प्रस्तुत्र अजय को अजय क क्या और कैसे लिखके आना है ताकि आप सिर्फ एक वीडियो देखके ही अपने नोट्स बना सकें और एग्जाम्स में बहुत अच्छे मार्क्स ला सकें तो सुडेंट्स आज ही चैनल को सब्स्राइब कीजिए और पाईए नोटिफिकेशन मेरी नई वीडियो का सबसे पहले इसी कैटिगरी में आगे बढ़ते हुए आज हम बात करेंगे में सी फिजिक्स सेमिस्टर वन क्लासिकल मेकानिक्स के एक और इंपोर्टेंट टॉपिक के बारे में जिसका नाम है Action and Angle Variables तो शुदेंट्स इससे पहले हम डिसकस कर रहे थे हमिल्टन जेकोबी एक्वेशन हम हमिल्टन जेकोबी एक्वेशन पढ़ चुके हैं उसका सलूशन ड्राइव कर चुके हैं हमिल्टन जेकोबी एक्वेशन को यूज़ करते हुए वन डिमेशनल हार्मोनिक ओसिलेटर प्रॉब्लम भी सॉल्व कर चुके हैं हैमिल्टन जेकोबी एक्वेशन फॉर हैमिल्टन क्रैक्टरसिक फंक्शन और साथ के साथ फिजिकल सिग्निफिकेंस आफ हैमिल्टन क्रैक्टरसिक फंक्शन भी जाना था तो अगर आप एक्शन और एंगल वरियेबल्स को अच्छे से समझना चाहते हैं तो आपको प्रीवियस वीडियो की मिन्स हैमिल्टन जेकोबी थ्यूरी की पूरी डिटेल्ड नॉलेज होनी चाहिए जो आपको इन दो वीडियो में मिल जाएगी अगर आपने ये दो वीडियो देखे होंगे तब ही आप आज का टॉपिक जो है वो अच्छे से अंडरस्टेंट कर पाएंगे इन दो वीडियो के लिंक आपको उपर आई बटन में और निचे डिस्क्रिप्शन बॉक्स में क्लासिकल मेकानिस की कमप्लीट प्लेलिस दी हुई है उसमें मिल जाएंगे तो सुडेंट्स फिजिक्स में हम बहुत बार periodic motion के साथ deal करते हैं और कई बार हमें periodic motion से related frequencies में ही interest होता है rather than finding the detailed solution of a given problem related to periodic motion हम Hamilton-Jacobi method को extend कर सकते हैं एक powerful and useful tool develop करने के लिए to directly find the frequencies of periodic motion अगर आप periodic motion को अच्छे से handle करना चाहते हैं, periodic motion से related problems की frequency find करना चाहते हैं, बिना complete solution find किये problem का, तो जो आपका action and angle variables हैं, वो बहुत ही useful tool की तरहां काम करते हैं, तो students आए देखते हैं कि action and angle variables को start कहां से किया जाएगा, फिर हम देखेंगे, कि action and angle variable जो है किस तरह से periodic motion की frequency find करने में इस्तेमाल में लाए जा सकते हैं तो students आइए देखते हैं शुरुआत कहां से करेंगे let us consider a conservative periodic system whose Hamiltonian is constant and is given by h is equal to h function of qk pk is equal to alpha is equal to e ये हमारी first equation होगी तो सबसे पहले हमें consider करना होगा conservative periodic system किसी भी conservative system के लिए हैमिल्टोनियन होता है वो constant होता है, time से independent होता है और वो function होगा qk and small pk का और इस हैमिल्टोनियन को हम constant alpha के बराबर मान लेंगे। किसी भी conservative system के लिए हैमिल्टोनियन होता है वो system की total energy को represent करता है which is the sum of kinetic energy and potential energy इसको हमने first equation दे दिया। इसके बाद आपको एक equation और लिखनी है उसको हम second number देंगे अभी मैंने वो equation लिखी नहीं है वो equation क्या होगी अभी आप देखेंगे एक बहुत बह� यह expression जो है उस problem से direct use किया गया है, तो आप clearly देख सकते हैं, P