was ist denn eigentlich so eine Folge letztes Mal und haben dann festgestellt na ja also eigentlich ist das nichts anderes wie eine durchnummerierte Liste von Zahlen das kann jetzt sein dass das Daten sind die durchnummeriert sind die sie erheben also von Umfragen von Beobachtungen von Messwerten aus einem Warenwirtschaftssystem oder es kann eben sein dass Sie die einzelnen Zahlen diese durchnummerierten Zahlen durch eine Berechnungsvorschrift bekommen beides ist möglich und beides kommt vor was wir jetzt heute machen ist wir schauen uns im Wesentlichen ein paar wichtige Vertreter von Folgen und Reihen an das wird sein die arithmetische Folge die geometrische Folge die ganz essentiell sind insbesondere in der Finanzmathematik brauchen wir die die ganze Zeit und dann schauen wir uns noch so grundlegende Begriffe an was bedeutet z.B der der Begriff der Konvergenz was bedeutet der Begriff des Limes Folgen und Reihen so eine Folge eine nummerierte Liste von Zahlen formal lässt sich das dann als eine Abbildung die die natürlichen zah en mit oder ohne Null kommt drauf an mal so mal so auf die reellen Zahlen abbildet ein kleines Beispiel und sagen unsere abbildungs Vorschrift die soll folgendermaßen ausschauen a von N oder abgekürzt kann man das dieses n dann auch in den Index runterschreiben und unsere Folge die wir uns jetzt hier anschauen die soll heißen 5- 0,8 mal n also eine ziemlich einfache schreibe ich noch mal so eine kleine Mini Wertetabelle hin da geht's los mus bei N = 0 in dem Fall können wir auch 0 einsetzen 2 3 und dann kommen Pünktchen und dann vielleicht noch mal 10 und dann geht's noch mal weiter ja was kommt raus wenn sie ull einsetzen hier ganz einfach 5 - 0,8 x 0 ist natürlich 5 dann 5 - 0,8 x 1 ist dann entsprechend 4,2 dann haben wir geht's immer in wie Sie sehen in 0,8er Schritten jetzt runter also haben wir hier 3,4 2,6 am Ende des Tages dann kommen die Pünktchen und wenn sie 10 x 0,8 abziehen dann ist das -3 das geht natürlich auch ins Negative gleichmäßigen Schritten geht das Ding nach unten und das ist auch schon der erste wichtige typische Vertreter unserer Folgen und Reihen den sie da sehen das ist nämlich eine sogenannte arithmetische Folge allgemein arithmetische wir schreiben uns jetzt diese sogenannte explizite Definition dieser arithmetischen Folge noch mal auf und dann möchte ich noch mal auf einen Begriff zurückkommen die sieht so aus an = S + D mal n was bedeutet das diese S und DS das sind irgendwelche reellen konstanten die verändern sich auch nicht sondern die lege ich einmal pro arithmetische Folge fest i können sich vorstellen dass S ist der Startwert s wie Start und das D das ist der Abstand oder distance oder Differenz zwischen den einzelnen Werten ja in unserem Beispiel da oben W den Startwert von fünf da geht's dann quasi los mit der Folge und dann geht's mit diesem Abstand immer in den jeweiligen Schritten entsprechend weiter bevor ich jetzt ein Bildchen Male schreibe ich Ihnen noch die sogenannte rekursive Definition auf da kann ich sagen es geht los bei A0 mit dem Startwert immer der nächste Wert ergibt sich dann daraus dass man den aktuellen Wert nimmt und dann einmal dieses D noch oben drauf addiert in unserem Beispiel das D negativ und dann geht's halt runter ich zeige Ihnen jetzt noch mal ein beispielhaft wie das mit dieser rekursiven Definition funktioniert und dann dürfen sie selber noch mal eine so eine Aufgabe ausprobieren D machen wir noch mal so ein Quiz z.B na wenn ich jetzt hier loslege mit unserer n soll g= 1 sein dann setze ich jetzt das hier ein das N = 1 dann habe ich hier stehen n ist 1 also hier unten steht dann im Index 1 + 1 auf der rechten Seite steht nur das n also A1 + D A1 wissen wir auch nicht das steht hier nicht in dem grünen Kasten also sage ich wenn jetzt das n0 wäre dann wäre das A1 A0 + D ja und das ist A0 ist hier gegeben in dem grünen Kasten das ist also der Startwert plus diesen Abstand und wenn Sie das jetzt wieder hier oben einsetzen dieses A1 dann steht da das hier ersetze ich jetzt durch S + D das ist ja A1 dann steht hier S + D + D oder S + 2D mit anderen Worten das ist ja A2 was sie hier stehen haben ist dann S + 2 x D und das entspricht jetzt genau dieser expliziten Definition wie sie es hier sehen natürlich jetzt hier nur für diesen konkreten Fall aber sie