf diese Art und Weise weiterarbeiten. Gut. Jetzt kommt etwas, was auch im ersten Semester sicher was ist, was am Anfang nicht so einfach zu schlucken ist, ein sogenanntes OBDA. Aha, nichts zum Davonlaufen. OBDA steht für Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Jetzt habe ich es nicht besser gemacht, gell? Also Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Allgemeinheit. und das will man nicht immer ausschreiben, deswegen schreibt man OBDA, nehmen wir jetzt an, dass x größer als 0 ist. So, Erklärungsbedarf. Was soll das bedeuten? Ohne Beschränkung der Allgemeinheit schreibt man dann, wenn man einzelne Fälle ausschließen kann, also sprich irrelevante Fälle einfach loswerden kann auf sehr einfache Art und Weise und alle anderen Fälle dann auf den Betrachteten sehr einfach zurückführen kann. Ja, ich behaupte, das können wir da. Einen Fall können wir sehr schnell ausschließen, und zwar was ist denn, wenn x gleich 0 ist? Brauche ich mir x gleich 0 anschauen? Ist 0 hier relevant? Nein, weil ist immer noch 0 und sicher nicht 2. Brauche ich gar nicht suchen gehen. Was würde ich denn jetzt machen, wenn x negativ wäre? Na dann betrachte ich das Negative davon und das Quadrat ist immer noch das. dasselbe. Das heißt, durch Multiplikation mit minus 1 bin ich sofort wieder in diesem Fall. Also Sie sehen, wir können von vornherein annehmen, x wäre positiv, weil x gleich 0 ist, eh gleich auszuschließen und wenn x kleiner 0 ist, dann drehe ich einfach das Vorzeichen um und dann sind wir sofort wieder in diesem Fall. Und das ist also die Stärke eines OBDAs. Man kann sich auf einen Fall beschränken und alle anderen, die lassen sich auf den zurückführen und zwar sehr einfach oder man kann sie gleich schon wegschmeißen. Na gut. Wenn wir jetzt also so eine positive, rationale Zahl haben, ja dann können wir die als Bruch schreiben. Also es sind rationale Zahlen, Bruchzahlen, umgangssprachlich gesprochen. Das heißt, wir können folgendes wählen. Wähle, und zwar, jetzt kommt was ganz Wichtiges dazu, Teiler, Fremde, natürliche Zahlen, m und n. Und zwar mit der Eigenschaft, dass sich x schreiben lässt als m durch m. Was heißt denn teilerfremd? Was kann ich denn bei dem Bruch nicht mehr machen? Ihn kürzen. Teilerfremd bedeutet einfach hier, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Das wissen Sie aus der Schule, das können Sie immer hinkriegen, oder? Also angenommen, da gibt es noch gemeinsame Faktoren, dann würde ich die wegkürzen. Und wir nehmen jetzt aber an, m und n wären so, und das kann ich immer erreichen, solche natürlichen Zahlen, dass also eben hier vollständig gekürzt ist der entstehende Bruch. Und das hier bitte zu beachten, diese Annahme, M und N teilerfremd sind, die wird noch ganz, ganz entscheidend sein. Das ist hier ganz wichtig in den Stern. Damit Sie den Eindruck kriegen, dass wichtige Dinge bei mir immer Stern heißen. Naja, ich möchte dann noch darauf referenzieren, also Rot-Stern. Merken wir uns gleich, wird noch ganz, ganz wichtig. So, was können wir jetzt machen? Wir haben ja hier oben jetzt die Annahme getroffen, die Widerspruchssannahme, dass also hier x² gleich 2 ist. Und das hier nenne ich Und in Dreieck können wir jetzt einfach einsetzen. Wir setzen also in Dreieck ein. Also in Blau-Dreieck wird jetzt eingesetzt. Und wenn wir da also in Blau-Dreieck einsetzen, dann müssen wir x quadrieren. x ist m durch n. Wie quadriert man einen Bruch? Das sind immer die Dinge, da traut sich dann niemand was zu sagen, das ist mir klar. zählerquadriert durch nennerquadriert, also m² durch n². Und eingesetzt muss also auf der rechten Seite 2 stehen. Ich behaupte, da können wir aber sofort eine äquivalente Aussage dazu hinschreiben. Na welche? Wir können mit n² multiplizieren. Dann bleibt die Gleichung noch immer erhalten. Das heißt, m² muss 2 mal n² sein. Das ist jetzt die Beobachtung, die wir also hier gemacht haben. Noch ganz, ganz ein Simpler. Was ist denn 2m²? Ist das gerade oder ungerade? No, na, gerade. Aber wenn es m² ist, dann muss m² gerade sein. Also ist m² gerade, steht ja gerade da. Was kann ich jetzt über m folgern? Warum? Weil wir es schon gezeigt haben, ist das nicht toll. Also genau deswegen haben wir es vorhin gezeigt, an der Stelle brauchen wir das jetzt auch. Und so funktioniert die Mathematik. Man zeigt Aussagen, dann weiß man, die sind wahr. Aus denen kann man dann eben neue, wahre Aussagen basteln und die dann eben in Beweise verwenden. Also das ist hier ein Paradebeispiel dafür. Also ist m² gerade, demnach auch n. m. Also auch m ist eine gerade Zahl. Und wenn jetzt m gerade ist, können wir es wieder wie schreiben? Wir können eine natürliche Zahl finden, die nennen wir vielleicht wieder k, mit der Eigenschaft, dass sich m schreiben lässt als 2 mal k. Wenn eine Zahl gerade ist, dann bedeutet das gerade, dass sie 2 als Teiler hat. Also ist m gleich 2k. Und zwar für irgendeine natürliche Zahl k, natürlich ist das gerade das halbe von m. Gut, was können wir jetzt wieder tun? Wir können wieder einsetzen. Und zwar, wir setzen jetzt da oben ein und da wir ja langsam die Symbole ausgehen, nenne ich das da vielleicht jetzt irgendwie Gelbstern. Also einsetzen in Gelbstern. Gut, was gibt es eingesetzt in Gelbstern? Wir müssen also für M2K einsetzen. Das bedeutet also, was wir hier haben ist 2k, Klammer rum, zum Quadrat, muss dasselbe sein wie 2n². Wir können natürlich hier ausquadrieren, das ist ein und dieselbe Aussage wie 4k² ist gleich 2n². Und natürlich dürfen wir hier auch noch durch 2 dividieren, das heißt wir sehen, dass gelten muss, dass 2k² dasselbe ist wie n². Was können wir jetzt über n schließen? dass n auch die 2 als Teiler hat, also dass es hier ebenfalls sich um eine gerade Zahl handelt. Warum? Spielen wir es nochmal durch. Na, weil 2k ist definitiv gerade. Da sehen wir es, also muss auch n² gerade sein. Folglich können wir also festhalten, folglich ist n² gerade. Also, insbesondere auch, gibt es Ideen, warum wir jetzt fertig sind? Warum kommen wir jetzt zum Widerspruch? Wer sieht denn hier? Die entscheidende Voraussetzung am Anfang. Wenn unsere ursprüngliche Annahme stimmen würde, sprich, was war denn die? Die Widerspruchsannahme, die da oben steht. dann könnten wir definitiv x so hinschreiben, teilerfremd mit m und n. Geht aber nicht. Warum? Weil wir jetzt gesehen haben, es ist sowohl das n eine gerade Zahl, wie auch das m eine gerade Zahl. Also insgesamt haben wir jetzt eben gezeigt, dass m und n nicht teilerfremd sind, also nicht tf. für teilerfremd und das hier ist jetzt ein Widerspruch zu was? Na genau, ein Widerspruch zu Rotstern. Also Sie haben beide 2 als Teiler, kann nicht funktionieren, Widerspruch, Ende des Beweises. Und für Ende des Beweises gibt es übrigens ein Symbolchen, das ist also dieses Rechteck hier. Und was man manchmal auch macht ist, dass man da q.e.d. hinschreibt, vielleicht wenn Sie das einmal in mathematischer Literatur entdecken sollten. Das steht für Quad Era Demonstrandum, schon wieder Latein. Also was zu zeigen war und abgekürzt ist es also dieses Symbol hier. Also wenn Sie jetzt am Ende im Skript und vor allem bei so einem Beweisende dieses Symbol finden, dann wissen Sie, das soll das Beweisende kennzeichnen, damit man weiß, danach geht es also nicht mehr mit dem Beweis weiter. Beziehungsweise für den geneigten Leser. damit ihm auch bewusst ist, dass jetzt die zu zeigende Aussage wirklich gezeigt ist. Na gut, gibt es Fragen zur Aussagenlogik bis dahin besprochen? Fragen, die unter den Fingernägeln brennen, entdecke ich jetzt bei Ihnen noch nicht. Dann werden wir heute noch mit einer kleinen Definition abschließen. Und zwar das nächste, was wir morgen noch genauer, selbe Uhrzeit, selber Hörsaal übrigens, besprechen werden, das sind... Mengen. Und der Begriff der Menge könnte man meinen, ja wenn also jetzt hier die alten Griechen schon so einen Beweis haben hinschreiben können, vielleicht nicht ganz so, 400 vor Christus, ja der muss in der Form, in der man den heute betrachtet, schon viel viel älter sein. Nein, das Gegenteil ist der Fall. Also die Definition der Menge, die geht zurück und zwar in der Form, in der ich Ihnen dann jetzt präsentiere, auf Georg Thor. Zwar genauer hat er das 1895 so aufgestellt, ich lese Ihnen mal vor. Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung, jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohl unterschiedenden Objekten. Also zum Beispiel verschiedene Personen, Kevin, Chantal, Jacqueline, wirklich unterscheidbar. Und zwar diesen Objekten, den kann man zum Beispiel immer den Namen klein m geben, unserer Anschauung oder unseres Denkens. Unglaublich weit gegriffen, oder? Also wirklich das, was ich betrachten kann. das was ich mir nur vorstellen kann und diese Objekte, die sie unterscheidbar sind, die heißen also Elemente und die fasst man eben zusammen zu einem Ganzen, schreibt also hier Kantor. Im Prinzip ist die vielleicht ein bisschen altfattig, diese Definition, aber ich gebe Ihnen jetzt die gleiche. Also was ist eine Menge? Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten. Und diese unterscheidbaren Objekte so einer Menge, die nennt man also Elemente der Menge. Und genau mit solchen Zusammenfassungen, mit solchen Mengen werden wir uns also morgen beschäftigen und auf Grundlage dieser Mengen werden wir dann eben auch noch sehen, dass wir sogenannte Abbildungen definieren werden, was dann eben Zuordnungen zwischen Mengen sind. Das alles erwartet Sie also morgen. Für heute bedanke ich mich für Ihre Aufmerksamkeit und einen schönen Nachmittag.

Darum dreht sich alles, was wir jetzt machen werden. Und dazu müssen wir uns aber erst einmal darauf einigen, was verstehen wir unter einer logischen Aussage. Und darunter verstehen wir Folgendes.