जो है वो function है Q and alpha का, P जो है वो function है किसका, Q and alpha का, तो इसी प्रकार से आप यहाँ पर लिख सकते हैं, कि जो PK function होगा, वो किसका function होगा, PK will be a function of, of qk and alpha तो ये हमारी second equation थी ये equation कैसे लिखी गई क्योंकि यहां से हमें clearly दिखाई दे रहा है p is a function of q and alpha so pk will be the function of qk and alpha ये हमारी second equation होगी अगर हम इस equation के दोनों तरफ squaring करें तो हमें मिलेगा p square equal to square root हट जाएगा 2m alpha minus m square omega square q square तो minus वाली term को हम अगर हम इदर ले आएं p square plus m square omega square q square is equal to 2m alpha अगर हम दोनों तरफ 2m alpha से divide कर दें यहाँ पर 1 बनाने के लिए तो हमें क्या मिलेगा p square by 2m alpha plus m square omega square q square by 2m alpha is equal to 2m alpha by 2m alpha cancel होके 1 आ जाएगा और इस m से 1 m कट जाएगा तो हम इसको ऐसे लिख सकते हैं p square by 2m alpha plus q square और नीचे यह वाला 2 alpha omega square जो है यहाँ पर लिख सकते हैं नीचे is equal to 1 तो यह जो equation बनी है यह equation of ellipse है इससे क्या conclusion निकल रहा है और आगे इसमें आपको क्या करना होगा इस topic में वो सब कुछ हम discuss करेंगे आने वाले sections के अंदर तो शुदेंट्स पिछले सेक्शन में हमने 1D हार्मोनिक ओसिलेटर के लिए एक एक्वेशन जो है वो लिख ली थी इसको हमने थर्ड एक्वेशन दिया था आप क्लियरली देख सकते हैं ये है एलिप्स की एक्वेशन तो शुदेंट्स अगर हम PQ स्पेस में हार्मोनिक ओसिलेटर के रिपर्जेंटेटिव पॉइंट की बात करें कोई भी सिस्टम जो होता है चाहे वो हार्मोनिक ओसिलेटर ही क्यों ना हो PQ स्पेस के अंदर पोजिशन मॉमेंटम स्पेस के अंदर मिन्स फेस स्पेस के अंदर पॉइंट से रिपरेजेंट किया जाता है तो जो हमारा हार्मोनिक ऑसिलेटर होगा उसका जो रिपरेजेंटेटिव पॉइंट होगा वो पीक्यू स्पेस में एक एलिफ्स जो है वो हमें देगा तो अगर हम पीक्यू स्पेस बनाएं इस एक्सिस पर पी ले लें और इस एक् action variables जो हैं वो define करने जा रहे हैं, action variables जो हैं उसको हम कुछ इस तरह से define करते हैं, action variables को हम denote करते हैं jk से जहांपर k है 1 to n, इसको हम define करते हैं close integral pk d क्योंकि के से यह जो है वह एंड इंडेपेंडेंट फंक्शन है और यह फंक्शन जो होंगे यह न्यू मोमेंटा पीके पर डिपेंड करेंगे और पीके जो है वह अल्फा के बराबर होते हैं और आप जानते हैं पिछले वीडियो में हम बात करते आ रहे हैं इनके ऊपर कि alpha के जो हैं वो constants of integration होते हैं जो कि Hamilton Jacobi equation के solution में appear होते हैं क्योंकि alpha के constant हैं PK constant हैं तो JK जो हैं वो constants function होंगे ये n independent functions होंगे जो कि constants होंगे इसकी help से ही हम angle variable तक जाएंगे और angle variable से फिर हम देखेंगे कि कैसे हम किसी भी periodic system के लिए frequency जो है वो find कर सकते हैं बिना problem को solve किये where integration is taken over complete period of QK complete period of QK का मतलब यह है कि माली जि हमारे पास कोई generalized coordinate है QK अगर वो एक complete cycle करता है तो उसमें लगने वाले time के उपर पूरा integration जो है यहाँ पर किया गया है from 