Hallo ihr Lieben! In dem heutigen Video möchte ich zusammen mit euch die p-q-Formel durchgehen. Das ist die sogenannte p-q-Formel, die habt ihr bestimmt auch schon gesehen. Die erschreckt einen am Anfang erstmal, aber man muss sie leider einfach auswendig lernen.
Also hier steckt ein p drin und auch da und hier hinten das q und deswegen heißt das Ding eben einfach p-q-Formel. Wann hilft einem diese Formel? Wenn wir Gleichungen lösen müssen, die so aussehen, indem ihr ein x²...
drin habt und auch ein x an einer anderen Stelle und noch eine Zahl an einer anderen Stelle, dann hilft euch diese pq-Formel, diese Gleichung hier zu lösen, also die Gleichung hier nach x aufzulösen. Die Zahl, die hier bei dem x steht, das ist die Zahl, die in das p hier reinkommt in der Formel und die Zahl, die kein x in sich trägt und auch kein x², also die Zahl, die hier alleine steht, das ist euer q und die kommt hier in die Formel rein. Und das wollen wir jetzt einfach mal an Beispielen durchgehen. Welche Fälle können vorkommen?
Das klären wir vielleicht noch gerade ganz zum Anfang. Hier haben wir jetzt drei verschiedene Fälle. Fall 1, Fall 2 und Fall 3. Das sind alles quadratische Funktionen.
Das sind ja so Parabeln, die sehen ja so aus. Und was ist jetzt hier so der Unterschied zwischen den drei Dingern? Wenn wir uns mal die Nullstellen anschauen, also die Stellen, wo unsere rote Funktion die x-Achse schneidet.
Dann haben wir hier, bekommen wir in dem Fall zwei Nullstellen, also zwei Lösungen. Das wären gleich zwei Lösungen. Bei der hier sehen wir, bekommen wir nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
Also das ist nur eine Lösung, die wir bekommen. Und hier, wenn die so oberhalb liegt, wenn die so schwebt, dann gibt es ja gar keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Dann gibt es auch keine Lösung für unsere Gleichung, die wir lösen wollen. Also es gibt diese drei verschiedenen Fälle, dass wir einmal zwei Lösungen bekommen, einmal eine Lösung und hier bekommen wir keine Lösung. Das sind alles Dinge, die passieren können und die schauen wir uns jetzt eben an Beispielen an.
Und zwar den ersten Fall. Wir erwarten zwei Lösungen bei dieser Gleichung hier. Die PQ-Formel habe ich euch hier rechts nochmal hingeschrieben. Falls ihr sie noch nicht auswendig könnt, wenden wir sie jetzt einfach mal hier an dem Beispiel an.
Los geht's! Wir haben hier eine quadratische Gleichung. Hier vorne steht x², hier steht ein x, hier steht eine Zahl.
Und ich habe euch ja eben schon gesagt, dass p ist die Zahl, die bei dem x steht. Immer auch schön mit Vorzeichen. Wenn hier ein Minus steht, wäre das Minus 4. Wenn hier ein Plus steht, ist das ein 4. Also unser p ist 4. Und die Zahl, wo gar kein x steht, das ist unser q. Also die 3 hier hinten ist unser q.
Ganz wichtig ist, die pq-Formel dürft ihr nur dann anwenden, wenn hier vorne x² steht, also wenn hier vorne dran keine andere Zahl mehr steht. Falls da noch eine Zahl stehen sollte, dann müsst ihr die komplette Gleichung einmal durch die Zahl hier vorne dividieren, also durch 3 und alles ausrechnen. Aber hier in den Fällen steht jetzt erstmal nichts und deswegen können wir die pq-Formel sofort anwenden.
Was sagt die? Wir bekommen x1 und 2, also zwei Lösungen. Zumindest mal vielleicht.
Also wir gehen auf die Suche nach zwei Lösungen. Wir haben ja eben schon gesehen, es gibt nicht immer zwei L ösungen, aber wir gehen einfach mal auf die Suche danach. Und das wäre minus p halber. Also das Minus schreibt ihr hin, dann oben das p einsetzen, das wäre die 4 und durch 2 teilen.
Plus Minus, dann eine große Wurzel und jetzt für das p nochmal die 4 eintragen. Also 4. durch 2, das Ganze wird quadriert und dann minus das q gerechnet, also minus die 3 bei uns. Und jetzt sind da nur noch Zahlen drin und das Ding können wir ausrechnen, auch wenn es relativ hässlich aussieht, aber wir gehen mal Schritt für Schritt vor. Das Minus bleibt hier vorne mal, 4 durch 2, das können wir ausrechnen, das sind 2, plus Minus nochmal hinschreiben, dann wird hier weitergerechnet, 4 durch 2 sind 2. Das Ganze hoch 2, das schreiben wir dann mal hin, 2 hoch 2 und minus die 3. Jetzt lösen wir das erstmal in der Klammer auf, also hier vorne, das lassen wir so stehen. Und hier hinten hätten wir Wurzel aus, 2 zum Quadrat sind 4, minus 3 sind 1. Wenn wir die Wurzel aus 1 berechnen, kommt man dann nochmal auf 1. Also wenn wir die Wurzel aus 1 jetzt ziehen, steht da 1. Und das hier wären jetzt zwei Lösungen, nämlich dieses Plus-Minus.