Also eine Aussage oder auch genauer logische Aussage ist zunächst ein Satz. Und das ist jetzt sehr allgemein gegriffen. Ein umgangssprachlicher Satz, so wie das Wetter ist schön. könnte man sagen, wäre das eine logische Aussage, ja dann, wenn Folgendes zutrifft, und zwar, wenn sich entscheiden lässt, nur dann ist es eine Aussage, und zwar, möchte ich betonen, sinnvoll entscheiden lässt, ob sich darum um eine wahre Aussage oder um eine falsche Aussage handelt. Das heißt also, es ist jeder Satz, für den Folgendes zutrifft, es lässt sich eindeutig entscheiden, ob dieser wahr oder falsch ist, und zwar in einer sinnvollen Art und Weise.

Und diese beiden Möglichkeiten, wahr und falsch, die nennt man also Wahrheitswerte. Und es muss eindeutig zuordnenbar sein, der Wahrheitswert wahr oder falsch, nichts dazwischen. Also es gibt nur wahr und falsch, sehr dichoton und nichts, wie gesagt, dazwischen.

Beachten Sie, dass sich diese Sätze, diese logischen Aussagen teilweise von der Umgangssprache doch deutlich unterscheiden. Also wenn Ihnen ein Politiker irgendeine Aussage präsentiert, dann ist es teilweise schwierig zu sagen, ob das wahr oder falsch ist und teilweise lässt sich das sogar nicht sinnvoll entscheiden, oder? Das heißt, deswegen beachten Sie die Aussagen, die wir uns immer anschauen, dass sie ganz klar sind, sinnvoll klar sind, ob das eine wahre oder eben eine falsche Aussage ist. Zumindest entscheiden lassen muss es sich theoretisch.

Es wirklich zu entscheiden kann oft sehr schwierig sein. Gut, wollen wir uns Beispiele anschauen. Ein erstes Beispiel, und seien Sie nicht verwirrt von diesem Dreieck, das ist bei mir nur so ein Bullet Point.

Erstes Beispiel könnte folgender, eventuell folgende Aussage sein, Sie sagen mir dann, ob es eine ist. Und zwar, das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl Sie wissen alle, was die natürlichen Zahlen sind. Das sind die, die Sie zum Zählen verwenden, die Sie da so quasi auf den Fingern haben. Also, nochmal, das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist gerade. Also, nochmal, was sind die natürlichen Zahlen?

Bei mir beginnen die immer bei 1, Sie können die auch bei 0 beginnen lassen, das ist nicht so tragisch. Und dann sind die zum Zählen 1, 2, 3, 4 und so weiter und so fort. Und ich behaupte das Quadrat, das heißt, wenn ich eine Solche Zahlen mit sich selber multiplizieren.

Einer ungeraden natürlichen Zahl ist gerade. Was sagen Sie zu dieser Aussage? Gibt es da Meinungen dazu? Also vielleicht mal da vorne. Falsch!

Sie haben alles richtig gemacht. Warum hat er alles richtig gemacht? Eine Frage gestellt, mir genau eine Antwort gegeben.

Super! Es gibt ein Analysis 1 Skript, was in der Studie übergeblieben ist. Also ich hoffe, Sie haben nur ganz klar.

Gut, also wunderbar. Genau, das ist eine falsche Aussage. Also, und falls Sie schon eins haben, vielleicht hat heute jemand Geburtstag, also es ist sehr wahrscheinlich, dass heute wer Geburtstag hat. Also, warum ist es falsch?

Also die Antwort hier vom Herrn Vorn war, es ist eine falsche Aussage. Was muss man denn zuerst überlegen? Bevor ich mir überlege, ob es falsch ist. Ist es überhaupt eine Aussage? Ja, es lässt sich sinnvoll entscheiden, ob es wahr oder falsch ist.

Eigentlich müssen wir es beweisen. Wir werden später sehen, ja es ist falsch. Wir können aber auch ein Gegenbeispiel angeben.

Wem fällt 1 ein? Wie bitte? 3 zum Quadrat. Ja, warum? Das gibt 9. Also wir sehen, 3 ist definitiv eine ungerade natürliche Zahl.

Das Quadrat ist 9, aber das ist auch ungerade. Das hier ist eine falsche Aussage. Also Sie sehen schon, wenn der Tag lang ist, kann man viel Falsches hinschreiben und zu entscheiden, ob es wahr oder falsch ist, ist aber teilweise eben nicht so einfach.

Gut, in dem Fall war es jetzt nicht sehr schwierig. Was sagen Sie zur folgenden Aussage? Vielleicht Aussage.

Und zwar, es gibt keine rationale Zeit. Rationale Zahlen sind die Bruchzahlen, die kennen Sie auch aus der Schule, 7 Drittel und so Zeug. Also es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat, schon wieder ein Quadrat, gleich 2 ist. Das soll Ist heißen. Übrigens, wenn Sie was nicht lesen können, dürfen Sie auch schreien.

Ist erstens das hier eine Aussage? Das ist das erste, was wir klären müssen. Gibt es Meinungen?

Also da sollte man sinnvoll entscheiden können, ob es wahr oder falsch ist. Ist es einfach, das zu entscheiden für Sie gerade? Wer weiß es denn? Da vorne vielleicht? Genau, genau das Richtige angesprochen.

Wenn wir also eine rationale Zahl suchen, die quadriert, eben 2 ergibt, bedeutet das, man zieht die Wurzel. Da wissen wir noch nicht so ganz genau, was das ist, aber... Im Prinzip wissen Sie es schon aus der Schule. Und da haben Sie sich ja auch schon gehört, die Wurzel aus 2 ist irrational.

Also sprich, wir können keine rationale Zahl finden, sodass das Quadrat gleich 2 ist. Das heißt also, das hier ist eine wahre Aussage. Die werden wir übrigens heute noch beweisen, spätestens morgen. War übrigens schon den alten Griechen bekannt, so 500 vor Christus.

Das heißt, neu ist es nicht gerade. Also, das ist eine wahre Aussage. Gut, dazu also später. Und genauso die Aussage werden wir uns später auch noch anschauen, naja, vielleicht da eher mit ungerade. Was sagen Sie zu folgendem Satz?

Und zwar, dieser Satz ist falsch. Gibt es Meinungen dazu? Ja, vielleicht da oben.

Okay, dann ganz da oben. Keine Aussage. Ja, warum ist es keine? Ja, man kann mal schnell sagen. Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist er falsch.

Wenn er aber falsch ist, dann ist er wahr. Das heißt, es lässt sich nicht in eindeutiger Weise ein Wahrheitswert zuordnen. Damit ist es keine logische Aussage. Also, das ist keine Aussage.

Und ganz ehrlich, mit sowas wollen wir uns auch nicht beschäftigen. Also gut, das was Sie sehen ist, man kann Sätze formulieren und wenn man dann sinnvoll entscheiden kann, ob dieser Satz wahr oder falsch ist, dann spricht man von einer sogenannten... logischen Aussage. Das nächste, was wir jetzt halt doch irgendwann tun möchten, ist nicht jedes Mal hinschreiben zu müssen, Anführungszeichen Satz und dann Anführungszeichen oben, sondern wir möchten auch sinnvolle Namen vergeben.

Und das, was wir dazu tun, ist, dass wir eine Definition einführen, und zwar genauer, was es bedeutet, etwas zu definieren. Und zwar, was jetzt gemacht werden soll, ist, wir starten mit einem Objekt A. Da können Sie sich irgendwas darunter vorstellen. Vielleicht bei uns wird es meistens so sein, dass das ein mathematisches Objekt ist. Aber im Prinzip ist es egal.

Also irgendein Objekt, stellen Sie sich vor, und jetzt ist es so, dieses Objekt A, das will ich jetzt nicht mehr A nennen, oder vielleicht auch weiterhin A nennen, ich will ihm aber auch einen neuen Namen geben, und zwar soll das B sein. Das heißt also, B soll eine neue Bezeichnung sein, und zwar für A. Und bitte beachten Sie diese Doppelpunkte hier.

B wird definiert als A, das heißt also man wählt die Bezeichnung B für das bestehende Objekt A. Und das ist eine sogenannte Definition. Ja, was ist hier die Sprechweise dafür? Also die Sprechweise lautet wie folgt. Man sagt dann eben B steht für A.

Was sich gerade unglaublich überraschen wird, denke ich mir. Oder man kann auch sagen, B ist definitionsgemäß gleich A. Also ist definitionsgemäß gleich A.

Und jetzt will ich Ihnen dazu also auch das ein oder andere Beispiel geben. Was könnten wir definieren? Ich habe Ihnen schon gesagt, wenn man da jetzt jedes Mal diese ganzen langen logischen Aussagen da hinschreiben müssen, so als Satz formuliert, das ist mühsam.

Denen wollen wir einen Namen geben. Zum Beispiel sagen wir, Groß A soll eine logische Aussage sein und das heißt, A wird definiert als die Aussage 97 ist eine Printzahl. Ja, eine Aussage ist es sicher, ich kann entscheiden, ob es wahr oder falsch ist, theoretisch zumindest.

Ja, praktisch, wahr oder falsch. Gut, müssen Sie es jetzt nicht wissen, Sie sind ja kein Computer. Aber es ist so, das ist eine wahre Aussage.

Also A ist wahre Aussage. Und natürlich ist A hier diese Aussage, und zwar also jene, die ich jetzt mit A bezeichnet habe. Also Sie sehen schon, das ist ein bisschen praktischer.

Ich muss da nicht jedes Mal den ganzen Satz wieder hinschreiben. Ich möchte Sie auch gleich warnen. Definieren kann man viel, wenn der Tag lang ist. Ob es sinnhaft in irgendeiner Form ist, das ist die andere Frage. Sie können auch, wenn Sie möchten, sagen wir so, Sie sind vielleicht mit Ihrem Namen nicht mehr zufrieden.

Und sagen wir mal, also Ihr Name ist Chantal und Sie möchten sich in Zukunft aber Kevin nennen. Das kann man definieren, warum nicht? Also, man...

Bezeichnet in Zukunft dann also Chantal als Kevin, ob sie damit glücklich ist oder nicht, das müsste man sich dann selber fragen, je nach Person. Aber prinzipiell sehen Sie, definieren kann man alles. Und wie gesagt, ob Definitionen sinnvoll sind, im Kontext oder nicht, das ergibt sich dann erst.

Bitte seien Sie ein bisschen sparsam und denken Sie nach, wenn Sie Doppelpunkt ist, gleichschreiben. Also verwechseln Sie das nicht mit Gleichheit, wir werden später sehen, Gleichheit von Zahlen, Gleichheit von Mengen und so weiter und so fort. Wenn eine Definition hier getroffen wird, das kann ihnen niemand verbieten aber man kann sie ihnen ans herz legen manche definitionen nicht zu treffen die vielleicht gut also das ist einmal hier eine definition und wir haben jetzt also gesehen wir haben aussagen zum einen wir können jetzt aussagen sozusagen abkürzen bezeichnen und das nächste was man jetzt machen möchten ist aus bestehenden aussagen neue aussagen zu basteln also stellen sie sich vor richtig so ein zeugkasten prinzip Sie haben da also so jede Menge Aussagen drin und möchten da neue Aussagen zusammenstöpseln. Und was man hier eben tun ist, Aussagen zu bilden. Ja und wenn wir eine Aussage erstmal aus einer bestehenden bilden möchten, dann brauchen wir erstmal eine bestehende Aussage.