4 it is clear that JK has dimensions of angular momentum JK के जो dimensions होंगे वो angular momentum के होंगे क्यों क्योंकि हमें पता है जो angular momentum होता है L या फिर L जिसको हम किसे denote करते हैं R cross P से denote करते हैं तो यहाँ पी है यहाँ पर आर है लिनियर मॉमेंटम है साथ में डिस्टेंस है तो यहाँ भी लिनियर मॉमेंटम है और साथ में यहाँ पर जनरलाइज कॉर्डिनेट है क्योंकि तो जो डिमेंशन होगी जेके की वो एंगलर मॉमेंटम की होंगी है मिल्टर करेक्टर से function, जो हम Hamilton characteristic function होता है, वो होता है W is equal to W, which is a function of QK and new momenta PK, और PK जो हैं वो alpha K के बराबर होते हैं, तो यहाँ पर हम PK की जगा हम alpha K भी लिख सकते हैं, इसको हम दे देते हैं, equation number 5 क्योंकि आगे use होंगी तो Hamilton characteristic function के corresponding canonical transformations होती हैं वो किस तरह की होती है यहाँ पर QK दिया हुआ है तो QK से हम small PK generate कर सकते हैं वो कैसे generate कर सकते हैं curly W by curly QK करके इसको हम दे देते हैं equation number 6 और यहाँ पर capital PK लिखा है capital PK से हम capital QK generate कर सकते हैं by using this curly W by curly PK इसको हम दे देते हैं है seventh equation यह हमने पिछली videos में भी discuss किया था Hamilton characters एक function के corresponding जो canonical transformations होती हैं वो कुछ इस तरह से होती है अब हम क्या करेंगे students PK की value है curly W by curly Q के ये value हम यहाँ पर put करेंगे fourth equation में और आगे के steps देखेंगे आने वाले sections के अंदर तो students पिछले section में हमने new constants define किये थे jk जो की set बना रहे थे n independent functions का क्योंकि k की जो value होगी वो 1 to n होगी और jk जो है वो new momenta pk पर depend करेगा और pk जो है वो alpha k के बराबर है which is constants of integration in the solution of Hamilton-Jacobi equation. अभी हम देखेंगे कि JK जो है वो alpha K पर कैसे depend कर रहा है, अभी हम ये देखने वाले हैं, और इसको हमने बोला था action variables, इसको हमने fourth equation दिया था, और sixth equation में हमने लिखा था PK is equal to curly W by curly QK, तो अभी हम यहाँ पर PK की जगा put करने जा रहे हैं curly W by curly QK, पी के की जगह कली W बाइक कली क्योंकि पूट कर दिया DQK अब यहाँ पा W जो है वो function है किस का QK का and अलफा K का जब आप इस integration को solve करेंगे क्योंकि integration QK के respect में हो रहा है तो QK तो cancel हो जाएगा सिर्फ क्या रहे जाएगा हमारे पास अलफा K रहे जाएगा जे के होगा वो अल्फा के का function होगा क्योंकि तो खतम हो जाएगा उसका integration हो जाएगा जब तो from 8 it is clear that jk is a function of alpha k इसको हमने ninth equation दे दिया अगर jk alpha k का function है तो हम क्या ये लिख सकते हैं कि alpha k जो है वो jk का function होगा yes लिख सकते हैं इसको समझने के लिए ए तो यहाँ पर आप clearly देख सकते हैं कि a1, a2 जो हैं वो x, y के function है, means हम यह लिख सकते हैं, a, k is a function of x and y, तो जब हम इसको solve करके x और y की value निकालते हैं, तो x की value हमें मिलती है a1 plus a2 by 2, इन दोनों equations को add करके, और इनको subtract करेंगे तो हमें y