Matemáticas con Juan: 100 Integrales Indefinidas Resueltas - Resumen de la Clase

Información General

• En esta clase se abordaron 100 integrales indefinidas resueltas detalladamente.
• Utilización de PDF con los enunciados para facilitar el seguimiento.

Integral 1

Ejemplo de Integración de Potencias

• Ejercicio: ∫ 5x³ dx
• Solución:
  • Formula a usar: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
  • Aplicando: 5 ∫ x³ dx = 5 (x⁴/4) + C = (5/4)x⁴ + C

Integral 2

Diferencia de Integrales

• Ejercicio: ∫ (8x² - 5x⁵) dx
• Solución:
  • Separar en dos integrales: ∫ 8x² dx - ∫ 5x⁵ dx
  • Solucionando:
    • 8 ∫ x² dx = 8 (x³/3) = (8/3)x³
    • 5 ∫ x⁵ dx = 5 (x⁶/6) = (5/6)x⁶
  • Resultado: (8/3)x³ - (5/6)x⁶ + C

Integral 3

Integración de Constantes

• Ejercicio: ∫ 3 dx
• Solución:
  • Constante fuera: 3 ∫ dx = 3x + C

Integral 4

Integración de Función Raíz

• Ejercicio: ∫ (³√x + 5/3) dx
• Solución:
  • Transformar en potencias: ∫ (x^(1/3) + 5/3) dx
  • Solucionando:
    • ∫ x^(1/3) dx = (x^(4/3))/(4/3) = (3/4)x^(4/3)
    • ∫ 5/3 dx = (5/3)x
  • Resultado: (3/4)x^(4/3) + (5/3)x + C

Integral 5

Exponentes Negativos

• Ejercicio: ∫ (1/x³) dx
• Solución:
  • Transformar: ∫ x^(-3) dx
  • Aplicar fórmula: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
  • Solucionando: (x^(-2))/(-2) = -1/(2x²) + C

Integral 6

Descomposición y Potencias

• Ejercicio: ∫ [2 - x * √x] dx
• Solución:
  • Expandir y simplificar:
    • ∫ (2√x - x * √x) dx
    • Separa en dos integrales: ∫ 2x^(1/2) dx - ∫ x^(3/2) dx
  • Solucionando:
    • 2 ∫ x^(1/2) dx = 2 * (2/3)x^(3/2) = (4/3)x^(3/2)
    • ∫ x^(3/2) dx = (2/5)x^(5/2)
  • Resultado: (4/3)x^(3/2) - (2/5)x^(5/2) + C

Integral 7

Cambio de Variable en Integrales con Funciones Substituidas

• Ejercicio: ∫ [2x√(1-3x²)] dx
• Solución:
  • Sugerencia de substitución: t = 1 - 3x²
  • Diferencial de t: dt = -6x dx
  • Cambio de variable:
    • ∫ 2x√(1-3x²) dx = -1/3 ∫ √t dt
    • ∫ √t dt = (2/3)t^(3/2)
  • Resultado: -1/3 * (2/3)t^(3/2) = -2/9 * (1-3x²)^(3/2) + C

Integral 8

Integración Simplificada mediante Cambio de Variables

• Ejercicio: ∫ √(5x) dx
• Solución:
  • Substitución: t = 5x
  • Diferencial de t: dt = 5 dx
  • Cambio de variable: ∫ √(t/5) (1/5) dt = (1/5)(2/3)t^(3/2)
  • Transformación final: (2/15)(5x)^(3/2) + C

Integral 9

Integral Logarítmica Especial

• Ejercicio: ∫ (5/x) dx
• Solución:
  • Formula a usar: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
  • Aplicando: 5 ∫ (1/x) dx = 5 ln|x| + C

Integral 10

Cambio de Variable en Fracciones Complejas

• Ejercicio: ∫ (8 dx) / (3x + 2)⁴
• Solución:
  • Substitución: t = 3x + 2
  • Diferencial de t: dt = 3 dx
  • Cambio de variable:
    • ∫ 8 dx / (3x + 2)⁴ = ∫ (8/3) (1/t⁴) dt = -2/9 (1/t³)
  • Transformación final: -2/9 (1/(3x + 2)³) + C

Integral 11

Descomposición de Fracciones Racionales

• Ejercicio: ∫ [x² + 2x + 1] / [x² - 1] dx
• Solución:
  • Expandir el denominador: ∫ [(x² + 2x + 1) - 1 + 1] / [(x-1)(x+1)] dx
  • Separar las integrales y simplificar.
  • Resultado: Resuelto mediante fracciones parciales.

Conclusiones

• La clase abordó la resolución detallada de 100 integrales indefinidas.
• Se utilizaron diversos métodos: separación de integrales, cambios de variable, integración por partes, descomposición en fracciones parciales, y uso de integrales inmediatas.
• Recomendación de practicar continuamente estos métodos y revisar ejercicios similares.

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