Und dazu schreibt der gemeine Mathematiker die gemeine Mathematikerin, er nicht gemein im Sinn von fies, sondern so herkömmlich. Es sei a eine Aussage. Und darunter können Sie sich jede beliebige Aussage vorstellen. Das soll also hier stellvertretend für, wie gesagt, jede Aussage, die nur erdenkbar ist, eben sein.

Und es sei a eine Aussage liegt eben diese Eigenschaft fest, dass es sich um eine Aussage handelt. Also dieses sei hier, das ist da, was üblich verwendet wird. Und das erste, was wir uns anschauen möchten, ist Ja, wie verneint man so eine Aussage?

Also das, was wir uns anschauen, ist die sogenannte Negation. Man spricht hier nicht A oder auch non A. Und das ist also, wie gesagt, die sogenannte Negation. Oder wenn Sie es mehr deutsch haben möchten, Verneinung. Also mehr deutsch-deutsch.

Gut, jetzt schreibe ich Ihnen einfach ein Symbol hin, das sagt noch gar nichts. Ich sage Ihnen auch, wie man dazu spricht. Also wie gesagt, nicht A oder nun A. Das ist hier die Sprechweise dazu. Jetzt muss ich Ihnen aber schon mal sagen, was das überhaupt bedeutet.

Wie ist diese Aussage eben zu verstehen? Das, was ich Ihnen da ans Herz legen würde, ist, dass Sie sich mit solchen Wahrheitstabellen in Bezug auf Aussagen anfreunden, um schnell zu verstehen, wie eben neue Aussagen gebildet werden. Also das hier nennt man eine Wahrheitstafel oder auch Tabelle. Und zwar, warum kann man so eben jetzt neue Aussagen generieren?

Na ganz einfach, A ist eine logische Aussage, hat daher nur welche Wahrheitswerte? Wahr oder falsch. Mehr gibt es nicht.

Und bei einer Aussage kommt es auch darauf an, ob sie wahr oder falsch ist. Sagen wir was anderes, ist jetzt da nicht entscheidend. Und entsprechend können wir eine neue Aussage jetzt eben so definieren.

Wir können einfach sagen, wenn A jetzt den Wahrheitswert wahr haben wird, Na, was wird wohl die Verneinung im umgangssprachlichen Sinn, wenn man daran denkt, für ein Wahrheitswert haben sollen? Natürlich falsch. Das heißt, die Verneinung dreht gerade die Wahrheitswerte um.

Wenn die Aussage A wahr ist, dann steht also hier danach eine falsche Aussage. Wenn sie falsch ist, dann eine wahre. Die Wahrheitswerte werden also einfach miteinander vertauscht.

Die werden ins Gegenteil umgekehrt. Also, das hier ist eben die sogenannte Verneinung. Jetzt kommen wir... zu weiteren Beispielen von solchen Bildungen von neuen Aussagen und dazu braucht man aber noch eine weitere Aussage.

Das heißt, es sei B eine weitere Aussage und da wieder, das kann jede beliebige Aussage sein, das kann auch A sein. Also alles zugelassen. Wir haben jetzt also zwei Aussagen A und B und die wollen wir jetzt auch miteinander verknüpfen Die ersten zwei Verknüpfungsmöglichkeiten, die ich Ihnen da vorstelle, das ist zum einen A und B.

Also Sie sehen, da macht man also so eine Hackele. Also A, Entschuldigung, das ist falsch, A oder B, wollte ich sagen. Hoppala. Also das ist hier die erste, die wir betrachten. Und da können Sie sich gleich merken, dieses Hackerle da, das kommt vom lateinischen vel.

Und wer Latein von Ihnen gehabt hat, weiß vielleicht, was das bedeutet. Das bedeutet oder. Also, man spricht hier dazu a oder b. Und umgangssprachlich ist Ihnen sofort klar, was das bedeuten soll.

Wir werden uns natürlich gleich anschauen, was wirklich die Wahrheitswerte dieser Aussage sein sollen. Man spricht hier von der sogenannten Disjunktion oder manche nennen das also auch Adjunktion. Warum gibt es hier zwei Bezeichnungen?

Manche unterscheiden hier sogar, möchte ich Sie ein bisschen vorwarnen. Und zwar dieses Oder da, das ist nicht das sich ausschließende Oder. Das heißt, das hier ist zu verstehen als Und-Oder.

Also und, oder. Na, wenn es so ein oder gibt, dann wird es eben auch ein und geben. Und dazu dreht man einfach also dieses V auf den Kopf und spricht dazu A und B. Und das nennt man eben Konjunktion.

Ja, wieder vom Lateinischen, Konjungere. Das ist vielleicht ein Verb, das Sie mal da gehört haben. Heißt verbinden.

Da werden eben hier Aussagen verbunden. Jetzt, wenn ich Ihnen das so hinschreibe, habe ich noch gar nichts gemacht eigentlich. Ich habe Ihnen eine schöne Symbole hingemalt, das bringt Ihnen nichts.

Was wir uns jetzt anschauen wollen, ist, wie diese neun zusammengebastelten Aussagen definiert sind. Und dazu schreiben wir uns jetzt alle möglichen Wahrheitswerte der Aussagen A und B in Kombination hin. Gut, A kann was sein? A kann nur wahr oder falsch sein. Und das heißt, wenn wir es mit allen Wahrheitswerten von B kombinieren wollen, die ja auch nur zwei sind, Schreiben wir uns da also hin, wahr, wahr, falsch, falsch.

Gut, B zudem kann also was sein? Na, wahr oder falsch. Diese Möglichkeiten gibt es dann also, wenn A wahr ist. Oder wenn A falsch ist, na dann kann natürlich B immer noch wahr oder ebenfalls falsch sein.

Das sind also alle vier Möglichkeiten, die es gibt. Und anhand dieser vier Möglichkeiten werden wir jetzt also uns überlegen, was es heißen soll, dass A oder B eben wahr bzw. falsch ist. Sind Sie schon gelangweilt, weil Sie es schon vorsagen? Na, ist aber gut.

Also, fangen wir vielleicht an mit A oder B. Na, wenn das zum Umgangssprachlichen passen soll und wie gesagt nicht das ausschließende Oder ist, was würden Sie vermuten? Na, sobald eine der beiden Aussagen wahr ist, ja ist auch diese Aussage wahr. Das heißt also, wir brauchen eigentlich nur schauen, wo tritt überall wahr auf? Ja, da, da, da.

Da gibt es nur falsch. Das heißt also, das ist wahr im Fall, dass beide wahr sind. Sobald eine der beiden... Aussagen war es, ist das hier eine wahre Aussage, diese Disjunktion. Und schlussendlich nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.

Was anderes gibt es nicht. Und damit ist diese Aussage definiert. Die Aussage A und B, wie sieht es mit der aus? Wann sollte denn die wohl wahr sein? Nur dann, wenn.

Gut, das heißt, wir brauchen jetzt nur durchforsten, wo überall etwas Falsches auftritt. In den letzten drei Zeilen, wenn beide Aussagen wahr sind. dann soll natürlich diese Verknüpfung auch wahr sein und ansonsten jeweils falsch.

Gut, jetzt haben wir schon neue Aussagen kennengelernt, die man also zusammenstöpselt aus bestehenden. Und vielleicht hierzu kann ich noch kurz erwähnen, also und und oder, die nennt man Jungtoren, diese Symbole. Schon wieder dein Jungere verbinden, die verbinden Aussagen miteinander und heißen eben dementsprechend Jungtoren.

Gibt es soweit von Ihrer Seite mal Fragen? Na gut, jetzt haben wir also relativ einfache Aussagen zusammengebastelt. Eine Frage? Nicht überzeugt? Also ich würde empfehlen, wenn Ihnen das Spanisch vorkommt, dann nehmen Sie einfach zwei Aussagen der Umgangssprache.

Sie können natürlich auch irgend so etwas nehmen wie, N ist eine ungerade Zahl, dann überlegen Sie eine andere Aussage dazu und dann probieren Sie die zu verknüpfen. Dann sollte Ihnen das korrekt vorkommen. Ansonsten haben wir einen Fehler gemacht. Das kann auch sein.

Gut, wir kommen also jetzt zu einer nächsten wichtigen Verknüpfung und das ist die sogenannte Implikation. Eine ganz, ganz wichtige... Eine wichtige Methodik der Mathematik ist die der logischen Schlussfolgerung und die basiert eben auf der sogenannten Implikation. Und das ist auch hier wieder eine verbundene Aussage und man schreibt A Pfeil B und sprechen dazu tut man aus A folgt B.

Und jetzt machen wir eine Definition. Das soll nur hier eine Bezeichnung sein für eine verknüpfte Aussage, und zwar nicht A oder B. Gut, was ich gemacht habe ist, rechts habe ich eine Aussage hingeschrieben, und zwar nicht A.

Bitte beachten Sie dieses non bindet stärker. Sie können sich da eine Klammer dazu denken. Zuerst wird nicht A verneint und dann mit dem Oder verknüpft mit B. Und das gibt eine Aussage.

Und diese Aussage nennen wir aus A folgt B. Eine Frage? Ja, das ist auch eine Schreibweise.

Ist auch in Ordnung. Ist nur eine Schreibweise. Das können Sie so definieren.

Also ist kein Problem. Also Schreibweisen gibt es viele eben. Da sieht man schon verschiedenste.

Sie kennen sicher auch andere aus der Schule. Ist auch in Ordnung, wenn Sie das verwenden möchten. Solange Sie die anderen verstehen, ist es in Ordnung.

Das ist immer wichtig. Gut, wir haben jetzt eine neue Aussage definiert und die nennt man Implikation. Und die wollen wir jetzt versuchen zu verstehen.

Und am besten verstehen wir halt, wenn wir uns die Wahrheitswerte dazu anschauen. Und wir zeichnen schon wieder eine Wahrheitstafel. A, B. Wahr, wahr, falsch, falsch.

Wahr, falsch, wahr, falsch. Und was wir bilden müssen, ist diese Verknüpfung. Und dann schreiben wir uns vielleicht, damit wir es ein bisschen einfacher haben, auch noch nun a dazu. Dazu müssen wir einfach nur a verneinen, also die Wahrheitsweite hier umkehren. Wenn a also wahr ist, dann ist nicht a falsch.

Das heißt, wir haben hier falsch, falsch und dann war, war. Gut, was wir jetzt bilden, ist also diese Verknüpfung, die hier oben steht. Nicht a oder b. Und da legen wir jetzt einfach mal los. Was müssen wir denn einfach nur tun?

Wir müssen diese beiden Aussagen miteinander vergleichen. Und was wissen wir denn beim Oder? Was müssen wir eigentlich nur suchen? Na, sobald einmal ein Wahr drinsteht, haben wir eh schon gewonnen, dann ist es wahr.