की value मिल जाएगी a1 minus a2 by 2, तो यहाँ स वो भी a1, a2 का function है, तो पहले a1, a2, x, y के function थे, अब x, y जो है वो a1, a2 के function हो गए, ठीक इसी परकार से, कि jk अगर alpha k का function है, तो alpha k भी जो है वो jk का function होगा, ऐसा हम लिख सकते हैं, ये हमारी 10th equation होगी, तो जो हमारा Hamilton characteristic function था, w, which is the function of qk and capital pk is alpha k, तो, अब यहाँ पर alpha k जो है वो jk का function निकल के आया तो इस alpha k की जगा हम jk भी लिख सकते हैं, so w can be written as wqk pk is equal to wqk alpha k is equal to wqk jk, alpha k को हम jk से replace कर सकते हैं because alpha k is a function of jk, तो यहाँ से हमें क्या मिलने वाला है ध्यान से देखना पड़ेगा अब आपको, अगर हम w को ले function of qk pk य corresponding equations लिखे हैं तो हमें क्या मिलेगा यहाँ पर QK है तो PK की value क्या होगी वो होगी curly W by curly QK और means यहाँ पर QK का जो conjugate होगा वो PK होगा इसी प्रकार से अगर हम यहां से यहां पर कैपिटल पी की है तो यहां से कैपिटल क्यों के निकालना चाहें तो हमें ऐसे निकाला जा सकता है मिन्स कैपिटल पी के का जो कॉन्जूगेट वेरियेबल होगा वो क्यों के होगा अगर ठीक इसी प्रकार से अगर हम यहां पर नि small qk का conjugate pk है, capital pk का conjugate qk है, jk का conjugate क्या होगा, jk का conjugate होगा omega k, जी हाँ students, यहाँ पर हम लिखेंगे omega k, omega को w से अलग दिखाने के लिए इसको हम थोड़ा सा इस तरह से लिखेंगे, जहाँ पर omega k जो है, वो jk का generalized coordinate conjugate है, और और ओमेगा के को हम बोलते हैं, angle variable जो की conjugate होगा jk का, तो आप line लिखेंगे, the generalized coordinate conjugate to jk is called angle variable ओमेगा के, जिस तरह से qk का conjugate पीके था, कि कैपिटल पी के का कॉन्जूगेट क्योंकि था उसी तरह से जेगर अभी कोई कॉन्जूगेट होगा उसका कॉन्जूगेट होगा ओमेगा के जिसको हम बोलते हैं एंगल वरिएबल अब जेगर कॉन्जूगेट जो है उसको मैं एंगल वरिएबल क्यों बोल रहे हैं यहां पर क्योंकि कॉन्जूगेट क्या है पी है या पी क् पी का पेर बनता है क्योंकि साथ अनर्जी का पेर बनता है टाइम के साथ हैजर्न भगवन सच्टेंटी प्रिंसिपल में और एंग्लर पेर बनता है एंग्ल थीटा के साथ तो यहां पर थीटा को हम थीटा ना लिखकर ओमेगा के से रिपरेजेंट कर रहे हैं है जर्म अच्छा यह कहता है कि हम इन दोनों quantities को simultaneously accuracy के साथ measure नहीं कर सकते तो यहाँ पर हमने omega k को define कर दिया angle variable को define कर दिया जो कि आप निकाल सकते हैं curly w by curly jk करके यह w व है तो डब्ल्यू आप व कैपिटल लेटर में अच्छे से लिखेंगे और यह ओमेगा के है दोनों को आपको अलग-अलग करके दिखाना होगा एक्जाम में अलग-अलग नोटेशन जो है वह देनी होंगी तो फॉरेंट इसको हम दे देते हैं 11th equation इसके बाद के स्टेप्स हम डिस्कस करेंगे आने वाले सेक्शंस के अंदर तो शुद्ध पिछले सेक्शन में हमने देखा कि तो हमारा एक्शन वेरियेबल है जेके उसका जो कॉन्जुगेट होगा अ वो होगा ओमेगा के जिसको हम बोलते हैं एंगल वेरियेबल अब हम देखेंगे कि जो एंगल वेरियेबल है ओमेगा के क्या वो टाइम पे डिपेंड करता है के नहीं करता यही अब हम चेक करेंगे सेक्शन में तो हमें पता है जेके जो है वो ये होता है प्रेमार पर प्रेमार जब आप इस integration को solve