Catatan Kuliah: Garis Singgung dan Garis Normal

Definisi

• Garis Singgung: Garis yang menyentuh kurva pada satu titik. Contohnya, ketika kurva sin menyinggung, garis yang menyentuh adalah garis singgung.
• Garis Normal: Garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik yang sama.

Langkah Menentukan Garis Singgung

1. Mencari Gradien:
   • Gradien adalah turunan dari fungsi pada titik tertentu.
   • Contoh: Untuk fungsi sin, gradiennya adalah cos.
2. Menghitung Gradien di Titik Tertentu:
   • Jika titiknya adalah pi/3 (60 derajat), maka cos(60) = 1/2.
3. Menggunakan Rumus Garis: Rumus garis singgung:
   [ Y - Y_1 = M(X - X_1) ]
   • Di mana ( M ) adalah gradien yang telah dihitung.
   • Masukkan nilai-nilai untuk Y dan X untuk mendapatkan persamaan akhir.

Contoh Garis Singgung

• Gradien ( M = 1/2 )
• Persamaan akhir:
  [ Y = (1/2)X - (1/6)Pi + (1/2)\sqrt{3} ]

Menentukan Garis Normal

1. Menghitung Gradien Normal:
   • Gradien garis normal adalah kebalikan dari gradien garis singgung, dengan tanda yang berbeda.
   • Jika gradien garis singgung ( M = 1/2 ), maka gradien normal ( M = -2 ).
2. Menggunakan Rumus Garis untuk Normal:
   • Gunakan rumus yang sama dengan mengganti gradien sesuai dengan yang telah dihitung.

Contoh Garis Normal

• Persamaan akhir:
  [ Y = -2X + (2/3)Pi + (1/2)\sqrt{3} ]

Contoh Soal B

• Kurva: ( Y = \frac{1 + \sin X}{\cos X} )
• Titik yang dicari: ( X = 0 )

1. Mencari Y:
   • ( Y = 1 + \frac{0}{1} = 1 )
2. Mencari Gradien:
   • Gunakan rumus turunan untuk fungsi pembagian:
     [ \frac{U}{V} ]
   • Dengan ( U = 1 + \sin X ) dan ( V = \cos X ).
   • Gradien di ( X = 0 ) adalah 1.
3. Persamaan Garis Singgung:
   • ( Y - 1 = 1(X - 0) )
   • Persamaan akhir:
     [ Y = X + 1 ]

Garis Normal pada Soal B

• Gradien normal adalah -1.
• Persamaan akhir:
  [ Y = -X + 1 ]

Kesimpulan

• Garis singgung dan garis normal memiliki hubungan yang erat dan dapat dihitung melalui gradien masing-masing pada titik tertentu.