Vorlesung: Folgen und Reihen

Einführung in Folgen

• Definition: Eine Folge ist eine durchnummerierte Liste von Zahlen.
  • Kann durch Daten (z.B. Umfragen, Messwerte) oder Berechnungsvorschriften erstellt werden.

Wichtige Vertreter von Folgen

• Arithmetische Folge

  • Form: ( a_n = S + D \cdot n )
    • ( S ): Startwer
    • ( D ): Abstand zwischen den Werten
  • Beispiel: ( a_n = 5 - 0,8 \cdot n )
    • Erzeugt eine abnehmende Sequenz in gleichmäßigen Schritten (z.B. 5, 4.2, 3.4, ...)
  • Rekursive Definition: Startwert ( A_0 ), nächster Wert ( A_{n+1} = A_n + D )
    • Nachteil: Für große ( n ) viele Berechnungen notwendig

• Geometrische Folge

  • Form: ( a_n = S \cdot Q^n )
    • ( S ): Startwert
    • ( Q ): Quotient (Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Werten)
  • Beispiel: ( a_n = 1000 \cdot 1,08^n )
    • Erzeugt eine wachsende Sequenz (z.B. 1000, 1080, ...)
  • Rekursive Definition: Startwert ( A_0 ), nächster Wert ( A_{n+1} = A_n \cdot Q )

Grundlegende Begriffe

• Konvergenz und Limes: Werden im weiteren Verlauf der Vorlesung behandelt (nicht im Detail beschrieben).

Anwendung

• Besonders wichtig in der Finanzmathematik.
  • Arithmetische Folge: Verwendung zur Berechnung von linearen Entwicklungen.
  • Geometrische Folge: Fundamentale Formel in der Finanzmathematik zur Darstellung exponentieller Entwicklungen.

Praktische Übung

• Berechnung von Folgegliedern durch rekursive und explizite Definitionen.
• Beispielaufgabe mit vorgegebenem Startwert und Berechnung der nächsten Werte.

Fazit

• Verständnis der grundlegenden Unterschiede und Anwendungen von arithmetischen und geometrischen Folgen ist entscheidend, insbesondere im Bereich der Finanzmathematik.