करेंगे, क्योंकि ये integration QK के respect में हो रहा है, तो QK वाली terms तो यहां से खतम हो जाएंगी, सिरफ alpha वाली terms बचेंगी, तो यहां से हमें clearly नजर आ रहा है, जेके जो है वो अलफा का function है क्योंकि क तो हम इसको ऐसे भी लिख सकते हैं, जैसे हमने पिछले sections में लिखा था, alpha will be a function of jk, अगर jk alpha का function है, तो obvious है कि alpha भी jk का function होगा, हमने x plus y equal to a1, x minus y equal to a2 वाला example लेके भी आपको समझाया था, यह हमारी 12th equation होगी, तो जो हमारी first equation थी, जिसमें हमने Hamiltonian लिखा था, which is a function of qk, pk और यह constant alpha के बराबर था, alpha जेके का function है, है जो है वह अल्फा के बराबर है तो इससे क्लियरली शो हो रहा है फर्स्ट और फोर्ट एक्वेशन से फर्स्ट और यहां पर ट्वाइट रिखना चाहिए था फ्रॉम फर्स्ट एंड 12 यहां से क्लियरली शो हो रहा है अल्फा जेके का फंक्शन है अल्फा के बराबर है तो क्लियरली एड जो है वह जेके का फंक्शन होगा क्योंकि अल्फा जेके का फंक्शन है तो अगर एच क्योंकि पीके का फंक्शन है तो इसके कोरोस्पॉंडिंग जो है मिल्टन स्कैरोनिक एक्वेशन होती है वो क्या होती है वो होती है क्योंकि डॉट इज एक्वल टू कर ली एच बाइ कर ली पी के यहां पी के हैं तो यहां पर उसके कॉन्जूगेट का डॉट आ रहा है टाइम डेरिवेटिव आ रहा है इसी तरह से जो दूसरी कैनोनिकल एक्वेशन होती है वह पी के डॉट इज एक्वल टू माइनेस कर ली एच बाइ कर ली क्योंकि यह आप जानते हैं तो यहाँ पर डॉट नहीं आएगा यहाँ पर आएगा करली क्योंकि तो यहाँ पर क्योंकि है तो उसके यहाँ पर लिखे का डॉट आ रहा है टाइम डेरिवेटिव आ रहा है अगर एच फंक्शन है जेके का तो इसके लिए जो इक्वेशन सो मोशन होंगी वह हम कैसे लिख सकते हैं जेके का कॉन्जूगेट क्या है एंगल वरिएबल ओमेगा के तो यहां पर हम लिखेंगे कर लिया चुबाई कर ली जेके का अ तो यहाँ पर क्या आएगा यहाँ पर आएगा जेके का जो कॉन्जुगेट होगा उसका टाइम डेरिवेटिव आएगा जेके का कॉन्जुगेट है ओमेगा के और उसका यहाँ पर हमें टाइम डेरिवेटिव लिखना होगा तो अगर एच जेके का फंक्शन है तो कोरस्� इस परकार से रिपरेजेंट की जाएंगी ओमेगा के डॉट इज इक्वलू कर ली हाथ बाय कर ली जे के जहां पर ओमेगा के जो है वह जे के का कॉन्जूगेट है जिस तरह से पी के का कॉन्जूगेट क्योंकि था और क्योंकि का कॉन्जूगेट पी के था और यहां पर ड� जब हम इसको solve कर लेंगे, कर ली H by, कर ली JK को, तो क्योंकि H constant है, JK constant है, तो H, कर ली H by, कर ली JK को solve करके भी हमें constant मिलेगा, वो constant हम मान लेते हैं, new K, जो की function होगा JK constants का. यह हमने यहां पर let कर लिया कि इस partial derivative को solve करके आपको मिलेगा new k will be a function of constant jk so new k will be also constant इस चीज़ का आप ध्यान रखेंगे so यहां से में मिल गया omega k dot is equal to new k jk जहां पर new k जो है वो constant है और यह है function of constant jk अगर हम दोनों तरफ integration कर दें तो हमें क्या मिलेगा dot हट जाएगा integration करने पर time derivative को represent कर रहा है integration करने पर dot हट जाएगा, omega k is equal to new k constant है, अब हम यहाँ पर bracket में jk नहीं लिख रहे, और, constant का integration क्या होता, t ये लगाना पड़ता, साथ में plus beta k जो की constant of integration होगा, तो यहां से हमें एक बात पता