Das heißt also, hier steht einmal wahr, damit ist es eine wahre Aussage. Hier steht falsch, falsch, Pech gehabt, dann ist es falsch. Und da steht also wahr, wahr und falsch, wahr, somit also mit Oder vergnügt, jeweils wahr.

Gut, jetzt haben wir schon mal verstanden, was die Wahrheitswerte dieser Implikation angeht und jetzt wollen wir verstehen, was wir davon haben. Dazu betrachten wir zuerst mal diese ersten beiden Zeilen. Also wir schauen uns jetzt diese ersten beiden Zeilen an und jetzt nehmen wir folgendes an.

Stellen Sie sich vor, Sie starten mit einer Aussage A. Das heißt, Sie nehmen an, A ist wahr. Was heißt, Sie nehmen das an? Sehr oft ist es so, dass Sie aus einer Aussage etwas anderes herleiten wollen.

Das heißt, Sie nehmen prinzipiell einmal an, dass Ihre Grundaussage korrekt ist. Und das entspricht dem, dass wir annehmen, A ist wahr. Und wenn ich jetzt zeigen kann, dass auch diese Implikation hier wahr ist, also das hier ist ja ein und dasselbe wie aus A folgt B, ist ja nur anders hingeschrieben, so haben wir es definiert.

Und wenn ich jetzt auch noch zeigen kann, Dass aus A folgt B wahr ist, kann ich dann etwas über den Wahrheitswert von B schlussfolgern. Also ich glaube, ich kann. A ist wahr. Das könnte auch noch hier zutreffen.

Jetzt haben wir aber noch zusätzlich, dass die Implikation wahr ist. Was ist die einzige Möglichkeit für B? Muss A wahr sein, weil sonst wäre die Implikation falsch. Das heißt, wenn ich zeigen kann, dass A wahr ist und zeigen kann, dass die Implikation wahr ist, meistens nimmt man das hier übrigens eben an, dann weiß ich automatisch auch, B ist wahr. Und das hier ist eine ganz wichtige Erkenntnis und deswegen ist diese Implikation eine so wichtige Aussage, weil wenn ich eben...

eine Annahme habe, also und die Implikation zeige, dann ist automatisch auch eben die Aussage B wahr. Das kann nicht anders sein. Ja, wieder ein Wort der Warnung.

Wir schauen uns vielleicht jetzt da noch die letzten beiden Zeilen an. Wenn Sie mit einer falschen Aussage starten, also gedanklich nehmen wir mal an, A wäre falsch. Sie zeigen jetzt trotzdem die Richtigkeit dieser Implikation. Also aus A folgt B, nämlich es ist wahr. Was kann ich dann über den Wahrheitswert von B folgern?

Also die Frage ist hier, ist B wahr oder falsch? Kann ich das entscheiden nur aufgrund dieser Information? A ist als falsch vorausgesetzt. Lässt diese beiden Möglichkeiten. Ich habe zwar gezeigt, dass die Implikation korrekt ist, lässt aber für B immer noch beide Möglichkeiten.

Heißt auf gut Deutsch, wenn Sie mit einer falschen Aussage starten, dann können Sie alles beweisen. Und zwar, das kann wahr oder falsch sein. Also bitte beachten Sie, wenn man nicht mit einer wahren Aussage startet, dann kann es also so sein, sprich man startet mit einer falschen, dass also alles geschlussfolgert werden kann, im Sinne von es kann wahr oder falsch sein. Wenn ich aber mit einer wahren Aussage starte, die Richtigkeit der Implikation zeige, dann ist der Schluss zulässig, dass B wahr ist.

Und das ist eben hier eine ganz, ganz wichtige Beobachtung. Was das auch noch zum Anlass gibt, ist eine Sprechweise. Und zwar, falls die Implikation wahr ist, dann sagt man zwei Dinge. Und zwar das erste ist, dass man sagt, A ist hinreichend für B.

Und auf der anderen Seite sagt man dann, B ist notwendig und zwar für A. Warum machen diese beiden Begrifflichkeiten Sinn? Schauen wir es uns an. Wenn aus A folgt B war es, wo sind wir denn dann unterwegs? Dann sind nur mehr diese drei hier zulässig, und zwar diese drei Optionen.

Wenn ich jetzt aber eben zeigen will, was denn, dass B war es, was genügt es denn dann zu zeigen? Das haben wir gerade eben besprochen. Dann genügt es zu zeigen, dass A wahr ist.

Insofern ist A hinreichend. Wenn ich A zeigen kann, sprich A als wahr bestätigen kann, dann kann ich aufgrund dieser Wahrheit der Implikation auch folgendes B wahr. Und dann sagt man eben, A ist hinreichend für B.

Das ist hier die Sprechweise. So, jetzt drehen wir also sozusagen das Spielchen um. Wie sieht es jetzt aus, wenn man eben hier Notwendigkeit Da näher betrachten diesen Begriff.

Also B ist notwendig für A. Und wir nehmen wieder an, dass also diese Implikation hier gilt. Na ja, schauen wir uns wieder, überlegen wir wieder, was wir eigentlich sozusagen schlussfolgern möchten.

Wir möchten schlussfolgern, dass also eben hier A gilt. Und wenn man sich das jetzt also genauer anschaut, wir sind wieder in diesen drei Zeilen hier. Wir wollen schlussfolgern, dass A gilt. Was muss dann aber für B gelten? Also A muss gelten.

Das ist unser Ziel. Wann ist das nur zulässig? Oder wann ist das nur möglich?

Was muss dann automatisch für B gelten? Sonst kann A gar nicht gelten. Schauen Sie mal hin. Wenn also jetzt nur diese drei Zeilen hier zulässig sind und B falsch ist, was passiert?

Sie sehen, Sie können also nur Schlussfolgern, also dass eben A korrekt ist. Wenn Sie also... für B die Wahrheit annehmen, weil ansonsten ist die Schlussfolgerung nicht mehr möglich. Und das ist also ganz eine wichtige Betrachtung dieser beiden Zeilen hier. Und Sie sollten sich also merken, vor allem diese blaue Zeile, das werden wir nämlich gleich sehen, ist die Grundlage für den direkten Beweis.

Und Sie sollten sich aber auch noch einmal merken, dass aus einer falschen Aussage nur eine falsche gefolgert werden kann. Und bitte merken Sie sich auch diese beiden Begriffe hier, mit denen werden Sie nur oft bombardiert werden. Also was heißt, dass etwas hinreichend ist und was heißt, dass etwas notwendig ist. Na gut, damit wollen wir jetzt aber auch wirklich zu Beispielen kommen, und zwar eben Beispiele im Sinne von Beweistechniken. Und die erste Beweistechnik, die steht im Prinzip jetzt schon hier.

Und zwar ist es das sogenannte direkte Beweis. Und warum steht die Grundlage gerade hier drüben? Na, weil es so ist, wenn Sie etwas beweisen möchten.

einen Satz, dann haben Sie meistens eine Annahme, eine Voraussetzung. Und diese Annahme... Die können wir also A nennen und wenn ich sage, die Annahme ist A, dann bedeutet das einfach nur, dass ich voraussetze, deswegen nennt man es auch Voraussetzung, dass A wahr ist. Also gut, wir nehmen über die Aussage A an, dass sie wahr ist und das, was wir dann machen, ist aufgrund von logischen Schlussfolgerungen. Ja, was zu tun?

Die Implikation als wahr zu erkennen. Das heißt also, aus A folgt B. Darüber zeigen wir, dass das eine wahre Aussage ist. Nun, was sehen wir da drüben?

Ich nenne also das, was da steht, mal Stern. Aufgrund von Stern muss dann automatisch was gelten. Ja, B muss wahr sein. Also noch einmal, das ist hier eine Beweistechnik, die das liefert.

Also was wir jetzt haben, ist eine Konklusion. Und die Konklusio ist eben, B muss dann wahr sein. Das ist eigentlich das, was wir zeigen möchten. Wir möchten zeigen, B ist wahr. Was wir da zu tun ist, wir nehmen A als wahr an, zeigen die Implikation und dann kriegen wir das also sozusagen geschenkt.

Beispiel dazu. Das war jetzt also ein sehr theoretischer Aufbau und jetzt wollen wir konkret in ein Beispiel für den direkten Beweis hinein starten. Also direkter Beweis, was wollen wir zeigen?

Im Prinzip wollen wir die Aussage, die ich Ihnen ganz zu Beginn hingeschrieben habe, in einer korrekten Form zeigen. Wir wollen folgenden Satz beweisen. Also wir beweisen folgenden Satz, und zwar das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl. ist ungerade.

Also zu Beginn der Vorlesung habe ich es Ihnen mit am Ende gerade hingeschrieben, da wurde sofort erkannt, das kann keine wahre Aussage sein. Aber ich behaupte, so wie es da steht, das ist wahr. Was meine ich denn, wenn ich hier sage, wir beweisen?

Ich will zeigen, dass das eine wahre Aussage ist. Also wenn man sagt, man will etwas beweisen, will man einfach nur zeigen, es handelt sich um eine wahre Aussage. Gut, wie ist der Aufbau?

In diesem Satz steckt eigentlich einiges versteckt drin. Was ist denn das Erste, was versteckt drin steckt? Eine Annahme. Und zwar eine Annahme über eine natürliche Zahl, und zwar, dass diese ungerade ist. Das ist hier die erste Aussage, die Sie herausfiltern müssen.

Also es gibt hier eine Annahme. Und zwar die Annahme, die hier drin steckt, ist... Dass wir also mal zugrunde gelegt haben, eine natürliche Zahl, die ungerade ist, und der wollen wir jetzt einen Namen geben. Und da schreiben wir uns einfach hin, es sei n, so nennen wir also jetzt diese ungerade natürliche Zahl, eine ungerade natürliche Zahl.

Darf ich natürlich mit Nattpunkt abkürzen? Danke. Was ist jetzt die zu beweisende Aussage? Was soll die Konklusion sein? Was ist zu beweisen?

Zu zeigen kann man sagen. Was ist das jetzt? Da gibt es einen Vorschlag. Genau, und diese Zahl, die heißt n. Also n zum Quadrat, das Quadrat von n, das ist also auch ungerade.

Das ist das, was wir zeigen wollen. Also, das ist sozusagen jetzt der Fahrplan und meistens schreibt man also einen mathematischen Satz auch so hin. Man stellt also sicher, was sind die Voraussetzungen, was sind die Annahmen und was ist dann schlussendlich die Aussage. Und wenn man die Aussage hinschreibt, dann will man natürlich damit sagen, dass das eine wahre Aussage ist.

Meistens schreibt man dann gilt oder sowas in der Richtung. Na gut, jetzt wollen wir das aber auch beweisen. Und wenn ich also da jetzt etwas beweise, dann mache ich das kenntlich, indem ich Beweis schreibe.

Unglaubliche Idee, oder? Also, ich kürze es ab mit BEW-Punkt, also für Beweis. Und das heißt, wir starten jetzt und zwar durch, indem wir jetzt beginnen, zuerst einmal klar zu machen, dass wir die Annahme als gegeben hinnehmen.

