क्लासिकल मेकेनिक्स: Action and Angle Variables

परिचय

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• क्लासिकल मेकेनिक्स के टॉपिक "Action and Angle Variables" पर चर्चा।
• हमिल्टन-जेकोबी एक्वेशन का समाधान हासिल कर चुके हैं।
• हार्मोनिक ओसिलेटर की समस्याओं को भी हल किया गया है।

प्र्थम स्टेप्स

• एक कंज़र्वेटिव पिरियडिक सिस्टम को कन्सिडर करें।
• Hamiltonian को qk और pk का फंक्शन मानें।
• Hamiltonian = Total Energy = Kinetic Energy + Potential Energy।

एक्वेशन डेवलपमेंट

• p² + m²ω²q² = 2mα (एलिप्स की एक्वेशन)।
• PQ स्पेस में हार्मोनिक ओसिलेटर का रिप्रेजेंटेशन।

Action Variables की परिभाषा

• Action Variables (jk) को क्लोज़ इंटेग्रल ∫pk dq से दर्शाया जाता है।
• jk के डाइमेंशन्स एंगुलर मोमेंटम के होंगे।

Hamiltonian Transforms

• Canonical Transformations:
  • qk से pk, pk से qk उत्पन्न करें।
• pk = ∂W/∂qk, qk = ∂W/∂pk।

Angle Variables

• Angle Variable (ωk): jk का कॉन्जुगेट।
• ωk = ∂W/∂jk (एंगल वेरिएबल की परिभाषा)।

Time Dependence of Angle Variables

• ωk समय के साथ लिनियर फंक्शन है: ωk = νk t + βk।
• νk = 1/τk (फ्रीक्वेंसी को दर्शाता है)।

Physical Significance of νk

• νk समय अवधि τk का रिसीप्रोकल है।
• Periodic motion की फ्रीक्वेंसी को दर्शाता है।

निष्कर्ष

• Action और Angle Variables का उपयोग करके, फ्रीक्वेंसी को बिना समस्या का समाधान किए पाया जा सकता है।
• क्लासिकल मेकेनिक्स के अन्य महत्वपूर्ण टॉपिक्स में आगे बढ़ते रहें।