लग गई, कि जो omega k है, कि जो angle variable है, omega k, which is the conjugate of action variable jk, वो तो ताइम के साथ लिनियर डिपेंडेंस रखता है तो यहाँ से आप लिखेंगे लाइन तो ओमेगा के जो है वो टाइम के साथ वैरी होगा तो इसके बाद हम देखेंगे कि आखिरकार physical significance क्या है न्यू के का न्यू के आखिर कार क्या represent कर रहा है symbol तो इसने frequency वाला लिया हुआ है न्यू ने तो क्या ये frequency को represent कर रहा है यह आपको proof करके दिखाना होगा वो हम दिखाएंगे physical significance of न्यू के वाले part में तो students पिछले section में हमने देखा कि जो हमारा angle variable होगा omega k, it is a linear function of time क्योंकि हमारे पास omega k जो है वो new k t plus beta k के बराबा निकल के आये था, अब हम देखेंगे कि आखिर कार new k हमारे periodic system के लिए क्या represent कर रहा है, means now we will see physical significance of new k.
तो हम मान लेते हैं कि हमारे पास n number of coordinates है, n number of generalized coordinates है, q1, q2 उसे लेके qn, उन में से एक coordinate ऐसा है ql, जो कि एक complete cycle जो है वो complete कर रहा है, तो आप लिखेंगे let out of q1, q2, qn coordinates, ql coordinates complete one cycle while other are constant, इन n coordinate में से सिरफ QL coordinate जो है वो एक cycle complete कर रहा है, एक revolution complete कर रहा है, बाकी सभी constant है, तो QL के cycle complete करने के दोरान, जो angle variable omega k में change आएगा, वो हम कैसे निकाल सकते हैं, means delta omega k कैसे निकालेंगे, change in angle, variable delta omega k is given by क्योंकि omega k constant नहीं है ql अगर vary करेगा एक cycle complete करेगा तो omega k में change आएगा और वो change हम कैसे निकालेंगे अगर x function है a1 a2 का तो change in x हम कैसे निकालते हैं delta x कैसे निकालते हैं curly x by curly a1 फिर हम यहाँ पर करते हैं a1 d a1 इसी तरह से plus curly x by curly a2, यहाँ पर हम करते हैं d a2, same यही method यहाँ पर use करेंगे, delta omega k निकालने के लिए curly omega k by curly q, क्योंकि QL जो है वो cycle complete कर रहा है तो यहाँ पर साथ में लिखना होगा हमें DQL क्योंकि यहाँ पर हमने complete cycle लिया है तो यहाँ पर हमें integration करना होगा for complete cycle तो means यहाँ पर हमें closed integration भी करना होगा होगा तो इस तरह से हम डेल्टा ओमेगा के निकाल सकते हैं जब क्यों वेल जो है वह एक साइकल कंप्लीट करेगा बट हमें पता है जो ओमेगा के होता है वह क्या होता है करली डब्लू बाई करली जेके होता है जेके का जो कॉन्जूगेट होता है वह ओमेगा के होता है ओमे यहाँ पर integration जो है वो QL के respect में हो रहा है JK तो constant है तो curly by curly JK को हम integration से बाहर ले सकते हैं तो आप लिखेंगे delta omega K यह omega K है W नहीं है इस सरा को आप ध्यान रखेंगे आज इसको थोड़ा सा अलग बनाएंगे is equal to curly by curly JK close integration curly by curly QL W DQL इस curly by curly JK को हमने integration से बाहर ले लिया और curly W by curly QL क्या होगा अभी हमने देखा था पिछले section में जो PK होता है है वो करली W by करली क्यों के होता है तो करली W by करली क्यों क्या हो जाएगा पी एल हो जाएगा तो इसकी जगह हम लिख देंगे पी एल तो यहां