Da sage ich gleich dazu, manchmal ist es so, dass also diese Annahmen, die hier getroffen werden, im Beweis nicht nochmal wiederholt werden. Um das aber deutlich zu machen, dass wir jetzt annehmen. Dass die Annahme gilt, schreibe ich es immer mal hin. Ihr weiß, das ist ein bisschen redundant, aber machen wir es.

Wir nehmen wirklich an, dass wir eine natürliche Zahl haben, die wir mit n bezeichnen, die ungerade ist. Also es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Natürliche Zahl. Und das, was wir uns jetzt hier mal anschauen können, ist, ich behaupte, Ein Fall, den können wir vielleicht gleich von Anfang an abhaken, dann kriegen wir auch mal ein Gefühl dafür, warum es stimmen könnte.

Wie sieht es denn in dem Fall n gleich 1 aus? Ja, was langweiliges haben Sie wahrscheinlich selten im Leben angeschaut. Also es ist so, n² ist in diesem Fall ist 1 und das ist sowas von noch immer ungerade. Also da gibt es einen Haken dahinter. Und jetzt haben wir aber eine Möglichkeit und zwar die Möglichkeit, die wir jetzt also hier erschlossen haben ist, Wir können gleich schon annehmen, n wäre größer als 1. Und übrigens, also 0 ist bei mir sowieso nicht drin, ist aber auch nicht ungerade.

Und das ist sozusagen also hier der Startpunkt. Und das nächste, was also hier zur Betrachtung herangezogen werden müsste, wäre 3, oder? Die nächste ungerade Zahl. Das heißt, wir können annehmen und tun das auch, dass diese natürliche Zahl echt größer als 1 ist. Also wenn man sozusagen gleich schon mal was abgehackt hat, dann kann man im weiteren Verlauf auch gleich annehmen, dass eben dieser Fall nicht mehr betrachtet werden muss und wir starten sozusagen hier ab n gleich 3, 5, 7 und so weiter und so fort.

Wenn jetzt n eine ungerade natürliche Zahl ist, wie kann ich denn die dann hinschreiben? Was macht denn eine ungerade Zahl aus? Da gibt es einen Vorschlag. Ja, also der Vorschlag ist, mit der Hilfe einer weiteren Größe, ich würde sagen, einer natürlichen Zahl hinzuschreiben. Und zwar in welcher Form?

Eine natürliche Zahl macht das aus, dass sie eine gerade, und zwar eine ungerade natürliche Zahl macht es aus, dass sie also eine natürliche Zahl mal 2 plus 1 ist. Also sprich, eine gerade plus 1 dazu. Was können wir also wählen? und zwar sogar in eindeutiger Weise, wähle eine natürliche Zahl, k, ihr könnt die auch Hans nennen, das ist nicht entscheidend, aber ich würde ihm immer empfehlen, Bezeichnungen sinnvoll zu wählen, sodass wir uns gegenseitig halt noch verstehen.

Also wähle eine natürliche Zahl k mit der Eigenschaft, dass n sich schreiben lässt als 2k plus 1. Und das kann ich immer machen. Das wissen Sie aus der Schule, oder? Weil, wie schon eben gesagt wurde, jede ungerade Zahl kann ich schreiben als das Zweifache einer anderen natürlichen Zahl plus 1. Gut, was bringt es? Na, das hier können wir jetzt wo einsetzen. Und zwar wo denn?

Na, wir wollen uns ja anschauen, was das Quadrat gibt. Das heißt, wir setzen jetzt also in die Quadratbildung ein. Dann gilt folgendes. n² setzen wir ein für n2k plus 1. Das wird also hier quadriert.

Ja, und wie Sie das ausquadrieren, wissen Sie natürlich alle. Also das ist 4k² plus 4k¹. Und was will jetzt darüber gezeigt werden? Ja, wir wollen jetzt zeigen, dass es sich hier wieder um eine ungerade Zahl handelt. Und ich behaupte, in der Darstellung sieht man es schon fast.

Was sehe ich denn hier? Das hier ist eine gerade Zahl. Warum?

Was macht eine gerade Zahl aus? Ja, dass sie 2 als Teiler hat. Und das kann ich aber hier rausheben.

2 kann ich rausheben. Das ist 2 mal 2k² plus 2k. Und jetzt ist es ganz, ganz klar, dass das gerade ist. Ich meine, da oben war es im Prinzip auch schon klar. Aber da gibt es jetzt gar keinen Zweifel dran mehr.

Das ist eine gerade Zahl. Es wird noch 1 dazu gezählt. Gerade Zahl plus 1 gibt es.

eine ungerade Zahl. Also ist es ungerade. Ja, und damit ist die Aussage aber bewiesen.

Warum? Wir haben gezeigt, wenn wir annehmen, dass es sich bei n um eine ungerade Zahl handelt, dann ist auch das Quadrat ungerade. Also schreiben wir es nochmal hin.

Also, was haben wir gezeigt? Wir haben gezeigt, n² ist ungerade. Ja, und wenn Sie es bis 27 durchprobiert hätten, hätten Sie es auch schon geglaubt. Jetzt stimmt es aber wirklich. Für jede natürliche Zahl, die ungerade ist.

Und das ist natürlich schon von einem ganz anderen Kaliber. Wie sieht es eigentlich aus? Vorlesungspause ist erwünscht.

Also wir machen für gewöhnlich eine Viertelstunde und das heißt nach dieser Uhr bis 17.30 Uhr nach. Auf die Sekunde. Berufsfelder und das Studium. Das ist verpflichtend für Bachelorstudierende der technischen Mathematik. Sie sind aber alle ganz herzlich eingeladen, falls Sie heute Abend noch nichts vorhaben sollten.

gerne wissen möchten, zum Beispiel also was hat Mathematik mit Wetter zu tun, das was Sie da sehen hat irgendwas mit Niederschlag zu tun, ja warum es vielleicht im Sommer so oft geregnet hat. Dann können Sie also sich da ein bisschen näher informieren, über was wir auch reden werden und zwar das werde ich zu einem Teil machen, wie jeweils vier Bachelor-, Master-und PhD-Studierende aus unserem Institut dann eben heute 18.15 Uhr bis 20 Uhr im Hörsaal F, also sind Sie alle herzlich eingeladen und zack! in dem Fall, dass Sie sich für Anwendungsfelder der Mathematik interessieren. Na gut, dann machen wir wieder weiter mit der Vorlesung.

Wir sind jetzt also stehen geblieben bei einer ersten Beweisform und einem Beispiel, dem direkten Beweis. Und das, was wir jetzt aber als nächstes unbedingt auch brauchen, ist eine Möglichkeit, Aussagen als gleichwertig bezeichnen zu können. Und wie können wir also Aussagen als gleichwertig bezeichnen? Na, indem wir jetzt sagen, was Äquivalenz bedeutet. Also...

Zurück erinnert, es sind immer noch A und B zwei Aussagen. Also A und B sind zwei Aussagen. Dann definieren wir folgendes. Wir schreiben also A und man spricht dazu genau dann, wenn B, als die Aussage aus A folgt B und aus B folgt A.

sollte Ihnen irgendwie logisch vorkommen, inwiefern, naja, wenn aus A B folgt und aus B A folgt, dann sollten die irgendwie gleichwertig sein. Und wir wollen uns jetzt anschauen, was diese Äquivalenz eben ausmacht, und so nennt man also diese logische Aussage, Äquivalenz. Und nochmal zur Sprechweise, also A genau dann, wenn B.

So spricht man dazu. Sie können sich an ein gilt dazu denken. A gilt genau dann, wenn B gilt.

Und das legt schon irgendwie nahe, dass die Wahrheitswerte dieser Aussagen übereinstimmen sollten. Und wie werden wir das überprüfen? Mit einer Wahrheitstabelle.

Ja, langweilig, aber wahr. Starten wir wieder mit der Aussage A. Wahr, wahr, falsch, falsch. Und B ist also wieder wahr, falsch, wahr, falsch.

Gut, wir brauchen... Zwei Aussagen. Die erste Aussage ist, aus A folgt B.

Da erinnern wir uns zurück, wie man hier verknüpft. Na, wann ist also die Implikation korrekt? Man sollte eher überlegen, wann ist sie falsch? Ist man schneller?

Na, nur dann, wenn wir in dieser Zeile sind. Aus was Falschem kann man alles folgern. Das heißt also, das ist immer wahr. Aus was Wahn nur was Wahn. Und da kriegen wir sozusagen ein Problem.

Das heißt also, hier falsch, sonst überall wahr. Upsi. Wie sieht es aus mit der Aussage und zwar aus B folgt A.

Was müssen wir nur da suchen gehen? Die einzige Möglichkeit, dass das schief geht, ist in dieser Zeile. Warum? Weil eben hier das, was links steht, in dem Fall das B, wahr ist, aber das, was gefolgert wird, falsch ist, geht nicht. Das heißt, hier haben wir wahr, wahr, falsch, wahr.

Und jetzt wollen wir also diese Aussagen irgendwie fernverknüpfen. Na, genauso wie es da oben steht. Wie sieht es also dann aus mit A, genau dann, wenn B, mit dieser Äquivalenz.

Na, die wird verknüpft mit einem UND. Und wann ist ein UND wahr? Also eine Konjunktion wahr. Wenn natürlich beide Aussagen wahr sind, so ist es.

Und wo ist das hier der Fall? Da und da. Da gibt es also jeweils ein Falsch.

Das heißt also da... Sieht nicht gut aus mit dem Wahrheitswert. Ja, nicht gut, falsch ist halt. Und in den äußeren Fällen ist es also wahr.

Das heißt, wir sehen, was die Äquivalenz ausmacht. Zwei Aussagen sind genau dann äquivalent. Hören Sie schon, ich sage genau dann, wenn, obwohl ich es gerade erst definiert habe. Na gut.

Also sie sind eben dann äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Und das sieht man eben an dieser Stelle. Falsch, falsch, wahr, wahr. Also entscheidend hier ist... Beide Aussagen haben denselben Wahrheitswert, nur dann ist also diese Äquivalenz wahr, ansonsten ist sie falsch.

Man kann das auch wie folgt noch sehen, und da muss ich also diese Tabelle vielleicht doch noch etwas ergänzen und über die Teilung der Tafel hinausschießen. Schauen wir uns die Aussage an, A und B oder nicht A und nicht B. Wie sieht es hier mit den Wahrheitswerten aus?

Na ja, überlegen wir es uns. Wenn A und B wahr sind, dann ist sicher A und B wahr. Mit dem Oder verknüpft, brauchen wir da hinten gar nicht mehr schauen, und zwar ist es auf jeden Fall wahr.

Wie sieht es also in der zweiten Zeile aus? Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist sicher die Konjunktion falsch. Brauchen wir schon gar nicht mehr schauen, die ist sicher falsch. Das heißt, hier hinten müssen wir weiter schauen.