können sich vorstellen wenn ich jetzt hier nicht zwei hernehmen sondern sagen wir fünf oder sowas also dieses n dann vier nehmen z.B dann komme ich immer über diese rekursive Definition ein weiter runter müssen sie dann mehrere ineinander einsetzen und dann können sie von rückwärts wieder einsetzen oder sie rechnen gleich von unten hoch und sagen okay wenn ich A0 weiß dann kann ich A1 ausrechnen dannn damit kann ich A2 ausrechnen und so weiter das ist das Prinzip dieser rekursiven Definition sie starten bei diesem Startwert und dann setzen sie der Reihe nach immer immer wieder ein um dann immer eins höher zu kommmen das hat den riesen Nachteil dass wenn Sie jetzt den Wert a1435 ausrechnen wollen dass Sie 1435 Rechnungen machen müssen um dann auf das Ergebnis zu kommen und jetzt müsste die Frage auftauchen und da sehen sie schon da gibt's einen Anfangswert für diese rekursiv definierte Folge also einen Startwert und dann gibt's eben so einen rekursive Definition was sie jetzt machen müssen ist tatsächlich rechnen sie sollen A5 ausrechnen sie haben A1 gegeben mit diesem A1 können Sie dann das A2 ausrechnen damit das A3 und so weiter und dann landen sie bei dem A5 okay dann lasse ich Ihnen da mal ein paar Minütchen das wirklich einige Male durchnudeln aber oh das sieht fast gut aus also wir haben ein paar Leute die tatsächlich zumindest in die Nähe kommen okay und da gab's jetzt hier so einen Startwert A1 war vorgegeben mit 2 und wenn ich jetzt den nächsten Wert haben möchte also A2 dann muss ich den vorgängerwert also A1 hier halbieren und dann noch mal ein halb oben drauf rechnen A1 halbieren das ist 2/ + 1/b das ist 1,5 dann wenn ich den nächsten haben will 3 dann nehme ich wieder den Vorgänger also ein weniger als n + 1 sozusagen das ist dann A2 Hal + 1/ 17 16 näht sich immer stärker der eins an so also das müsste jetzt so stimmen 171 wunderbar also noch mal eine Folge an und die soll so ausschauen 1000 x 1,08 hoch n und da habe ich jetzt einzelne Werte eingesetzt ne zuerst 0 wenn ich hier 0 einsetze dann steht da 1000 x 1,08 hoch 0 ist natürlich 1000 1000 x 1,08 hoch 1 wenn Sie hier einsetzen das ist 1080 und so weiter ich habe das ganze hier eingetippt in R ohne dass sie es gesehen haben aber jetzt sehen sie es also ich habe hier so eine Funktion definiert genau das was Sie hier oben auch sehen 1000 x 1,08 hoch n und habe dann eben 0 1 und 2 eingesetzt das sind die drei Ergebnisse so also jetzt müssten wir wieder auf einem Dampfer sein jetzt habe ich hier eine ganze Wertetabelle ausgegeben in dieser Wertetabelle da sehen sie jetzt Werte von 0 bis 10 eingesetzt in diese okay was passiert hier jetzt offensichtlich ist es ja so dass wenn Sie jetzt von dem Wert zu dem Wert gehen dann ist das ganze mal 1,08 genommen wenn ich jetzt von dem zweiten Wert also wert hier für n g=ich 1 zu dem nächsten Wert gehe dann muss ich das ganze wieder mal 1,08 nehmen den Wert von vorhin den ich schon mit von 1000 mit 1,08 multipliziert hab und so geht es immer weiter also wenn sie von einem Wert zum nächsten Wert wollen dann ist das immer der vorgängerwert mal 1,08 da drängt sich jetzt wieder so eine rekursive Definition auf ja so ein Standardfall einer Folge ich hatte ihnen ja schon gesagt diese Art von Folge die wir jetzt gleich benennen werden das die sogenannte geometrische Folge die ist ziemlich wichtig in der Betriebswirtschaft insbesondere in der finanzmatte böse Zungen behaupten mich eingeschlossen das ist so quasi die einzige Formel die sie brauchen für die finanzmatte der Rest der purzelt dann so automatisch die sogenannte geometrische folge ich mache das genau wie vorhin und schreibe Ihnen auch wieder parallel nebeneinander diese explizite Definition hin explizit und dann machen wir noch die rekursive Variante explizit sieht es im Allgemeinen so aus diese Folge an ist dann auch wieder ein Startwert aber in dem Fall nicht plus irgendwas sondern mal und zwar qoch n und die rekursive Variante davon sieht so aus A0 ist wieder dieser Startwert an + 1 also der Nachfolger ist dann an n mal Q das ist genau das was wir gerade in der Tabelle gesehen haben ne wenn Sie ein dritten Wert haben und sie multiplizieren den mit 1,08 dann kommt der vierte Wert raus wenn Sie ein vierten Wert haben und sie multiplizieren den mit 1,08 kommt der fünfte Wert raus und so weiter