पर आ जाएगा इंटेग्रेशन पी एल डी क्यों वेल तो यह क्या बन जाएगा यह चीज यह क्या बनेगा सोचिए हमार वरिएबल था वो था जेके एकवर्ड टू क्लोज इंटेग्रेशन पी के डी क्यू के तो यहां पर के है तो यहां पर के आ रहा है तो अगर यहां पर क्लोज इंटेग्रेशन पीएल डी क्यू एल है तो यह क्या बन जाएगा जेएल बन जाएगा तो आप लिखेंगे डेल्टा ओमेगा के विल बी इक्वल टू करली बाई करली जे के ऑफ जे एल क्योंकि यह टर्म जो है वह जे एल के बराबर हो जाएगी बाई डेफिनेशन ऑफ एक्शन वेरियेबल तो सुडेंट्स यहां तक हम पहुंच चुके हैं थोड़ा सा पार्ट और बचा है वह हम द तो students पिछले section में हमने देखा कि जो delta omega होगा change in angle variable omega k होगा वो curly jl by curly jk के बराबर होगा अगर हमारा kl के बराबर हो जाए तो इस case में ये ratio जो है वो 1 हो जाएगा अगर हमारा l k के बराबर हो गया तो curly jk by curly jk जो है वो 1 हो जाएगा अगर kl के बराबर ना हुआ तो हमारा आपका अंसर जो है वो जीरो आएगा तो डेल्टा ओमेगा के विल बी इक्वल टू वन इफ एल इक्वल टू के एंड जीरो इफ एल नॉट इक्वल टू के तो इसका मत्तब यह है कि डेल्टा ओमेगा के वन कब होगा जब हमारा क्योंकि को रिनेट वन साइकल कंप्लीट करे वन साइकल कम्प्लीट कर रहा है बट हमने यहाँ पर L को K के बराबर लिया है so that डेल्टा ओमेगा K is equal to 1 तो हमारा QK coordinate होगा जो वन साइकल कम्प्लीट करेगा तभी हमारा डेल्टा ओमेगा K जो है वो वन के बराबर आएगा ओमेगा K is equal to nu K T plus बेटा अगर हम यहाँ से change in ओमेगा K निकालें डेल्टा ओमेगा K will be equal to nu K constant है T में कितना change आएगा डेल्टा T plus बीटा के जो है वो कॉंस्टेंट था तो बीटा के में कोई चेंज नहीं हैगा तो वो उसमें चेंज जो हैगा वो जीरो होगा तो इसी तरह से यहां से हम क्या कह सकते हैं डेल्टा ओमेगा को अगर हम वन कर दें और क्योंकि जब वन साइकल कंप्लीट करेगा तो उस साइकल क तो यहाँ डेल्टा ओमेगा की जगह 1 रख दो, न्यू के, और डेल्टा टी की जगह न्यू के रख दो, which is the period associated with QK, तो यहाँ से आ जाएगा, न्यू के is equal to 1 by टाउ के, तो न्यू के जो है, वो time period टाउ के reciprocal निकल के आया है, और anything reciprocal to time period is known as frequency, तो हमारा न्यू के जो है, जो की constant है, वो और कुछ नहीं, periodic motion की frequency को ही represent कर रहा है, तो आप यह line लिखेंगे, Thus constant न्यू के is identified as reciprocal of period and is therefore gives frequency of motion क्योंकि new के time period के reciprocal निकल के आया है तो यह हमें क्या बता रहा है frequency of periodic motion बता रहा है Thus we find that action angle variables provide an elegant procedure to determine frequency of periodic motion without going into details of solution तो इस तरह हमने देखा आज के topic में कि action angle variable के द्वारा हम किसी भी periodic motion की frequency जो है वो determine कर सकते हैं उसके लिए हमें jk पता होना चाहिए जो की function होता है alpha k का तो साथ के साथ वहाँ से हम W जो Hamilton characteristic function होता है उसको use करते हुए हम finally यहाँ तक पहुंच सकते हैं बिना problem के solution को drive किये तो students I hope आपको आज का topic जो है वो अच्छे से clear हुआ होगा मिलेंगे किसी और important topic of classical mechanics के साथ till then take care किया