Das müssen wir jetzt einfach aufteilen. Einmal lesen wir das als minus 2 plus 1. Also das wird unsere erste Lösung. Minus 2 plus 1. Wenn wir das ausrechnen.
kriegen wir minus 1 und unsere zweite Lösung ist jetzt das Ganze mit dem Minus, also minus 2 minus 1. Und das, wenn wir das ausrechnen, kommen wir auf minus 3. Das heißt, wir haben zwei Lösungen gefunden, wie schon erwartet. Einmal minus 1 und einmal minus 3. Und wenn wir nochmal zurück zu dem Graphen gehen, ist das nämlich genau das, was wir hier sehen. Minus 1 und minus 3 sind die Schnittpunkte mit der x-Achse und die haben wir jetzt gefunden.
Gehen wir zum zweiten Fall. Wir erwarten nur einen Schnittpunkt bei 3. Schauen wir uns das mal an, ob das der Fall sein wird. Bei diesem Beispiel, auch hier dürfen wir die pq-Formel anwenden, denn wir haben x², irgendwas mit x und noch eine Zahl.
Und vor dem x² steht keine andere Zahl mehr, deswegen können wir sofort die pq-Formel anwenden. Was ist hier unser p und was ist hier unser q? Das p ist die Zahl, die bei dem x steht.
Also, schön mit Vorzeichen. Minus 6 ist unser p und q ist die Zahl, die alleine steht. Das ist die 9. Und jetzt setzen wir alles einfach wieder in die Formel ein.
Die sagt minus p halbe, also minus und jetzt schön mit Vorzeichen. Das p ist minus 6 halbe plus minus Wurzel aus p halbe zum Quadrat. Also minus 6 setzen wir für das p ein, halbe und dann noch zum Quadrat. und dann minus das q, das hier 9 ist.
Falls euer q negativ sein sollte, dann müsst ihr minus minus 9 rechnen. Auch da aufpassen, immer schön die Vorzeichen beachten. Und jetzt wird einfach nur noch ausgerechnet. Minus minus, das wird wieder was Positives, 6 durch 2 sind 3. Dann kümmern wir uns um die Wurzel.
Minus 6 durch 2 sind minus 3 und das Ganze wird quadriert. und hinten noch die minus 9. Jetzt rechnen wir das mal aus. Was bekommen wir unter der Wurzel? Minus 3 zum Quadrat, das wäre minus 3 mal minus 3, das sind 9. Minus 9 sind 0. Und die Wurzel aus 0, wenn wir die ziehen, ist es wieder 0. Jetzt bekommen wir welche zwei Lösungen, wenn wir dieses plus minus mal aufteilen.
3 plus 0, das ist 3. Und Einfach nur der Vollständigkeit halber das Ganze mit dem minus 3 minus 0. Das ist auch 3. Also bekommen wir zwei Lösungen durch die Formel, aber die sind gleich. Also haben wir im Grunde nur eine Lösung gefunden, nämlich nur die 3. Und das war ja auch das, was wir erwartet haben. Wir wollten die Nullstellen von dieser Funktion hier finden.
Und die schneidet halt die x-Achse nur in einem Punkt und eben bei der 3. Und das haben wir mit der pq-Formel gefunden. Und jetzt im dritten Fall erwarten wir keinen Schnittpunkt, also keine Lösung. Jetzt gucken wir mal, wo das schief geht, dass wir da tatsächlich keine Lösung erhalten. Auch hier haben wir wieder x², was mit x und einer Zahl. Wir suchen unser p und unser q.
p ist die Zahl bei dem x, also die 2. q ist die Zahl, die alleine steht, also die 2. Okay, wir heißen jetzt beide halt gleich, macht ja nichts. Dann setzen wir alles in unsere pq-Formel ein. Minus p halbe.
Heißt minus 2 durch 2 plus minus Wurzel aus. p halbe zum Quadrat, also die 2 wird geteilt durch die 2 und dann nochmal quadriert. Und jetzt minus q, also minus die 2. Okay, wir rechnen aus. Minus bleibt 2 durch 2 ist 1. Jetzt gehen wir unter die Wurzel. 2 durch 2 ist 1 haben wir gerade gesagt.
Wenn wir das quadrieren, 1 zum Quadrat. Bleibt es bei 1 und hinten müssen wir 2 abziehen. Was passiert jetzt unter der Wurzel, wenn wir das ausrechnen?
1 minus 2 ist minus 1. Hier passiert es, dass wir eine negative Wurzel bekommen und das ist nicht erlaubt. Sobald ihr also eine negative Wurzel bekommt, seid ihr fertig. Es sei denn, ihr habt euch verrechnet.
Aber ansonsten kontrolliert es immer mal wieder nach, ob es nur ein Fehler von euch ist oder ob da wirklich was Negatives rauskommt. Und dann gibt es einfach keine Lösung. Also wenn ihr alle Lösungen finden sollt, dann gibt es keine.
Falls ihr eine Lösungsmenge angeben sollt, wäre die Lösungsmenge einfach die leere Menge. Und das ist ja genau das, was wir auch erwartet haben, weil wir wussten, dass wir hier in dem Fall sind, wo es eben keinen Schnittpunkt gibt. Das sind also die drei Fälle, die passieren können, falls...
ihr die pq-Formel anwendet und immer schön darauf achten, die pq-Formel gilt nur dann, wenn vor dem x² keine Zahl steht. Wenn hier eine Zahl noch vorne dran gestanden hätte, dann teilt ihr die ganze Gleichung einmal durch 2 und erst dann, also nachdem ihr hier das weggemacht habt, die 4 durch 2 geteilt habt und die 3 durch 2 geteilt habt, erst dann, wenn vor dem x² dann also nichts mehr steht, dürft ihr die pq-Formel anwenden. Die gilt wirklich nur...
wenn vor dem x² keine andere Zahl steht. Ganz wichtig, macht man nämlich gerne mal falsch. Aber das ist die PQ-Formel. Ich hoffe, ihr wisst jetzt, wie es funktioniert und könnt eure Aufgaben damit lösen.