Wenn aber A wahr ist und B falsch, dann drehen sich hier die Wahrheitswerte um und wir haben wieder keine zwei... gleichen Wahrheitswerte, sprich, das muss also falsch werden. Gut, wie sieht es in den anderen Fällen aus?

Da müssen sozusagen nur A und B vertauschen. Auch hier gibt es falsch. Und wie sieht es im letzten Fall aus?

Wenn A und B beide falsch sind, dann ist auch die Konjunktion falsch. Okay, macht aber nichts, weil hier wird mit einem Oder verknüpft und hier hinten, nicht A ist dann wahr, nicht B ist wahr und damit auch die Konjunktion wahr. Das heißt, wir sehen...

Das hier hat genau dieselben Wahrheitswerte, ist damit eine äquivalente Aussage. Wir hätten die Äquivalenz auch so definieren können. Sie sehen, entscheidend ist, entweder sind beide Aussagen wahr oder beide Aussagen sind falsch und das kommt nur einmal hier zum Vorschein, indem man also diese Äquivalenz so hinschreibt.

Na gut, wir schauen uns vielleicht jetzt das ein oder andere Beispiel an zu solchen äquivalenten Aussagen. Und das erste Beispiel, was wir hier also nennen könnten, das sind die sogenannten De Morgan'schen Regeln. Und das hat also nichts mit Alkohol zu tun, bitte. Also De Morgan war ein englischer Mathematiker und wir formulieren das jetzt also hier als Satz und geben dem den Namen De Morgan'sche Regeln genauer für Aussagen.

Und was wir hier gegeben haben, Ein Satz, ein mathematischer, der hat nämlich immer zuerst Annahmen, Voraussetzungen, das sind wieder zwei Aussagen. Da deutlichkeithalber schreibe ich Sinn. Es seien A und B zwei Aussagen. Und ich behaupte, dass dann folgende Äquivalenzen gelten.

Also wir schreiben einfach, dann gilt, unter diesen Voraussetzungen hier oben gilt, Doppelpunkt, zwei Dinge. Und zwar, wenn sie... Die Konjunktion A und B, wenn Sie die verneinen möchten, die Negation davon bilden, dann können Sie ja Folgendes tun, also eine äquivalente Aussage dazu ist, dass Sie jede einzelne Aussage hier verneinen, also nicht A, nicht B, und hier mit einem Oder verknüpfen.

Also auf gut Deutsch kann man auch so sagen, wenn man also das Non anwendet auf eine Konjunktion, dann werden die einzelnen Aussagen eben verneint und aus dem Dachl wird da so ein umgedrehtes Ding, so ein V. Also der Punkt ist, der Jungtor, der dreht sich um und die Aussagen werden verneint. Und bitte beachten Sie da, wieder zuerst wird verneint, dann wird also hier die Aussage verbunden, die beiden Aussagen. Genau das gleiche gilt, ja fast das gleiche, bloß halt vertauscht, gilt für oder, also für die Disjunktion, nicht A oder B.

Das hier ist äquivalent zur Aussage nicht A und nicht B. Und das hier sind also zwei erste demorgensche Regeln, die ich Ihnen hier also präsentiere. Und das sind also die typischen für Aussagen.

Und die wollen wir auch beweisen. Gut, eine davon werden wir beweisen, machen wir vielleicht die erste. Die zweite, die überlassen wir uns für die Übungen.

Und zwar genauer die Übungen am Freitag. Da gibt es bereits ein Übungsblatt, was Sie auf der Homepage finden, die ich Ihnen zu Beginn der Vorlesung genannt habe. Das Übungsblatt können Sie gerne schon ein bisschen vorbereiten. Prinzipiell wird es definitiv im Pro-Seminar mit Ihnen gemeinsam bearbeitet oder in der SL. Also Sie müssen jetzt keine Angst haben, dass Sie da schon alles tiptop vorrechnen müssen.

Also keine Sorge, das wird mit Ihnen dort erarbeitet. Wenn Sie was vorbereitet haben, umso besser. Also mehr zu tun als verlangt ist nicht verboten.

Ist ja nicht so klar. Es gibt Umgebungen, da ist es schlecht. Beweisen wir die erste Aussage. Und zwar machen wir das, indem wir uns einfach wieder eine Wahrheitstabelle hinmalen.

Also schauen wir uns A an, B an und das machen wir. Das machen wir jetzt wirklich zügig. A war wahr, falsch, falsch. B war falsch. Schnell gibt es keine schönen Ws.

Also war falsch, war falsch. Und jetzt gibt es zwei Aussagen, die wir zudem brauchen. Und zwar welche?

Nicht A und nicht B. Die müssen wir nämlich dann noch verknüpfen. Also schreiben wir uns hin, nicht A und nicht B.

Und geht schon wieder dahin. Also nicht A, Wahrheitswert wird umgedreht. Falsch, falsch, wahr. war und bei B wird es genauso umgedreht auf falsch, war, falsch, war. Was gilt es jetzt also alles zu bilden?

Es gibt zwei Dinge zu bilden, zum einen mal hier die linke Seite und die rechte Seite. Warum? Denn ich muss zeigen, dass die Wahrheitswerte immer übereinstimmen, dann habe ich die Äquivalenz gezeigt. Äquivalenz bedeutet, Wahrheitswerte sind immer gleich. Und deswegen schreiben wir uns die Wahrheitswerte in allen Fällen hin.

Zuerst mal für nicht A und B. Jetzt ist die Frage, ob wir das Gesinn in den Kopf schaffen, aber ich glaube, das geht schon. Wann sind A und B nur wahr?

Ja, nur dann, wenn wir in der ersten Zeile sind, wenn beide wahr sind. Jetzt müssen wir es nur verneinen. Also noch einmal, nur in der ersten Zeile steht ein wahr.

Verneint gibt es ein falsch. Sonst steht immer ein falsch, falsch, falsch. Verneint ein wahr, wahr, wahr.

Klingt wie ein Hund. Gut. Wie sieht es jetzt aus auf der rechten Seite? Da müssen wir also verknüpfen, nicht A mit einem oder, mit nicht B. Und da brauchen wir jetzt einfach nur ablesen.

Wann ist also dieses oder korrekt? Also eine wahre Aussage hier, diese Disjunktion. Ja dann, wenn wir hier irgendwo ein war finden, oder?

Sobald also eine der beiden Aussagen war ist, ist die Disjunktion wahr. Das heißt, nur in der ersten Zeile hier kriegen wir falsch. In den allen darauffolgenden Zeilen, in diesen dreien, kriegen wir also den Wahrheitswert da. Genau das gleiche können Sie jetzt natürlich auch machen für diese zweite Aussage.

Mit dieser Wahrheitsstapel ist diese erste Äquivalenz gezeigt. Wir sehen, dass die Wahrheitswerte hier übereinstimmen. Und damit sozusagen, achten dahinter, wir haben die Äquivalenz gezeigt.

Das heißt also, wenn wir so eine unverknüpfte Aussage verneinen möchten, können wir die einzelnen Aussagen verneinen und dann mit oder verbinden. Auch etwas, was wir in den Übungen erarbeiten werden, ist eine weitere Äquivalenz. Und zwar eine, wo ich immer wieder erstaunt bin, die bis in höhere Semester zu Verwirrungen führt.

Und deswegen würde ich sagen, ich schreibe es Ihnen hin. Hoffe, dass Sie es mir glauben und dann rechnen Sie es im Pro-Seminar wirklich selber nach. Und zwar gilt folgendes. Aus A folgt B. Die Implikation, diese hier, die ist äquivalent zu aus nicht B folgt nicht A.

Aus der Deutlichkeit halber klammere ich das. Also diese Aussage, aus A folgt B, ist äquivalent dazu, dass aus Nicht B nicht A folgt. Wie würden Sie das beweisen? Wahrheitstafel, okay.

Gut, Wahrheitstafel hinschreiben, beide Aussagen dann eben entsprechend der Wahrheitswerte aufschreiben und dann sehen, diese beiden haben stets die gleichen Wahrheitswerte, damit sind sie äquivalent. Und das also wird hier in der SL-Veranstaltung bzw. im Pro-Seminar am Freitag passieren. Es ist ihnen natürlich auch durchaus... Überlassen, das jetzt gleich dann demnächst schon zu üben, zum Beispiel nach der Vorlesung.

Oder zuerst Mittagessen zu gehen, das ist auch okay. Aber das ist durchaus etwas, was Sie gleich schon mal probieren könnten. Wenn Sie das hinkriegen, dann haben Sie sicher schon viele von den Verknüpfungen von logischen Aussagen verstanden.

Und was bringt jetzt das, was hier steht? In vielen Fällen kann man also hier in gewisser Art und Weise die Kausalität umkehren. Ich gebe Ihnen ein Beispiel.

Und zwar ein Beispiel soll das folgende sein, wir hatten ja bereits so eine Aussage über das Quadrat von ungeraden natürlichen Zahlen. Und das, was ich jetzt hier formuliere, ist die Aussage, und zwar, dass, also so muss ich eigentlich genauer schreiben, ist das Quadrat, einer geraden natürlichen Zahl. Ist das Quadrat?

Na, falsch. Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade, so ist diese auch gerade. Ja, und das ist ungeschickt.

Das ist das, was ich zeigen möchte. Okay? Also ist das Quadrat einer...

Wir haben hier natürlich eine Zahl gerade, so ist diese auch gerade. Und jetzt ist die Frage, ob das was mit dem zu tun hat, was wir bisher schon gezeigt haben. Was wir sehen werden ist, dass es auf diese Äquivalenz hier drauf ankommt.

Und wie überlegen wir uns das jetzt? Na ja, zuerst einmal, es geht um eine natürliche Zahl. Das heißt, was wir annehmen ist hier, n ist eine natürliche Zahl.

Also es sei n eine natürliche Zahl. Und jetzt überlegen wir uns eben, was die eine Aussage ist und was die andere Aussage sein soll. Also schauen wir, was hier steht.

Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade? Das heißt, das ist das, mit dem man startet. Also A soll die Aussage sein, und zwar unter Anführungszeichen haben wir also hier die Aussage, dass n² gerade ist. Und was ist die Aussage B? Die Aussage b soll jetzt also sein, n ist gerade.

Und was wollen wir zeigen? So wie es da oben steht, wir wollen zeigen, und ich schreibe hier zu zeigen, dass aus a b folgt. Und Sie können das jetzt auch anders hinschreiben.

Sie können es kürzer hinschreiben, indem Sie den nicht immer vom Namen geben. Ja, wenn n² gerade ist, wenn wir es so wieder ersetzen, muss daraus folgen, die Anführungszeichen lassen wir dann natürlich weg. Das wollen wir zeigen, dass n gerade ist. Das ist das, was wir zeigen wollen.

Was können wir dazu tun? Wir müssen diese Äquivalenz da oben bemühen. Aus a folgt b.

Wenn wir das zeigen wollen, können wir stattdessen auch aus nicht b folgt nicht a zeigen. Dieser Äquivalenz gebe ich dem Namen Stern. Wir wissen also, aus a folgt b. Das ist äquivalent zu nicht A, so wie es da drüben also bei Stern steht, was man mit einer Wahrheitstabelle, wie gesagt, leicht verifiziert. Also aus nicht B folgt nicht A.

Und jetzt übersetzen wir das wieder. Ich meine, was B und was A ist, wissen wir ja. Das ist also äquivalent dazu, dass, und ich setze jetzt hier nur ein, nicht, was ist die Aussage B? Ja, die Aussage B. steht da, n ist gerade, das muss verneint werden.

Ich schreibe das der Deutlichkeit halber alles in Klammern. Also n gerade, diese Aussage muss verneint werden. Daraus folgt also nicht. Und da müssen wir also a verneinen und a ist die Aussage n² gerade.

Soderla. Und eine Klammer noch zu. Das heißt, der berühmte Klammererhaltungssatz, die Klammern, die aufgehen, sollten auch wieder zugehen.

Also das ist da gelungen. Und alles, was wir jetzt noch tun müssen, ist wir müssen dieses nicht auflösen und zwar semantisch auflösen das heißt, wenn eine natürliche Zahl gerade ist und ich diese Aussage verneine dann ist sie ungerade es gibt nichts anderes das heißt also hier muss stehen n ist ungerade und daraus folgt, sehen wir hier n² ungerade Deutlichkeit halber nochmal hier geklammert Was sagen Sie zu dieser Äquivalenz? Zu den Meinungen, Ideen dazu.

Kommt das jemandem bekannt vor? Also, dass ihr alle durchgeschlafen habt, glaube ich euch nicht. Die Augen waren doch hin und wieder offen.

Das haben wir schon gezeigt. Also, das haben wir bereits bewiesen. Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist auch ihr Quadrat, also n², ungerade.

Das heißt, wir haben jetzt die ursprüngliche Aussage zurückgeführt. auf eine bereits bekannte. Wir haben gesehen, das ist äquivalent dazu, nichts mehr zu zeigen.

Und diese Beweisform manchmal auch in der Art, die nennt man indirekter Beweis. Also in einer Ausprägung kann man hier von einem indirekten Beweis sprechen. Das heißt, man macht sich einfach nur diese Äquivalenz, die da oben steht, zu Nutzer. Man sieht also, dass man einfach eben durch Ausnützen dieses Umschreibens hier oben, das auf eine bereits bekannte, wahre Aussage. zurückführt und damit ist man fertig.

Also haben wir diesen Satz bewiesen. Na gut, das war jetzt hier eine erste Möglichkeit, wie man also dieses Beweisprinzip einsetzt. Eine Frage auf der rechten Seite. Nein, eben das ist ganz, ganz kritisch.

Also wenn man das vertauscht, dann ist das ganz was anderes. Also Achtung, das ist eben hier entscheidend, dass sich hier die Reihenfolge umdreht. Und das ist das, was ich am Anfang gesagt habe, das macht bis in hohe Semesterprobleme. Wenn Sie das dann nicht vertauschen, dann zeigen Sie ganz was anderes.

Also das hat nichts miteinander zu tun, so primär. Also bitte Achtung, Achtung, die Reihenfolge dreht sich um, das ist entscheidend. Am besten Wahrheitstafel hinmalen, beide Fälle und Sie sehen sofort, natürlich stimmt nicht überein.

Also ich bin recht zufrieden damit, aber ich habe auch keine hohen Ansprüche. Mir kommt es jetzt ganz korrekt vor. Gibt es sonst noch jemanden mit am Einwand? Nein, aber bitte, bei Unklarheiten nachfragen.

Sehr gut, ich habe leider fast gut von mir mit. Okay, machen wir weiter. Jetzt ist es so, diese Äquivalenz da oben, die gibt uns noch eine andere Möglichkeit.

Und zwar indirekter Beweis, man spricht hier manchmal auch von einem Widerspruchsbeweis. Also ein Widerspruchsbeweis. Und zwar die Idee ist hier die folgende.

Die Idee ist, dass man diese Implikation hier oben zeigt, anstatt die ursprüngliche zu zeigen. Und das, was man hier zuerst trifft, ist eine sogenannte Widerspruchsannahme. Ja, das ist jetzt vielleicht nicht sonderlich günstig, dass man das Widerspruchsannahme nennt.

Das ist einfach die Annahme, die man bei einem Widerspruchsbeweis trifft. Und zwar, was ist die? Ja, wir wollen das hier zeigen, anstatt diese Implikation zu zeigen. Ja, und was können wir da tun? Wir nehmen nicht B als wahr an und das ist hier die Widerspruchsannahme.

Also man nimmt nicht B als wahr an, also eigentlich die zu zeigende Aussage nimmt man als falsch an. Das ist hier ein bisschen das Verrückte, oder? Man dreht das hier komplett um.

Und dann... macht man wieder logische Schlussfolgerungen. Also logische Schlussfolgerungen, die sich wie zum Ausdruck bringen, ganz einfach, indem man diese Implikation hier zeigt.

Man zeigt, dass nicht B folgt nicht A. Was kann ich denn dann schließen, wenn ich jetzt zeige, das hier ist auch eine wahre Aussage? Dann weiß ich, dass was gelten muss. Was kann ich jetzt über A sagen? Wenn ich gezeigt habe, nicht B ist wahr und diese Implikation, die hier unten steht, ist wahr, weiß ich, dass nicht A wahr sein muss.

Sie können einfach nicht B und nicht A durch A und B ersetzen, wenn sie unsympathisch ist, oder durch C und D, oder durch Kevin und Chantal. Also das ist kein Punkt, da dürfen Sie sich nicht verwirren lassen, dass da jetzt sozusagen ein bisschen andere Aussagen dastehen, oder? Wir können da wieder folgen, wie wir das immer gemacht haben.

und zwar einen Widerspruch. Einen Widerspruch zur ursprünglichen Annahme. Und zwar ist es so, wir gehen natürlich davon aus, wenn wir aus A folgt B zeigen möchten, dass A wahr ist. Wenn wir aber diese beiden Punkte hier zeigen können, ja dann folgen wir daraus, dass nicht A wahr sein muss. Ja was aber bedeutet, dass diese Widerspruchsannahme sicher nicht hat wahr sein können.

Okay, das ist also hier was im Widerspruch beweist. drin steckt. Also wenn man das hier so dieser Reihenfolge nach zeigt und davon ausgeht, dass A ursprünglich wahr war, dann kommt man hier auf einen Widerspruch und schließt zurück, ja, dann muss B auch wahr gewesen sein.

Theoretisches Beweisprinzip, Widerspruchsbeweis, jetzt also wieder in Action in einem Beispiel. Und zwar, wie gesagt, ein Beispiel, das also da schon 500 vor Christus bekannt war. Salopp könnte man es so formulieren, Wurzel aus zwei ist irrational.

Übrigens ein kleiner Hinweis, also falls Sie das in einer verdonten Form nicht von mir hören möchten, geben Sie das einmal auf YouTube ein. Also da singt Ihnen jemand den Beweis vor. Also ich habe mir überlegt, ob ich es Ihnen in der Vorlesung vorspielen soll, und ich habe mir gedacht, das macht vielleicht zumindest bei der ersten Vorlesung keinen guten Eindruck. Hören Sie sich das vielleicht selber an.

Gut, Wurzel aus 2 ist irrational, jetzt müssen wir genauer sagen, wie wir das hier formulieren. Was wir zeigen möchten, ist das folgende. Wir zeigen, es gibt keine rationale Zahl, also keine Bruchzahl. Und jetzt wollen wir halt die Eigenschaft von der beschreiben, deswegen geben wir ihr einen Namen, nennen wir sie x. Und zwar die Eigenschaft soll sein, x² ist gleich 2. Es gibt also keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist und das bedeutet mehr oder weniger, Wurzlaß 2 ist irrational.

Okay, ja warum ist das was, was die alten Kirchen irgendwie schon ein bisschen stutzig gemacht hat? Uns heutzutage macht das nicht mehr sehr stutzig. Ein spannendes Objekt, das Einheitsquadrat.

Die Seitenlängen, schöne natürliche Zahlen, 1, 1, 1, 1, also nichts Außergewöhnliches dran. Ja, die Diagonale, wissen Sie alle, was es gibt? Wurzelaufgaben.

2. Ja gut, wenn man noch nicht weiß, was das ist, dann nennt man es halt x. Und nach dem Satz von Pythagoras wissen wir, x² muss 2 sein. Und damit sieht man aber, wenn wir das jetzt zeigen können, dass diese Länge hier, die Diagonale im Einheitsquadrat, keine rationale Zahl ist. Und das hat den Griechen nicht gut gefallen.

Es wurde damals dann schon der Beweis im Wesentlichen so aufgestellt, wie ich Ihnen jetzt den präsentiere, und zwar um so 400 v. Chr. von Euclid. Also wirklich nichts Neues, was ich Ihnen da jetzt zeige.

Allerdings eins muss man dazu sagen, ich schreibe es vielleicht ein bisschen moderner auf als Euclid damals, der hat das noch sehr in Worte gefasst. Aber prinzipiell der Beweis, den Sie jetzt sehen, der ist 400 Jahre alt. Äh, vier.

Super gerechnet, ich habe Ihnen schon versprochen, dass ich ein sehr guter Kopfrechner bin. Also der ist bereits seit 400 vor Christus bekannt, wollte ich sagen. So, naja, das war jetzt nicht einmal mehr gerettet. Aber gut, wir wollen das jetzt beweisen und beweisen wollen wir das mit Widerspruch. Widerspruch und wenn wir etwas mit Widerspruch beweisen, dann soll man das auch noch hinschreiben.

Also Beweis mit Widerspruch am besten. Schreibt man es dazu, weil es jeder was gesagt ist und gemeint ist. So, und bei einem Beweis mit Widerspruch haben wir gesagt, flopp, linke Seite, zuerst ist eine Widerspruchsannahme zu treffen.

Und was ist jetzt hier die Widerspruchsannahme? Übrigens, weil ich zu faul bin, immer Widerspruch auszuschreiben, schreiben Sie es übrigens bloß nicht mit E. Dann schreibe ich halt immer Pfeilannahme.

Und zwar Blitzpfeildings, das steht also hier für Widerspruch. Die Widerspruchsannahme lautet hier wie folgt, und zwar die Aussage, die wir eigentlich zeigen möchten, die wird verneint. Also schauen Sie nochmal daher, nicht b muss wahr sein, wir wollen ja eben b zeigen und b ist gerade hier. Es gibt keine rationale Zahl x mit x² gleich 2. Ja, was ist die Verneinung davon? Es gibt halt eine.

Also, es gibt eine und wir wollen der einen Namen geben, deswegen schreiben wir es sei x. Eine rationale Zahl und zwar mit der Eigenschaft, dass ihr Quadrat gleich 2 ist. Und das führt manchmal zu Verwirrungen. Ich nehme etwas an, von dem, wenn wir euch lieb glauben, ich ja eh schon weiß, aber im Prinzip könnte ich es ja noch nicht bewiesen haben, dass es wahr ist. Also Achtung, man muss hier wirklich das, was man zeigen will, verneinen und dann auf diese Art und Weise weiterarbeiten.

Gut. Jetzt kommt etwas, was auch im ersten Semester sicher was ist, was am Anfang nicht so einfach zu schlucken ist, ein sogenanntes OBDA. Aha, nichts zum Davonlaufen.

OBDA steht für Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Jetzt habe ich es nicht besser gemacht, gell? Also Ohne Beschränkung der Allgemeinheit.

Allgemeinheit. und das will man nicht immer ausschreiben, deswegen schreibt man OBDA, nehmen wir jetzt an, dass x größer als 0 ist. So, Erklärungsbedarf.

Was soll das bedeuten? Ohne Beschränkung der Allgemeinheit schreibt man dann, wenn man einzelne Fälle ausschließen kann, also sprich irrelevante Fälle einfach loswerden kann auf sehr einfache Art und Weise und alle anderen Fälle dann auf den Betrachteten sehr einfach zurückführen kann. Ja, ich behaupte, das können wir da. Einen Fall können wir sehr schnell ausschließen, und zwar was ist denn, wenn x gleich 0 ist? Brauche ich mir x gleich 0 anschauen?

Ist 0 hier relevant? Nein, weil ist immer noch 0 und sicher nicht 2. Brauche ich gar nicht suchen gehen. Was würde ich denn jetzt machen, wenn x negativ wäre? Na dann betrachte ich das Negative davon und das Quadrat ist immer noch das. dasselbe.

Das heißt, durch Multiplikation mit minus 1 bin ich sofort wieder in diesem Fall. Also Sie sehen, wir können von vornherein annehmen, x wäre positiv, weil x gleich 0 ist, eh gleich auszuschließen und wenn x kleiner 0 ist, dann drehe ich einfach das Vorzeichen um und dann sind wir sofort wieder in diesem Fall. Und das ist also die Stärke eines OBDAs.

Man kann sich auf einen Fall beschränken und alle anderen, die lassen sich auf den zurückführen und zwar sehr einfach oder man kann sie gleich schon wegschmeißen. Na gut. Wenn wir jetzt also so eine positive, rationale Zahl haben, ja dann können wir die als Bruch schreiben. Also es sind rationale Zahlen, Bruchzahlen, umgangssprachlich gesprochen.

Das heißt, wir können folgendes wählen. Wähle, und zwar, jetzt kommt was ganz Wichtiges dazu, Teiler, Fremde, natürliche Zahlen, m und n. Und zwar mit der Eigenschaft, dass sich x schreiben lässt als m durch m.

Was heißt denn teilerfremd? Was kann ich denn bei dem Bruch nicht mehr machen? Ihn kürzen. Teilerfremd bedeutet einfach hier, dass der Bruch vollständig gekürzt ist.

Das wissen Sie aus der Schule, das können Sie immer hinkriegen, oder? Also angenommen, da gibt es noch gemeinsame Faktoren, dann würde ich die wegkürzen. Und wir nehmen jetzt aber an, m und n wären so, und das kann ich immer erreichen, solche natürlichen Zahlen, dass also eben hier vollständig gekürzt ist der entstehende Bruch. Und das hier bitte zu beachten, diese Annahme, M und N teilerfremd sind, die wird noch ganz, ganz entscheidend sein. Das ist hier ganz wichtig in den Stern.

Damit Sie den Eindruck kriegen, dass wichtige Dinge bei mir immer Stern heißen. Naja, ich möchte dann noch darauf referenzieren, also Rot-Stern. Merken wir uns gleich, wird noch ganz, ganz wichtig.

So, was können wir jetzt machen? Wir haben ja hier oben jetzt die Annahme getroffen, die Widerspruchssannahme, dass also hier x² gleich 2 ist. Und das hier nenne ich Und in Dreieck können wir jetzt einfach einsetzen. Wir setzen also in Dreieck ein. Also in Blau-Dreieck wird jetzt eingesetzt.

Und wenn wir da also in Blau-Dreieck einsetzen, dann müssen wir x quadrieren. x ist m durch n. Wie quadriert man einen Bruch?

Das sind immer die Dinge, da traut sich dann niemand was zu sagen, das ist mir klar. zählerquadriert durch nennerquadriert, also m² durch n². Und eingesetzt muss also auf der rechten Seite 2 stehen. Ich behaupte, da können wir aber sofort eine äquivalente Aussage dazu hinschreiben.

Na welche? Wir können mit n² multiplizieren. Dann bleibt die Gleichung noch immer erhalten. Das heißt, m² muss 2 mal n² sein. Das ist jetzt die Beobachtung, die wir also hier gemacht haben.

Noch ganz, ganz ein Simpler. Was ist denn 2m²? Ist das gerade oder ungerade? No, na, gerade. Aber wenn es m² ist, dann muss m² gerade sein.

Also ist m² gerade, steht ja gerade da. Was kann ich jetzt über m folgern? Warum?

Weil wir es schon gezeigt haben, ist das nicht toll. Also genau deswegen haben wir es vorhin gezeigt, an der Stelle brauchen wir das jetzt auch. Und so funktioniert die Mathematik. Man zeigt Aussagen, dann weiß man, die sind wahr.

Aus denen kann man dann eben neue, wahre Aussagen basteln und die dann eben in Beweise verwenden. Also das ist hier ein Paradebeispiel dafür. Also ist m² gerade, demnach auch n. m. Also auch m ist eine gerade Zahl.

Und wenn jetzt m gerade ist, können wir es wieder wie schreiben? Wir können eine natürliche Zahl finden, die nennen wir vielleicht wieder k, mit der Eigenschaft, dass sich m schreiben lässt als 2 mal k. Wenn eine Zahl gerade ist, dann bedeutet das gerade, dass sie 2 als Teiler hat. Also ist m gleich 2k.

Und zwar für irgendeine natürliche Zahl k, natürlich ist das gerade das halbe von m. Gut, was können wir jetzt wieder tun? Wir können wieder einsetzen.

Und zwar, wir setzen jetzt da oben ein und da wir ja langsam die Symbole ausgehen, nenne ich das da vielleicht jetzt irgendwie Gelbstern. Also einsetzen in Gelbstern. Gut, was gibt es eingesetzt in Gelbstern? Wir müssen also für M2K einsetzen.

Das bedeutet also, was wir hier haben ist 2k, Klammer rum, zum Quadrat, muss dasselbe sein wie 2n². Wir können natürlich hier ausquadrieren, das ist ein und dieselbe Aussage wie 4k² ist gleich 2n². Und natürlich dürfen wir hier auch noch durch 2 dividieren, das heißt wir sehen, dass gelten muss, dass 2k² dasselbe ist wie n².

Was können wir jetzt über n schließen? dass n auch die 2 als Teiler hat, also dass es hier ebenfalls sich um eine gerade Zahl handelt. Warum? Spielen wir es nochmal durch.

Na, weil 2k ist definitiv gerade. Da sehen wir es, also muss auch n² gerade sein. Folglich können wir also festhalten, folglich ist n² gerade.

Also, insbesondere auch, gibt es Ideen, warum wir jetzt fertig sind? Warum kommen wir jetzt zum Widerspruch? Wer sieht denn hier?

Die entscheidende Voraussetzung am Anfang. Wenn unsere ursprüngliche Annahme stimmen würde, sprich, was war denn die? Die Widerspruchsannahme, die da oben steht. dann könnten wir definitiv x so hinschreiben, teilerfremd mit m und n.

Geht aber nicht. Warum? Weil wir jetzt gesehen haben, es ist sowohl das n eine gerade Zahl, wie auch das m eine gerade Zahl.

Also insgesamt haben wir jetzt eben gezeigt, dass m und n nicht teilerfremd sind, also nicht tf. für teilerfremd und das hier ist jetzt ein Widerspruch zu was? Na genau, ein Widerspruch zu Rotstern. Also Sie haben beide 2 als Teiler, kann nicht funktionieren, Widerspruch, Ende des Beweises.

Und für Ende des Beweises gibt es übrigens ein Symbolchen, das ist also dieses Rechteck hier. Und was man manchmal auch macht ist, dass man da q.e.d. hinschreibt, vielleicht wenn Sie das einmal in mathematischer Literatur entdecken sollten. Das steht für Quad Era Demonstrandum, schon wieder Latein.

Also was zu zeigen war und abgekürzt ist es also dieses Symbol hier. Also wenn Sie jetzt am Ende im Skript und vor allem bei so einem Beweisende dieses Symbol finden, dann wissen Sie, das soll das Beweisende kennzeichnen, damit man weiß, danach geht es also nicht mehr mit dem Beweis weiter. Beziehungsweise für den geneigten Leser. damit ihm auch bewusst ist, dass jetzt die zu zeigende Aussage wirklich gezeigt ist.

Na gut, gibt es Fragen zur Aussagenlogik bis dahin besprochen? Fragen, die unter den Fingernägeln brennen, entdecke ich jetzt bei Ihnen noch nicht. Dann werden wir heute noch mit einer kleinen Definition abschließen.

Und zwar das nächste, was wir morgen noch genauer, selbe Uhrzeit, selber Hörsaal übrigens, besprechen werden, das sind... Mengen. Und der Begriff der Menge könnte man meinen, ja wenn also jetzt hier die alten Griechen schon so einen Beweis haben hinschreiben können, vielleicht nicht ganz so, 400 vor Christus, ja der muss in der Form, in der man den heute betrachtet, schon viel viel älter sein.

Nein, das Gegenteil ist der Fall. Also die Definition der Menge, die geht zurück und zwar in der Form, in der ich Ihnen dann jetzt präsentiere, auf Georg Thor. Zwar genauer hat er das 1895 so aufgestellt, ich lese Ihnen mal vor. Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung, jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohl unterschiedenden Objekten.

Also zum Beispiel verschiedene Personen, Kevin, Chantal, Jacqueline, wirklich unterscheidbar. Und zwar diesen Objekten, den kann man zum Beispiel immer den Namen klein m geben, unserer Anschauung oder unseres Denkens. Unglaublich weit gegriffen, oder? Also wirklich das, was ich betrachten kann.

das was ich mir nur vorstellen kann und diese Objekte, die sie unterscheidbar sind, die heißen also Elemente und die fasst man eben zusammen zu einem Ganzen, schreibt also hier Kantor. Im Prinzip ist die vielleicht ein bisschen altfattig, diese Definition, aber ich gebe Ihnen jetzt die gleiche. Also was ist eine Menge?

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten. Und diese unterscheidbaren Objekte so einer Menge, die nennt man also Elemente der Menge. Und genau mit solchen Zusammenfassungen, mit solchen Mengen werden wir uns also morgen beschäftigen und auf Grundlage dieser Mengen werden wir dann eben auch noch sehen, dass wir sogenannte Abbildungen definieren werden, was dann eben Zuordnungen zwischen Mengen sind.

Das alles erwartet Sie also morgen. Für heute bedanke ich mich für Ihre Aufmerksamkeit und einen schönen Nachmittag.

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Übersicht zur Aussagenlogik und ihren Konzepten